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1、高考大題增分專項一高考中的函數(shù)與導數(shù),從近五年的高考試題來看,高考對函數(shù)與導數(shù)的考查,已經(jīng)從直接利用導數(shù)的正負討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,或利用函數(shù)單調(diào)性求函數(shù)的極值、最值問題,轉(zhuǎn)變成利用求導的方法證明不等式,探求參數(shù)的取值范圍,解決函數(shù)的零點、方程根的問題,以及在某不等式成立的條件下,求某一參數(shù)或某兩個參數(shù)構(gòu)成的代數(shù)式的最值.,題型一,題型二,題型三,策略一,策略二,策略三,突破策略一差函數(shù)法 證明函數(shù)不等式f(x)g(x),可證f(x)-g(x)0,令h(x)=f(x)-g(x),或令h(x)為f(x)-g(x)表達式的某一部分,利用導數(shù)證明h(x)min0;如果h(x)沒有最小值,那么可利用導數(shù)

2、確定出h(x)的單調(diào)性,即若h(x)0,則h(x)在(a,b)上是增函數(shù),同時若h(a)0,則當x(a,b)時,有h(x)0,即f(x)g(x).,題型一,題型二,題型三,策略一,策略二,策略三,例1設(shè)函數(shù)f(x)=ln x-x+1. (1)討論f(x)的單調(diào)性;,(3)設(shè)c1,證明當x(0,1)時,1+(c-1)xcx.,(1)解:(導數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性),令f(x)=0解得x=1. 當00,f(x)單調(diào)遞增; 當x1時,f(x)0,f(x)單調(diào)遞減. (2)證明:由(1)知f(x)在x=1處取得最大值,最大值為f(1)=0. 所以當x1時,ln xx-1.,題型一,題型二,題型三,策略一,策

3、略二,策略三,(3)證明:由題設(shè)c1,(構(gòu)造函數(shù)) 設(shè)g(x)=1+(c-1)x-cx,則g(x)=c-1-cxln c,當x0,g(x)單調(diào)遞增; 當xx0時,g(x)0,g(x)單調(diào)遞減.,又g(0)=g(1)=0,故當00. 所以當x(0,1)時,1+(c-1)xcx.,題型一,題型二,題型三,策略一,策略二,策略三,對點訓練1已知函數(shù)f(x)=ax+ln x,函數(shù)g(x)的導函數(shù)g(x)=ex,且g(0)g(1)=e,其中e為自然對數(shù)的底數(shù). (1)若x(0,+),使得不等式g(x) 成立,試求實數(shù)m的取值范圍; (2)當a=0時,對于x(0,+),求證:f(x)g(x)-2.,題型一

4、,題型二,題型三,策略一,策略二,策略三,(1)解:因為函數(shù)g(x)的導函數(shù)g(x)=ex, 所以g(x)=ex+c(c為常數(shù)). 因為g(0)g(1)=e,所以(1+c)e=e,可得c=0,即g(x)=ex.,題型一,題型二,題型三,策略一,策略二,策略三,所以h(x)在(0,+)上為減函數(shù), 所以h(x)h(0)=3,所以m3.,題型一,題型二,題型三,策略一,策略二,策略三,(2)證明:當a=0時,f(x)=ln x,令(x)=g(x)-f(x)-2, 即(x)=ex-ln x-2,因為當x(0,t)時,(x)0,(x)在t,+)內(nèi)為增函數(shù), 故(x)min=(t)=et-ln t-2=

5、et-ln e-t-2=et+t-2.,題型一,題型二,題型三,策略一,策略二,策略三,突破策略二求最值法 求最值法證明函數(shù)不等式,一般依據(jù)表達式的組成及結(jié)構(gòu)有兩種不同的證明方法: (1)要證f(x)h(x),可令(x)=f(x)-h(x),只需證明(x)min0. (2)要證f(x)h(x),可證f(x)minh(x)max;要證f(x)m,可將該不等式轉(zhuǎn)化為g(x)h(x)的形式,然后再證明g(x)minh(x)max. 選用哪種方式,要看哪種方式構(gòu)造出的函數(shù)的最值易求.,題型一,題型二,題型三,策略一,策略二,策略三,(1)求函數(shù)f(x)在區(qū)間1,e2上的最值;,當x1,e)時,f(x)

6、0;當x(e,e2時,f(x)0. 故f(x)在區(qū)間1,e)內(nèi)單調(diào)遞增,在區(qū)間(e,e2上單調(diào)遞減.,題型一,題型二,題型三,策略一,策略二,策略三,題型一,題型二,題型三,策略一,策略二,策略三,對點訓練2(2018山東威海二模)已知函數(shù)f(x)= x2+ax-aex,g(x)為f(x)的導函數(shù). (1)求函數(shù)g(x)的單調(diào)區(qū)間; (2)若函數(shù)g(x)在R上存在最大值0,求函數(shù)f(x)在0,+)上的最大值; (3)求證:當x0時,x2+2x+3e2x(3-2sin x).,(1)解:由題意可知,g(x)=f(x)=x+a-aex,則g(x)=1-aex, 當a0時,g(x)0,g(x)在(-

7、,+)上單調(diào)遞增; 當a0時,若x0,若x-ln a,則g(x)0時,g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-,-ln a),單調(diào)遞減區(qū)間為(-ln a,+).,題型一,題型二,題型三,策略一,策略二,策略三,(2)解:由(1)可知,a0且g(x)在x=-ln a處取得最大值,當a(0,1)時,h(a)0. h(a)在(0,1)上單調(diào)遞減,在(1,+)單調(diào)遞增, h(a)h(1)=0,當且僅當a=1時,a-ln a-1=0,由題意可知f(x)=g(x)0,f(x)在0,+)上單調(diào)遞減, f(x)在x=0處取得最大值f(0)=-1.,題型一,題型二,題型三,策略一,策略二,策略三,(3)證明:由(2)可知,

8、若a=1,當x0時,f(x)-1,可得x2+2x2ex-2,x2+2x+3-e2x(3-2sin x)2ex-2+3-e2x(3-2sin x), 令F(x)=e2x(2sin x-3)+2ex+1=exex(2sin x-3)+2+1,即證F(x)0, 令G(x)=ex(2sin x-3)+2,G(x)0,G(x)在0,+)上單調(diào)遞減,G(x)G(0)=-1, F(x)-ex+10,當且僅當x=0時等號成立, x2+2x+3e2x(3-2sin x).,題型一,題型二,題型三,策略一,策略二,策略三,突破策略三尋求導函數(shù)零點法 若使用策略一或策略二解答時,遇到令f(x)=0,但無法解出導函數(shù)

9、的零點x0時,可利用函數(shù)零點存在性定理,試出導函數(shù)在區(qū)間(a,b)內(nèi)的零點x0,再判斷導函數(shù)在區(qū)間(a,x0),(x0,b)的正負情況,從而判斷f(x)在x0處取得最值,求出最值并通過對最值的處理消去x0使問題得到解決.,題型一,題型二,題型三,策略一,策略二,策略三,例3設(shè)函數(shù)f(x)=e2x-aln x. (1)討論f(x)的導函數(shù)f(x)零點的個數(shù);,當a0時,f(x)0,f(x)沒有零點, 當a0時,因為y=e2x在區(qū)間(0,+)內(nèi)單調(diào)遞增,y=- 在區(qū)間(0,+)內(nèi)單調(diào)遞增, 所以f(x)在區(qū)間(0,+)內(nèi)單調(diào)遞增.,題型一,題型二,題型三,策略一,策略二,策略三,(2)證明:由(1

10、),可設(shè)f(x)在區(qū)間(0,+)內(nèi)的唯一零點為x0,當x(0,x0)時,f(x)0. 故f(x)在區(qū)間(0,x0)內(nèi)單調(diào)遞減,在區(qū)間(x0,+)內(nèi)單調(diào)遞增,所以當x=x0時,f(x)取得最小值,最小值為f(x0).,題型一,題型二,題型三,策略一,策略二,策略三,對點訓練3設(shè)函數(shù)f(x)=ax-2-ln x(aR). (1)若f(x)在點(e,f(e)處的切線為x-ey+b=0,求a,b的值; (2)求f(x)的單調(diào)區(qū)間; (3)若g(x)=ax-ex,求證:當x0時,f(x)g(x).,題型一,題型二,題型三,策略一,策略二,策略三,題型一,題型二,題型三,策略一,策略二,策略三,題型一,題

11、型二,題型三,策略一,策略二,策略三,當x0時,f(x)g(x).,題型一,題型二,題型三,策略一,策略二,策略三,突破策略一分離參數(shù)法 已知不等式在某一區(qū)間上恒成立,求參數(shù)的取值范圍,一般先分離參數(shù),再轉(zhuǎn)化為求函數(shù)在給定區(qū)間上的最值問題求解.即f(x)g(k)f(x)ming(k),f(x)g(k)f(x)maxg(k).,題型一,題型二,題型三,策略一,策略二,策略三,(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間; (2)若x1,+),不等式f(x)-1恒成立,求實數(shù)a的取值范圍.,題型一,題型二,題型三,策略一,策略二,策略三,由條件知,2ax2-ex對x1,+)都成立. 令g(x)=x2-ex,h(

12、x)=g(x)=2x-ex, h(x)=2-ex. 當x1,+)時,h(x)=2-ex2-e-1在區(qū)間1,+)內(nèi)恒成立,只需2ag(x)max=1-e,題型一,題型二,題型三,策略一,策略二,策略三,對點訓練4已知函數(shù)f(x)=aln x+bx(a,bR)在點(1,f(1)處的切線方程為x-2y-2=0. (1)求a,b的值;,題型一,題型二,題型三,策略一,策略二,策略三,題型一,題型二,題型三,策略一,策略二,策略三,題型一,題型二,題型三,策略一,策略二,策略三,突破策略二分類討論法 當不等式中的參數(shù)無法分離,或含參不等式中左、右兩邊的函數(shù)具有某些不確定因素時,應(yīng)用分類討論的方法來處理,

13、分類討論可使原問題中的不確定因素變成確定因素,為問題的解決提供新的條件.因此,求參數(shù)的范圍轉(zhuǎn)換成了討論參數(shù)在哪些范圍能使不等式成立.,題型一,題型二,題型三,策略一,策略二,策略三,例5已知函數(shù)f(x)=(x+1)ln x-a(x-1). (1)當a=4時,求曲線y=f(x)在(1,f(1)處的切線方程; (2)當x(1,+)時,f(x)0,求a的取值范圍. 解:(1)f(x)的定義域為(0,+).當a=4時, f(x)=(x+1)ln x-4(x-1),f(x)=ln x+ -3,f(1)=-2,f(1)=0. 曲線y=f(x)在(1,f(1)處的切線方程為2x+y-2=0.,題型一,題型二

14、,題型三,策略一,策略二,策略三,(2)當x(1,+)時,()當a2,x(1,+)時,x2+2(1-a)x+1x2-2x+10,故g(x)0,g(x)在區(qū)間(1,+)內(nèi)單調(diào)遞增, 因此g(x)0; ()當a2時,令g(x)=0得,由x21和x1x2=1得x11, 故當x(1,x2)時,g(x)0,g(x)在區(qū)間(1,x2)內(nèi)單調(diào)遞減,因此g(x)0. 綜上,a的取值范圍是(-,2.,題型一,題型二,題型三,策略一,策略二,策略三,對點訓練5已知函數(shù)f(x)=m(x-1)ex+x2(mR). (1)若m=-1,求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間; (2)若對任意的xf(x)恒成立,求m的取值范圍.,解 (

15、1)當m=-1時,f(x)=(1-x)ex+x2,則f(x)=x(2-ex). 由f(x)0得0ln 2, 故函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,ln 2),單調(diào)遞減區(qū)間為(-,0),(ln 2,+).,題型一,題型二,題型三,策略一,策略二,策略三,因為x0. 令h(x)=mex-x-m,則h(x)=mex-1, 當m1時,h(x)ex-1h(0)=0,符合題意; 當m1時,h(x)在(-,-ln m)內(nèi)單調(diào)遞減,在(-ln m,0)內(nèi)單調(diào)遞增, 所以h(x)min=h(-ln m)h(0)=0,不符合題意. 綜上所述,m的取值范圍為(-,1.,題型一,題型二,題型三,策略一,策略二,策略三,

16、突破策略三分別求函數(shù)最值法 若兩邊變量不同的函數(shù)不等式恒成立,求不等式中的參數(shù)范圍,常用分別求函數(shù)最值求解.即 若對x1I1,x2I2,f(x1)g(x2)恒成立,則f(x)ming(x)max. 若對x1I1,x2I2,使得f(x1)g(x2),則f(x)ming(x)min. 若對x1I1,x2I2,使得f(x1)g(x2),則f(x)maxg(x)max.,題型一,題型二,題型三,策略一,策略二,策略三,題型一,題型二,題型三,策略一,策略二,策略三,題型一,題型二,題型三,策略一,策略二,策略三,題型一,題型二,題型三,策略一,策略二,策略三,題型一,題型二,題型三,策略一,策略二,策

17、略三,題型一,題型二,題型三,策略一,策略二,策略三,當m0時,f(x)0時,由f(x)=0,解得x=2m. 令f(x)0,解得0x2m,此時函數(shù)f(x)單調(diào)遞增; 令f(x)0,解得2mx,此時函數(shù)f(x)單調(diào)遞減. 此時函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,2m),單調(diào)遞減區(qū)間為(2m,+).,題型一,題型二,題型三,策略一,策略二,策略三,題型一,題型二,題型三,策略一,策略二,策略三,題型一,題型二,題型三,策略一,策略二,突破策略一求導與數(shù)形結(jié)合法 研究函數(shù)零點或方程根的情況,可以通過導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最大值、最小值、變化趨勢等,并借助函數(shù)的大致圖象判斷函數(shù)零點或方程根的情況.其基本

18、的思路為:(1)構(gòu)造函數(shù),并求其定義域;(2)求導數(shù),得單調(diào)區(qū)間和極值點;(3)通過數(shù)形結(jié)合,挖掘隱含條件,確定函數(shù)圖象與x軸的交點情況進而求解.,題型一,題型二,題型三,策略一,策略二,例7函數(shù)f(x)=(ax2+x)ex,其中e是自然對數(shù)的底數(shù),aR. (1)當a0時,解不等式f(x)0; (2)當a=0時,求整數(shù)t的所有值,使方程f(x)=x+2在區(qū)間t,t+1上有解. 解:(1)因為ex0,所以不等式f(x)0等價于ax2+x0.,題型一,題型二,題型三,策略一,策略二,(2)當a=0時,方程f(x)=x+2即為xex=x+2. 因為ex0,所以x=0不是方程的解,所以方程f(x)=x

19、+2有且只有兩個實數(shù)根,且分別在區(qū)間1,2和-3,-2上, 所以整數(shù)t的所有值為-3,1.,題型一,題型二,題型三,策略一,策略二,對點訓練7已知函數(shù)f(x)=x3-3x2+ax+2,曲線y=f(x)在點(0,2)處的切線與x軸交點的橫坐標為-2. (1)求a; (2)證明:當k1時,曲線y=f(x)與直線y=kx-2只有一個交點.,(2)證明 由(1)知f(x)=x3-3x2+x+2,設(shè)g(x)=f(x)-kx+2=x3-3x2+(1-k)x+4, 由題設(shè)知1-k0.當x0時,g(x)=3x2-6x+1-k0,g(x)單調(diào)遞增, g(-1)=k-10,所以g(x)=0在(-,0有唯一實根.

20、當x0時,令h(x)=x3-3x2+4,則g(x)=h(x)+(1-k)xh(x).,題型一,題型二,題型三,策略一,策略二,h(x)=3x2-6x=3x(x-2),h(x)在(0,2)內(nèi)單調(diào)遞減,在(2,+)內(nèi)單調(diào)遞增,所以g(x)h(x)h(2)=0, 所以g(x)=0在(0,+)內(nèi)沒有實根. 綜上,g(x)=0在R有唯一實根,即曲線y=f(x)與直線y=kx-2只有一個交點.,題型一,題型二,題型三,策略一,策略二,突破策略二分類討論法 1.如果函數(shù)中沒有參數(shù),那么可以直接一階求導得出函數(shù)的極值點,判斷極值點大于0和小于0的情況,進而判斷函數(shù)零點的個數(shù); 2.如果函數(shù)中含有參數(shù),那么一階

21、導數(shù)的正負往往不好判斷,這時要對參數(shù)進行分類,在參數(shù)小的范圍內(nèi)判斷導數(shù)的符號.如果分類也不好判斷,那么需要對一階導函數(shù)進行再次求導,在判斷二階導數(shù)的正負時,也可能需要分類. 3.分類討論可使原問題中的不確定因素變成確定因素,為問題的解決提供新的條件.,題型一,題型二,題型三,策略一,策略二,題型一,題型二,題型三,策略一,策略二,題型一,題型二,題型三,策略一,策略二,因為x0(從右側(cè)趨近0)時,f(x)+;x+時,f(x)+,所以f(x)有兩個零點. 當00,f(x)為增函數(shù);當x(a,1)時,f(x)0,f(x)為增函數(shù). 所以f(x)在x=a處取到極大值,f(x)在x=1處取到極小值.,

22、當0a1時,f(a)0,即當x(0,1)時,f(x)0. 而當x(1,+)時,f(x)為增函數(shù),且當x+時,f(x)+.所以此時f(x)有一個零點.,題型一,題型二,題型三,策略一,策略二,題型一,題型二,題型三,策略一,策略二,對點訓練8已知函數(shù)f(x)=x3+ax+ ,g(x)=-ln x. (1)當a為何值時,x軸為曲線y=f(x)的切線; (2)用minm,n表示m,n中的最小值,設(shè)函數(shù)h(x)=minf(x),g(x)(x0),討論h(x)零點的個數(shù).,解:(1)由題意可知f(x)=3x2+a.設(shè)曲線y=f(x)與x軸相切于點(x0,0),則f(x0)=0,f(x0)=0,題型一,題

23、型二,題型三,策略一,策略二,(2)當x(1,+)時,g(x)=-ln x0, 從而h(x)=minf(x),g(x)g(x)0,故h(x)在(1,+)內(nèi)無零點.,故x=1不是h(x)的零點. 當x(0,1)時,g(x)=-ln x0.所以只需考慮f(x)在(0,1)的零點個數(shù).,題型一,題型二,題型三,策略一,策略二,()若a-3或a0,則f(x)=3x2+a在(0,1)內(nèi)無零點,故f(x)在(0,1)內(nèi)單調(diào).,題型一,題型二,題型三,策略一,策略二,1.常常將不等式的恒成立問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題;將證明不等式問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性與最值問題;將方程的求解問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的零點問題、兩個函數(shù)

24、圖象的交點問題等. 2.關(guān)于二次求導問題:(1)在討論函數(shù)單調(diào)性時,如果導函數(shù)值的符號不容易確定,那么一般是對導函數(shù)再次求導判斷出導函數(shù)的單調(diào)性,通過導函數(shù)的零點來確定導函數(shù)值的符號,從而判斷出原函數(shù)的單調(diào)性;(2)利用求導的方法可求出某一函數(shù)的最值,如果求出的最值仍然是含有變量的表達式,那么再確定這一表達式的最值時仍然需要求導.,3.“恒成立”與“存在性”問題的求解是“互補”關(guān)系,即f(x)g(a)對于xD恒成立,應(yīng)求f(x)的最小值;若存在xD,使得f(x)g(a)成立,應(yīng)求f(x)的最大值. 4.所求問題如何轉(zhuǎn)化成能利用導數(shù)解決的問題是關(guān)鍵.直接利用導數(shù)解決的問題一個是函數(shù)的單調(diào)性,一個是函數(shù)的極值或最值,所以應(yīng)將具體問題通過等價轉(zhuǎn)換(或構(gòu)造函數(shù)),使所求問題轉(zhuǎn)化成與單調(diào)性或函數(shù)的極值、最值有關(guān)的問題.,