《第十六屆“ 中環(huán)杯”中小學(xué)思維能力訓(xùn)練趣味數(shù)學(xué)五年級決賽》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《第十六屆“ 中環(huán)杯”中小學(xué)思維能力訓(xùn)練趣味數(shù)學(xué)五年級決賽（22頁珍藏版）》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、第十六屆第十六屆“中環(huán)杯中環(huán)杯”中小學(xué)生思維能力訓(xùn)練活動(dòng)中小學(xué)生思維能力訓(xùn)練活動(dòng)五年級決賽五年級決賽 2016年3月5日 12:30 14:00 考試時(shí)間：90分鐘 滿分：100分 一、填空題 A：（本大題共8小題，每題6分，共48分）【第1題】計(jì)算：11112016_21422754?！痉治雠c解】計(jì)算。1111201621422754 1111201621422754 1120161418 11201620161418 144112 32 【第2題】若 E、U、L、S、R、T分別表示1、2、3、4、5、6（不同的字母表示不同的數(shù)字），且滿足：6EUL；18SRUT；15UT；8SL。則六位數(shù)

2、_EULSRT?！痉治雠c解】因?yàn)?EUL；而1236；所以,1,2,3E U L；因?yàn)?8SRUT；而654318；所以,6,5,4,3S R U T；因?yàn)?5UT；而151 153 5 ；所以,3,5U T；因?yàn)?SL；而81 824；所以,2,4S L。由和，得3U，則5T；由和，得2L，則4S；最后分別結(jié)合和，得1E，6R；故六位數(shù)132465EULSRT?！镜?題】一個(gè)超過20的自然數(shù)N，在14進(jìn)制與20進(jìn)制中都可以表示為回文數(shù)（回文數(shù)就是指正讀與倒讀都一樣的數(shù)，比如12321、3443都是回文數(shù)，而12331不是回文數(shù)）。N的最小值為_（答案用10進(jìn)制表示）?！痉治雠c解】數(shù)論，進(jìn)制與

3、位值。因?yàn)?0N；所以N在14進(jìn)制與20進(jìn)制中都不是一位數(shù)；我們希望N要盡可能小，故設(shè)1420Naabb；即1420Naabb；1521Nab；則N既是15的倍數(shù)又是21的倍數(shù)；故N是15,213 57105 的倍數(shù)；而1014201057755，符合題意；故N的最小值為105?！镜?題】一位父親要將他的財(cái)產(chǎn)分給他的孩子：首先將1000元以及剩余財(cái)產(chǎn)的110給老大，其次將2000元以及剩余財(cái)產(chǎn)的110給老二，再次將3000元以及剩余財(cái)產(chǎn)的110給老三，以此類推。結(jié)果發(fā)現(xiàn)每個(gè)孩子都分到了相同數(shù)量的財(cái)產(chǎn)。這位父親一共有_個(gè)孩子。【分析與解】（方法一）設(shè)這個(gè)父親的財(cái)產(chǎn)有x元；由老大與老二分得財(cái)產(chǎn)相同

4、，得 111100010002000100012000101010 xx；解得81000 x；老大分得11000810001000900010元；即每個(gè)孩子都分到了9000元；這位父親一共有8100090009個(gè)孩子。（方法二）因?yàn)槊總€(gè)孩子都分到了相同數(shù)量的財(cái)產(chǎn)；所以老大與老二分得財(cái)產(chǎn)相同；老大分得1000元以及剩余財(cái)產(chǎn)（這里的剩余我們記為A）的110；老二分得2000元以及剩余財(cái)產(chǎn)（這里的剩余我們記為B）的110；那么A的110比B的110多200010001000元；A比B多110001000010元；從A到B依次減少A的110和2000元；故A的110為1000020008000元；A為

5、180008000010元；這個(gè)父親的財(cái)產(chǎn)有10008000081000元；老大分得11000810001000900010元；即每個(gè)孩子都分到了9000元；這位父親一共有8100090009個(gè)孩子。（方法三）設(shè)這位父親一共有n個(gè)孩子；最后一個(gè)孩子分得1000n元；這1000n元是倒數(shù)第二個(gè)孩子分得10001n 之后剩余的1911010；每個(gè)孩子都分到了相同數(shù)量的財(cái)產(chǎn)；由倒數(shù)第二個(gè)孩子與最后一個(gè)孩子分得財(cái)產(chǎn)相同，得 110001100010009nnn；解得9n；這位父親一共有9個(gè)孩子?！镜?題】如圖，一個(gè)長方形的表格有8列，將數(shù)字1、2、按一定順序填入表格中（從左往右填，等一行填滿后進(jìn)入下一

6、行，還是從左往右填）。一個(gè)學(xué)生先將填有數(shù)字1的格子涂黑，接下來跳過1個(gè)格子，將填有數(shù)字3的格子涂黑；接下來跳過2個(gè)格子，將填有數(shù)字6的格子涂黑；接下來跳過3個(gè)格子，將填有數(shù)字10的格子涂黑。依次類推，直到所有列都含有至少一個(gè)黑格為止（不再繼續(xù)涂黑了）。那么，他涂黑的最后一個(gè)格子里的數(shù)字為_。12345678161514131211109【分析與解】（方法一）第1個(gè)涂黑的格子為1；第2個(gè)涂黑的格子為312；第3個(gè)涂黑的格子為6123；第4個(gè)涂黑的格子為101234；依次類推，第n個(gè)涂黑的格子為12n。119118117116115114113112111110109108107106105104

7、103102101100999897969594939291908988878685848382818079787776757473727170696867666564636261605958575655545352515049484746454443424140393837363534333230312928272625242322212019181716151413121110987654321201這樣我們可以得到涂黑的格子依次為11 mod8，1233 mod8，12366 mod8，1234102 mod8，125157 mod8，126215 mod8，127284 mod8，12

8、8364 mod8，129455 mod8，1210557 mod8，1211662 mod8，1212786 mod8，1213913 mod8，12141051 mod8，12151200 mod8，至此mod8余0 7的數(shù)都出現(xiàn)了；即所有列都含有至少一個(gè)黑格；他涂黑的最后一個(gè)格子里的數(shù)字為120。（方法二）第1個(gè)涂黑的格子為1；第2個(gè)涂黑的格子為312；第3個(gè)涂黑的格子為6123；第4個(gè)涂黑的格子為101234；依次類推，第n個(gè)涂黑的格子為12n。涂黑的格子mod8的余數(shù)依次為1，3，6，2，7，5，4，至此，除了mod8余0，其余mod8余1 7都已經(jīng)出現(xiàn)；故我們只要考慮120 mod

9、8n；18|1212nn n；16|1n n；因?yàn)閚與1n互質(zhì)；故16|n或16|1n；我們希望n要盡可能的??；則取116n；15n；這樣，他涂黑的最后一個(gè)格子里的數(shù)字為12151 15152120?！镜?題】一個(gè)瓶子里有1001個(gè)藍(lán)球、1000個(gè)紅球、1000個(gè)綠球，同時(shí)小明手中還有足夠的這三種顏色的球。接下來，小明每次從瓶子中取出兩個(gè)球，然后再按照下面的規(guī)則將一個(gè)球或兩個(gè)球放入瓶中。如果取出一個(gè)藍(lán)球、一個(gè)綠球，則放回去一個(gè)紅球；如果取出一個(gè)紅球、一個(gè)綠球，則放回去一個(gè)紅球；如果取出兩個(gè)紅球，則放回去兩個(gè)藍(lán)球；如果取出的兩個(gè)球不是上面3種情況，則放回去一個(gè)綠球。不斷重復(fù)上述操作，直到瓶中只剩

10、下一個(gè)球?yàn)橹?。剩下的一個(gè)球是_球（填“紅”、“藍(lán)”、“綠”、“不確定”【分析與解】操作類問題；奇偶性。取球的情況 紅、藍(lán)、綠三種顏色的球的個(gè)數(shù)變化 拿出的兩個(gè)球 放回的一個(gè)球或兩個(gè)球 藍(lán)球個(gè)數(shù) 紅球個(gè)數(shù) 綠球個(gè)數(shù) 1個(gè)藍(lán)球、1個(gè)綠球 1個(gè)紅球 1 1 1 1個(gè)紅球、1個(gè)綠球 1個(gè)紅球 不變 不變 1 2個(gè)紅球 2個(gè)藍(lán)球 2 2 不變 2個(gè)藍(lán)球 1個(gè)綠球 2 不變 1 2個(gè)綠球 1個(gè)綠球 不變 不變 1 1個(gè)藍(lán)球、1個(gè)紅球 1個(gè)綠球 1 1 1 從表中我們可以觀察出，紅球個(gè)數(shù)與藍(lán)球個(gè)數(shù)的奇偶性同時(shí)發(fā)生變化；而開始瓶子里有1001個(gè)藍(lán)球、1000個(gè)紅球；即開始時(shí)，藍(lán)球有奇數(shù)個(gè)，紅球有偶數(shù)個(gè)，藍(lán)球與

11、紅球個(gè)數(shù)的奇偶性不同；則無論怎么操作，藍(lán)球與紅球個(gè)數(shù)的奇偶性始終不同；這樣，最后不可能出現(xiàn)“0個(gè)藍(lán)球、0個(gè)紅球、1個(gè)綠球”的情況。而我們注意到，放回去的球的情況，沒有“放回去1個(gè)藍(lán)球”的情況；即也不可能出現(xiàn)“1個(gè)藍(lán)球、0個(gè)紅球、0個(gè)綠球”的情況。綜上所述，剩下的一個(gè)球是紅球?！镜?題】從圖a的正六邊形網(wǎng)格中選出圖b的形狀，有_種不同的選法（注意：圖b可以旋轉(zhuǎn)）。圖b圖a 【分析與解】計(jì)數(shù)。首先，我們考慮圖b不旋轉(zhuǎn)的情況下；一共與有4565424種不同的選法；再結(jié)合圖b有3種不同的方向，且每種方向選法數(shù)相同；故從圖a的正六邊形網(wǎng)格中選出圖b的形狀，有24372種不同的選法?！镜?題】如圖，在AB

12、C中，90ABC，8BC。D和E分別是AB和AC上的點(diǎn)，使得CDDE，DCBEDA。若EDC的面積為50，則AB的長度為_。ABCDE【分析與解】幾何；勾股定理，弦圖；相似三角形，金字塔模型。ABCDEF 過點(diǎn)E作EFAB，垂足為F。在BCD與FDE中，90CBDDFEDCBEDFCDDE 所以BCDFDE；（弦圖的一半）FEDCBA 所以BCFD，BDFE，BCDFDE；因?yàn)?0B；所以90BCDBDC；所以90FDEBDC；因?yàn)?80FDECDEBDC；所以90CDE；這樣我們可以得到EDC是等腰直角三角形；且由50EDCS，得10CDDE；在ABC和AFE中，90BACFAEABCAFE

13、 ；所以ABCAFE；（金字塔模型）；ABCDEF FEDCBA 所以EFAFBCAB；6148ABAB；解得56AB。二、填空題B：（本大題共4小題，每題8分，共32分）【第9題】將如圖兩種由單位小正方形組成的圖形（這種圖形的面積均為3）放入8 14的大長方形網(wǎng)格中，要求任意 兩塊圖形之間不存在公共點(diǎn)。那么8 14的大長方形網(wǎng)格中最多可以放入兩種類型的圖形共_個(gè)?！痉治雠c解】在8 14的大長方形網(wǎng)格中，有9 15135個(gè)格點(diǎn)；而無論是“L型”還是“一字型”的三連塊，每個(gè)都有8個(gè)格點(diǎn)；1358167；故在8 14的大長方形網(wǎng)格中，可以放入兩種類型的圖形的個(gè)數(shù)不超過16個(gè)。另一方面，擺放16個(gè)的

14、例子可以構(gòu)造出來（構(gòu)造方式不惟一）。構(gòu)造方法一構(gòu)造方法二 綜上所述，8 14的大長方形網(wǎng)格中最多可以放入兩種類型的圖形共16個(gè)?！镜?0題】S n表示自然數(shù)n的數(shù)碼和，比如1231236S。如果兩個(gè)不同的正整數(shù)m、n，滿足 1001002mnmnmS nnS m，那么我們就稱m、n構(gòu)成一個(gè)數(shù)對,m n。數(shù)對,m n共有_對?！痉治雠c解】數(shù)論，同余；計(jì)數(shù)。我們知道，一個(gè)數(shù)與其數(shù)字之和mod9的余數(shù)相同；即 mod9nS n；則 0 mod9nS n；由 2mS nnS m，得 0 mod9S mnS nmS m；故0 mod9m；即m是9的倍數(shù)；因?yàn)?00m 且m為正整數(shù)；所以9m，18，27，

15、99，代入 2nS nmS m進(jìn)行逐一計(jì)算；并設(shè)10nabab（ab為廣義兩位數(shù)）；則 S nab；9nS na，即 92amS m 當(dāng)9m 時(shí)，9S m，9992a ，1a ，舍去；當(dāng)18m 時(shí)，189S m ，91892a ，0a，1 9n，有9對；當(dāng)27m 時(shí)，279S m，92792a ，1a，10 19n，有10對；當(dāng)36m時(shí)，369S m 93692a 2a20 29n，有10對；當(dāng)45m 時(shí)，459S m，94592a ，3a，30 39n，有10對；當(dāng)54m 時(shí)，549S m，95492a ，4a，40 49n，有10對；當(dāng)63m 時(shí)，639S m，96392a ，5a，50

16、59n，有10對；當(dāng)72m 時(shí)，729S m，97292a ，6a，60 69n，有10對；當(dāng)81m 時(shí)，819S m ，98192a ，7a，70 79n，有10對；當(dāng)90m 時(shí)，909S m，99092a ，9a，80 89n，有10對；當(dāng)99m 時(shí)，9918S m，999182a，7a，70 79n，有10對；綜上所述，數(shù)對,m n共有910910101099 個(gè)對?！镜?1題】如圖，正方形ABCD的邊長為4，正方形CEFG的邊長為12，D、C、E三點(diǎn)在一條直線上。聯(lián)結(jié)DF，作/GIDF與DA的延長線交于點(diǎn)I。作IHDF與DF交于點(diǎn)H。則IH的長度為_。EIHGFDCBA【分析與解】幾何

17、，勾股定理，相似三角形。（方法一）JEIHGFDCBA 過點(diǎn)G作GJDF，垂足為J。在RtDEF中，90E，12EF，41216DE；由勾股定理，得20DF；因?yàn)?0E；所以90EDFEFD；因?yàn)?0EFGJFGEFD；所以EDFJFG；在DEF和FJG中，90DEFFJGEDFJFG ；所以DEFFJG；所以FEDFGJFG；解得365GJ；因?yàn)?GIDF，IHDF，GJDF；所以IHGJ；所以365IH。（方法二）KABCDFGHIE 分別延長DI、FG，相交于點(diǎn)K。在RtKDF中，90K，12KD，41216KF；由勾股定理，得20DF；因?yàn)?GIDF；所以KDFKIG；（金字塔模型）所

18、以KFKDDFKGKIIG；所以1612204KIIG；解得3KI，5IG；24326KIGSKGKI；216 12296KDFSKFKD；96690KDFKIGDFGISSS梯形；2DFGISIGDFIH梯形；520290IH；解得365IH?！镜?2題】將一個(gè)444 的立方體切割成64個(gè)1 1 1 的小立方體，然后將其中16個(gè)1 1 1 的小立方體染成紅色，要求與任意一條棱平行的4個(gè)小立方體中，都正好有1個(gè)小方體被染成紅色。不同的染色方法有_種（旋轉(zhuǎn)后相同的染色方法也視為不同的染色方法）?！痉治雠c解】一個(gè)444 的立方體，從上往下一共有4層，每層是一個(gè)44 1 的長方體；由題意“與任意一條

19、棱平行的4個(gè)小立方體中，都正好有1個(gè)小方體被染成紅色”，得 每層44 1 中，都正好有4個(gè)正方體染成紅色；且從上往下看，每層染成紅色的小立方體的俯視圖為一個(gè)44的正方形。對這個(gè)44正方形，我們分別用“1”、“2”、“3”、“4”各4個(gè)，表示第1、2、3、4層對應(yīng)的小方格染成紅色；并且按照題意，這個(gè)44正方形中，每行、每列“1”、“2”、“3”、“4”各1個(gè)。故問題轉(zhuǎn)化為“用“1”、“2”、“3”、“4”各4個(gè)填在一個(gè)44正方形中，要求每行、每列“1”、“2”、“3”、“4”各1個(gè)，不同的填法有多少種？”我們先考慮“1”，每行各1個(gè)，且不同列，有432 124 種填法；我們不妨設(shè)為圖1的情況。圖

20、11111 我們再考慮“2”，第一行的“2”有3種填法；我們不妨設(shè)為圖2的情況；圖221111 若第二行的“2”填在第一列，則第三行的“2”填在四列，第四行的“2”填在三列；（如圖3）若第二行的“2”填在第三列，則第四行的“2”填在一列，第三行的“2”填在四列；（如圖4）若第二行的“2”填在第四列，則第三行的“2”填在一列，第四行的“2”填在三列；（如圖5）11112圖322222211112圖4222圖52111111112圖63222 322211112圖7 3222圖821111 圖6余下的有2種填法；（如圖9和圖10）圖7余下的有1種填法；（如圖11）圖8余下的有1種填法；（如圖12）

21、4443311112圖9433222 3344411112圖10433222 43圖1121111222333444 33444433222圖1221111 故第一行的“2”填在第2列，第一行“3”填在第3列，有4種；不同的填法有24324576 種。原題不同的染色方法有576種。三、動(dòng)手動(dòng)腦題：（本大題共2小題，每題10分，共20分）【第13題】甲、乙兩車分別從A、B兩地同時(shí)出發(fā)，相向而行（乙從B地出發(fā)），乙車速度是甲車的k倍（1k）。兩車分別到達(dá)B地和A地后，立即返回。返回時(shí)，甲車的速度保持不變，乙車的速度等于甲車的速度。返回途中，兩車在C點(diǎn)相遇。如果AB的中點(diǎn)為D點(diǎn)，并且12CDAD，求

22、：k。（請寫出解題過程）【分析與解】行程問題。乙甲DCBA 因?yàn)锳B的中點(diǎn)為D點(diǎn)；所以12ADBDAB；因?yàn)?2CDAD；所以:2:1:1AD DC CB；乙行駛BA這段的速度為甲車的k倍，行駛AC這段的速度等于甲車的速度；由相同的時(shí)間，速度比等于路程比，得 1:413:41:2kABBCACBA；故2k?！镜?4題】如圖，根據(jù)下面的要求填滿此表：每個(gè)小方格內(nèi)填入一個(gè)數(shù)字，這個(gè)數(shù)字必須是小于10的自然數(shù)；同一區(qū)域內(nèi)的小方格填入相同的數(shù)字（虛線表示同一區(qū)域的內(nèi)部）；最左邊列的小方格不能填入數(shù)字0；從上往下數(shù)第1行的四個(gè)數(shù)碼從左至右構(gòu)成一個(gè)四位數(shù)，這個(gè)四位數(shù)可以表示為qp，其中p、q都是質(zhì)數(shù)；從上

23、往下數(shù)第2行的四個(gè)數(shù)碼從左至右構(gòu)成一個(gè)四位數(shù)，這個(gè)四位數(shù)可以表示為兩個(gè)連續(xù)質(zhì)數(shù)的乘積（比如3、5就稱為連續(xù)質(zhì)數(shù)）；從上往下數(shù)第3行的四個(gè)數(shù)碼從左至右構(gòu)成一個(gè)四位數(shù)，這個(gè)四位數(shù)是一個(gè)完全平方數(shù)；從上往下數(shù)第4行的四個(gè)數(shù)碼從左至右構(gòu)成一個(gè)四位數(shù)，這個(gè)四位數(shù)是37的倍數(shù)?！痉治雠c解】數(shù)論綜合。GGGHGEECDEFEDCBA 每個(gè)小方格填上字母，同一區(qū)域內(nèi)的小方格填字母，相同的字母代表相同的數(shù)字，不同的字母既可以代表不同的數(shù)字也可以代表相同的數(shù)字。由得，EEGG是完全平方數(shù)；完全平方數(shù)的末兩位可能是00、25、6奇、1偶、4偶、9偶；若完全平方數(shù)的末兩位的兩個(gè)數(shù)字相同，則只能是00或44；而011E

24、EGGE G是11的倍數(shù)；則EEGG是211的倍數(shù)；011E GEEGG是11的倍數(shù)；由11的整除特性，得0EGEG是11的倍數(shù)；故G不可能是0，只能4G，111147EG；且2774488。444H477CD7F7DCBA 由得，744EHGGH是37的倍數(shù)；3999337；因?yàn)?44H是37的倍數(shù)；所以7440H也是37的倍數(shù)；由37的整數(shù)特性，7440510HH是37的倍數(shù)；510371329；37298H。4448477CD7F7DCBA 由得，7EFCDFCD可以表示為兩個(gè)連續(xù)質(zhì)數(shù)的乘積；我們通過整十?dāng)?shù)進(jìn)行估算：2806400、2908100；再進(jìn)一步計(jì)算可得，79 836557，8

25、3 897387，89978633；故7EFCDFCD只能是83 897387；3F，8C，7D。44484778773778BA 由得，87qABCDABp，其中p、q都是質(zhì)數(shù)；注意到1139999，則2q、3、5、7。當(dāng)2q 時(shí)，因?yàn)橥耆椒綌?shù)的個(gè)位數(shù)字可能是0、1、4、9、6、5，不可能為2、3、7、8；故不存在。當(dāng)3q 時(shí)，p的個(gè)位數(shù)字只能為3，經(jīng)嘗試，3327，3132197，3239999，不存在；當(dāng)5q 時(shí)，p的個(gè)位數(shù)字只能為7，經(jīng)嘗試，579999，不存在；當(dāng)7q 時(shí)，p的個(gè)位數(shù)字只能為3，經(jīng)嘗試，732187，7139999；732187符合；故872187ABCDAB；2A，1B。4448477877377812 更多杯賽信息敬請關(guān)注更多杯賽信息敬請關(guān)注家長幫社區(qū)家長幫社區(qū) http:/ 外聯(lián)競賽部外聯(lián)競賽部