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1、第2講函數與方程思想、 數形結合思想,思想方法詮釋,思想分類應用,應用方法歸納,高考對函數與方程思想的考查頻率較高,在高考的各題型中都有體現,特別在解答題中,從知識網絡的交匯處,從思想方法與相關能力相結合的角度進行深入考查.,思想方法詮釋,思想分類應用,應用方法歸納,應用一函數與方程思想在解三角形中的應用 例1為了豎一塊廣告牌,要制造三角形支架,如圖,要求ACB= 60,BC的長度大于1 m,且AC比AB長 0.5 m,為了穩(wěn)固廣告牌,要求AC越短越好,則AC最短為 (),答案 D,思想方法詮釋,思想分類應用,應用方法歸納,思想方法詮釋,思想分類應用,應用方法歸納,思維升華函數思想的實質是使用

2、函數方法解決數學問題(不一定只是函數問題),構造函數解題是函數思想的一種主要體現;方程思想的本質是根據已知得出方程(組),通過解方程(組)解決問題.,思想方法詮釋,思想分類應用,應用方法歸納,答案 (1)C(2)C,思想方法詮釋,思想分類應用,應用方法歸納,解析 (1)由于ABC的三個內角A,B,C成等差數列,且內角和等于180,B=60. 在ABD中,由余弦定理可得AD2=AB2+BD2-2ABBDcos B, 即7=4+BD2-2BD, BD=3或-1(舍去),可得BC=6,思想方法詮釋,思想分類應用,應用方法歸納,思想方法詮釋,思想分類應用,應用方法歸納,應用二函數與方程思想在不等式中的

3、應用 例2當x-2,1時,不等式ax3-x2+4x+30恒成立,則實數a的取值范圍是.,答案 -6,-2,思想方法詮釋,思想分類應用,應用方法歸納,思想方法詮釋,思想分類應用,應用方法歸納,思維升華1.在解決不等式問題時,一種最重要的思想方法就是構造適當的函數,利用函數的圖象和性質解決問題. 2.函數f(x)0或f(x)0或f(x)max0;已知恒成立求參數范圍可先分離參數,再利用函數最值求解.,思想方法詮釋,思想分類應用,應用方法歸納,突破訓練2設f(x),g(x)分別是定義在R上的奇函數和偶函數,當x0,且g(-3)=0,則不等式f(x)g(x)0的解集是.,答案 (-,-3)(0,3),

4、思想方法詮釋,思想分類應用,應用方法歸納,解析 設F(x)=f(x)g(x),由于f(x),g(x)分別是定義在R上的奇函數和偶函數,得F(-x)=f(-x)g(-x)=-f(x)g(x)=-F(x),即F(x)在R上為奇函數. 又當x0, 所以當x0時,F(x)也是增函數.可知F(x)的大致圖象如圖. 因為F(-3)=f(-3)g(-3)=0=-F(3), 所以,由圖可知F(x)0的解集是(-,-3)(0,3).,思想方法詮釋,思想分類應用,應用方法歸納,函數與方程思想在數列中的應用 例3已知公差不為0的等差數列an的前n項和為Sn,S7=70,且a1,a2,a6成等比數列. (1)求數列a

5、n的通項公式; (2)設 ,數列bn的最小項是第幾項,并求出該項的值.,思想方法詮釋,思想分類應用,應用方法歸納,思想方法詮釋,思想分類應用,應用方法歸納,思維升華因為數列是自變量為正整數的函數,所以根據題目條件構造函數關系,把不等式恒成立問題轉化為求函數的最值問題是常用的解題思路.,思想方法詮釋,思想分類應用,應用方法歸納,答案 C,思想方法詮釋,思想分類應用,應用方法歸納,函數思想在解題中的應用主要表現在兩個方面: (1)借助有關初等函數的性質,解有關求值、解(證)不等式、解方程以及討論參數的取值范圍等問題; (2)在研究問題中通過建立函數關系式或構造中間函數,把研究的問題化為討論函數的有

6、關性質,達到化難為易、化繁為簡的目的.,思想方法詮釋,思想分類應用,應用方法歸納,數形結合思想是解答高考數學試題的一種常用方法與技巧,在高考試題中,數形結合思想主要用于解選擇題和填空題,有直觀、簡單、快捷等特點;而在解答題中,考慮到推理論證的嚴密性,圖形只是輔助手段,最終要用“數”寫出完整的解答過程.,思想方法詮釋,思想分類應用,應用方法歸納,應用一利用數形結合求與方程根有關的問題 例1若實數a滿足a+lg a=4,實數b滿足b+10b=4,函數 則關于x的方程f(x)=x的根的個數是() A.1B.2C.3D.4,答案 C,思想方法詮釋,思想分類應用,應用方法歸納,解析 在同一平面直角坐標系

7、中作出y=10 x,y=lg x以及y=4-x的圖象,其中y=10 x,y=lg x的圖象關于直線y=x對稱,直線y=x與y=4-x的交點為(2,2),所以a+b=4, 當x0時,由x2+4x+2=x易知x=-1或-2;當x0時,易知x=2,所以方程f(x)=x的根的個數是3.,思想方法詮釋,思想分類應用,應用方法歸納,思維升華討論方程的解(或函數的零點)的個數一般可構造兩個函數,轉化為討論兩曲線(或曲線與直線等)的交點個數,其基本步驟是先把方程兩邊的代數式看作是兩個熟悉函數的表達式(不熟悉時,需要作適當變形轉化為兩個熟悉的函數),再在同一平面直角坐標系中作出兩個函數的圖象,圖象的交點個數即為

8、方程解(或函數零點)的個數.,思想方法詮釋,思想分類應用,應用方法歸納,突破訓練1定義在R上的奇函數f(x)滿足f(x+2)=f(2-x),當x0,2時,f(x)=-4x2+8x.若在區(qū)間a,b上,存在m(m3)個不同整數xi(i=1,2,m),滿足 ,則b-a的最小值為() A.15B.16 C.17D.18,答案 D,思想方法詮釋,思想分類應用,應用方法歸納,解析 由題意得f(x+2+2)=f(2-x-2)=f(-x)=-f(x),即f(x+4)=-f(x), 則f(x+8)=-f(x+4)=f(x). f(x)的周期為8,函數f(x)的圖形如下. f(-1)=-4,f(0)=0,f(1)

9、=4,f(2)=0,f(3)=4,f(4)=0,|f(-1)-f(0)|=4, |f(0)-f(1)|=4,|f(1)-f(2)|=4,|f(2)-f(3)|=4, 由 ,則b-a的最小值為18,故選D.,思想方法詮釋,思想分類應用,應用方法歸納,應用二利用數形結合求參數范圍及解不等式,答案 B,思想方法詮釋,思想分類應用,應用方法歸納,解析 先作出函數f(x)=log2(1-x)+1,-1xk的大致圖象,再研究f(x)=x3-3x+2,kxa的大致圖象.,當kxa時,令f(x)=3x2-3=0,得x=1. 當x1時,f(x)0;當-1x1時,f(x)0,思想方法詮釋,思想分類應用,應用方法歸

10、納,思維升華在解含有參數的不等式時,由于涉及參數,往往需要討論,導致演算過程煩瑣冗長.如果題設與幾何圖形有聯系,那么利用數形結合的方法,問題將會簡練地得到解決.,思想方法詮釋,思想分類應用,應用方法歸納,突破訓練2(1)已知偶函數f(x)在0,+)內單調遞減,f(2)=0.若f(x-1)0,則x的取值范圍是. (2)(2018全國,文14)若x,y滿足約束條件 則z=x+y的最大值為.,答案 (1)(-1,3)(2)9,思想方法詮釋,思想分類應用,應用方法歸納,解析 (1)作出函數f(x)的大致圖象如圖所示. 因為f(x-1)0,所以-2x-12,解得-1x3.則x的取值范圍為(-1,3).

11、(2)由題意,作出可行域如圖陰影部分所示.要使z=x+y取得最大值,平移直線y=-x,當且僅當直線過點(5,4)時,zmax=9.,思想方法詮釋,思想分類應用,應用方法歸納,應用三數形結合在兩函數圖象交點上的應用 例3函數f(x)=2sinx- ,x-2,4的所有零點之和為() A.2B.4 C.6D.8,答案 D,思想方法詮釋,思想分類應用,應用方法歸納,思想方法詮釋,思想分類應用,應用方法歸納,思想方法詮釋,思想分類應用,應用方法歸納,思維升華由于兩個函數其中有一個是抽象函數,因而無法求出它們的具體的交點,所以在求其交點橫坐標之和或縱坐標之和或者交點橫縱坐標之和時,常利用數形結合思想,根據

12、兩函數圖象的對稱性求其和.,思想方法詮釋,思想分類應用,應用方法歸納,答案 D,思想方法詮釋,思想分類應用,應用方法歸納,思想方法詮釋,思想分類應用,應用方法歸納,思想方法詮釋,思想分類應用,應用方法歸納,應用三數形結合在解析幾何中的應用 例4已知圓C:(x-3)2+(y-4)2=1和兩點A(-m,0),B(m,0)(m0).若圓C上存在點P,使得APB=90,則實數m的最大值為() A.7B.6C.5D.4,答案 B,思想方法詮釋,思想分類應用,應用方法歸納,思維升華1.如果等式、代數式的結構蘊含著明顯的幾何特征,那么就要考慮用數形結合的思想方法來解題,即所謂的幾何法求解,比較常見的有:,2

13、.解析幾何中的一些范圍及最值問題,常結合幾何圖形的性質,使問題得到解決.,思想方法詮釋,思想分類應用,應用方法歸納,突破訓練4如圖,過拋物線y2=2px(p0)的焦點F的直線依次交拋物線及準線于點A,B,C,若|BC|=2|BF|,且|AF|=3,則拋物線的方程為(),答案 D,思想方法詮釋,思想分類應用,應用方法歸納,解析 由題意,過點A,B分別作準線的垂線,垂足為A,B,如圖所示.,思想方法詮釋,思想分類應用,應用方法歸納,方程思想在解題中的應用主要表現在四個方面: (1)解方程或解不等式; (2)含參數的方程或不等式的討論,常涉及一元二次方程的判別式、根與系數的關系、區(qū)間根、區(qū)間上恒成立等知識的應用; (3)需要轉化為方程的討論,如曲線的位置關系等; (4)構造方程或不等式求解問題.,