《《創(chuàng)新設(shè)計高考總復(fù)習(xí)》配套學(xué)案拋物線》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《《創(chuàng)新設(shè)計高考總復(fù)習(xí)》配套學(xué)案拋物線（17頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、第7講拋物線最新考綱1掌握拋物線的定義、幾何圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程及簡單幾何性質(zhì)2理解數(shù)形結(jié)合的思想3了解拋物線的實(shí)際背景及拋物線的簡單應(yīng)用.知識梳理1拋物線的定義(1)平面內(nèi)與一個定點(diǎn)F和一條定直線l(Fl)的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線點(diǎn)F叫做拋物線的焦點(diǎn)，直線l叫做拋物線的準(zhǔn)線(2)其數(shù)學(xué)表達(dá)式：|MF|d(其中d為點(diǎn)M到準(zhǔn)線的距離)2拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)圖形標(biāo)準(zhǔn)y22px(p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)方程續(xù)表p的幾何意義：焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線l的距離頂點(diǎn)O(0,0)對稱軸y0x0F2，0F2，0F0，2F0，2性質(zhì)焦點(diǎn)pppp離心率e1x2px2y2py2準(zhǔn)線方程

2、pp范圍x0，yRx0，yRy0，xRy0，xR開口方向向右向左辨析感悟向上向下1對拋物線定義的認(rèn)識(1)平面內(nèi)與一個定點(diǎn)F和一條定直線l的距離相等的點(diǎn)的軌跡一定是拋物線()(2)拋物線y24x的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是4.()2對拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)的理解1(3)(2013北京卷改編)若拋物線yax2的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0,1)，則a4，準(zhǔn)線方程為y1.()(4)拋物線既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形()(5)過拋物線的焦點(diǎn)與拋物線對稱軸垂直的直線被拋物線截得的線段叫做拋物線的通徑，那么拋物線x22ay(a0)的通徑長為2a.()感悟提升1一點(diǎn)提醒拋物線方程中，字母p的幾何意義是拋物線的焦點(diǎn)F到準(zhǔn)

3、線的距p離，2等于焦點(diǎn)到拋物線頂點(diǎn)的距離牢記它對解題非常有益如(2)2兩個防范一是求拋物線方程時，首先弄清拋物線的對稱軸和開口方向，正確地選擇拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；二是求拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)時，首先要把拋物線方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，如(3).考點(diǎn)一拋物線的定義及其應(yīng)用【例1】(2014深圳一模)已知點(diǎn)A(2,0)，拋物線C：x24y的焦點(diǎn)為F，射線FA與拋物線C相交于點(diǎn)M，與其準(zhǔn)線相交于點(diǎn)N，則|FM|MN|()A25C15B12D13解析如圖所示，由拋物線定義知|MF|MH|，所以|MF|MN|MH|MN|.由MHNFOA，|MH|OF|1則|HN|OA|2，則|MH|MN|15，即|MF|MN|15.答

4、案C規(guī)律方法拋物線的定義是解決拋物線問題的基礎(chǔ)，它能將兩種距離(拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離、拋物線上的點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離)進(jìn)行等量轉(zhuǎn)化如果問題中涉及拋物線的焦點(diǎn)和準(zhǔn)線，又能與距離聯(lián)系起來，那么用拋物線定義就能解決問題【訓(xùn)練1】(2014山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)診斷)已知點(diǎn)P是拋物線y24x上的動點(diǎn)，點(diǎn)P在y軸上的射影是M，點(diǎn)A的坐標(biāo)是(4，a)，則當(dāng)|a|4時，|PA|PM|的最小值是_解析將x4代入拋物線方程y24x，得y4，|a|4，所以A在拋物線的外部，如圖，x|由題意知F(1,0)，則拋物線上點(diǎn)P到準(zhǔn)線l：1的距離為|PN|，由定義知，PA|PM|PA|PN|1|PA|PF|1.當(dāng)A，P，F(xiàn)三點(diǎn)共線時

5、，|PA|PF|取最小值，此時|PA|PM|也最小，最小值為|AF|1答案9a219a21.考點(diǎn)二拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)【例2】(2014鄭州一模)如圖，過拋物線y22px(p0)的焦點(diǎn)F的直線交拋物線于點(diǎn)A，B，交其準(zhǔn)線l于點(diǎn)C，若|BC|2|BF|，且|AF|3，則此拋物線的方程為()Ay29xBy26xCy23xDy23x解析如圖，分別過A，B作AA1l于A1，BB1l于B1，由拋物線的定義知：|AF|AA1|，|BF|BB1|，|BC|2|BF|，|BC|2|BB1|，BCB130，AFx60，連接A1F，則AA1F為等邊三角形，過F作FF1AA1于F1，則F1113為AA1的中點(diǎn)

6、，設(shè)l交x軸于K，則|KF|A1F1|2|AA1|2|AF|，即p2，拋物線方程為y23x，故選C.答案C規(guī)律方法(1)求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的常用方法是待定系數(shù)法，其關(guān)鍵是判斷焦點(diǎn)位置，開口方向，在方程的類型已經(jīng)確定的前提下，由于標(biāo)準(zhǔn)方程只有一個參數(shù)p，只需一個條件就可以確定拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程(2)在解決與拋物線的性質(zhì)有關(guān)的問題時，要注意利用幾何圖形的形象、直觀的特點(diǎn)來解題，特別是涉及焦點(diǎn)、頂點(diǎn)、準(zhǔn)線的問題更是如此11【訓(xùn)練2】(2014蘭州一模)已知圓x2y2mx40與拋物線y4x2的準(zhǔn)線相切，則m()A22B.3C.2D3解析拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x24y，所以準(zhǔn)線為y1.圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x22mmy

7、2m212，04，所以圓心為，半徑為m212.所以圓心到直線的距離為1，即m2121，解得m3.解(1)由題意知，拋物線E的焦點(diǎn)為F0，2，直線l1的方程為yk1x2.x22py得x22pk1xp20.答案D考點(diǎn)三直線與拋物線的位置關(guān)系lll【例3】(2013湖南卷)過拋物線E：x22py(p0)的焦點(diǎn)F作斜率分別為k1，k2的兩條不同直線l1，2，且k1k22，1與E相交于點(diǎn)A，B，2與E相交于點(diǎn)C，D，以AB，CD為直徑的圓M，圓N(M，N為圓心)的公共弦所在直線記為l.(1)若k10，k20，證明：FMFN2p2；75(2)若點(diǎn)M到直線l的距離的最小值為5，求拋物線E的方程審題路線(1)

8、寫出直線l1的方程與拋物線聯(lián)立用根與系數(shù)的關(guān)系求M，N的坐標(biāo)寫出FM，F(xiàn)N的坐標(biāo)求FMFN用基本不等式求得結(jié)論(2)由拋物線定義求|AB|，|CD|得到圓M與圓N的半徑求出圓M與圓N的方程得出圓M與圓N的公共弦所在直線l的方程點(diǎn)M到直線l的距離求出其關(guān)于k1的函數(shù)式求其最小值求得p.ppp由yk1x2，p22所以點(diǎn)M的坐標(biāo)為pk1，pk12，F(xiàn)M(pk1，pk1)p2同理可得點(diǎn)N的坐標(biāo)為pk2，pk22，F(xiàn)N(pk2，pk22)，kk221所以0k1k22|2pk21pk1p|p|2k1k11|k14222故圓M的方程為(xpk1)2ypk212設(shè)A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，

9、y2)，則x1，x2是上述方程的兩個實(shí)數(shù)根從而x1x22pk1，y1y2k1(x1x2)p2pk21p.于是FMFNp2(k1k2k21k2)因?yàn)閗1k22，k10，k20，k1k2，1.故FMFNp2(112)2p2.pp|(2)由拋物線的定義得|FA|y12，F(xiàn)B|y22，所以|AB|y1y2p2pk212p，從而圓M的半徑r1pk21p.p(pk21p)2，32化簡得x2y22pk1xp(2k11)y4p20.3同理可得圓N的方程為x2y22pk2xp(2k21)y4p20.1于是圓M，圓N的公共弦所在直線l的方程為(k2k1)x(k22k2)y0.又k2k10，k1k22，則l的方程為

10、x2y0.因?yàn)閜0，所以點(diǎn)M到直線l的距離d5517p28.517p85故當(dāng)k14時，d取最小值.由拋物線定義知|AD|FA|AB|.7p75由題設(shè)，855，解得p8.故所求的拋物線E的方程為x216y.規(guī)律方法(1)直線與拋物線的位置關(guān)系和直線與橢圓、雙曲線的位置關(guān)系類似，一般要用到根與系數(shù)的關(guān)系；(2)有關(guān)直線與拋物線的弦長問題，要注意直線是否過拋物線的焦點(diǎn)，若過拋物線的焦點(diǎn)，可直接使用公式|AB|x1x2p，若不過焦點(diǎn)，則必須用一般弦長公式【訓(xùn)練3】設(shè)拋物線C：x22py(p0)的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，A為C上一點(diǎn)，已知以F為圓心，F(xiàn)A為半徑的圓F交l于B，D兩點(diǎn).(1)若BFD90，AB

11、D的面積為42，求p的值及圓F的方程；(2)若A，B，F(xiàn)三點(diǎn)在同一直線m上，直線n與m平行，且n與C只有一個公共點(diǎn)，求坐標(biāo)原點(diǎn)到m，n距離的比值解(1)由已知可得BFD為等腰直角三角形，|BD|2p，圓F的半徑|FA|2p.由拋物線定義可知A到l的距離d|FA|2p.1因?yàn)锳BD的面積為42，所以2|BD|d42，1即22p2p42，解得p2(舍去)或p2.所以F(0,1)，圓F的方程為x2(y1)28.(2)因?yàn)锳，B，F(xiàn)三點(diǎn)在同一直線m上，所以AB為圓F的直徑，ADB90.1233所以ABD30，m的斜率為3或3.3323當(dāng)m的斜率為3時，由已知可設(shè)n：y3xb，代入x22py得x23px

12、2pb0.4由于n與C只有一個公共點(diǎn)，故3p28pb0，p解得b6.p|b|因?yàn)閙的縱截距b12，|b13，所以坐標(biāo)原點(diǎn)到m，n距離的比值也為3.3當(dāng)m的斜率為3時，由圖形對稱性可知，坐標(biāo)原點(diǎn)到m，n距離的比值為3.綜上，坐標(biāo)原點(diǎn)到m，n距離的比值為3.1認(rèn)真區(qū)分四種形式的標(biāo)準(zhǔn)方程(1)區(qū)分yax2(a0)與y22px(p0)，前者不是拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程(2)求標(biāo)準(zhǔn)方程要先確定形式，必要時要進(jìn)行分類討論，標(biāo)準(zhǔn)方程有時可設(shè)為y2mx或x2my(m0)2拋物線的離心率e1，體現(xiàn)了拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于到準(zhǔn)線的距離因此，涉及拋物線的焦半徑、焦點(diǎn)弦問題，可以優(yōu)先考慮利用拋物線的定義轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到準(zhǔn)線的

13、距離，這樣就可以使問題簡單化p拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離根據(jù)定義轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離，即|PF|x|2或|PF|p|y|2，它們在解題中有重要的作用，注意運(yùn)用教你審題9靈活運(yùn)用拋物線焦點(diǎn)弦巧解題【典例】已知過拋物線y22px(p0)的焦點(diǎn)，斜率為22的直線交拋物線于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1x2)兩點(diǎn)，且|AB|9.(1)求該拋物線的方程；(2)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，C為拋物線上一點(diǎn)，若OCOAOB，求的值審題一審：由直線過拋物線焦點(diǎn)可利用焦點(diǎn)弦長公式求解解(1)直線AB的方程是y22x2，與y22px聯(lián)立，從而有4x25pxp2二審：由點(diǎn)C為拋物線上一點(diǎn)，可設(shè)出C點(diǎn)坐標(biāo)，利用OCOAOB表

14、示出點(diǎn)C坐標(biāo)，將點(diǎn)C坐標(biāo)代入拋物線方程求解p5p0，所以x1x24，5p由拋物線定義得：|AB|x1x2p4p9，所以p4，從而拋物線方程為y28x.(2)由于p4,4x25pxp20可簡化為x25x40，從而x11，x24，y122，y242，從而A(1，22)，B(4,42)；2設(shè)C(x3，y3)，則OC(x3，y3)(1，22)(4,42)(41,4222)，又y38x3，即22(21)28(41)，即(21)241，解得0或2.p2y|反思感悟(1)解決與拋物線的焦點(diǎn)弦有關(guān)問題，常用到x1x24，1y2p2，AB|2p112|x1x2psin2(為AB的傾斜角)，AF|BF|p這些結(jié)論

15、，就會帶來意想不到的效果(2)解析幾何中像這樣可以引申推廣的規(guī)律有很多，只要我們平時善于總結(jié)、歸納同類題的解題方法，并注意探究和發(fā)掘變換事物中所蘊(yùn)涵的一般規(guī)律，就一定會有更多發(fā)現(xiàn)【自主體驗(yàn)】1(2012安徽卷)過拋物線y24x的焦點(diǎn)F的直線交該拋物線于A，B兩點(diǎn)若|AF|3，則|BF|_.25|AF|BF|，解得|AF|，|BF|.1123解析法一由|AF|BF|p.得|BF|2.|AF|p|AF|cos，法二設(shè)BFO，則|BF|p|BF|cos，13由|AF|3，p2，得cos3，|BF|2.3答案22(2012重慶卷)過拋物線y22x的焦點(diǎn)F作直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，若|AB|2512，

16、|AF|BF|，則|AF|_.1122525解析由|AF|BF|p2及|AB|AF|BF|12，得|AF|BF|24，再由12|AF|BF|25，2455645答案6基礎(chǔ)鞏固題組(建議用時：40分鐘)一、選擇題y21(2013四川卷)拋物線y24x的焦點(diǎn)到雙曲線x231的漸近線的距離是()13A.2B.2C1D.3y2解析拋物線y24x的焦點(diǎn)F(1,0)，雙曲線x231的漸近線方程是y3x，即3xy0，故所求距離為|30|(3)2(1)232.選B.解析拋物線的焦點(diǎn)為2，0，準(zhǔn)線為x2.雙曲線的右焦點(diǎn)為(3,0)，所以2答案B2(2014濟(jì)寧模擬)已知圓x2y26x70與拋物線y22px(p0

17、)的準(zhǔn)線相切，則p的值為()1A1B2C.2D4解析圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x3)2y216，圓心為(3,0)，半徑為4.圓心到準(zhǔn)線的距p離為324，解得p2.答案B3點(diǎn)M(5,3)到拋物線yax2的準(zhǔn)線的距離為6，那么拋物線的方程是()Ay12x2By12x2或y36x211Cy36x2Dy12x2或y36x211解析分兩類a0，a0，b0)的兩條漸近線與拋物線y22px(p0)的準(zhǔn)線分別交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)若雙曲線的離心率為2，AOB的面積為3，則p()3A1B.2C2D3c解析由已知得雙曲線離心率ea2，得c24a2，b2c2a23a2，即b3bpa.又雙曲線的漸近線方程為yax3x，拋

18、物線的準(zhǔn)線方程為x2，所以p3p3p2，B不妨令A(yù)2，p2，2，于是|AB|3p由AOB的面積為3可得1p23p23，所以p24，解得p2或p2(舍去)答案C二、填空題6若點(diǎn)P到直線y1的距離比它到點(diǎn)(0,3)的距離小2，則點(diǎn)P的軌跡方程是_解析由題意可知點(diǎn)P到直線y3的距離等于它到點(diǎn)(0,3)的距離，故點(diǎn)P的軌跡是以點(diǎn)(0,3)為焦點(diǎn)，以y3為準(zhǔn)線的拋物線，且p6，所以其標(biāo)準(zhǔn)方程為x212y.答案x212y7已知拋物線y24x上一點(diǎn)M與該拋物線的焦點(diǎn)F的距離|MF|4，則點(diǎn)M的橫坐標(biāo)x0_.解析拋物線y24x的焦點(diǎn)為F(1,0)，準(zhǔn)線為x1.根據(jù)拋物線的定義，點(diǎn)M到準(zhǔn)線的距離為4，則M的橫坐

19、標(biāo)為3.答案3x2y28拋物線x22py(p0)的焦點(diǎn)為F，其準(zhǔn)線與雙曲線331相交于A，B兩點(diǎn)，若ABF為等邊三角形，則p_.y22px(p0)，則焦點(diǎn)F2，0.2m6p，p故232m25，2p23解析如圖，在等邊三角形ABF中，DFp，BD3p，13p3p43B點(diǎn)坐標(biāo)為p，2.又點(diǎn)B在雙曲線上，故331.解得p6.答案6三、解答題9已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對稱軸是x軸，拋物線上的點(diǎn)M(3，m)到焦點(diǎn)的距離為5，求拋物線的方程和m的值解法一根據(jù)已知條件，拋物線方程可設(shè)為p點(diǎn)M(3，m)在拋物線上，且|MF|5，p4，p4，解得或m26m26.拋物線方程為y28x，m26.p法二設(shè)拋物線方程為

20、y22px(p0)，則準(zhǔn)線方程為x2，由拋物線定義，Mp點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于M點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，所以有2(3)5，p4.所求拋物線方程為y28x，又點(diǎn)M(3，m)在拋物線上，故m2(8)(3)，m26.10設(shè)拋物線C：y24x，F(xiàn)為C的焦點(diǎn)，過F的直線l與C相交于A，B兩點(diǎn)(1)設(shè)l的斜率為1，求|AB|的大?。?2)求證：OAOB是一個定值(1)解由題意可知拋物線的焦點(diǎn)F為(1,0)，準(zhǔn)線方程為x1，直線l的設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由方程為yx1，yx1，y24x得x26x10，x1x26，由直線l過焦點(diǎn)，則|AB|AF|BF|x1x228.(2)證明設(shè)直線l的方程為xky1，xk

21、y1，由y24x得y24ky40.x22py的焦點(diǎn)坐標(biāo)為0，2，a2b21的漸近線方程為yax，即y3x.y1y24k，y1y24，OA(x1，y1)，OB(x2，y2)OAOBx1x2y1y2(ky11)(ky21)y1y2k2y1y2k(y1y2)1y1y24k24k2143.OAOB是一個定值能力提升題組(建議用時：25分鐘)一、選擇題x2y21已知雙曲線C1：a2b21(a0，b0)的離心率為2.若拋物線C2：x22py(p0)的焦點(diǎn)到雙曲線C1的漸近線的距離為2，則拋物線C2的方程為()83163Ax23yBx23yCx28yDx216yx2y2解析a2b21的離心率為2，cc2a2

22、b2ba2，即a2a24，a3.px2y2b由題意，得p22，1(3)2p8.故C2：x216y，選D.答案D2(2014洛陽統(tǒng)考)已知P是拋物線y24x上一動點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線l：2xy30和y軸的距離之和的最小值是()A.3B.5C2D.51解析由題意知，拋物線的焦點(diǎn)為F(1,0)設(shè)點(diǎn)P到直線l的距離為d，由拋物線的定義可知，點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離為|PF|1，所以點(diǎn)P到直線l的距離與到y(tǒng)軸的距離之和為d|PF|1.易知d|PF|的最小值為點(diǎn)F到直線l的距離，故d|PF|的最小值為|23|22(1)25，所以d|PF|1的最小值為51.11，所以yA23.因?yàn)镻Al，所以yPyA23，代答案D二、

23、填空題x2y23(2014鄭州二模)已知橢圓C：431的右焦點(diǎn)為F，拋物線y24x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，P為拋物線上一點(diǎn)，PAl，A為垂足如果直線AF的傾斜角為120，那么|PF|_.解析拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為F(1,0)，準(zhǔn)線方程為x1.因?yàn)橹本€AF的傾斜角為120，所以tan120yA入y24x，得xA3，所以|PF|PA|3(1)4.答案4三、解答題4(2013遼寧卷)如圖，拋物線C1：x24y，C2：x22py(p0)點(diǎn)M(x0，y0)在拋物線C2上，過M作C1的切線，切點(diǎn)為A，B(M為原點(diǎn)O時，A，B重合于O)當(dāng)x012MA的斜率為2，所以A點(diǎn)坐標(biāo)為1，4，(2)設(shè)N(x，y)，Ax1，

24、4，Bx2，4，x1x2，1時，切線MA的斜率為2.(1)求p的值；(2)當(dāng)M在C2上運(yùn)動時，求線段AB中點(diǎn)N的軌跡方程(A，B重合于O時，中點(diǎn)為O)x解(1)因?yàn)閽佄锞€C1：x24y上任意一點(diǎn)(x，y)的切線斜率為y2，且切線1111故切線MA的方程為y2(x1)4.因?yàn)辄c(diǎn)M(12，y0)在切線MA及拋物線C2上，11322于是y02(22)44，(12)2322y02p2p.由得p2.1x2x22.由N為線段AB中點(diǎn)知xx1x2x21x228.y2(xx1)4，y2(xx2)4.所以x1x26.y切線MA，MB的方程為x1x21x2x22由得MA，MB的交點(diǎn)M(x0，y0)的坐標(biāo)為xxxx1x0122，y042.2因?yàn)辄c(diǎn)M(x0，y0)在C2上，即x04y0，x21x2因此AB中點(diǎn)N的軌跡方程為xy.24由得x23y，x0.4當(dāng)x1x2時，A，B重合于原點(diǎn)O，AB中點(diǎn)N為O，坐標(biāo)滿足x23y.43