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1、1,【例】 導出三階巴特沃思模擬低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)設(shè)， c2 rad/s,【解2 】由P157表可知歸一化的三階巴特沃思模擬低通為,已知 c2 rad/s，p= 則,2,說明：巴特沃斯歸一化低通濾波器參數(shù)表有多種形式,3,4,5,作業(yè) 第6章習題 1 3,6,該映射變換須滿足以下要求： S平面虛軸 j必須映射到Z平面的單位圓ej上 S平面的左半平面必須映射到Z平面單位圓的內(nèi)部|z|<1,利用模擬濾波器來設(shè)計數(shù)字濾波器,常用的變換方法有：脈沖響應不變法和雙線性變換法,使穩(wěn)定的模擬系統(tǒng)映射為具有相同幅頻特性的穩(wěn)定的數(shù)字系統(tǒng),7,6.4 用脈沖響應不變法設(shè)計IIR數(shù)字濾波器,使數(shù)字濾波

2、器的單位脈沖響應序列h(n)與相應的模擬濾波器的沖激響應ha(t)，在采樣點處的量值相等，即h(n)=ha(nT),6.4.1 變換原理,因采樣序列的Z變換與模擬信號拉氏變換的關(guān)系：,脈沖響應不變法將模擬濾波器的S平面變換成數(shù)字濾波器的Z平面。,8,脈沖響應不變法的映射關(guān)系,9,數(shù)字濾波器與模擬濾波器的頻率響應間的關(guān)系為 ：,數(shù)字濾波器的頻率響應是模擬濾波器頻率響應的周期延拓 只有當模擬濾波器的頻率響應是限帶的，且滿足采樣定理時， 數(shù)字濾波器的頻率響應才不產(chǎn)生混疊失真 提高采樣頻率為fs，可減小頻率響應的混疊效應,6.4.2 混疊失真,10,脈沖響應不變法中的頻響混疊現(xiàn)象,11,脈沖響應不變法

3、設(shè)計中，由一個較為復雜的模擬系統(tǒng)函數(shù)求出數(shù)字濾波器系統(tǒng)函數(shù)是一個很麻煩的變換過程； 因為乘積的z變換并不等于各部分變換的乘積，所以不宜采用級聯(lián)分解； 但各項和的z變換是線性關(guān)系，因而用部分分式表達系統(tǒng)函數(shù)，特別適合于對復雜模擬系統(tǒng)函數(shù)的變換。,6.4.3 模擬濾波器的數(shù)字化方法,12,設(shè)模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)只有單階極點，且分母的階次大于分子的階次，將Ha(s)用部分分式表示,數(shù)字濾波器的單位脈沖響應等于對ha(t)的采樣，因此,將Ha(s) 拉氏反變換,u(t)是單位階躍函數(shù),模擬濾波器與數(shù)字濾波器系統(tǒng)函數(shù)的關(guān)系,13,對h(n)求Z變換，得數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù),S平面的單極點s=s

4、k對應于Z平面上z=eskT處的單極點 Ha(s)與H(z)的部分分式的系數(shù)相同，都是Ak 模擬濾波器因果穩(wěn)定，則數(shù)字濾波器也因果穩(wěn)定 脈沖響應不變法只能保證極點有這種代數(shù)對應關(guān)系,與模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)Ha(s) 相比較,14,Ha(s)與H(z)間的變換關(guān)系為,脈沖響應不變法的設(shè)計步驟，可直接將 Ha(s)寫成單極點的部分分式和的形式，然后將各部分分式用上式關(guān)系替代，即得到H(z)。,15,由于數(shù)字濾波器頻率響應幅度與采樣間隔T成反比,||<,為使數(shù)字濾波器增益不隨采樣頻率變化，通常令 h(n)=Tha(nT),16,將上式代入到,17,18,【解】 數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為,設(shè)T=1，則有

5、,19,模擬濾波器的頻響Ha(j)以及數(shù)字濾波器的頻響H(ej)分別為:,由于Ha(j)不是限帶的，所以H(ej)產(chǎn)生了頻譜混疊失真,20,數(shù)字濾波器的單位脈沖響應完全模仿模擬濾波器的單位沖激響應，因此時域特性逼近好； 頻率坐標變換是線性的，即=T。因此該數(shù)字濾波器可以很好重現(xiàn)原模擬濾波器的頻率特性； 會產(chǎn)生頻率混疊現(xiàn)象（從S平面到平面為多值映射關(guān)系），適合低通、帶通濾波器的設(shè)計，而不適合高通、帶阻的設(shè)計。,6.4.4 優(yōu)缺點,21,6.5 用雙線性變換法設(shè)計IIR數(shù)字濾波器,6.5.1 變換原理,為克服頻率混疊現(xiàn)象，可采用非線性頻率壓縮方法，將整個頻率軸的頻率范圍壓縮到-/T/T之間，再用z

6、=esT轉(zhuǎn)換到Z平面上,使S平面與Z平面建立起一一對應的單值關(guān)系,22,將此關(guān)系解析延拓到整個S平面和S1平面，令j=s，j1=s1，得,再將S1平面通過標準變換z=es1T映射到Z平面,實現(xiàn)步驟,得到兩平面的單值映射關(guān)系,利用正切變換實現(xiàn)頻率壓縮，將S平面的虛軸壓縮至S1平面的 -/T到/T段,23,雙線性變換符合映射變換應滿足的兩點要求：,6.5.2 逼近的情況,S平面的虛軸映射到Z平面的單位圓 S平面的左半平面映射到Z平面的單位圓內(nèi),穩(wěn)定模擬濾波器經(jīng)雙線性變換后所得的數(shù)字濾波器也是穩(wěn)定的,說明：所謂“雙線性”變換，僅僅是指變換公式中s與z的關(guān)系無論是分子部分，還是分母部分都是“線性”的,

7、24,由于S平面與Z平面的單值對應關(guān)系，避免了頻率混疊現(xiàn)象；,6.5.3 優(yōu)缺點,S平面與Z平面的嚴重非線性關(guān)系影響DF頻響對模擬頻響的模仿； 該方法適于分段常數(shù)型的濾波器設(shè)計，一般設(shè)計濾波器通帶與阻帶均要求是分段常數(shù),(非線性的正切關(guān)系),25,雙線性變換法幅度和相位特性的非線性映射,分段常數(shù)的濾波器，在雙線性變換后各個分段邊緣的臨界頻率點將會產(chǎn)生畸變，這種畸變可以預處理加以校正。,26,數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)可通過s到z之間的簡單代數(shù)關(guān)系得到,頻率響應也可用直接代換的方法得到,6.5.4 模擬濾波器的數(shù)字化方法,27,階數(shù)較高時，H(z)的形式可通過查表得到,設(shè)模擬系統(tǒng)函數(shù)的表達式為,數(shù)字濾

8、波器的系統(tǒng)函數(shù),雙線性變換法中a(s)的系數(shù)與H(z)的系數(shù)間關(guān)系,28,雙線性變換時頻率的預畸變,總結(jié)：雙線性變換法設(shè)計IIR數(shù)字濾波器的步驟,假設(shè)設(shè)計帶通濾波器(右圖),頻率預畸變,已知帶通的數(shù)字域頻率與采樣頻率時,利用下式計算相應的模擬域頻率,29,雙線性變換時頻率的預畸變,總結(jié)：雙線性變換法設(shè)計IIR數(shù)字濾波器的步驟,頻率預畸變,已知帶通的模擬域頻率與采樣頻率時,30,總結(jié)：雙線性變換法設(shè)計IIR數(shù)字濾波器的步驟,按模擬頻率指標設(shè)計模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)Ha(s),31,說明,雙線性變換法后，模擬濾波器與數(shù)字濾波器仍為同種類型（低通、高通、帶通等）的濾波器。 當強調(diào)模仿濾波器的瞬態(tài)響應時

9、，通常采用脈沖響應不變法; 其余則采用雙線性變換法 。,32,例 設(shè)計一階數(shù)字低通濾波器，3 dB截止頻率為c=0.25，將雙線性變換應用于模擬巴特沃思濾波器,頻率預畸變,模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)設(shè)計,已知 數(shù)字低通c=0.25，則巴特沃思模擬低通c為,33,轉(zhuǎn)換為數(shù)字濾波器系統(tǒng)函數(shù),由上題可知，T不參與設(shè)計，即雙線性變換法中用 設(shè)計與用 設(shè)計得到的結(jié)果一致。,34,例 用雙線性變換法設(shè)計三階巴特沃思數(shù)字低通，采樣頻率為fs=4 kHz，其3dB截止頻率為fc=1 kHz。 三階模擬巴特沃思濾波器為,已知截止頻率 fc=1 kHz,解：1. 頻率預畸變,2. 確定預畸變的模擬濾波器的截止頻率,先轉(zhuǎn)化成數(shù)字頻率c=2fcT=0.5,35,將c代入三階模擬巴特沃思濾波器Ha(s)，得到,模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)設(shè)計,轉(zhuǎn)換為數(shù)字濾波器系統(tǒng)函數(shù),濾波器Ha(s)不是截止頻率為fc=1 kHz的實際濾波器，只是一個“樣本”函數(shù),36,用雙線性變換法設(shè)計得到的三階巴特沃思數(shù)字低通濾波器的頻響,37,作業(yè) 第6章習題 4 5,