《六年級下冊數學試題-小升初數學思維拓展第21講容斥原理》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《六年級下冊數學試題-小升初數學思維拓展第21講容斥原理（15頁珍藏版）》請在裝配圖網上搜索。

1、一，知識地圖容斥原理內容小升初數學思維拓展第21講容斥原理二者關系分類三者關系內容韋恩圖公式求總數，三項都參加，三項都不參加的基本計算題型求一項參加，兩項參加的-方程法求多項未知-方程法求只參加一項，只參加二項的-間接計算正方形與圖形結合圓形整除與其他知識相結合與數論知識結合最簡真分數平方數，立方數奇偶數算術法方程法最值問題三次都會最大最小會兩次最大最小與排列組合結合電燈開關應用題型報數轉身其他題型圖形法表格法二，基礎知識趣題導引：有一次，學而思小升初培訓部進行數學和英語模擬測試，全體學員的考試成績統計出來后，周老師在班上向同學報告所有學員的考試情況。周老師說：“這次考試成績比上一次有了很大的

2、提高，說明同學們在這一段時間內非常認真地學習了學而思的課程，有我們老師的功勞，但更重要的是你們的努力，希望下一次考試可以更上一層樓。我們全體六年級學員有1106人，其中數學成績90分以上的有542人，英語成績90分以上的有479人，數學和英語成績都考90分以上的有256人，數學和英語成績都在90分以下的有350人，希望這部分同學可以奮起直追，加倍努力，爭取在下一次考試中也都可以拿到90分以上的好成績?！薄爸芾蠋煹脑拕傉f完，其中一個同學小明就舉手說：“老師，您的統計數據有問題，至少有一個人數是不對的?！敝芾蠋熀軓娜莸幕卮鹫f：沒錯，小明同學說得很對，確實有一個數據我故意說錯的，就看大家能不能反應出

3、來，你們知道是為什么嗎？”于是大家都熱烈討論了起來，同學們，你們知道小明是如何很快又肯定的說有一個數據老師說錯了嗎？要想知道答案，先學好下面的內容了?。ㄒ唬┤莩庠斫榻B本章節(jié)的主要內容是解決涉及包含與排除關系的計算題與應用題，運用到的一個基本原理稱為容斥原理，下面我們將容斥原理的內容介紹給大家，由于容斥原理中涉及的各部分之間的關系非常的微妙，希望同學可以仔細學習，細心體會。1、兩者容斥原理圖形與公式首先討論兩者之間的包含與排除關系，我們先來看一個例子，一個班級上有同學數學及格，有同學語文及格，有同學兩門功課都及格，還有同學兩門功課都不及格，那么它們的人數關系可以用右圖表示：從圖中我們可以看出它

4、們之間的關系，即：（數學及格人數+語文及格人數-都及格人數）+都不及格人數=全班人數大家知道為什么要減都及格人數嗎？這是因為數學及格人數和語文及格人數里面都包含了兩門都及格的人數，這樣兩門都及格人數就重復計算兩次，所以要減去一次?？偨Y為一般規(guī)律，我們可以用公式來表示：S=（A+B-AB）+D=AB+D（字母含義：AB-既屬于A、又屬于B的元素；AB-屬于A，B中任何一個的元素；D-既不屬于A、又不屬于B的元素。）這就是二者容斥原理的一般表達形式，圖形表達（我們稱之為韋恩圖）如圖所示。2、三者容斥原理圖形與公式三者的容斥原理韋恩圖如圖所示，我們可以總結出三者容斥原理的一般公式形式為：S=（A+B

5、+C-AB-BC-CA+ABC）+D=ABC+D（字母含義：S-全部元素AB-既屬于A、又屬于B的元素；BC-既屬于B、又屬于C的元素；CA-既屬于C、又屬于A的元素；ABC-既屬于A、又屬于B、又屬于C的元素；D-既不屬于A、又不屬于B、也不屬于C的元素；ABC-屬于A，B，C的全部元素。）討論：AB，BC，CA同時包含于兩個集合里面，各多加一次，所以應該各減去一次，那么為什么還要再加上ABC呢？原來這是因為A，B，C，AB，BC，CA六個集合里面都包含了ABC，所以ABC被加了三次，又減了三次，這樣就相當于沒加沒減，所以應該再加上一次ABC。上面兩個韋恩圖與兩個公式就是容斥原理的全部內容，

6、希望同學們可以結合圖形與公式進行記憶。（二）容斥原理考察題型的一般形式1、基本計算題型：（1）求全部元素S，直接套用公式。（2）求屬于三集合元素項：ABC=A+B+C-AB-BC-CA+ABC（3）求不屬于三集合元素項D，可以利用兩種公式變形：D=S（ABAB）（兩者）D=S（ABCABBCCAABC）（三者）（4）求一集合元素或二集合元素中的一項（如A，AB等），利用公式變形比較麻煩，我們采用方程法：設所求部分為x，利用公式原型列出方程，解出未知數。（5）多項未知，則必須用方程法，設其中一項為x，表示出其他各項，利用公式原型列出方程，解出未知數。（6）求其他間接項，一般先求出相關部分項，再進

7、行組合與排除。一般可能有以下幾種情況：1，只屬于某集合元素。如：只屬于A元素=AABCAABC；2，只屬于一集合全部元素=ABCAB2BC2CA2+ABC3；3，只屬于某二集合元素：如只屬于A，B元素=AB-ABC；4，只屬于二集合全部元素=AB+BC+CA-ABC3；5，至少屬于二集合全部元素=AB+BC+CA-ABC2等。同學們可以自己結合韋恩圖進行總結。2、與其他知識點相結合題型（1）與圖形相結合求總面積：逐一求出公式中對應各部分面積，套用公式或列出方程。（2）與數論中倍數知識相結合：詳見例題5。（3）與分數知識相結合，可轉化為（2）中題型，詳見例題6。（4）與數論中平方，立方數知識相結

8、合，利用估算法，詳見拓展訓練2。（5）與最值問題相結合：公式中某項的最大最小問題，采用方程分析法和極端假設法，詳見例題8，9。3、應用題型（1）關于電燈開關題型：電燈被拉奇數次改變開關狀態(tài)，被拉偶數次不改變開關狀態(tài)。弄清楚所要求項的具體含義及所對應韋恩圖部分，先求出公式中相關項，利用間接法求出，請結合題型1（6）中公式進行。詳見例題7。（2）關于報數轉身題型：轉身奇數次改變方向，轉身偶數次不改變方向。與電燈開關題型思路一致。4、其他題型當題目中不涉及重復部分的計算或者已知條件不是容斥原理中相關項時，可能不需要利用容斥原理公式進行計算，但必須畫出韋恩圖或者自己設計表格進行分析，必須讓各部分關系直

9、觀清晰，詳見拓展訓練9。如一種常用的的表格形式為：一班二班三班總數男生一班男生二班男生三班男生男生總數女生一班女生二班女生三班女生女生總數總數一班總數二班總數三班總數所有總數趣題解析：學完容斥原理的知識后，同學們是不是可以解釋開篇趣題中小明的問題了呢？原來小明在周老師報完四個人數后很快的心算了一下，發(fā)現不符合容斥原理的數量關系，所以才說數據有問題。根據容斥原理的公式，全體學員人數應該是（542+479-256）+350=1115，而周老師又說全體學員人數為1106人，所以前后矛盾，其中肯定至少有一個數據是不對的，同學們，你們學會了嗎？如果覺得很有意思，就繼續(xù)往下做題吧！三、經典透析【例1】（）

10、志誠中學5年級有200名學生踴躍申報學而思各學科培訓班，已知申報奧數班的學生有140人，申報英語班的學生有120人，申報科技班的學生有60人，參加奧數和英語班的學生有60人，申報奧數和科技班的學生有40人，申報英語班和科技班的學生有30人，那么有多少人三個班都報了？審題要點：此題為涉及三者關系的容斥原理典型題型，大家先復習一下三者關系容斥原理的“韋恩圖”與計算公式，根據條件對應逐一填入，然后直接運用公式將未知求出。詳解過程：解：畫出韋恩圖，將相應人數填入，只有三個班都報的同學未知，設為x人，根據容斥原理公式列出方程：140+120+60604030+x=200，解出x=10，所以共有10人三個

11、班都報了。專家點評：此題中由于是三個班都報的同學未知，所以也可以不列方程，將公式變形用算術方法直接算出，200（140+120+60604030）=10（人）。差別不大，同學們注意體會其中關系?！纠?】（）火星小學四年級有45人參加了慰問堅守在青年宮、防洪紀念塔、九站三個地段抗洪的解放軍叔叔的活動，去過青年宮慰問的有19人，去過防洪紀念塔的有18人，去過九站的有16人；去過青年宮、防洪紀念塔兩處的有7人，去過青年宮、九站兩處的有6人，去過防洪紀念塔、九站兩處的有5人；有3人三處都去過；其余的在校準備慰問品，請問準備慰問品的有多少人？審題要點：此題也為涉及三者關系的容斥原理典型題型，題目中未知數

12、為沒有參加任何一項慰問活動的同學，可以列方程算出，也可以直接對公式變形用算術法算出。詳解過程：解：方程法：畫出韋恩圖，將相應人數填入，設在校準備慰問品的人數為x，根據公式直接列出方程為（19+18+16-7-6-5+3）+x=45，解出x=7，所以準備慰問品的人數為7人。算術法：直接將公式變形，可求得準備慰問品人數為45-（19+18+16-7-6-5+3）=7（人）。專家點評：對于求三者都參加或者三者都不參加的部分，用方程法與算術法差別不大，但是對于求只參加一項或參加兩項的部分，建議最好用方程，因為在公式變形中很容易出現符號的變形錯誤，請看例題3。（【例3】）某校五年級有120名學生，訂故事

13、大王的有85人，訂兒童漫畫的有90人，訂優(yōu)秀作文選的有70人，同時訂故事大王和優(yōu)秀作文選的有62人，同時訂兒童漫畫和優(yōu)秀作文選的有46人，同時訂這三種雜志的有21人，此外，還有5名學生沒有訂任何雜志，問：恰好只訂了故事大王和兒童漫畫的有多少人？審題要點：此題與前兩題類型相同，也為涉及三者關系的容斥原理典型題型，題目中未知數為只訂故事大王和兒童漫畫的人數，所以建議使用方程法解出。注意題目中要求的是只訂故事大王和兒童漫畫的人數，而不是訂了故事大王和兒童漫畫的人數，所以應該先求出訂了故事大王和兒童漫畫的人數，然后再減去三項都訂的人數即可。詳解過程：解：設同時訂故事大王和兒童漫畫的有x人，根據公式原型

14、列出方程為：120-85-90-70+62+46+x-21=5，解得x=43所以，只訂故事大王和兒童漫畫的人數為43-21=22人。專家點評：1，此題中未知的是參加兩項的人數，所以不易用將公式變形用算術方法求出，而應該列出方程，這樣數據關系更清晰。2，注意題目要求的是只訂故事大王和兒童漫畫的人數，這不是容斥原理公式中涉及的部分，所以不能直接求出，而應該根據韋恩圖中的關系間接求出?！纠?】（）五年級三班有46名學生參加三項課外活動，其中24人參加了繪畫小組，20人參加了合唱小組，參加朗誦小組的人數是既參加繪畫小組又參加朗誦小組人數的3.5倍，又是三項活動都參加人數的7倍，既參加朗誦小組又參加合唱

15、小組的人數相當于三項都參加人數的2倍，既參加繪畫小組又參加合唱小組的有10人，求參加朗誦小組的人數。審題要點：此題與前三題類型相同，也為涉及三者關系的容斥原理典型題型，題目中不止一項未知數，但是各項未知數之間具有倍數關系，所以應該用方程法解答。詳解過程：解：觀察發(fā)現三項都參加的人數最少，所以設其為x，那么參加朗誦小組的人數為7x，既參加繪畫小組又參加朗誦小組人數為2x，既參加朗誦小組又參加合唱小組的人數也為2x，畫出韋恩圖，根據公式列出方程：46=24+20+7x-2x-2x-10+x解出x=3所以參加朗誦小組的人數為7x=21人。專家點評：1，此題不能直接利用公式變形算術方法算出，必須列出方

16、程。2，列方程解應用題時x的選擇并不一定是題目所求，而應該是所有未知量中較小值，這樣其他未知量就比較好表示出，否則方程中出現分數或除法，不利于方程的解答?！纠?】（）在1到2004的所有自然數中，既不是2的倍數，也不是3、5的倍數的數有多少個？審題要點：此題為容斥原理與數論知識相結合的一類典型題型，首先要糾正一種非常錯誤的方法：即用全部數分別減去2，3和5的倍數個數即得到答案。錯誤原因是2，3，5的倍數之中有很多重復的部分，所以應該利用容斥原理的基本原理，畫出韋恩圖，根據公式計算。詳解過程：解：1，畫出韋恩圖，首先計算各集合部分的個數：2的倍數個數：20042=1002，3的倍數個數：2004

17、3=668，5的倍數個數：20045=4004，2，再計算各重復部分的個數：同時是2和3的倍數，即是6的倍數個數：20046=334同時是2和5的倍數，即是10的倍數個數：200410=2004同時是3和5的倍數，即是15的倍數個數：200415=1339同時是2，3，5的倍數，即是30的倍數個數：200430=66243，根據公式變形可得不是2、3、5的倍數個數為：2004-（1002+668+400-334-200-133+66）=535。專家點評：1，由于有些數可能同時是2，3，5的倍數，所以應該考慮聯系到容斥原理的運用，因為容斥原理的主要功能就是解決有關重復內容的原理。2，同時是幾個數

18、的倍數，那么就是這幾個數的最小公倍數的倍數?！纠?】（）分母是385的最簡真分數有多少個？審題要點：由于分母385=5711，要求分數為最簡真分數，所以分子不能是5、7、11的倍數。此題即轉化為求1385中不是5、7、11的倍數的個數，和上一題完全類似，采取一樣的解題思路與步驟。詳解過程：解：1，畫出韋恩圖，首先計算各部分的個數：5的倍數個數：3855=777的倍數個數：3857=5511的倍數個數：38511=35同時是5和7的倍數即是35的倍數個數：38535=11同時是5和11的倍數即是55的倍數個數：38555=7同時是7和11的倍數即是77的倍數個數：38577=5同時是5，7，11

19、的倍數即是385的倍數個數：385385=12，根據公式變形，可得不是5、7、11的倍數個數為：385-（77+55+35-11-7-5+1）=240。所以分母是385的最簡真分數有240個。專家點評：此題也為容斥原理與數論知識相結合的一類典型題型，首先需要了解的知識點是最簡真分數的特點，即分子與分母必須為互質關系，也即是分子不能是分母質因數的倍數，得出解題思路。另外，本題還可以用中國剩余定理和乘法原理來解決。需要尋找1385中不被5、7、11中任何一個數整除的個數。被5除的余數有14，共4種；被7除的余數有16，共6種；被11除的余數有110，共10種；根據中國剩余定理，對于任何一種余數組合

20、，1385中必存在唯一的數滿足。所以，根據乘法原理，1-385中不被5、7、11中任何一個數整除的個數為4610=240?！纠?】（）有2000盞亮著的電燈，各有一個拉線開關控制著，現按其順序編號為1，2，3，2000，然后將編號為2的倍數的燈線拉一下，再將編號為3的倍數的燈線拉一下，最后將編號為5的倍數的燈線拉一下，三次拉完后，亮著的燈有多少盞？審題要點：此題與前兩題一樣，涉及數論中倍數關系的容斥原理應用題型，解題思路完全一樣，但是要注意最后要求的部分不一樣，必須利用間接計算法進行簡單的分解與組合。詳解過程：解：1、首先分析最后要求的部分含義是什么。電燈原來亮著，要求三次拉完之后還是亮著，則

21、燈被拉的次數必須為偶數，即可能是一次都沒被拉，也可能是只被拉兩次的。所以最后的答案應該是兩部分之和。2、進行各部分的計算：2的倍數個數：20002=1000；3的倍數個數：20003=6662；5的倍數個數：20005=400；6的倍數個數：20006=3332；10的倍數個數：200010=200；15的倍數個數：200015=1335；30的倍數個數：200030=6620。3、根據公式變形，可得沒被拉一次的電燈盞數（不是2、3、5的倍數）為：2000-（1000+666+400-333-200-133+66）=534。只被拉兩次的電燈盞數（只是其中兩者的倍數）為：333+200+133-

22、663=468。所以最后亮著的燈的盞數為：534+468=1002。專家點評：1、此題首先要弄清楚是哪些燈最后還是亮著的，主要包括兩部分的燈：一次都沒拉和只拉了兩次的。2、只拉了兩次的燈數中不包括三次都拉了的燈數，所以計算時應該減去被拉三次燈數的三倍（因為多計算三次），請參考題型1（6）中的間接計算方法?！纠?】（）圖書室有100本書，借閱圖書者需要在圖書上簽名。已知這100本書中有甲、乙、丙簽名的分別有33、44和55本，其中同時有甲、乙簽名的圖書29本，同時有甲、丙簽名的圖書為25本，同時有乙、丙簽名的圖書為36本。問這批圖書中最少有多少本沒有被甲、乙、丙中的任何一人借閱過？審題要點：此題

23、屬于容斥原理與最值問題相結合題型，公式中只有兩項未知：沒被任何人借閱過的和同時被三人借閱過的數目，一項的最值取決于另一項的取值，采用方程法分析。詳解過程：解：題目中未知項有兩項，沒被任何人借閱過的和同時被三人借閱過的，分別設為x，y，根據公式列出不定方程為：100=（33+44+55-29-25-36+y）+x，化簡為：x+y=58要使x值取最少，那么y值應該盡量大，由韋恩圖可看出y包含于三集合29，25，36中，所以y的最大值應該是25，此時x=33，即最少有33本沒有被甲乙丙中的任何一人借閱過。專家點評：1，由于只有兩項未知數，所以可以用方程法進行分析，如果未知數多于兩個，則不宜用方程法，

24、下一題即是此種情況。2，應該用包含的原理得出其中項的最大值或最小值。若A包含B，那么B的最大值為A，A的最小值為B，如：某班數學成績滿分人數為15，那么數學語文成績均滿分的人數最大為15，反之若數學語文成績均滿分的人數為5，那么語文成績滿分的人數最少為5人?！纠?】（）甲、乙、丙同時給100盆花澆水。已知甲澆了78盆，乙澆了68盆，丙澆了58盆，那么3人都澆過的花最少有多少盆？審題要點：此題與上題類似，屬于容斥原理與最值問題相結合題型，但是題目已知條件太少，公式中未知項有5項，所以不好直接用方程法分析出最后答案。采用極端假設法進行分析。詳解過程：解：因為題目所求為3人都澆過的花最少為幾盤，那么

25、意思就是我們應該讓3人澆過的花盡量分散，即每人盡量不要澆其他人澆過的花，采用極端假設法即假設每人都首先選擇澆其他人沒澆過的花。首先考慮甲和乙，甲澆了78盆，沒澆100-78=22盆，那么乙應該先澆甲沒澆的22盆，剩下的只能選擇甲已經澆過的68-22=46盆，這樣兩人都澆過的有46盆，只有一人澆過的有100-46=54盆。再考慮丙，丙應該先選擇澆只有一個人澆過的54盆，剩下的只能選擇兩人都澆過的58-54=4盆，這樣三人都澆過的為4盆，其他盆均為至多兩人澆過的。所以，3人都澆過的花最少有4盆。專家點評：1，題目中所給條件太少，很難用二元方程的常規(guī)方法分析，所以選擇用極端假設法。2，運用極端假設法

26、時，必須隨時滿足題目要求的最值條件，這里應該要強調掌握從反面角度考慮問題的思路。不能怎么樣，那么我們就應該怎么樣；要怎么樣，那么我們就不能怎么樣。3，滿足最值條件的假設結論即是我們要求的最值結論。4，此題也有另外的多元方程分析法。多元方程知識點基礎比較好的同學可以參考使用：另解：如果從整體考慮，三個人一共澆了78+68+58=204（盆）花，如果設被澆次數為1、2、3次的花盆數分別為a、b、c，那么可以得到以下兩條等式：ab+c=100a+2b+3c=204-2，得到：c4+a。因為a0，所以c4，所以被3個人都澆過的花至少有4盆。四、拓展訓練1、邊長為6、5、2的三個正方形，如圖所示，求它們

27、的蓋住部分的面積。2、在1到1000的自然數中，既不是平方數也不是立方數的數有多少個？3、求在1100的自然數中不是5的倍數也不是6的倍數的數有多少個？4、某校有28名學生參加市運動會，參加跑步類項目的有15人，參加跳類項目的有13人，參加投擲類項目的有14人，既參加跑又參加跳項目的有4人，既參加跑又參加投擲項目的有6人，既參加跳又參加投擲項目的有5人，三種項目都參加的有2人，試說明：這個報名表有誤。5、以1001為分母的最簡真分數共有多少個？6、學而思六年級競賽班有50人，共有三個科技興趣小組：天文、無線電和計算機，參加天文組的有38人，參加無線電組的有35人，參加計算機組的有31人，既參加

28、天文組又參加無線電組的有29人，既參加天文組又參加計算機組的有28人，既參加無線電又參加計算機組的有26人，三個小組都參加的有24人，試求三個小組都沒有參加的人數。7、不超過201的自然數中，至少有兩個數字相同的奇數有多少個？8、某科室有12人，其中6人會英語，5人會俄語，5人會日語，有3人既會英語又會俄語，有2人既會俄語又會日語，有2人既會英語又會日語，有1人英、日、俄這三種語言全會，只會一種外語的人比一種外語也不會的人多多少人？9、（1）48人中無弟弟的有38人，有弟弟無妹妹的有8人，無弟弟有妹妹的人數是有弟弟有妹妹人數的2倍，試問：這48人當中是獨生子女的有幾個？（2）學而思舉行各年級學

29、生畫展，其中18幅不是六年級的，20幅不是五年級的，現在知道五、六年級共展出22幅畫，問：其他年級共展出多少幅畫？8、如圖，5條同樣長的線段拼成了一個五角形。如果每條線段上恰有1994個9、點被染成紅色，那么在這個五角形上紅色點最少有多少個？初級點撥：1、直接利用三者容斥原理的公式進行計算，首先應該分別算出各相應部分面積。2、直接利用二者容斥原理的公式進行計算，首先應該分別算出各相應部分個數。3、此題為兩者關系的容斥原理與數論倍數相結合題型，求出各部分個數，利用公式計算。4、可以根據其他數據計算學生總人數，看是否等于已知條件，利用容斥原理公式。5、此題為容斥原理與數論知識的結合考察，先分解質因

30、數1001=71113，所以分子不能是7，11，13的倍數。6、容斥原理基本題型，直接利用公式，可列出方程，也可進行公式變形。7、此題較為復雜，是容斥原理與排列組合知識的綜合題型。首先按數位分兩大類：兩位數與三位數。兩位數中：只有5個（11、33、55、77、99）符合條件。三位數的個數必須利用容斥原理公式計算。8、此題為基本計算題，一種外語也不會的人可以直接利用公式變形算出，只會一種外語的人數應該要用間接法求出。9、（1）此題可以設計表格進行分析。有妹妹無妹妹總和有弟弟無弟弟總和（2）此題屬于容斥原理里面的特殊題型，含有否定的已知部分，應該轉化為肯定的部分數據，畫出韋恩圖，然后列出方程進行解

31、答。10、此題屬于容斥原理與最值問題相結合題型，由于未知條件僅為紅色點總數和重復點總數，應該用方程法分析。深度提示：1、三正方形面積分別為55=25，66=36，22=4，兩兩重復部分面積分別為33=9，12=2，12=2，三正方形均重復的部分面積為11=1，然后直接套用公式。2、1-1000中，3121000322，所以平方數個數為31。、103=1000，所以立方數個數為10。、即是平方數也是立方數則應該是六次方數，36100046，所以個數為3。然后直接套用公式。3、5的倍數個數：1005=20；6的倍數個數：1006=164；30的倍數個數：10030=310。要求不是5，6的倍數，可

32、利用公式變形。4、直接計算總人數為15+13+14-4-6-5+2=29人。5、計算各部分個數：7的倍數有143個，11的倍數有91個，13的倍數有77個，711的倍數有13個，137的倍數有11個，1113的倍數有7個，只有1001是7、11、13的倍數，套用公式。6、方程法：（38+35+31-29-28-26+24）+x=507、三位數中的個數計算：至少兩個數字相同的反面是三個數字都不相同，奇數的反面是偶數，所以設計韋恩圖為：可看出外圍部分即為所求至少有兩個數字相同的奇數。根據乘法原理：三個數字都不相同的數字個數為98=72，偶數有50個，三個數字都不相同的偶數為58=40個，套用公式。

33、8，根據題型1（6）中公式介紹可知只會一種外語的人數為：6+5+5-（3+2+2）2+13=5。9，（1）根據條件將數據填入表格：有妹妹無妹妹總和有弟弟x8無弟弟2x38總和48根據韋恩圖，18幅不是六年級的，即A+C=18，20幅不是五年級的，即B+C=20，又五六年級共22幅圖，即A+B=22。聯立三方程，解出未知數。10、設總點數為x，重復點數為y，根據公式有x=19945-y，化簡為x=9970-y，要求x為最少，對y進行分析。全解過程：1、根據三者容斥原理公式，覆蓋總面積為25+36+4-9-2-2+1=53。2、根據公式得不是平方數也不是立方數的個數是：1000（31+10-3）=

34、962。3、公式變形為：100-（20+16-3）=67即不是5，6倍數的數有67個。4、因為已知條件為28人，所以相互矛盾，報表有誤。5、根據公式計算：最簡真分數個數為1001-（143+77+91-7-13-11+1）=720?；蛘撸海?-1）（11-1）（13-1）=720。6、初級點撥：容斥原理基本題型，可列出方程，也可進行公式變形。深度提示：方程法：（38+35+31-29-28-26+24）+x=50全解：解方程得x=5，也可利用公式變形：50-（38+35+31-29-28-26+24）=5人7、初級點撥：此題較為復雜，是容斥原理與排列組合知識的綜合題型。首先按數位分兩大類：兩位

35、數與三位數。兩位數中，只有5個（11、33、55、77、99）符合要求。深度提示：三位數中的個數計算：至少兩個數字相同的反面是三個數字都不相同，奇數的反面是偶數，所以設計韋恩圖為：可看出外圍部分即為所求至少有兩個數字相同的奇數。根據乘法原理：三個數字都不相同的數字個數為98=72，偶數有50個，三個數字都不相同的偶數為58=40個。全解：根據公式，可知三位數中至少有兩個數字相同的奇數為100-（72+50-40）=18。所以不超過201的自然數中，至少有兩個數字相同的奇數有18+5=23個。8、初級點撥：此題為基本計算題，一種外語也不會的人可以直接利用公式變形算出，只會一種外語的人數應該要用間

36、接法求出：深度提示：根據題型1（6）中公式介紹可知只會一種外語的人數為：6+5+5-（3+2+2）2+13=5全解：根據公式變形可知一種外語也不會的人數為12-（6+5+5-3-2-2+1）=2所以只會一種外語的人比一種外語也不會的人多5-2=3（人）。另解：用分塊計數法如下圖可知，只會一種外語的有2+2+1=5人，一種也不會的有2人。所求答案是5-2=3人。英語2俄語211112日語2有妹妹無妹妹總和有弟弟無弟弟9、（1）初級點撥：此題可以設計表格進行分析。總和深度提示：根據條件將數據填入表格：有妹妹無妹妹總和有弟弟x8無弟弟2x38總和48全解：根據數據關系將表格補充完整：有妹妹無妹妹總和

37、、A=48-38=10、x=A-8=2、y=38-2x=34有弟弟x=28A=10y為無弟弟無妹妹即是獨生子女，所以獨生子女有34個。無弟弟2x=4y=3438總和64248初級點撥：此題屬于容斥原理里面的特殊題型，含有否定的已知部分，應該轉化為肯定的部分數據，畫出韋恩圖，然后列出方程進行解答。深度提示：根據韋恩圖，18幅不是六年級的，即A+C=18，20幅不是五年級的，即B+C=20，又五六年級共22幅圖，即A+B=22，解出未知數。全解：三式全部相加可得：A+B+C=（18+20+22）2=30，所以其他年級的畫數為30-22=8。10、初級點撥：此題屬于容斥原理與最值問題相結合題型，由于未知條件僅為紅色點總數和重復點總數，應該用方程法分析。深度提示：設總點數為x，重復點數為y，根據公式有x=19945-y，化簡為x=9970-y，要求x為最少，對y進行分析。全解過程：要使x最少，y應該盡量大，五角星中線段與線段之間一共十個點，所以重復點數最多為10個，所以x最少為9970-10=9960，即紅色點最少有9960個。