《六年級(jí)奧數(shù) 濃度問(wèn)題講義》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《六年級(jí)奧數(shù) 濃度問(wèn)題講義（26頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、六年級(jí)奧數(shù) 濃度問(wèn)題講義 一、專(zhuān)題引導(dǎo)：什么是濃度呢？（以糖水為例，將糖溶于水中得到糖水，這里糖叫溶質(zhì)，水叫溶劑，糖水叫溶液。）三者之間關(guān)系：濃度 100 100二、典型例題例1、有濃度為30的酒精溶液若干，添加了一定數(shù)量的水后稀釋成濃度為24的酒精溶液，如果再加入同樣的水，那么酒精溶液的濃度變?yōu)槎嗌伲?思路導(dǎo)航：稀釋問(wèn)題是溶質(zhì)的重量是不變量。例2、有濃度為7的鹽水600克，要使鹽水的濃度加大到10，需要加鹽多少克？ 思路導(dǎo)航：溶劑重理不變。練習(xí)海水中鹽的含量為5，在40千克海水中，需加多少千克淡水才使海水中鹽的含量為2？例3、在濃度為50的硫酸溶液100千克中，再加入多少千克濃度為5的硫酸溶

2、液，就可以配制成濃度為25的硫酸溶液？ 思路導(dǎo)航：混合前兩種溶液中所含溶質(zhì)的重量、溶劑的重量、溶液的重量分別等于混合后溶液中所含溶質(zhì)的重量、溶劑的重量、溶液的重量。練習(xí)配制硫酸含量為20的硫酸溶液1000克，需要用硫酸含量為18和23的硫酸溶液各多少克？例4、從裝滿100克濃度為80的鹽水杯中倒出40克鹽水，再用清水將杯加滿；再倒出40克鹽水，然后再用清水將杯加滿，如此反復(fù)三次后，杯中鹽水的濃度是多少？思路導(dǎo)航：反復(fù)三次后，杯中又已裝滿，即最后杯中鹽水的重量仍為100克，由此；問(wèn)題的關(guān)鍵是求出如此反復(fù)三次后還剩鹽多少克？練習(xí)有鹽水若干升，加入一定量水后，鹽水濃度降到3，又加入同樣多的水后,鹽水

3、濃度又降到2,再加入同樣多的水,此時(shí)濃度是多少呢?又問(wèn)未加入水時(shí)鹽水濃度是多少?有含糖6的糖水900克,要使其含糖量加大到10,需加糖多少克?比 和 比 例 應(yīng) 用 題例4、乘坐某路汽車(chē)成年人票價(jià)3元，兒童票價(jià)2元，殘疾人票價(jià)1元，某天乘車(chē)的成年人、兒童和殘疾人的人數(shù)比是50:20:1，共收得票款26740元，這天乘車(chē)中成年人、兒童和殘疾人各有多少人？思路導(dǎo)航:單價(jià)比:成年人:兒童:殘疾人=3:2:1 人數(shù)比:50:20:1練習(xí)甲乙兩人走同一段路，甲要20分鐘，乙要15分鐘，現(xiàn)在甲、乙兩人分別同時(shí)從相距840米的兩地相向而行，相遇時(shí)，甲、乙各走了多少米？例5、“希望小學(xué)”搞了一次募捐活動(dòng)，她們

4、用募捐所得的錢(qián)購(gòu)買(mǎi)了甲、乙、丙三種商品，這三種商品的單價(jià)分別為30元、15元和10元。已知購(gòu)得的甲商品與乙商品的數(shù)量之比為5:6，乙商品與丙商品的數(shù)量之比為4:11，且購(gòu)買(mǎi)丙商品比購(gòu)買(mǎi)甲商品多花了210元。 思路導(dǎo)航:根據(jù)已知條件可先求三種商品的數(shù)量比。練習(xí)一種什錦糖是由酥糖、奶糖和水果糖按5:4:3的比例混合而成，酥糖、奶糖和水果糖的單價(jià)比是11:8:7,要合成這樣的什錦糖120千克，什錦糖每千克32.4元，混合前的酥糖每千克是多少元？例6、A、B、C是三個(gè)順次咬合的齒輪。當(dāng)A轉(zhuǎn)4圈時(shí)，B恰好轉(zhuǎn)3圈；當(dāng)B轉(zhuǎn)4圈時(shí)，C恰好轉(zhuǎn)5圈，問(wèn)這三個(gè)齒輪的齒數(shù)的最小數(shù)分別是多少？ 思路導(dǎo)航:根據(jù)已知條件可

5、知A、B、C轉(zhuǎn)速與齒數(shù)的積都相等，即它們的轉(zhuǎn)速與齒數(shù)成反比例。練習(xí) P39-6鞏 固:1、甲、乙、丙三個(gè)平行四邊形的底之比是4:5:6，高之比是3:2:1，已知三個(gè)平行四邊形的面積和是140平方分米，那么甲、乙、丙三個(gè)平行四邊形的面積各是多少？2、甲、乙、丙三個(gè)三角形的面積之比是8:9:10，高之比是2:3:4，對(duì)應(yīng)的底之比是多少？3、某校四、五年級(jí)參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽的人數(shù)相等，四年級(jí)獲獎(jiǎng)人數(shù)與未獲獎(jiǎng)人數(shù)的比是1:4，五年級(jí)獲獎(jiǎng)人數(shù)與未獲獎(jiǎng)人數(shù)的比是2:7；兩個(gè)年級(jí)中獲獎(jiǎng)與未獲獎(jiǎng)人數(shù)的比是多少？4、盒子里共有紅、白、黑三種顏色的彩球共68個(gè)，紅球與白球個(gè)數(shù)的比是1:2，白球與黑球個(gè)數(shù)的比是3:4，紅

6、球有多少個(gè)？六年級(jí)秋季班第一講 找規(guī)律、計(jì)數(shù) 家教班、基礎(chǔ)班作業(yè)1 將一個(gè)圓形紙片用直線劃分成大小不限的若干小紙片，如果要分成不少于50個(gè)小紙片，至少要畫(huà)多少條直線？請(qǐng)說(shuō)明理由。3 有多少個(gè)四位數(shù)，滿足個(gè)位上的數(shù)字比千位數(shù)字大、千位數(shù)字比百位數(shù)字大、百位數(shù)字比十位數(shù)字大？4 分子小于6，分母小于60的不可約真分?jǐn)?shù)有多少個(gè)？5 現(xiàn)在流行的變速自行車(chē)，在主動(dòng)軸和后軸分別安裝了幾個(gè)齒數(shù)不同的齒輪。用鏈條連接不同搭配的齒輪，通過(guò)不同的傳動(dòng)比獲得若干不同的車(chē)速。“希望牌”變速自行車(chē)主動(dòng)軸上有3個(gè)齒輪，齒數(shù)分別是48，36，24；后軸上有4個(gè)齒輪，齒數(shù)分別是36，24，16，12。問(wèn)：這種變速車(chē)一共有多少

7、檔不同的車(chē)速。6 一次考試五人的總分是423分，每人的分?jǐn)?shù)都是整數(shù)，并且各不相同。問(wèn)得分最少的人，最多得多少分？ 解析7 1、將一個(gè)圓形紙片用直線劃分成大小不限的若干小紙片，如果要分成不少于50個(gè)小紙片，至少要畫(huà)多少條直線？請(qǐng)說(shuō)明理由。解答：根據(jù)公式1 （注意：切分平面的是直線而不是圓），時(shí)，最多可將平面分成塊；時(shí)，最多可將平面分成塊，所以至少要畫(huà)10條直線。2、 解答：將分子和分母之和相等的分?jǐn)?shù)看作一組。每組分?jǐn)?shù)的個(gè)數(shù)恰好是自然數(shù)的排列：1，2，3分?jǐn)?shù)位于分子和分母之和為57的那一組的第40個(gè)，這一組為： 共56個(gè)分?jǐn)?shù)，這一組之前共有：1+2+3+55=（155）552=1540 15404

8、0=1580（個(gè)）3、有多少個(gè)四位數(shù)，滿足個(gè)位上的數(shù)字比千位數(shù)字大、千位數(shù)字比百位數(shù)字大、百位數(shù)字比十位數(shù)字大？解答：從09中選定4個(gè)數(shù)字即可確定唯一一個(gè)符合條件的四位數(shù)，例如0、7、3、1只能對(duì)應(yīng)3107，所以用組合數(shù)，10個(gè)數(shù)字選4個(gè)，即。4、分子小于6，分母小于60的不可約真分?jǐn)?shù)有多少個(gè)？解答：分子是1時(shí)，分母可取259，共58個(gè)分?jǐn)?shù)；分子是2時(shí)，分母可取60以內(nèi)除1以外的所有奇數(shù)，共30-1=29個(gè)；分子是3時(shí)，分母可取60以內(nèi)除了3的倍數(shù)以及1、2以外的所有數(shù)，共60-603-2=38個(gè)；分子是4時(shí)，分母可取60以內(nèi)除1、3以外的所有奇數(shù)，共28個(gè)；分子是5是，分母可取60以內(nèi)除了5

9、的倍數(shù)以及1、2、3、4以外的所有數(shù)，共60-605-4=44個(gè)；由上可知，符合條件的真分?jǐn)?shù)共計(jì)58+29+38+28+44=197個(gè)。5、現(xiàn)在流行的變速自行車(chē)，在主動(dòng)軸和后軸分別安裝了幾個(gè)齒數(shù)不同的齒輪。用鏈條連接不同搭配的齒輪，通過(guò)不同的傳動(dòng)比獲得若干不同的車(chē)速?！跋Ｍ啤弊兯僮孕熊?chē)主動(dòng)軸上有3個(gè)齒輪，齒數(shù)分別是48，36，24；后軸上有4個(gè)齒輪，齒數(shù)分別是36，24，16，12。問(wèn)：這種變速車(chē)一共有多少檔不同的車(chē)速解答：根據(jù)乘法原理，共有34=12種檔位，但是48:24=24:12，48:16=36:12，4=24:16，36:36=24:24，所以實(shí)際只有12-4=8種不同的車(chē)速。6、

10、一次考試五人的總分是423分，每人的分?jǐn)?shù)都是整數(shù)，并且各不相同。問(wèn)得分最少的人，最多得多少分？解答：得分最少的人比其余四人，至少分別要少1，2，3，4分所以最少得分要423（1234）5=82.6分 得分最少的人，最多得82分 提高班作業(yè)1、將一個(gè)圓形紙片用直線劃分成大小不限的若干小紙片，如果要分成不少于50個(gè)小紙片，至少要畫(huà)多少條直線？請(qǐng)說(shuō)明理由。2、 一個(gè)長(zhǎng)方形把平面分成兩部分，那么3個(gè)長(zhǎng)方形最多把平面分成多少部分？3、 有多少個(gè)四位數(shù)，滿足個(gè)位上的數(shù)字比千位數(shù)字大、千位數(shù)字比百位數(shù)字大、百位數(shù)字比十位數(shù)字大？4、 分子小于6，分母小于60的不可約真分?jǐn)?shù)有多少個(gè)？5、 現(xiàn)在流行的變速自行車(chē)

11、，在主動(dòng)軸和后軸分別安裝了幾個(gè)齒數(shù)不同的齒輪。用鏈條連接不同搭配的齒輪，通過(guò)不同的傳動(dòng)比獲得若干不同的車(chē)速?！跋Ｍ啤弊兯僮孕熊?chē)主動(dòng)軸上有3個(gè)齒輪，齒數(shù)分別是48，36，24；后軸上有4個(gè)齒輪，齒數(shù)分別是36，24，16，12。問(wèn)：這種變速車(chē)一共有多少檔不同的車(chē)速。6、 小明家住二層，他每次回家上樓梯時(shí)都是一步邁兩級(jí)或三級(jí)臺(tái)階。已知相鄰樓層之間有16級(jí)臺(tái)階，那么小明從一層到二層共有多少種不同的走法？ 解析1. 解析：根據(jù)公式1（注意：切分平面的是直線而不是圓），時(shí)，最多可將平面分成塊；時(shí)，最多可將平面分成塊，所以至少要畫(huà)10條直線。2. 解析：根據(jù)公式4，當(dāng)時(shí)，最多可將平面分成塊。3. 解析：

12、從09中選定4個(gè)數(shù)字即可確定唯一一個(gè)符合條件的四位數(shù)，例如0、7、3、1只能對(duì)應(yīng)3107，所以用組合數(shù)，10個(gè)數(shù)字選4個(gè)，即。4. 解析：分子是1時(shí)，分母可取259，共58個(gè)分?jǐn)?shù)；分子是2時(shí)，分母可取60以內(nèi)除1以外的所有奇數(shù)，共30-1=29個(gè)；分子是3時(shí)，分母可取60以內(nèi)除了3的倍數(shù)以及1、2以外的所有數(shù)，共60-603-2=38個(gè)；分子是4時(shí)，分母可取60以內(nèi)除1、3以外的所有奇數(shù)，共28個(gè)；分子是5是，分母可取60以內(nèi)除了5的倍數(shù)以及1、2、3、4以外的所有數(shù)，共60-605-4=44個(gè)；由上可知，符合條件的真分?jǐn)?shù)共計(jì)58+29+38+28+44=197個(gè)。5. 解析：根據(jù)乘法原理，共

13、有34=12種檔位，但是48:24=24:12，48:16=36:12，4=24:16，36:36=24:24，所以實(shí)際只有12-4=8種不同的車(chē)速。6. 解析：列表解題，第四個(gè)數(shù)=第一個(gè)數(shù)第二個(gè)數(shù)。臺(tái)階12345678910111213141516走法011122345791216212837 精英班作業(yè)1、 將一個(gè)圓形紙片用直線劃分成大小不限的若干小紙片，如果要分成不少于50個(gè)小紙片，至少要畫(huà)多少條直線？請(qǐng)說(shuō)明理由。2、 一個(gè)長(zhǎng)方形把平面分成兩部分，那么3個(gè)長(zhǎng)方形最多把平面分成多少部分？3、 有多少個(gè)四位數(shù)，滿足個(gè)位上的數(shù)字比千位數(shù)字大、千位數(shù)字比百位數(shù)字大、百位數(shù)字比十位數(shù)字大？4、 分

14、子小于6，分母小于60的不可約真分?jǐn)?shù)有多少個(gè)？5、 現(xiàn)在流行的變速自行車(chē)，在主動(dòng)軸和后軸分別安裝了幾個(gè)齒數(shù)不同的齒輪。用鏈條連接不同搭配的齒輪，通過(guò)不同的傳動(dòng)比獲得若干不同的車(chē)速?！跋Ｍ啤弊兯僮孕熊?chē)主動(dòng)軸上有3個(gè)齒輪，齒數(shù)分別是48，36，24；后軸上有4個(gè)齒輪，齒數(shù)分別是36，24，16，12。問(wèn)：這種變速車(chē)一共有多少檔不同的車(chē)速。6、 小明家住二層，他每次回家上樓梯時(shí)都是一步邁兩級(jí)或三級(jí)臺(tái)階。已知相鄰樓層之間有16級(jí)臺(tái)階，那么小明從一層到二層共有多少種不同的走法？ 解析1、 解析：根據(jù)公式1（注意：切分平面的是直線而不是圓），時(shí)，最多可將平面分成塊；時(shí)，最多可將平面分成塊，所以至少要畫(huà)1

15、0條直線。2、 解析：根據(jù)公式4，當(dāng)時(shí)，最多可將平面分成塊。3、 解析：從09中選定4個(gè)數(shù)字即可確定唯一一個(gè)符合條件的四位數(shù)，例如0、7、3、1只能對(duì)應(yīng)3107，所以用組合數(shù)，10個(gè)數(shù)字選4個(gè)，即。4、 解析：分子是1時(shí)，分母可取259，共58個(gè)分?jǐn)?shù)；分子是2時(shí)，分母可取60以內(nèi)除1以外的所有奇數(shù)，共30-1=29個(gè)；分子是3時(shí)，分母可取60以內(nèi)除了3的倍數(shù)以及1、2以外的所有數(shù)，共60-603-2=38個(gè)； 分子是4時(shí)，分母可取60以內(nèi)除1、3以外的所有奇數(shù)，共28個(gè)；分子是5是，分母可取60以內(nèi)除了5的倍數(shù)以及1、2、3、4以外的所有數(shù)，共60-605-4=44個(gè)；由上可知，符合條件的真分

16、數(shù)共計(jì)58+29+38+28+44=197個(gè)。5、 解析：根據(jù)乘法原理，共有34=12種檔位，但是48:24=24:12，48:16=36:12，4=24:16，36:36=24:24，所以實(shí)際只有12-4=8種不同的車(chē)速。6、 解析：列表解題，第四個(gè)數(shù)=第一個(gè)數(shù)第二個(gè)數(shù)。臺(tái)階12345678910111213141516走法011122345791216212837從算術(shù)到代數(shù)（一）算術(shù)與代數(shù)是數(shù)學(xué)中兩門(mén)不同的分科，但它們之間關(guān)系密切.代數(shù)是在算術(shù)中“數(shù)”和“運(yùn)算”的基礎(chǔ)上發(fā)展起來(lái)的.在小學(xué)算術(shù)課本里同學(xué)們由淺入深地學(xué)習(xí)了整數(shù)、小數(shù)和分?jǐn)?shù)的加、減、乘、除四則運(yùn)算，并學(xué)會(huì)了用這些四則運(yùn)算去解一

17、些不太復(fù)雜的四則應(yīng)用題.歸納一下，在用算術(shù)方法解應(yīng)用題時(shí)主要用到了以下三種關(guān)系：部分?jǐn)?shù)與總數(shù)的關(guān)系；兩數(shù)差的關(guān)系；一倍數(shù)（或一份數(shù)）、倍數(shù)和幾倍數(shù)的關(guān)系.第1、第2種關(guān)系用“加”、“減”法完成，第3種關(guān)系則用乘、除法完成.在解四則運(yùn)算題時(shí)用到了對(duì)于數(shù)的“加法”、“乘法”都普遍成立的運(yùn)算法則：交換律、結(jié)合律、分配律.設(shè)a、b、c表示任意三個(gè)數(shù)，下列等式恒成立：交換律：ab=b+a，ab=ba結(jié)合律：（a+b）+c=a+（bc） （ab）c=a（bc）分配律：a（b+c）ab+ac.另外，在用算術(shù)方法解應(yīng)用題時(shí)常按應(yīng)用題的性質(zhì)分為許多類(lèi)型.如：和倍問(wèn)題、差倍問(wèn)題、行程問(wèn)題、百分?jǐn)?shù)問(wèn)題、比例問(wèn)題、.

18、對(duì)每類(lèi)問(wèn)題先歸納出解決這類(lèi)問(wèn)題的方法、公式，并找出理由加以解釋?zhuān)僮鲞@類(lèi)題時(shí)就“套”這種公式.所以用算術(shù)方法解應(yīng)用題時(shí)，對(duì)不同類(lèi)型的題用不同的思路列式求解，解法就不同，因而用算術(shù)方法解應(yīng)用題是不帶普遍性的.代數(shù)方法的進(jìn)步首先在于找出了一個(gè)統(tǒng)一的方法，即用列“方程”來(lái)解很多不同類(lèi)型的應(yīng)用題.“方程”是代數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容之一.用方程來(lái)解應(yīng)用題時(shí)，首先是用一些簡(jiǎn)單的符號(hào)，通常用x，y，z，t，s，u，v等字母來(lái)表示問(wèn)題中待求的未知數(shù)，然后把這些未知數(shù)和已知數(shù)平等地看待，并把題目中的數(shù)量關(guān)系直接（平鋪直敘）“翻譯”為算式表示出來(lái).這就是所謂依題意列方程.接著是通過(guò)代數(shù)方程去確定其中所含未知數(shù)應(yīng)該等于什

19、么樣的值，即“解方程”.而解方程的原理就是對(duì)方程中的數(shù)，包括已知數(shù)和未知數(shù)，運(yùn)用在“算術(shù)”中學(xué)過(guò)的“數(shù)的運(yùn)算法則”把未知數(shù)求出來(lái).因?yàn)檫@些法則是對(duì)任何數(shù)都成立的，當(dāng)然對(duì)那些暫時(shí)還不知它的值的“未知數(shù)”也應(yīng)當(dāng)成立.只要適當(dāng)?shù)剡\(yùn)用這些法則，一般就可求出方程中的未知數(shù)的值.歸納起來(lái)用代數(shù)方法解應(yīng)用題的步驟如下：1.設(shè)未知數(shù).常用x，y，z，t，s，等字母表示.2.依題意列方程.即把所要解決的代數(shù)問(wèn)題中的未知量換成代表未知數(shù)的字母，把問(wèn)題中各種量間的關(guān)系“翻譯”為帶字母的算式表示出來(lái)，特別注意找出其中的相等關(guān)系.用兩個(gè)代數(shù)式表示同一個(gè)數(shù)量，列出一個(gè)方程.因此方程是含有未知數(shù)的等式.一般說(shuō)來(lái)，有n個(gè)相等

20、關(guān)系就能列出n個(gè)方程，當(dāng)然我們從中選取列方程與解方程時(shí)最方便的形式.3.解方程.目的是把原方程變成同解的形如axb的方程，進(jìn)而解出用分配律去括號(hào).而不一定能像算術(shù)中那樣先把括號(hào)中數(shù)算出來(lái).因?yàn)槠渲杏械氖俏粗獢?shù)算不出來(lái).如下例中的（1）變成（2）.例1 64+x=3（32-x） （1）64+x=96-3 （2）x+3x=96-64 （3）4x32 （4） x=8. （5）移項(xiàng).把含未知數(shù)的項(xiàng)與常數(shù)項(xiàng)（即不含未知數(shù)的項(xiàng)）分離開(kāi)來(lái)，分別移到等號(hào)兩端，注意移項(xiàng)變號(hào)法則.如上例中的（2）變成（3）.合并同類(lèi)項(xiàng)，如上例中的（3）變成（4）.用未知數(shù)的系數(shù)去除方程兩端求出x的值.如上例中的（4）變成（5）.

21、4.驗(yàn)算.一是實(shí)際計(jì)算求出的根是否滿足方程，不滿足的都舍去，二是根據(jù)題目的實(shí)際意義，刪除不合理的解.先以幾個(gè)簡(jiǎn)單的四則應(yīng)用題為例來(lái)對(duì)“算術(shù)解法”與“代數(shù)解法”作一比較.例2 車(chē)站給某工廠運(yùn)2000箱玻璃.合同規(guī)定完好地運(yùn)到一箱給5元運(yùn)費(fèi).如損壞一箱，不給運(yùn)費(fèi)，倒賠40元.這批玻璃運(yùn)到后，車(chē)站共收到運(yùn)貨款9190元.問(wèn)損壞了幾箱玻璃.解：算術(shù)解法：假如設(shè)有損壞，2000箱玻璃全運(yùn)到，則應(yīng)得運(yùn)貨款：2000 5= 10000（元）.和實(shí)際所得運(yùn)貨款相差：10000-9190=810（元）.現(xiàn)在讓我們用一箱好的換一箱損壞的玻璃，總箱數(shù)2000不變，但每換一箱所得運(yùn)貨款減少：405=45（元）那么換多

22、少箱，貨款正好減少多出來(lái)的810元呢？做除法：8104518（箱）.答：共換壞了18箱.代數(shù)解法：設(shè)損壞了x箱，則沒(méi)損壞的共2000-x箱.依題意列方程5（2000-x）-40x=919045x=10000-919045x=810x=18.答：損壞了18箱.比較這兩種解法，可見(jiàn)代數(shù)方法簡(jiǎn)潔并具有高度普遍性.我們?cè)诤竺娴脑S多例題中都能充分地看出代數(shù)方法的優(yōu)越性.但這決不等于說(shuō)可以取消算術(shù).這正如火車(chē)雖快決不能代替步行.在攀登高峰的崎嶇的小道上還常?？繄?jiān)實(shí)的足步.下面舉幾個(gè)例子來(lái)看看算術(shù)方法的不可缺少.因?yàn)橛械膯?wèn)題不易找到等量關(guān)系列方程.例3 一年級(jí)72名學(xué)生共交了52.7元課本費(fèi)，其中的百位數(shù)和

23、百分位上的數(shù)被水弄模糊了.你能算出每人交多少元？解：728 9，又（8，9）=1原數(shù)為25272分，每人應(yīng)交：2527272=351（分）.答：每人交3.51元.例4 求被6除余4，被10除余8，被9除余4的最小自然數(shù).解：該數(shù)被6除余4 （1）又 該數(shù)被10除余8 （2） 該數(shù)是偶數(shù).再?gòu)谋?除余4的偶數(shù)中從小到大挑選符合條件（1）、（2）的數(shù)：4，492=22，2292=40，40+92=58，又 586=94 5810=58 58964答：58為所求最小自然數(shù).例5 三個(gè)學(xué)生甲、乙、丙各有若干張畫(huà)片互相贈(zèng)送.第一次由甲送給乙、丙畫(huà)片，所送的張數(shù)等于乙、丙各人已有的畫(huà)片數(shù)；第二次由乙送給甲

24、、丙畫(huà)片，所送的張數(shù)等于甲、丙各人已有的畫(huà)片數(shù)；最后由丙送給甲、乙畫(huà)片，所送的張數(shù)也正好等于甲、乙各人已有的畫(huà)片數(shù).這時(shí)每人的畫(huà)片數(shù)都是32張.問(wèn)原來(lái)甲、乙、丙三人各有多少?gòu)埉?huà)片？解：用倒推法.由最后每人都是32張畫(huà)片開(kāi)始，在下面表格里由上行到下一行逐行填寫(xiě)，可知在第三次丙送畫(huà)片前，乙送完畫(huà)片后三人手中的畫(huà)片（張）；同理，在第二次乙送畫(huà)片前，甲送完畫(huà)片后三人手中的畫(huà)片數(shù)應(yīng)分可推知原來(lái)：丙有16張，乙有28張，甲有82816=52（張）.答：原來(lái)甲有52張，乙有28張，丙有16張畫(huà)片.例6 有甲、乙、丙三輛汽車(chē)，各以一定的速度從A地開(kāi)往B地.乙比丙晚出發(fā)10分鐘，出發(fā)后40分鐘追上丙；甲比乙又晚

25、出20分鐘，出發(fā)后1小時(shí)40分鐘追上丙.那么甲出發(fā)后需用多少分鐘才能追上乙？解法1：設(shè)三車(chē)速度依次為V甲，V乙，V丙.丙比乙早出發(fā)10分鐘，乙追上丙耗40分鐘，是典型的追及問(wèn)題：丙比甲早出發(fā)30分鐘，甲追上丙耗100分鐘，也是追及問(wèn)題：的某個(gè)倍數(shù)代入：解法1既用了算術(shù)的追及問(wèn)題公式，又用了列方程的代數(shù)方法.下面再介紹一種列表法，對(duì)解這類(lèi)題更方便.解法2：我們把題中的條件按下列方式填入下面表格中：讓同一列格子中填行相同路程時(shí)甲、乙、丙三輛汽車(chē)各自所需的時(shí)間，如第一列中填入稍稍轉(zhuǎn)化了的已知條件：乙走40分鐘的路程丙需走4010=50（分鐘）；第二列中填入甲走100分鐘的路程丙需用1002010=1

26、30（分鐘）.以前兩列中條件的關(guān)系，再根據(jù)當(dāng)速度一定時(shí)路程與時(shí)間成正比的性質(zhì)，當(dāng)丙走650=50，130分鐘的路程時(shí)乙需用4013=520（分鐘），甲則需用1005=500分鐘.由于乙比甲早出發(fā)20分鐘，恰為520分鐘與500分鐘之差，因此甲出發(fā)后500分鐘時(shí)追上乙.答：甲出發(fā)后需500分鐘才能追上乙.說(shuō)明：一般地，當(dāng)知道丙走c分鐘的路程與甲走a分鐘、乙走b分鐘的路程相等時(shí)，可列一方程求出所需的答案.設(shè)甲出發(fā)后ax分鐘追上乙，則在本題的條件下，c=650，a=500，b=520.例7 星期日小明去找同學(xué)玩了兩三個(gè)小時(shí)，離開(kāi)家時(shí)他看了看鐘，回家時(shí)又看了看鐘，發(fā)現(xiàn)時(shí)針與分針恰好互換了一個(gè)位置.問(wèn)小

27、明共離開(kāi)家多少時(shí)間？解：因?yàn)樾∶麟x家回來(lái)時(shí)時(shí)針走到分針位置，分針走到時(shí)針位置，說(shuō)明兩針合起來(lái)恰好走了若干個(gè)整圈.設(shè)外出時(shí)間分為二個(gè)時(shí)段，第一段為2小時(shí).小明出去整2小時(shí)，分針就應(yīng)轉(zhuǎn)過(guò)2圈，轉(zhuǎn)回原處，而時(shí)針兩小時(shí)走了習(xí)題九1.把一個(gè)兩位數(shù)的個(gè)位數(shù)字與其十位數(shù)字交換后得到一個(gè)新數(shù)，它與原來(lái)的數(shù)加起來(lái)恰好是某個(gè)自然數(shù)的平方，求原來(lái)這個(gè)兩位數(shù)與新得到的兩位數(shù)的和.2.一輛汽車(chē)在公路上勻速行駛，司機(jī)看見(jiàn)里程碑上的數(shù)字是一個(gè)兩位數(shù)再過(guò)一小時(shí)，里程碑上是三位數(shù)，又恰好是第一個(gè)兩位數(shù)中間加了個(gè)零（用 3.在一個(gè)紅錢(qián)包與一個(gè)黑錢(qián)包里分別裝著6枚和8枚硬幣，并且兩個(gè)錢(qián)包中的總錢(qián)數(shù)相等.如果從紅錢(qián)包中任取兩枚硬幣與

28、黑錢(qián)包中任取的兩枚硬幣交換時(shí)，紅錢(qián)包中的總錢(qián)數(shù)要么比原來(lái)多2分，要么比原來(lái)的錢(qián)數(shù)少2分.問(wèn)兩個(gè)錢(qián)包中共裝了多少錢(qián)？（注：這里的硬幣只有1分、2分、5分三種）習(xí)題九解答由題設(shè)條件應(yīng)有是某自然數(shù)的平方，由表達(dá)式11（ab）可知這個(gè)完全平方數(shù)既有一個(gè)約數(shù)11，就一定還有一個(gè)約數(shù)11，因此11是a+b的約數(shù)，而a、b又都只能取自1、2、3、8、9.故a+b11.答：原數(shù)與新數(shù)的和為121.所以（10BA）-（10A+B）（100A+B）-（10BA）即18B=108A，B=6A.由于A、B都是一位非零數(shù)字，所以A1，B6.答：第一個(gè)里程碑上數(shù)字是16，第二個(gè)里程碑上數(shù)字是61，第三個(gè)里程碑上數(shù)字是10

29、6.3.解：我們先證明紅錢(qián)包里不可能同時(shí)裝有1分、2分、5分三種幣值的硬幣.因?yàn)榉駝t，從紅錢(qián)包里任取兩枚硬幣時(shí)，可能有2+1，25，1+5三種情形.前兩種是奇數(shù)，后一種是偶數(shù).而從黑錢(qián)包里任取的二個(gè)硬幣都能使紅錢(qián)包的錢(qián)的奇偶性不變，這是不可能的.類(lèi)似可知，紅錢(qián)包里不能同時(shí)有2分幣和1分幣或2分幣和5分幣.因此紅錢(qián)包中的硬幣只有兩種可能：一是全為2分幣；二是裝有一分與五分幣沒(méi)有2分幣.同理，黑錢(qián)包中或全為2分幣，或其中沒(méi)有2分幣.并且，由于兩錢(qián)包中錢(qián)數(shù)相等而硬幣數(shù)不等，因此不可能紅、黑錢(qián)包中都只有2分幣.情形1：當(dāng)紅錢(qián)包中全為2分幣時(shí)，總錢(qián)數(shù)為26=12分.此時(shí)顯然黑錢(qián)包中不可能有兩個(gè)或兩個(gè)以上

30、的五分幣，也不可能都是一分幣（否則紅、黑錢(qián)包中裝錢(qián)數(shù)不等）.因此黑錢(qián)包里有一個(gè)五分幣和七個(gè)一分幣.這種情形顯然也滿足題目中的后一條件.這種情況，兩個(gè)錢(qián)包中總錢(qián)數(shù)為：62+5+17=24（分），即2角4分錢(qián).情形2：紅錢(qián)包僅裝有一分或五分幣.黑錢(qián)包中有8枚2分幣.則紅錢(qián)包中也應(yīng)有16（28）分.但一分幣和五分幣共6枚，總錢(qián)數(shù)不可能為16分，因此這種情形不可能發(fā)生.黑錢(qián)包中無(wú)2分幣，設(shè)紅錢(qián)包中有m枚五分幣，n枚一分幣；黑錢(qián)包中有p枚五分幣，q枚一分幣.則mn6，pq=8，5mn=5pq.顯然mp.因此5（n-p）=q-n，因?yàn)?q-n8，5q-n，所以q-n=5，m-p=1.這兩式相減，得到（p+

31、q）-（mn）=4.這與（pq）-（mn）=8-62矛盾.所以這種情形也不會(huì)發(fā)生.綜上所述，兩個(gè)錢(qián)包中共有2角4分錢(qián).第十講 從算術(shù)到代數(shù)（二）在上一講中我們著重講了在許多問(wèn)題中算術(shù)方法是不可缺少的；在這一講中，我們將通過(guò)一些例子看到代數(shù)方法不可取代的巨大優(yōu)越性和強(qiáng)大威力，同時(shí)說(shuō)明一元一次方程，多元一次方程組，不定方程的一般解法.例1 一個(gè)學(xué)生做25道數(shù)學(xué)題，對(duì)一題得4分，不答不給分，答錯(cuò)一題倒扣1分.他有3道題未做，得了73分.問(wèn)他共答對(duì)了幾道題？解：設(shè)對(duì)了x道題，則答錯(cuò)25-3-x道題.依題意列方程：4x-（25-3-x）=734x-22+x=73 5x95x19.答：這個(gè)學(xué)生答對(duì)了19道

32、題.例2 某水池裝有甲、乙兩個(gè)注水管，單放甲管需12小時(shí)注滿，單放乙管需24小時(shí)注滿.現(xiàn)在要求10小時(shí)注滿水池，并且甲、乙兩管合開(kāi)的時(shí)間盡可能少，那么甲、乙兩管最少需要合放多少小時(shí)？解：分析一下，由于要求甲、乙兩管合放的時(shí)間盡可能少，所以必須讓注水快的甲管在10個(gè)小時(shí)中全開(kāi)著.其余的由乙管補(bǔ)足.設(shè)甲、乙兩管最少需合放x小時(shí)，則：答：甲、乙兩管最少需要合放4小時(shí).例3 甲、乙兩隊(duì)學(xué)生參加郊區(qū)夏令營(yíng)，但只有一輛車(chē)接送，坐不下.甲隊(duì)學(xué)生坐車(chē)從學(xué)校出發(fā)的同時(shí)，乙隊(duì)學(xué)生開(kāi)始步行.車(chē)到途中某處讓甲隊(duì)學(xué)生下車(chē)步行，車(chē)立即返回接乙班學(xué)生并直開(kāi)到夏令營(yíng)，兩班學(xué)生正好同時(shí)到達(dá).已知學(xué)生步行速度為4千米/小時(shí)，汽車(chē)

33、載學(xué)生時(shí)速度為40千米/小時(shí)，空車(chē)時(shí)速度為50千米/小時(shí)，問(wèn)甲班學(xué)生應(yīng)步行全程的幾分之幾？解：如圖：設(shè)全程為x千米，甲、乙兩隊(duì)分別步行a、b千米.要使兩隊(duì)學(xué)生同時(shí)到達(dá)夏令營(yíng)，只有他們兩隊(duì)步行的路程相等才行，故a=b.等量關(guān)系是：乙隊(duì)走a千米路程的時(shí)間正好等于汽車(chē)送完甲隊(duì)又原路返回時(shí)遇到乙隊(duì)的時(shí)間，即：去分母，兩端同乘200，得5x-5a+4x-8a=50a9x63a例4 一個(gè)矩形長(zhǎng)33厘米，寬32厘米，用正方形如下圖分割，已知最小正方形邊長(zhǎng)為1厘米，第二個(gè)小正方形邊長(zhǎng)為4厘米，請(qǐng)?jiān)趫D中填出其余正方形的邊長(zhǎng).解：設(shè)如圖中第個(gè)小正方形邊長(zhǎng)為x，則其余每個(gè)正方形的邊長(zhǎng)都可以用x的代數(shù)式表達(dá)出來(lái)，如圖

34、所示.再由大長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為33厘米可得關(guān)系式：2x1+x+11=333x=21 x=7（厘米）.于是圖中所有正方形的邊長(zhǎng)均可將x7代入，得如圖所填的值.還可以用大正方形的寬為32厘米來(lái)驗(yàn)證所求值的正確性：2x+1+x+1+x+2=15+8+9=32（厘米）.例5 小明每天定時(shí)從家到學(xué)校，若小明每分鐘走30米，則遲到3分鐘；若小明每分鐘走40米，則早到5分鐘.求小明家到學(xué)校的距離.解：設(shè)小明家到學(xué)校的距離為S米，則去分母，方程兩端同乘以120：4S-360=3S600 S=960.答：小明家離學(xué)校960米.有的問(wèn)題必須用兩個(gè)或更多的未知數(shù)才能列出方程，而且方程的個(gè)數(shù)也往往不只一個(gè)，我們稱(chēng)含有兩個(gè)未

35、知數(shù)并且未知數(shù)所在項(xiàng)的次數(shù)都是1次的這種方程為二元一次方程.例如x+y=5.適合這個(gè)二元一次方程的每一對(duì)未知數(shù)的值叫做二元一次方程的一個(gè)解.如：方程x+y=5的正整數(shù)解有：x=1，y=4；x=2，y=3；x3，y=2，x=4，y=1這四個(gè)解.如果一個(gè)問(wèn)題的兩個(gè)未知數(shù)必須滿足兩個(gè)二元一次方程，這兩個(gè)方程聯(lián)立在一起就叫做二元一次方程組.同時(shí)適合這兩個(gè)二元一次方程的每一對(duì)未知數(shù)的值叫做這個(gè)二元一次方程組的一個(gè)解.多個(gè)未知數(shù)的方程組也可以類(lèi)似地定義，解法也類(lèi)似，在這里舉兩個(gè)最簡(jiǎn)單的例子來(lái)介紹二元一次方程組的解法.常用的有代入消元法和加減消元法.總之都是先設(shè)法消去一個(gè)未知數(shù).代入消元法：例6 解二元一次

36、方程組把（2）中的y用（1）中的3x代替，就可以消去一個(gè)未知數(shù)y，得：x3x=8 4x=8 x=2.再把x=2的值代入（1）或（2），得：y=6.這個(gè)方程組的解為加減消元法：例7 解方程組（2）-（1）得：6x=54x9.原方程組的解為再看幾個(gè)二元一次方程組的例子.例8 一條路從甲地到乙地是下坡，從乙地到丙地是平路，一人騎車(chē)以每小時(shí)12千米的速度下坡，而以每小時(shí)9千米的速度通過(guò)平路到達(dá)丙地，共用了55分鐘；回來(lái)時(shí)以每小時(shí)8千米的速度行至乙地，又以每小時(shí)4千米的速度行到甲地，共用了1.5小時(shí).問(wèn)從甲地到丙地共有多少千米？解：設(shè)從甲地到乙地為x千米，從乙地到丙地為y千米，依題意可得下列方程組：去分

37、母，（1）兩端同乘以36得：3x+4y=33.（2）兩端同乘以8得：y+2x=12.原方程組與下面方程組同解.由（4）得y=12-2x，代入（3）消去y得：3x+4（12-2x）=33 3x+48-8x335x=15 x=3.將x=3代入（4）得：y12-23y6.原方程組的解為x+y=9.答：從甲地到丙地共9千米.例9 有甲、乙兩個(gè)桶，甲桶里裝了一些水，乙桶里裝了一種純農(nóng)藥，按下面方法來(lái)調(diào)配農(nóng)藥溶液：第一次甲桶倒進(jìn)乙桶里的水的數(shù)量與原來(lái)乙桶中農(nóng)藥數(shù)量相同，調(diào)勻；第二次把乙桶里的農(nóng)藥溶液倒進(jìn)甲桶里，倒回的數(shù)量與甲桶里剩的水的數(shù)量相同，調(diào)勻；第三次再把甲桶中的農(nóng)藥溶液倒回乙桶，數(shù)量與此時(shí)乙桶中的

38、溶液數(shù)量相同，這時(shí)兩個(gè)桶中的農(nóng)藥溶液數(shù)量相同.請(qǐng)你算一算：開(kāi)始時(shí)水與純農(nóng)藥的比.最后在甲桶里的水與純農(nóng)藥的比.最后在乙桶里的水與純農(nóng)藥的比.解：設(shè)甲桶里原有x千克水，乙桶里有y千克純農(nóng)藥.每次倒動(dòng)后甲、乙兩桶中溶液的總量變化如下：第一次 甲桶剩x-y（千克）乙桶有：2y（千克）第二次 甲桶有 2（x-y）（千克）乙桶剩 2y-（x-y）=3y-x（千克）第三次 甲桶剩2（x-y）-（3y-x）=3x-5y（千克）乙桶有2（3y-x）（千克）.第三次倒完后兩桶中液體重量相同3x-5y2（3y-x）3x-5y=6y-2x 5x11yxy=115.在第一次操作后甲桶中的x-y千克都為水.由乙桶倒入的

39、x-y千克溶液中有一半是水，另一半是純農(nóng)藥，故甲桶中最后水與純農(nóng)藥的比為31.純農(nóng)藥的比為：答：開(kāi)始時(shí)水與純農(nóng)藥的比為115.最后甲桶溶液中水與純農(nóng)藥的比為31.而乙桶溶液中水與純農(nóng)藥的比為53.關(guān)于空間想象力的綜合訓(xùn)練題1.將下圖中的硬紙片沿虛線折起來(lái)，便可以作成一個(gè)正方體.問(wèn)這個(gè)正方體的2號(hào)面的對(duì)面是幾號(hào)面？2.有一個(gè)長(zhǎng)方體，它的正面和上面的面積之和是209，如果它的長(zhǎng)、寬、高都是質(zhì)數(shù)，求這個(gè)長(zhǎng)方體的體積.3.有一個(gè)正方體，邊長(zhǎng)是5.如果它的左上方截去一個(gè)邊長(zhǎng)分別是5、3、2的長(zhǎng)方體（如下圖），求它的表面積減少的百分比是多少？4.有三個(gè)大小一樣的正方體，將接觸的面用膠粘接在一起成左圖的形狀

40、，表面積比原來(lái)減少了16平方厘米.求所成形體的體積.5.如下圖，從長(zhǎng)為13厘米，寬為9厘米的長(zhǎng)方形硬紙板的四角去掉邊長(zhǎng)為2厘米的正方形，然后沿虛線折疊成長(zhǎng)方體容器.這個(gè)容器的體積是多少立方厘米？6.一個(gè)正方體形的紙盒中恰好能放入一個(gè)體積為628立方厘米的圓柱體（下圖）.問(wèn)紙盒的容積有多大？（圓周率取為3.14）.7.一個(gè)高為30厘米，底面為邊長(zhǎng)是10厘米的正方形的長(zhǎng)方體水桶，其塊，問(wèn)需要投入多少塊這種石塊才能使水面恰與桶高相齊？8.有兩種不同形狀的紙板，一種是正方形的，另一種是長(zhǎng)方形的，正方形紙板的總數(shù)與長(zhǎng)方形紙板的總數(shù)之比是12.用這些紙板做成一些豎式和橫式的無(wú)蓋紙盒.正好將紙板用完.問(wèn)在所

41、做的紙盒中，豎式紙盒的總數(shù)與橫式紙盒的總數(shù)之比是多少？9.如下圖，在棱長(zhǎng)為3的正方體中由上到下，由左到右，由前到后，有三個(gè)底面積是1的正方形高為3的長(zhǎng)方體的洞，求所得形體的表面積是多少？10.將邊長(zhǎng)為10的正方體木塊六個(gè)面都染上紅色后，鋸成邊長(zhǎng)為1的小正方形木塊1000塊.問(wèn)：這一千塊小正方體木塊中，沒(méi)有涂紅色的共有多少塊？只有一個(gè)面是紅色的共有多少塊？恰有兩個(gè)面為紅色的共有多少塊？恰有三個(gè)面為紅色的共有多少塊？11.用三個(gè)大小一樣的正方體積木和一把有刻度的直尺.請(qǐng)你設(shè)計(jì)一種方法，不通過(guò)任何計(jì)算，直接量出每個(gè)正方體的體對(duì)角線的長(zhǎng).12.如下圖，把16個(gè)邊長(zhǎng)為2厘米的正方體重疊起來(lái)拼成一個(gè)立體圖

42、形，求這個(gè)立體圖形的表面積.13.2100個(gè)邊長(zhǎng)為1米的正方體堆成一個(gè)實(shí)心的長(zhǎng)方體.它的高是10米，長(zhǎng)、寬都是大于10（米）的整數(shù)，問(wèn)長(zhǎng)方體長(zhǎng)寬之和是幾米？14.一個(gè)正方體形狀的木塊，棱長(zhǎng)為1米，沿水平方向?qū)⑺彸?片，每片又鋸成4長(zhǎng)條，每條又鋸成5小塊，共得大大小小的長(zhǎng)方體60塊.求這60塊長(zhǎng)方體表面積的和是多少平方米？15.如下圖，是一個(gè)邊長(zhǎng)為2厘米的正方體.在正方體的上面的正中間向下挖一個(gè)邊長(zhǎng)為1厘米的正方體小洞.接著在小洞的底面正中再向下挖一個(gè)后得到的立體圖形表面積是多少平方厘米？16.如下圖，一塊硬紙片可以做成一個(gè)多面體的紙模型（沿虛線折，沿實(shí)線粘）.這個(gè)多面體的面數(shù)，頂點(diǎn)數(shù)與棱數(shù)之

43、和是多少？17.如下圖是一個(gè)四面體，有六條棱，四個(gè)表面三角形，已知六條棱長(zhǎng)恰是六個(gè)連續(xù)的自然數(shù).如果某個(gè)表面三角形的周長(zhǎng)是3的倍數(shù)，就將這個(gè)三角形染紅色；反之，周長(zhǎng)不是3的倍數(shù)的三角形就染黃色.問(wèn)：四個(gè)表面三角形是否能全染成黃色？簡(jiǎn)述理由.18.把正方體的六個(gè)表面都分成9個(gè)相等的正方形.現(xiàn)用紅、黃、藍(lán)三種顏色去染這些小正方形，要求有公共邊的正方形染的顏色不同，問(wèn)：用紅色染成的正方形個(gè)數(shù)最多有幾個(gè)？19.有6個(gè)棱長(zhǎng)分別是3厘米，4厘米，5厘米的相同的長(zhǎng)方體，把它們的某些面染上紅色，使得一個(gè)長(zhǎng)方體只有一個(gè)面是紅色的，一個(gè)長(zhǎng)方體恰有兩個(gè)面是紅色的，一個(gè)長(zhǎng)方體恰有三個(gè)面是紅色的，一個(gè)長(zhǎng)方體恰有四個(gè)面是紅色的，一個(gè)長(zhǎng)方體恰有5個(gè)面是紅色的，還有一個(gè)長(zhǎng)方體六個(gè)面都是紅色.染色后把所有長(zhǎng)方體分割成棱長(zhǎng)為1厘米的小立方體，分割完畢后，恰有一面是紅色的小立方體最多有幾個(gè)？20.給出一個(gè)立方體和六張同樣大小的用五個(gè)相等小正方形組成的“十字形”彩紙，每個(gè)十字形彩紙的面積恰等于立方體一個(gè)側(cè)面的面積.試設(shè)計(jì)一種方法，不剪開(kāi)這六張彩紙，就可以把他們貼滿立方體的六個(gè)側(cè)面.