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1、第2講函數的應用,專題六函數與導數,板塊三專題突破核心考點,考情考向分析,1.求函數零點所在區(qū)間、零點個數及參數的取值范圍是高考的常見題型，主要以選擇題、填空題的形式出現. 2.函數的實際應用以二次函數、分段函數模型為載體，主要考查函數的最值問題.,熱點分類突破,真題押題精練,內容索引,熱點分類突破,1.零點存在性定理 如果函數yf(x)在區(qū)間a，b上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，且有f(a)f(b)0，那么，函數yf(x)在區(qū)間(a，b)內有零點，即存在c(a，b)使得f(c)0，這個c也就是方程f(x)0的根. 2.函數的零點與方程根的關系 函數F(x)f(x)g(x)的零點就是方程f(x)

2、g(x)的根，即函數yf(x)的圖象與函數yg(x)的圖象交點的橫坐標.,熱點一函數的零點,解析,答案,A.6 B.7 C.5 D.8,由圖象可知，共有8個交點，故選D.,解析,答案,(2)已知定義域為R的函數f(x)滿足f(x1)f(1x)，且當x4,1)時， f(x) ，g(x)2sin x是以1為最小正周期的函數，則函數F(x)f(x) g(x)，x3,5的所有零點之和等于 A.17 B.16 C.4 D.2,解析因為函數f(x)滿足f(x1)f(1x)， 所以f(1)0，函數f(x)的圖象關于點(1,0)成中心對稱， 因為g(x)2sin x是以1為最小正周期的函數， 所以2，g(x)

3、2sin 2x. 令F(x)f(x)g(x)0，即f(x)g(x).,所以可作出當x3,5時，函數f(x)與g(x)的圖象如圖所示，,根據兩個函數圖象的交點及函數圖象的對稱性可設交點的橫坐標由左到右依次為x1，x2，x3，x16， 交點的橫坐標間的關系為x1x162，x2x152，x3x142，x8x92， 所以F(x)f(x)g(x)，x3,5的所有零點之和等于1x1x2x3x4x15x16 12817，故選A.,函數零點(即方程的根)的確定問題，常見的有 (1)函數零點大致存在區(qū)間的確定. (2)零點個數的確定. (3)兩函數圖象交點的橫坐標或有幾個交點的確定. 解決這類問題的常用方法有解

4、方程法、利用零點存在的判定或數形結合法，尤其是方程兩端對應的函數類型不同的方程多以數形結合法求解.,解析,答案,解析由f(x1)f(x1)得f(x)周期為2，作函數f(x)和g(x)的圖象， 圖中，g(3)3log231f(3)， g(5)3log251f(5)， 可得有兩個交點，所以選B.,解析,答案,(2)已知函數f(x)滿足：定義域為R；xR，都有f(x2)f(x)；當x1,1時，f(x)|x|1，則方程f(x) log2|x|在區(qū)間3,5內解的個數是 A.5 B.6 C.7 D.8,解析畫出函數圖象如圖所示，由圖可知，共有5個解.,熱點二函數的零點與參數的范圍,解決由函數零點的存在情況

5、求參數的值或取值范圍問題，關鍵是利用函數方程思想或數形結合思想，構建關于參數的方程或不等式求解.,例2(1)已知偶函數f(x)滿足f(x1) ，且當x1,0時，f(x)x2，若在區(qū)間1,3內，函數g(x)f(x)loga(x2)有3個零點，則實數a的取值范圍是_.,(3,5),解析,答案,且當x1,0時，f(x)x2，,函數f(x)的周期為2，在區(qū)間1,3內函數g(x)f(x)loga(x2)有3個零點等價于函數f(x)的圖象與yloga(x2)的圖象在區(qū)間1,3內有3個交點. 當0a1時，函數圖象無交點，,(2)(2018全國)已知函數f(x) g(x)f(x)xa.若g(x) 存在2個零點

6、，則a的取值范圍是 A.1,0) B.0，) C.1，) D.1，),解析,答案,解析令h(x)xa， 則g(x)f(x)h(x). 在同一坐標系中畫出yf(x)，yh(x)圖象的示意圖， 如圖所示. 若g(x)存在2個零點，則yf(x)的圖象與yh(x)的圖象有2個交點，平移yh(x)的圖象可知，當直線yxa過點(0,1)時，有2個交點， 此時10a，a1. 當yxa在yx1上方，即a1時，僅有1個交點，不符合題意；,當yxa在yx1下方，即a1時，有2個交點，符合題意. 綜上，a的取值范圍為1，). 故選C.,(1)方程f(x)g(x)根的個數即為函數yf(x)和yg(x)圖象交點的個數.

7、 (2)關于x的方程f(x)m0有解，m的范圍就是函數yf(x)的值域.,解析,答案,0,1)(2，),結合圖象可以看出當0k2時符合題設.,解析,答案,(4,8),解析作出函數f(x)的示意圖，如圖.,l1是過原點且與拋物線yx22ax2a相切的直線， l2是過原點且與拋物線yx22axa相切的直線. 由圖可知，當直線yax在l1，l2之間(不含直線l1，l2)變動時，符合題意.,由10，得a8(a0舍去).,由20，得a4(a0舍去).綜上，得4a8.,解決函數模型的實際應用問題，首先考慮題目考查的函數模型，并要注意定義域.其解題步驟是：(1)閱讀理解，審清題意：分析出已知什么，求什么，從

8、中提煉出相應的數學問題.(2)數學建模：弄清題目中的已知條件和數量關系，建立函數關系式.(3)解函數模型：利用數學方法得出函數模型的數學結果.(4)實際問題作答：將數學問題的結果轉化成實際問題作出解答.,熱點三函數的實際應用問題,解答,例3經測算，某型號汽車在勻速行駛過程中每小時耗油量y(升)與速度x(千米/時)(50 x120)的關系可近似表示為：,(1)該型號汽車速度為多少時，可使得每小時耗油量最低？,解當x50,80)時，,當x80,120時，函數單調遞減， 故當x120時，y有最小值10. 因為910，故當x65時每小時耗油量最低.,解答,(2)已知A，B兩地相距120千米，假定該型號

9、汽車勻速從A地駛向B地，則汽車速度為多少時總耗油量最少？,當x50,80)時，,當x120時，l取得最小值10. 因為1016，所以當速度為120千米/時時，總耗油量最少.,(1)解決函數的實際應用問題時，首先要耐心、細心地審清題意，弄清各量之間的關系，再建立函數關系式，然后借助函數的知識求解，解答后再回到實際問題中去. (2)對函數模型求最值的常用方法：單調性法、基本不等式法及導數法.,解答,跟蹤演練3為了保護環(huán)境，發(fā)展低碳經濟，某單位在國家科研部門的支持下，進行技術攻關，采用了新工藝，把二氧化碳轉化為一種可利用的化工產品.已知該單位每月的處理量最少為400噸，最多為600噸，月處理成本y(

10、元)與月處理量x(噸)之間的函數關系可近似的表示為y x2200 x80 000，且每處理一噸二氧化碳得到可利用的化工產品價值為100元. (1)該單位每月處理量為多少噸時，才能使每噸的平均處理成本最低？,解由題意可知，二氧化碳的每噸平均處理成本為,才能使每噸的平均處理成本最低，最低成本為200元.,解答,(2)該單位每月能否獲利？如果獲利，求出最大利潤；如果不獲利，則國家每月至少需要補貼多少元才能使該單位不虧損？,因為400 x600， 所以當x400時，S有最大值40 000. 故該單位不獲利，需要國家每月至少補貼40 000元，才能使該單位不虧損.,解設該單位每月獲利為S，,真題押題精練

11、,真題體驗,答案,解析,因為函數f(x)在區(qū)間(，2)內沒有零點，,2.(2017山東改編)已知當x0,1時，函數y(mx1)2的圖象與y m的圖象有且只有一個交點，則正實數m的取值范圍是_.,答案,解析,(0,13，),分兩種情形：,當x0,1時，f(x)與g(x)的圖象有一個交點，符合題意.,要使f(x)與g(x)的圖象在0,1上只有一個交點， 只需g(1)f(1)，即1m(m1)2， 解得m3或m0(舍去). 綜上所述，m(0,13，).,答案,解析,8,解析由于f(x)0,1)，則只需考慮1x10的情況， 在此范圍內，當xQ，且xZ時，,若lg xQ，則由lg x(0,1)，,圖中交點

12、除(1,0)外其他交點橫坐標均為無理數，屬于每個周期內xD部分，,則在x1附近僅有1個交點， 因此方程解的個數為8.,因此lg xQ，因此lg x不可能與每個周期內xD對應的部分相等，只需考慮lg x與每個周期內xD部分的交點，畫出函數草圖.,押題預測,答案,解析,押題依據,押題依據函數的零點是高考的一個熱點，利用函數圖象的交點確定零點個數是一種常用方法.,1.f(x)2sin xx1的零點個數為 A.4 B.5 C.6 D.7,解析令2sin xx10，則2sin xx1， 令h(x)2sin x，g(x)x1，則f(x)2sin xx1的零點個數問題就轉化為兩個函數h(x)與g(x)圖象的

13、交點個數問題.,畫出兩個函數的圖象，如圖所示，,兩個函數圖象的交點一共有5個，所以f(x)2sin xx1的零點個數為5.,答案,解析,押題依據,押題依據利用函數零點個數可以得到函數圖象的交點個數，進而確定參數范圍，較好地體現了數形結合思想.,要使函數g(x)恰有三個不同的零點，只需g(x)0恰有三個不同的實數根，,所以g(x)0的三個不同的實數根為x2(xa)， x1(xa)，x2(xa). 再借助數軸，可得1a2. 所以實數a的取值范圍是1,2)，故選D.,3.在如圖所示的銳角三角形空地中，欲建一個面積最大的內接矩形花園(陰影部分)，則其邊長x為_m.,答案,解析,押題依據,押題依據函數的實際應用是高考的必考點，函數的最值問題是應用問題考查的熱點.,20,解析如圖， 過A作AHBC交BC于點H，交DE于點F，,FH40 x(0x40)，,當且僅當40 xx， 即x20時取等號，所以滿足題意的邊長x為20 m.,