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1、2第三十六周流水行船問(wèn)題專(zhuān)題簡(jiǎn)析：當(dāng)你逆風(fēng)騎自行車(chē)時(shí)有什么感覺(jué)？是的，逆風(fēng)時(shí)需用很大力氣，因?yàn)槊鎸?duì)的是迎面吹來(lái)的風(fēng)。當(dāng)順風(fēng)時(shí)，借著風(fēng)力，相對(duì)而言用里較少。在你的生活中是否也遇到過(guò)類(lèi)似的如流水行船問(wèn)題。解答這類(lèi)題的要素有下列幾點(diǎn)：水速、流速、劃速、距離，解答這類(lèi)題與和差問(wèn)題相似。劃速相當(dāng)于和差問(wèn)題中的大數(shù)，水速相當(dāng)于小數(shù)，順流速相當(dāng)于和數(shù)，逆流速相當(dāng)于差速。劃速=（順流船速+逆流船速）2；水速=（順流船速逆流船速）2；順流船速=劃速+水速；逆流船速=劃速水速；順流船速=逆流船速+水速2；逆流船速=逆流船速水速2。例題1：一條輪船往返于A、B兩地之間，由A地到B地是順?biāo)叫校葿地到A地是逆水航行

2、。已知船在靜水中的速度是每小時(shí)20千米，由A地到B地用了6小時(shí)，由B地到A地所用的時(shí)間是由A地到B地所用時(shí)間的1.5倍，求水流速度。在這個(gè)問(wèn)題中，不論船是逆水航行，還是順?biāo)叫?，其行駛的路程相等，都等于A、B兩地之間的路程；而船順?biāo)叫袝r(shí)，其形式的速度為船在靜水中的速度加上水流速度，而船在怒水航行時(shí)的行駛速度是船在靜水中的速度與水流速度的差。解：設(shè)水流速度為每小時(shí)x千米，則船由A地到B地行駛的路程為（20+x）6千米，船由B地到A地行駛的路程為（20x）61.5千米。列方程為（20+x）6=（20x）61.5x=4答：水流速度為每小時(shí)4千米。練習(xí)1：1、水流速度是每小時(shí)15千米?，F(xiàn)在有船順?biāo)?/p>

3、行，8小時(shí)行320千米。若逆水行320千米需幾小時(shí)？2、水流速度每小時(shí)5千米?，F(xiàn)在有一船逆水在120千米的河中航行需6小時(shí)，順?biāo)叫行鑾仔r(shí)？3、一船從A地順流到B地，航行速度是每小時(shí)32千米，水流速度是每小時(shí)14千米，2天可以到達(dá)。次船從B地返回到A地需多少小時(shí)？例題2：1有一船行駛于120千米長(zhǎng)的河中，逆行需10小時(shí)，順行要6小時(shí)，求船速和水速。這題條件中有行駛的路程和行駛的時(shí)間，這樣可分別算出船在逆流時(shí)的行駛速度和順流時(shí)的行駛速度，再根據(jù)和差問(wèn)題就可以算出船速和水速。列式為逆流速：12010=12（千米/時(shí)）順流速：1206=12（千米/時(shí)）船速：（20+12）2=16（千米/時(shí)）水速：

4、（2012）2=4（千米/時(shí)）答：船速是每小時(shí)行16千米，水速是每小時(shí)行4千米。練習(xí)2：1、有只大木船在長(zhǎng)江中航行。逆流而上5小時(shí)行5千米，順流而下1小時(shí)行5千米。求這只木船每小時(shí)劃船速度和河水的流速各是多少？2、有一船完成360千米的水程運(yùn)輸任務(wù)。順流而下30小時(shí)到達(dá)，但逆流而上則需60小時(shí)。求河水流速和靜水中劃行的速度？3、一海輪在海中航行。順風(fēng)每小時(shí)行45千米，逆風(fēng)每小時(shí)行31千米。求這艘海輪每小時(shí)的劃速和風(fēng)速各是多少？例題3：輪船以同一速度往返于兩碼頭之間。它順流而下，行了8小時(shí)；逆流而上，行了10小時(shí)。如果水流速度是每小時(shí)3千米，求兩碼頭之間的距離。在同一線段圖上做下列游動(dòng)性示意圖3

5、6-1演示：順流逆流B8A10圖361因?yàn)樗魉俣仁敲啃r(shí)3千米，所以順流比逆流每小時(shí)快6千米。如果怒六時(shí)也行8小時(shí)，則只能到A地。那么A、B的距離就是順流比逆流8小時(shí)多行的航程，即68=48千米。而這段航程又正好是逆流2小時(shí)所行的。由此得出逆流時(shí)的速度。列算式為（3+3）8（108）10=240（千米）答：兩碼頭之間相距240千米。練習(xí)3：1、一走輪船以同樣的速度往返于甲、乙兩個(gè)港口，它順流而下行了7小時(shí)，逆流而上行了10小時(shí)。如果水流速度是每小時(shí)3.6千米，求甲、乙兩個(gè)港口之間的距離。22、一艘漁船順?biāo)啃r(shí)行18千米，逆水每小時(shí)行15千米。求船速和水速各是多少？3、沿河有上、下兩個(gè)市鎮(zhèn)，

6、相距85千米。有一只船往返兩市鎮(zhèn)之間，船的速度是每小時(shí)18.5千米，水流速度每小時(shí)1.5千米。求往返依次所需的時(shí)間。例題4：汽船每小時(shí)行30千米，在長(zhǎng)176千米的河中逆流航行要11小時(shí)到達(dá)，返回需幾小時(shí)？依據(jù)船逆流在176千米的河中所需航行時(shí)間是11小時(shí)，可以求出逆流的速度。返回原地是順流而行，用行駛路程除以順流速度，可求出返回所需的時(shí)間。逆流速：17611=16（千米/時(shí)）所需時(shí)間：17630+（3016）=4（小時(shí)）答：返回原地需4小時(shí)。練習(xí)4：1、當(dāng)一機(jī)動(dòng)船在水流每小時(shí)3千米的河中逆流而上時(shí)，8小時(shí)行48千米。返回時(shí)水流速度是逆流而上的2倍。需幾小時(shí)行195千米？2、已知一船自上游向下游

7、航行，經(jīng)9小時(shí)后，已行673千米，此船每小時(shí)的劃速是47千米。求此河的水速是多少？3、一只小船在河中逆流航行3小時(shí)行3千米，順流航行1小時(shí)行3千米。求這只船每小時(shí)的速度和河流的速度各是多少？例題5：有甲、乙兩船，甲船和漂流物同時(shí)由河西向東而行，乙船也同時(shí)從河?xùn)|向西而行。甲船行4小時(shí)后與漂流物相距100千米，乙船行12小時(shí)后與漂流物相遇，兩船的劃速相同，河長(zhǎng)多少千米？漂流物和水同速，甲船是劃速和水速的和，甲船4小時(shí)后，距漂流物100千米，即每小時(shí)行1004=25（千米）。乙船12小時(shí)后與漂流物相遇，所受的阻力和漂流物的速度等于劃速。這樣，即可算出河長(zhǎng)。列算式為船速：1004=25（千米/時(shí)）河長(zhǎng)

8、：2512=300（千米）答：河長(zhǎng)300千米。練習(xí)5：1、有兩只木排，甲木排和漂流物同時(shí)由A地向B地前行，乙木排也同時(shí)從B地向A地前行，甲木排5小時(shí)后與漂流物相距75千米，乙木排行15小時(shí)后與漂流物相遇，兩木排的劃速相同，A、B兩地長(zhǎng)多少千米？2、有一條河在降雨后，每小時(shí)水的流速在中流和沿岸不同。中流每小時(shí)59千米，沿岸每小時(shí)45千米。有一汽船逆流而上，從沿岸航行15小時(shí)走完570千米的路程，回來(lái)時(shí)幾小時(shí)走完中流的全程？33、有一架飛機(jī)順風(fēng)而行4小時(shí)飛360千米。今出發(fā)至某地順風(fēng)去，逆風(fēng)會(huì)，返回的時(shí)間比去的時(shí)間多3小時(shí)。已知逆風(fēng)速為75千米/小時(shí)，求距目的地多少千米？第三十七周對(duì)策問(wèn)題專(zhuān)題簡(jiǎn)析

9、：同學(xué)們都熟悉“田忌與齊王賽馬”的故事，這個(gè)故事給我們的啟示是：田忌采用了“揚(yáng)長(zhǎng)避短”的策略，取得了勝利。生活中的許多事物都蘊(yùn)含著數(shù)學(xué)道理，人們?cè)诟?jìng)賽和爭(zhēng)斗中總是玩游戲，大至體育比賽、軍事較量等，人們?cè)诟?jìng)賽和爭(zhēng)斗中總是希望自己或自己的一方獲取勝利，這就要求參與競(jìng)爭(zhēng)的雙方都要制定出自己的策略，這就是所謂“知己知彼，百戰(zhàn)不殆”。哪一方的策略更勝一籌，哪一方就會(huì)取得最終的勝利。解決這類(lèi)問(wèn)題一般采用逆推法和歸納法。例題1：兩個(gè)人做一個(gè)移火柴的游戲，比賽的規(guī)則是：兩人從一堆火柴中可輪流移走1至7根火柴，直到移盡為止。挨到誰(shuí)移走最后一根火柴就算誰(shuí)輸。如果開(kāi)始時(shí)有1000根火柴，首先移火柴的人在第一次移走多

10、少根時(shí)才能在游戲中保證獲勝。先移火柴的人要取勝，只要取走第999根火柴，即利用逆推法就可得到答案。設(shè)先移的人為甲，后移的人為乙。甲要取勝只要取走第999根火柴。因此，只要取到第991根就可以了（如乙取1根甲就取7根；如乙取2根甲就取6根。依次類(lèi)推，甲取的與乙取的之和為8根火柴）。由此繼續(xù)推下去，甲只要取第983根，第975根，第7根就能保證獲勝。所以，先移火柴的人要保證獲勝，第一次應(yīng)移走7根火柴。練習(xí)1：1、一堆火柴40根，甲、乙兩人輪流去拿，誰(shuí)拿到最后一根誰(shuí)勝。每人每次可以拿1至3根，不許不拿，乙讓甲先拿。問(wèn)：誰(shuí)能一定取勝？他要取勝應(yīng)采取什么策略？2、兩人輪流報(bào)數(shù)，規(guī)定每次報(bào)的數(shù)都是不超過(guò)8

11、的自然數(shù)，把兩人報(bào)的數(shù)累加起來(lái)，誰(shuí)先報(bào)到88，誰(shuí)就獲勝。問(wèn)：先報(bào)數(shù)者有必勝的策略嗎？3、把1994個(gè)空格排成一排，第一格中放一枚棋子，甲、乙兩人輪流移動(dòng)棋子，每人每次可后移1格、2格、3格，誰(shuí)先移到最后一格誰(shuí)勝。先移者確保獲勝的方法是什么？例題2：有1987粒棋子。甲、乙兩人分別輪流取棋子，每次最少取1粒，最多取4粒，不能不取，取到最后一粒的為勝者?，F(xiàn)在兩人通過(guò)抽簽決定誰(shuí)先取。你認(rèn)4為先取的能勝，還是后取的能勝？怎樣取法才能取勝？從結(jié)局開(kāi)始，倒推上去。不妨設(shè)甲先取，乙后取，剩下1至4粒，甲可以一次拿完。如果剩下5粒棋子，則甲不能一次拿完，乙勝。因此甲想取勝，只要在某一時(shí)刻留下5粒棋子就行了。不

12、妨設(shè)甲先取，則甲能取勝。甲第一次取2粒，以后無(wú)論乙拿幾粒，甲只要使自己的粒數(shù)與乙拿的粒數(shù)之和正好等于5，這樣，每一輪后，剩下的棋子粒數(shù)總是5的倍數(shù)，最后總能留下5粒棋子，因此，甲先取必勝。練習(xí)2：1、甲、乙兩人輪流從1993粒棋子中取走1粒或2?；?粒，誰(shuí)取到最后一粒的是勝利者，你認(rèn)為先取的能獲勝，還是后取的能獲勝，應(yīng)采取什么策略？2、有1997根火柴，甲、乙兩人輪流取火柴，每人每次可取1至10根，誰(shuí)能取到最后一根誰(shuí)為勝利者，甲先取，乙后取。甲有獲勝的可能嗎？取勝的策略是什么？3、盒子里有47粒珠子，兩人輪流取，每次最多取5粒，最少取1粒，誰(shuí)最先把盒子的珠子取完，誰(shuí)就勝利，小明和小紅來(lái)玩這個(gè)取

13、珠子的游戲，先名先、小紅后，誰(shuí)勝？取勝的策略是什么？例題3：在黑板上寫(xiě)有999個(gè)數(shù)：2，3，4，1000。甲、乙兩人輪流擦去黑板上的一個(gè)數(shù)（甲先擦，乙后擦），如果最后剩下的兩個(gè)數(shù)互質(zhì)，則甲勝，否則乙勝。誰(shuí)必勝？必勝的策略是什么？甲先擦去1000，剩下的998個(gè)數(shù)，分為499個(gè)數(shù)對(duì)：（2，3），（4，5），（6，7），（998，999）。可見(jiàn)每一對(duì)數(shù)中的兩個(gè)數(shù)互質(zhì)。如果乙擦去某一對(duì)中的一個(gè)，甲則接著擦去這對(duì)中的另一個(gè)，這樣乙、甲輪流去擦，總是一對(duì)數(shù)、一對(duì)數(shù)地擦，最后剩下的一對(duì)數(shù)必互質(zhì)。所以，甲必勝。練習(xí)3：1、甲、乙兩人輪流從分別寫(xiě)有1，2，3，99的99張卡片中任意取走一張，先取卡的人能否保證

14、在他取走的第97張卡片時(shí)，使剩下的兩張卡片上的數(shù)一個(gè)是奇數(shù)，一個(gè)是偶數(shù)？2、兩個(gè)人進(jìn)行如下游戲，即兩個(gè)人輪流從數(shù)列1，2，3，100，101勾去九個(gè)數(shù)。經(jīng)過(guò)這樣的11次刪除后，還剩下兩個(gè)數(shù)。如果這兩個(gè)數(shù)的差是55，這時(shí)判第一個(gè)勾數(shù)的人獲勝。問(wèn)第一個(gè)勾數(shù)的人能否獲勝？獲勝的策略是什么？3、在黑板上寫(xiě)n1（n3）個(gè)數(shù)：2，3，4，n。甲、乙兩人輪流在黑板上擦去一個(gè)數(shù)。如果最后剩下的兩個(gè)數(shù)互質(zhì)，則乙勝，否則甲勝。N分別取5什么值時(shí)：（1）甲必勝？（2）乙必勝？必勝的策略是什么？例題4：甲、乙兩人輪流在黑板上寫(xiě)下不超過(guò)10的自然數(shù)，規(guī)定禁止在黑板上寫(xiě)已寫(xiě)過(guò)的數(shù)的約數(shù)，最后不能寫(xiě)的人為失敗者。如果甲第一

15、個(gè)寫(xiě)，誰(shuí)一定獲勝？寫(xiě)出一種獲勝的方法。這里關(guān)鍵是第一次寫(xiě)什么數(shù)，總共只有10個(gè)數(shù)，可通過(guò)歸納試驗(yàn)。甲不能寫(xiě)1，否則乙寫(xiě)6，乙可獲勝；甲不能寫(xiě)3，5，7，否則乙寫(xiě)8，乙可獲勝；甲不能寫(xiě)4，9，10，否則乙寫(xiě)6，乙可獲勝。因此，甲先寫(xiě)6或8，才有可能獲勝。甲可以獲勝。如甲寫(xiě)6，去掉6的約數(shù)1，2，3，6，乙只能寫(xiě)4，5，7，8，9，10這六個(gè)數(shù)中的一個(gè)，將這六個(gè)數(shù)分成（4，5），（7，9），（8，10）三組，當(dāng)乙寫(xiě)某組中的一個(gè)數(shù)，甲就寫(xiě)另一個(gè)數(shù)，甲就能獲勝。練習(xí)4：1、甲、乙兩人輪流在黑板上寫(xiě)上不超過(guò)14的自然數(shù)。書(shū)寫(xiě)規(guī)則是：不允許寫(xiě)黑板上已寫(xiě)過(guò)的數(shù)的約數(shù)，輪到書(shū)寫(xiě)人無(wú)法再寫(xiě)時(shí)就是輸者。現(xiàn)甲先寫(xiě)，

16、乙后寫(xiě)，誰(shuí)能獲勝？應(yīng)采取什么對(duì)策？2、甲、乙兩人輪流從分別寫(xiě)有3，4，5，11的9張卡片中任意取走一張，規(guī)定取卡人不能取已取過(guò)的數(shù)的倍數(shù)，輪到誰(shuí)無(wú)法再取時(shí)，誰(shuí)就輸。現(xiàn)甲先取，乙后取，甲能否必然獲繩？應(yīng)采取的對(duì)策是什么？3、甲、乙兩人輪流在2004粒棋子中取走1粒，3粒，5?；?粒棋子。甲先取，乙后取，取到最后一粒棋子者為勝者。甲、乙兩人誰(shuí)能獲勝？例題5：有一個(gè)33的棋盤(pán)以及9張大小為一個(gè)方格的卡片如圖37-1所示，9張卡片分別寫(xiě)有：1，3，4，5，6，7，8，9，10這幾個(gè)數(shù)。小兵和小強(qiáng)兩人做游戲，輪流取一張卡片放在9格中的一格，小兵計(jì)算上、下兩行6個(gè)數(shù)的和；小強(qiáng)計(jì)算左、右兩列6個(gè)數(shù)的和，和數(shù)

17、大的一方取勝。小兵一定能取勝嗎？如圖37-1所示，由于4個(gè)角的數(shù)是兩人共有的，因而和數(shù)的大小只與放在A，B，C，D這4個(gè)格中的數(shù)有關(guān)。小兵要獲勝，必須采取如下策略，盡可能把大數(shù)填入A或C格，盡可能將小數(shù)填入B格或D格。由于1+103+9，即B+DA+C，小兵應(yīng)先將1放在B格，如小強(qiáng)把10放進(jìn)D格，小兵再把9放進(jìn)A格，這時(shí)不論小強(qiáng)怎么做，C格中一定是大于或等于3的數(shù)，因而小兵獲勝。如小強(qiáng)把3放進(jìn)A格，小兵只需將9放到C格，小兵也一定獲勝。練習(xí)5：1、在55的棋盤(pán)的右上角放一枚棋子，每一步只能向左、想下或向左下對(duì)6角線走一格。兩人交替走，誰(shuí)為勝者。必勝的策略是什么？2、甲、乙兩人輪流往一個(gè)圓桌面上

18、放同樣大小的硬幣，規(guī)則是每人每次只能放一枚，硬幣不能重疊，誰(shuí)放完最后一枚硬幣而使對(duì)方再無(wú)處可放，誰(shuí)就獲勝。如果甲先放，那么他怎樣才能取勝？，3、兩人輪流在33的方格中畫(huà)“”和“”規(guī)定每人每次至少畫(huà)一格，至多畫(huà)三格，所有的格畫(huà)滿后，誰(shuí)畫(huà)的符號(hào)總數(shù)為偶數(shù)，誰(shuí)就獲勝。誰(shuí)有獲勝的策略？第三十八周應(yīng)用同余問(wèn)題專(zhuān)題簡(jiǎn)析：同余這個(gè)概念最初是由偉大的德國(guó)數(shù)學(xué)家高斯發(fā)現(xiàn)的。同余的定義是這樣的：兩個(gè)整數(shù)a，b，如果它們除以同一自然數(shù)m所得的余數(shù)想同，則稱a，b對(duì)于模m同余。記作：ab（mod）。讀做：同余于模。比如，12除以5，47除以5，它們有相同的余數(shù)2，這時(shí)我們就說(shuō)，對(duì)于除數(shù)5，12和47同余，記做1247

19、（mod5）。同余的性質(zhì)比較多，主要有以下一些：性質(zhì)（1）：對(duì)于同一個(gè)出書(shū)，兩個(gè)數(shù)之和（或差）與它們的余數(shù)之和（或差）同余。比如：32除以5余數(shù)是2，19除以5余數(shù)是4，兩個(gè)余數(shù)的和是2+4=6?！?2+19”除以5的余數(shù)就恰好等于它們的余數(shù)和6除以5的余數(shù)。也就是說(shuō)，對(duì)于除數(shù)5，“32+19”與它們的余數(shù)和“2+4”同余，用符號(hào)表示就是：322（mod5），194（mod5），32+192+41（mod5）性質(zhì)（2）：對(duì)于同意個(gè)除數(shù)，兩個(gè)數(shù)的乘積與它們余數(shù)的乘積同余。性質(zhì)（3）：對(duì)于同意個(gè)除數(shù)，如果有兩個(gè)整數(shù)同余，那么它們的差就一定能被這個(gè)除數(shù)整除。性質(zhì)（4）：對(duì)于同意個(gè)除數(shù)，如果兩個(gè)整數(shù)同

20、余，那么它們的乘方仍然同余。應(yīng)用同余性質(zhì)幾萼體的關(guān)鍵是要在正確理解的基礎(chǔ)上靈活運(yùn)用同余性質(zhì)。把求一個(gè)較大的數(shù)除以某數(shù)的余數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求一個(gè)較小的數(shù)除以這個(gè)數(shù)的余數(shù)，使復(fù)雜的題變簡(jiǎn)單，使困難的題變?nèi)菀?。例題1：求199259除以7的余數(shù)?！皯?yīng)用同余性質(zhì)（2）可將199259轉(zhuǎn)化為求1992除以7和59除以7的余數(shù)的乘積，使計(jì)算簡(jiǎn)化。1992除以7余4，59除以7余3。根據(jù)同余性質(zhì)，43”除以7的余數(shù)與“199259”除以7的余數(shù)應(yīng)該是相同的，通過(guò)求“43”除以7的余數(shù)就可知道199259除以7的余數(shù)了。因?yàn)?99259435（mod7）所以199259除以7的余數(shù)是5。練習(xí)1：1、求421736

21、4除以6的余數(shù)。72、求133965512除以13的余數(shù)。3、求87943765283除以11的余數(shù)。例題2：已知2001年的國(guó)慶節(jié)是星期一，求2010年的國(guó)慶節(jié)是星期幾？一星期有7天，要求2010年的國(guó)慶節(jié)是星期幾，就要求從2001年到2010年的國(guó)慶節(jié)的總天數(shù)被7除的余數(shù)就行了。但在甲酸中，如果我們能充分利用同余性質(zhì)，就可以不必算出這個(gè)總天數(shù)。2001年國(guó)慶節(jié)到2010年國(guó)慶節(jié)之間共有2個(gè)閏年7個(gè)平年，即有“3662+3657”天。因?yàn)?662224（mod7），3657170（mod7），3662+365722+174+04（mod7）答：2010年的國(guó)慶節(jié)是星期五。練習(xí)2：1、已知20

22、02年元旦是星期二。求2008年元旦是星期幾？2、已知2002年的“七月一日”是星期一。求2015年的“十月一日”是星期幾？3、今天是星期四，再過(guò)365的15次方是星期幾？例題3：求2001的2003次方除以13的余數(shù)。2001除以13余12，即200112（mod13）。根據(jù)同余性質(zhì)（4），可知2001的2003次方12的2003次方（mod13），但12的2003次方仍然是一個(gè)很大的值，要求它的余數(shù)比較困難。這時(shí)的關(guān)鍵就是要找出12的幾次方對(duì)模13與1是同余的。經(jīng)試驗(yàn)可知12的平方1（mod13），而200321001+1。所以（12的平方）的1001次方1的1001（mod13），即12

23、的2002次方1（mod13），而12的2003次方12的2002次方12。根據(jù)同余性質(zhì)（2）可知12的2002次方1211212（mod13）因?yàn)椋?001的2003次方12的2003次方（mod13）12的平方1（mod13），而200321001+112的2003次方12的2002次方1211212（mod13）所以2001的2003次方除以13的余數(shù)是12。練習(xí)3：1、求12的200次方除以13的余數(shù)。2、求3的92次方除以21余幾。3、9個(gè)小朋友坐成一圈，要把35的7次方粒瓜子平均分給他們，最后剩下幾粒？8例題4：自然數(shù)16520，14903，14177除以m的余數(shù)相同，m最大是多少

24、？自然數(shù)16520，14903，14177除以m的余數(shù)相同，換句話說(shuō)就是165201490314177（modm）。根據(jù)同余性質(zhì)（3），這三個(gè)餓數(shù)同余，那么它們的差就能被m整除。要求m最大是多少，就是求它們差的最大公約數(shù)是多少？因?yàn)?652014903=1617=37的平方111652014177=2343=311711490314177=726=2311的平方M是這些差的公約數(shù)，m最大是311=33。練習(xí)4：1、若2836、4582、5164、6522四個(gè)整數(shù)都被同一個(gè)兩位數(shù)相除，所得的余數(shù)相同。除數(shù)是多少？2、一個(gè)整數(shù)除226、192、141都得到相同的余數(shù)，且余數(shù)不為0，這個(gè)整數(shù)是幾？3

25、、當(dāng)1991和1769除以某一個(gè)自然數(shù)m時(shí)，余數(shù)分別為2和1，那么m最小是多少？例題5：某數(shù)用6除余3，用7除余5，用8除余1，這個(gè)數(shù)最小是幾？我們可從較大的除數(shù)開(kāi)始嘗試。首先考慮與1模8同余的數(shù)，91（mod8），但9輸以7余數(shù)不是5，所以某數(shù)不是9。171（mod8），17除以7的余數(shù)也不是5。251（mod8），25除以7的余數(shù)也不是5。331（mod8），33除以7的余數(shù)正好是5，而且33除以6余數(shù)正好是3，所以這個(gè)數(shù)最小是33。上面的方法實(shí)際是一種列舉法，也可以簡(jiǎn)化為下面的格式：被8除余1的數(shù)有：9，17，25，33，41，49，57，65，73，81，89，其中被7除余5的數(shù)有：3

26、3，89，這些數(shù)中被6除余3的數(shù)最小是33。練習(xí)5：1、某數(shù)除以7余1，除以5余1，除以12余9。這個(gè)數(shù)最小是幾？2、某數(shù)除以7余6，除以5余1，除以11余3，求此數(shù)最小值。3、在一個(gè)圓圈上有幾十個(gè)孔（如圖38-1），小明像玩跳棋那樣從A孔出發(fā)沿逆時(shí)針?lè)较蛎扛魩讉€(gè)孔跳一步，希望一圈以后能跑回A孔，他先試著每隔2孔跳一步，也只能跳到B孔。最后他每隔6孔跳一步，正好跳回A孔。問(wèn)：這個(gè)圓圈上共有多少個(gè)孔？9第三十九周“牛吃草”問(wèn)題專(zhuān)題簡(jiǎn)析：牛吃草問(wèn)題是牛頓問(wèn)題，因牛頓提出而得名的?！耙欢巡菘晒?0頭牛吃3天，供6頭牛吃幾天？”這題很簡(jiǎn)單，用3106=5（天），如果把“一堆草”換成“一片正在生長(zhǎng)的草地

27、”，問(wèn)題就不那么簡(jiǎn)單了。因?yàn)椴菝刻熳咴谏L(zhǎng)，草的數(shù)量在不斷變化。這類(lèi)工作總量不固定（均勻變化）的問(wèn)題就是“牛吃草”問(wèn)題。解答這類(lèi)題的關(guān)鍵是要想辦法從變化中找到不變的量。牧場(chǎng)上原有的草是不變的，新長(zhǎng)出的草雖然在變化，因?yàn)槭莿蛩偕L(zhǎng)，所以每天新長(zhǎng)出的草是不變的。正確計(jì)算草地上原有的草及每天長(zhǎng)出的草，問(wèn)題就容易解決了。例1：一片青草地，每天都勻速長(zhǎng)出青草，這片青草可供27頭牛吃6周或23頭牛吃9周，那么這片草地可供21頭牛吃幾周？這片草地上的草的數(shù)量每天都在變化，解題的關(guān)鍵應(yīng)找到不變量即原來(lái)的草的數(shù)量。因?yàn)榭偛萘靠梢苑殖蓛刹糠郑涸械牟菖c新長(zhǎng)出的草。新長(zhǎng)出的草雖然在變，但應(yīng)注意到是勻速生長(zhǎng)，因而這片

28、草地每天新長(zhǎng)出的草的數(shù)量也是不變的。假設(shè)1頭牛一周吃的草的數(shù)量為1份，那么27頭牛6周需要吃276=162（份），此時(shí)新草與原有的草均被吃完；23頭牛9周需吃239=207（份），此時(shí)新草與原有的草也均被吃完。而162份是原有的草的數(shù)量與6周新長(zhǎng)出的草的數(shù)量的總和；207份是原有的草的數(shù)量與9周新長(zhǎng)出的草的數(shù)量的總和，因此每周新長(zhǎng)出的草的份數(shù)為：（207-162）（9-6）=15（份），所以，原有草的數(shù)量為：162-156=72（份）。這片草地每周新長(zhǎng)草15份相當(dāng)于可安排15頭牛專(zhuān)吃新長(zhǎng)出來(lái)的草，于是這片草地可供21頭牛吃72（21-15）12（周）練習(xí)11、一片草地，每天都勻速長(zhǎng)出青草，如果

29、可供24頭牛吃6天，20頭牛吃10天，那么可供19頭牛吃幾天？2、牧場(chǎng)上一片草地，每天牧草都勻速生長(zhǎng)，這片牧草可供10頭牛吃20天，或者可供15頭牛吃10天，問(wèn)可供25頭牛吃幾天？3、牧場(chǎng)上的青草每天都在勻速生長(zhǎng)，這片青草可供27頭牛吃6周或23頭牛吃9周，那么這片草地可供21頭牛吃幾周？4、例2：由于天氣逐漸冷起來(lái)，牧場(chǎng)上的草不僅不長(zhǎng)大，反而以固定速度在減少。已知某塊草地上的草可供20頭牛吃5天或可供15頭牛吃6天。照此計(jì)算，可供多少頭牛吃10天？與例1不同的是，不僅沒(méi)有新長(zhǎng)出的草，而且原有的草還在減少，但是，我們同樣可以利用與例1類(lèi)似的方法求出每天減少的草和原來(lái)的草的總量。10設(shè)1頭牛1天

30、吃的草為1份，20頭牛5天吃100份，15頭牛6天吃90份，100-90=10（份），說(shuō)明寒冷的天氣使牧場(chǎng)1天減少青草10份，也就是寒冷導(dǎo)致的每天減少的草量相當(dāng)于10頭牛在吃草。由“草地上的草可供20頭牛吃5天”，再加上寒冷導(dǎo)致的每天減少的草量相當(dāng)于10頭牛同時(shí)在吃草，所以原有草兩有（20+10）5=150（份），由15010=15知道，牧場(chǎng)原有的草可供15頭牛吃10天。由寒冷導(dǎo)致的原因占去10頭牛吃的草，所以可供5頭牛吃10天。練習(xí)2：1、由于天氣逐漸冷起來(lái)，牧場(chǎng)上的草每天以均勻的速度在減少。經(jīng)計(jì)算，牧場(chǎng)上的草可供20頭牛吃5天或可供16頭牛吃6天。那么，可供11頭牛吃幾天？2、由于天氣逐漸

31、冷起來(lái)，牧場(chǎng)上的草以固定速度在減少。已知牧場(chǎng)上的草可供33頭牛吃5天或可供24頭牛吃6天。照此計(jì)算，這個(gè)牧場(chǎng)可供多少頭牛吃10天？3、經(jīng)測(cè)算，地球上的資源可供100億人生活100年，或可供80億人生活300年。假設(shè)地球新生成的資源增長(zhǎng)速度是一樣的，那么，為滿足人類(lèi)不斷發(fā)展的需要，地球最多能養(yǎng)活多少億人？4、例3：自動(dòng)扶梯以均勻速度由下往上行駛著，兩位性急的孩子要從扶梯上樓。已知男孩每分鐘走20級(jí)臺(tái)階，女孩每分鐘走15級(jí)臺(tái)階，結(jié)果男孩用5分鐘到達(dá)樓上，女孩用了6分鐘到達(dá)樓上。問(wèn)：該扶梯共有多少級(jí)臺(tái)階？“與前兩個(gè)題比較，總的草量”變成了“扶梯的臺(tái)階總數(shù)”，草”變成了“臺(tái)階”，“?！弊兂闪恕八俣取?，

32、也可以看成是牛吃草問(wèn)題。上樓的速度可以分為兩部分：一部分是男、女孩自己的速度，另一部分是自動(dòng)扶梯的速度。男孩5分鐘走了205=100（級(jí)），女孩6分鐘走了156=90（級(jí)），女孩比男孩少走了10090=10（級(jí)），多用了65=1（分鐘），說(shuō)明電梯1分鐘走10級(jí)。因男孩5分鐘到達(dá)樓上，他上樓的速度是自己的速度與扶梯的速度之和。所以，扶梯共有（20+10）5=150（級(jí)）練習(xí)3：1、自動(dòng)扶梯以均勻速度行駛著，渺小明和小紅從扶梯上樓。已知小明每分鐘走25級(jí)臺(tái)階，小紅每分鐘走20級(jí)臺(tái)階，結(jié)果小明用5分鐘，小紅用了6分鐘分別到達(dá)樓上。該扶梯共有多少級(jí)臺(tái)階？2、兩個(gè)頑皮的孩子逆著自動(dòng)扶梯的方向行走。在20

33、秒鐘里，男孩可走27級(jí)臺(tái)階，女孩可走24級(jí)臺(tái)階，男孩走了2分鐘到達(dá)另一端，女孩走了3分鐘到達(dá)另一端，該扶梯共有多少級(jí)臺(tái)階？113、兩只蝸牛由于耐不住陽(yáng)光的照射，從井頂逃向井底。白天往下爬，兩只蝸牛白天爬行的速度是不同的。一只每天白天爬20分米，另一只爬15分米。黑夜里往下滑，兩只蝸?；械乃俣葏s是相同的。結(jié)果一只蝸牛恰好用了5個(gè)晝夜到達(dá)井底，另一只蝸牛恰好用了6個(gè)晝夜到達(dá)井底。那么，井深多少米？例題4：一只船有一個(gè)漏洞，水以均勻的速度進(jìn)入船內(nèi)，發(fā)現(xiàn)漏洞時(shí)已經(jīng)進(jìn)了一些水。如果用12人舀水，3小時(shí)舀完。如果只有5個(gè)人舀水，要10小時(shí)才能舀完?，F(xiàn)在要想2小時(shí)舀完，需要多少人？已漏進(jìn)的水，加上3小時(shí)漏

34、進(jìn)的水，每小時(shí)需要（123）人舀完，也就是36人用1小時(shí)才能舀完。已漏進(jìn)的水，加上10小時(shí)漏進(jìn)的水，每小時(shí)需要（510）人舀完，也就是50人用1小時(shí)才能舀完。通過(guò)比較，我們可以得出1小時(shí)內(nèi)漏進(jìn)的水及船中已漏進(jìn)的水。1小時(shí)漏進(jìn)的水，2個(gè)人用1小時(shí)能舀完：（510123）（103）=2已漏進(jìn)的水：（122）3=30已漏進(jìn)的水加上2小時(shí)漏進(jìn)的水，需34人1小時(shí)完成：30+22=34用2小時(shí)來(lái)舀完這些水需要17人：342=17（人）練習(xí)4：1、有一水池，池底有泉水不斷涌出。用10部抽水機(jī)20小時(shí)可以把水抽干，用15部相同的抽水機(jī)10小時(shí)可以把水抽干。那么用25部這樣的抽水機(jī)多少小時(shí)可以把水抽干？2、有

35、一個(gè)長(zhǎng)方形的水箱，上面有一個(gè)注水孔，底面有一個(gè)出水孔，兩孔同時(shí)打開(kāi)后，如果每小時(shí)注水30立方分米，7小時(shí)可以注滿水箱；如果每小時(shí)注水45立方分米，注滿水箱可少用2.5小時(shí)。那么每小時(shí)由底面小孔排出多少立方分米的水（設(shè)每小時(shí)排水量相同）？3、有一水井，連續(xù)不段涌出泉水，每分鐘涌出的水量相等。如果用3臺(tái)抽水機(jī)來(lái)抽水，36分鐘可以抽完；如果使用5臺(tái)抽水機(jī)，20分鐘抽完?，F(xiàn)在12分鐘內(nèi)要抽完井水，需要抽水機(jī)多少臺(tái)？例題5：有三塊草地，面積分別為5，6，和8公頃。草地上的草一樣厚，而且長(zhǎng)得一樣快。第一塊草薦地可供11頭牛吃10天，第二塊草地可供12頭牛吃14天。問(wèn)第三塊草地可供19頭牛吃多少天？前幾天我

36、們接觸的是在同一塊草地上，同一個(gè)水池中，現(xiàn)在是三塊面積不同的草地。為了解決這個(gè)問(wèn)題，只需將三塊草地的面積統(tǒng)一起來(lái)。即125，6，8=120這樣，第一塊5公頃可供11頭牛吃10天，1205=24，變?yōu)?20公頃草地可供1124=264（頭）牛吃10天第二塊6公頃可供12頭牛吃14天，1206=20，變?yōu)?20公頃草地可供1220=240（頭）牛吃14天。1208=15。問(wèn)題變成：120公頃草地可供1915=285（頭）牛吃幾天？因?yàn)椴莸孛娣e相同，可忽略具體公頃數(shù)，原題可變?yōu)椋阂粔K草地勻速生長(zhǎng)，可供264頭牛吃10天或供240頭牛吃14天，那么可供285頭牛齒及天？即每天新長(zhǎng)出的草：（240142

37、6410）（1410）=180（份）草地原有草：（264180）10=840（份）可供285頭牛吃的時(shí)間：840（285180）=8（天）答：第三塊草地可供19頭牛吃8天。練習(xí)5：1、某車(chē)站在檢票前若干分鐘就開(kāi)始排隊(duì)，每分鐘來(lái)的旅客人數(shù)一樣多。從開(kāi)始檢票到等候檢票的隊(duì)伍消失，同時(shí)開(kāi)4個(gè)檢票口需30分鐘，同時(shí)開(kāi)5個(gè)檢票口需20分鐘。如果同時(shí)打開(kāi)7個(gè)檢票口，那么需多少分鐘？2、快、中、慢三車(chē)同時(shí)從A地出發(fā)，追趕一輛正在行駛的自行車(chē)，三車(chē)的速度分別是嵋小時(shí)24千米、20千米、19千米。快車(chē)追上自行車(chē)用了6小時(shí)，中車(chē)追上自行車(chē)用了10小時(shí)，慢車(chē)追上自行車(chē)用多少小時(shí)？3、一個(gè)牧場(chǎng)上的青草每天都勻速生長(zhǎng)。

38、這片青草可供17頭牛吃30天，或供19頭牛吃24天?，F(xiàn)有一群牛吃了6天后賣(mài)掉4頭，余下的牛又吃了2天將草吃完。這群牛原來(lái)有多少頭？第四十周不定方程專(zhuān)題簡(jiǎn)析：當(dāng)方程的個(gè)數(shù)比方程中未知數(shù)的個(gè)數(shù)少時(shí)，我們就稱這樣的方程為不定方程。如5x3y9就是不定方程。這種方程的解是不確定的。如果不加限制的話，它的解有無(wú)數(shù)個(gè)；如果附加一些限制條件，那么它的解的個(gè)數(shù)就是有限的了。如5x3y9的解有：x2.4x2.7x3.06x3.6y1y1.5y2.1y3如果限定x、y的解是小于5的整數(shù)，那么解就只有x3，Y2這一組了。因此，研究不定方程主要就是分析討論這些限制條件對(duì)解的影響。解不定方程時(shí)一般要將原方程適當(dāng)變形，把

39、其中的一個(gè)未知數(shù)用另一個(gè)未知數(shù)來(lái)表示，然后再一定范圍內(nèi)試驗(yàn)求解。解題時(shí)要注意觀察未知數(shù)的特點(diǎn)，盡量縮小未知數(shù)的取值范圍，減少試驗(yàn)的次數(shù)。13先將原方程變形，y。可列表試驗(yàn)求解：對(duì)于有3個(gè)未知數(shù)的不定方程組，可用削去法把它轉(zhuǎn)化為二元一次不定方程再求解。解答應(yīng)用題時(shí)，要根據(jù)題中的限制條件（有時(shí)是明顯的，有時(shí)是隱蔽的）取適當(dāng)?shù)闹?。?求3x+4y23的自然數(shù)解。233x4X1234567Y52所以方程3x+4y23的自然數(shù)解為X=1x=5Y=5y=2練習(xí)一1、求3x+2y25的自然數(shù)解。2、求4x+5y37的自然數(shù)解。3、求5x3y16的最小自然數(shù)解。例2求下列方程組的正整數(shù)解。5x+7y+3z25

40、3xy6z2這是一個(gè)三元一次不定方程組。解答的實(shí)話，要先設(shè)法消去其中的一個(gè)未知數(shù)，將方程組簡(jiǎn)化成例1那樣的不定方程。5x+7y+3z253xy6z2由2+，得13x+13y52X+y4把式變形，得y4x。因?yàn)閤、y、z都是正整數(shù)，所以x只能取1、2、3.當(dāng)x1時(shí)，y3當(dāng)x2時(shí)，y2當(dāng)x3時(shí)，y1把上面的結(jié)果再分別代入或，得x1，y3時(shí)，z無(wú)正整數(shù)解。x2，y2時(shí)，z也無(wú)正整數(shù)解。x3時(shí)，y1時(shí)，z1.所以，原方程組的正整數(shù)解為x1y114z1練習(xí)2求下面方程組的自然數(shù)解。1、4x+3y2z72、7x+9y+11z683x+2y+4z215x+7y+9z524、5x+7y+4z263xy6z2例

41、3一個(gè)商人將彈子放進(jìn)兩種盒子里，每個(gè)大盒子裝12個(gè)，每個(gè)小盒子裝5個(gè)，恰好裝完。如果彈子數(shù)為99，盒子數(shù)大于9，問(wèn)兩種盒子各有多少個(gè)？?jī)煞N盒子的個(gè)數(shù)都應(yīng)該是自然數(shù)，所以要根據(jù)題意列出不定方程，再求出它的自然數(shù)解。設(shè)大盒子有x個(gè)，小盒子有y個(gè)，則12x+5y99（x0，y0，x+y9）y（9912y）5經(jīng)檢驗(yàn)，符合條件的解有：x2x7y15y3所以，大盒子有2個(gè)，小盒子有15個(gè)，或大盒子有7個(gè)，小盒子有3個(gè)。練習(xí)3.1、某校6（1）班學(xué)生48人到公園劃船。如果每只小船可坐3人，每只大船可坐5人。那么需要小船和大船各幾只？（大、小船都有）2、甲級(jí)鉛筆7角錢(qián)一枝，乙級(jí)鉛筆3角錢(qián)一枝，小華用六元錢(qián)恰好

42、可以買(mǎi)兩種不同的鉛筆共幾枝？3、小華和小強(qiáng)各用6角4分買(mǎi)了若干枝鉛筆，他們買(mǎi)來(lái)的鉛筆中都是5分一枝和7分一枝的兩種，而且小華買(mǎi)來(lái)的鉛筆比小強(qiáng)多，小華比小強(qiáng)多買(mǎi)來(lái)多少枝？例題4買(mǎi)三種水果30千克，共用去80元。其中蘋(píng)果每千克4元，橘子每千克3元，梨每千克2元。問(wèn)三種水果各買(mǎi)了多少千克？設(shè)蘋(píng)果買(mǎi)了x千克，橘子買(mǎi)了y千克，梨買(mǎi)了（30xy）千克。根據(jù)題意得：4x+3y+2（30xy）82x10y2由式子可知：y20，則y必須是2的倍數(shù)，所以y可取2、4、6、8、10、15yx13、一頭豬賣(mài)3個(gè)銀幣，一頭山羊賣(mài)1個(gè)銀幣，一頭綿羊買(mǎi)個(gè)銀幣。有人12、14、16、18。因此，原方程的解如下表：蘋(píng)果9876

43、54321橘子24681012141618梨191817161514131211練習(xí)41、有紅、黃、藍(lán)三種顏色的皮球共26只，其中藍(lán)皮球的只數(shù)是黃皮球的9倍，藍(lán)皮球有多少只？2、用10元錢(qián)買(mǎi)25枝筆。已知毛筆每枝2角，彩色筆每枝4角，鋼筆每枝9角。問(wèn)每種筆各買(mǎi)幾枝？（每種都要買(mǎi)）3、曉敏在文具店買(mǎi)了三種貼紙；普通貼紙每張8分，熒光紙每張1角，高級(jí)紙每張2角。她一共用了一元兩角兩分錢(qián)。那么，曉敏的三種貼紙的總數(shù)最少是多少?gòu)?？?某次數(shù)學(xué)競(jìng)賽準(zhǔn)備例2枝鉛筆作為獎(jiǎng)品發(fā)給獲得一、二、三等獎(jiǎng)的學(xué)生。原計(jì)劃一等獎(jiǎng)每人發(fā)6枝，二等獎(jiǎng)每人發(fā)3枝，三等獎(jiǎng)每人發(fā)2枝。后又改為一等獎(jiǎng)每人發(fā)9枝，二等獎(jiǎng)每人發(fā)4枝，三

44、等獎(jiǎng)每人發(fā)1枝。問(wèn)：一、二、三等獎(jiǎng)的學(xué)生各有幾人？設(shè)一等獎(jiǎng)有x人，二等獎(jiǎng)有y人，三等獎(jiǎng)有z人。則6x+3y+2z229x+4y+z22由2，得12x+5y222212x5x只能取1。Y2，代入得z5，原方程的解為y2z5所以，一等獎(jiǎng)的學(xué)生有1人，二等獎(jiǎng)的學(xué)生有2人，三等獎(jiǎng)的學(xué)生有5人。練習(xí)51、某人打靶，8發(fā)打了53環(huán)，全部命中在10環(huán)、7環(huán)和5環(huán)。他命中10環(huán)、7環(huán)和5環(huán)各幾發(fā)？2、籃子里有煮蛋、茶葉蛋和皮蛋30個(gè)，價(jià)值24元。已知煮蛋每個(gè)0.60元，茶葉蛋每個(gè)1元，皮蛋每個(gè)1.20元。問(wèn)籃子里最多有幾個(gè)皮蛋？111232用100個(gè)銀幣賣(mài)了這三種牲畜100頭。問(wèn)豬、山羊、綿羊各幾頭？16答案：練11、x1x3x5x7y11y8y5y22、x3x8y11y14、x5y3練21、x1y3z32、x3x4y4y2z1z23、x3y1z1練31、設(shè)需要小船x只，大船y只。則3x+5y48，y483x5根據(jù)題意，x可取2、設(shè)買(mǎi)甲級(jí)筆x枝，乙級(jí)筆y枝，則7x+3y60，y607x1、6、11，方程的解是x1x6x11y9y6y33。x17