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1、力力 學學 基基 本本 概概 念念 及及 補補 充充1身心健康力學部分力學部分主要公式主要公式：（1).牛頓第二定律牛頓第二定律 FdtPd（2).角動量定理角動量定理 MdtLd對于質(zhì)點對于質(zhì)點,角動量角動量PrL對于剛體對于剛體,角動量角動量JL(3).保守力與勢能關系保守力與勢能關系pEF2身心健康(4).三種勢能三種勢能重力勢能重力勢能mgzEp彈性勢能彈性勢能221kxEp萬有引力勢能萬有引力勢能rMmGEp(5).保守力的特點保守力的特點0LrdF作功與路徑無關作功與路徑無關(6).勢能的定義勢能的定義某個位置處的勢能計算：某個位置處的勢能計算：從這個位置移動到勢能零點處，保守力所

2、做的功。從這個位置移動到勢能零點處，保守力所做的功。00 0 =abpapbpbpaaCaAEEIf EEAFdr，3身心健康o)(hEphkEpEHHE重力勢能重力勢能kEpEE)(xEpxABo彈性勢能彈性勢能xpEEo0kEkEpE引力勢能引力勢能()pEhmgh21()2pExkx()pMmErGr 4身心健康勢能曲線的作用：勢能曲線的作用：（1 1）根據(jù)勢能曲線的形狀可以）根據(jù)勢能曲線的形狀可以討論物體的運動討論物體的運動。（2 2）利用勢能曲線，可以）利用勢能曲線，可以判斷物體在各個位置判斷物體在各個位置所受保守力的大小和方向所受保守力的大小和方向。pppEEEA)(12pEAdd

3、xFAdcosdxEFpxdd 表明：表明：保守力沿某坐標軸的分量等于勢能對此保守力沿某坐標軸的分量等于勢能對此坐標的導數(shù)的負值坐標的導數(shù)的負值。5身心健康(7).轉(zhuǎn)動動能轉(zhuǎn)動動能212J(8).轉(zhuǎn)動定律轉(zhuǎn)動定律FrMvrddMJJt21()NiiiJrm(9).轉(zhuǎn)動慣量轉(zhuǎn)動慣量mrJd2ddmlddmSddmVar6身心健康剛體的平面平行運動剛體的平面平行運動一、剛體的平面平行運動一、剛體的平面平行運動定義：定義：當剛體運動時，其中各點始終和某一平面保當剛體運動時，其中各點始終和某一平面保持一定的距離，或者說剛體中各點都平行于某一平持一定的距離，或者說剛體中各點都平行于某一平面運動，這就叫剛

4、體的平面平行運動。面運動，這就叫剛體的平面平行運動。根據(jù)平面運動的定義，剛體平面運動的自由度根據(jù)平面運動的定義，剛體平面運動的自由度有三個，兩個坐標決定質(zhì)心位置，一個坐標決定轉(zhuǎn)有三個，兩個坐標決定質(zhì)心位置，一個坐標決定轉(zhuǎn)動角度。動角度。剛體的平面平行運動可以看做質(zhì)心的平動與相剛體的平面平行運動可以看做質(zhì)心的平動與相對于通過質(zhì)心并垂直于平面的軸的轉(zhuǎn)動的疊加。對于通過質(zhì)心并垂直于平面的軸的轉(zhuǎn)動的疊加。7身心健康 主要討論圓形物體在平面上或曲面上的滾動。通常主要討論圓形物體在平面上或曲面上的滾動。通常質(zhì)心就在圓的中心。質(zhì)心就在圓的中心。二、滾動二、滾動幾種滾動的形式：幾種滾動的形式：有滑滾動有滑滾動

5、：接觸面之間有相對滑動的滾動：接觸面之間有相對滑動的滾動 無滑滾動（純滾動）無滑滾動（純滾動）：接觸面之間無相對滑動的滾動。：接觸面之間無相對滑動的滾動。車輪的純滾動車輪的純滾動8身心健康 對于純滾動，除了要滿足前面的兩個公式以外，還對于純滾動，除了要滿足前面的兩個公式以外，還應該滿足應該滿足約束條件約束條件：CvRCaR 對于平面上的滾動，上式中對于平面上的滾動，上式中 、是圓心（通常就是圓心（通常就是質(zhì)心）的速度和加速度大小；是質(zhì)心）的速度和加速度大小；和和 為滾動物體的角為滾動物體的角速度和角加速度（物體在質(zhì)心參考系中的角速度和角加速度和角加速度（物體在質(zhì)心參考系中的角速度和角加速度）；

6、速度）；是滾動物體的圓半徑。是滾動物體的圓半徑。對于曲面上的滾動，式中的對于曲面上的滾動，式中的 應理解為圓心的切向應理解為圓心的切向加速度。加速度。CvCaRCa9身心健康 車輪的純滾動車輪的純滾動CvARGRBRABGARBR 車輪中心前進的距離與質(zhì)心轉(zhuǎn)過的角度的關系車輪中心前進的距離與質(zhì)心轉(zhuǎn)過的角度的關系Rx 則則Rvc 10身心健康總結(jié)總結(jié)IFhIFhmFamaF 00此時：這樣看待圓柱體的運動：此時：這樣看待圓柱體的運動：O點以過點以過O 點為瞬心軸轉(zhuǎn)動。點為瞬心軸轉(zhuǎn)動。若：若：，即：相對運動趨勢向前，即：相對運動趨勢向前，向后。向后。ra 00f12 rh，即：相對運動趨勢向后，即

7、：相對運動趨勢向后，向前。向前。ra 00f12 rh，即：無相對運動趨勢，即：無相對運動趨勢，ra 000 f12 rh關于關于“純滾動純滾動”問題，問題，判斷靜摩擦力方向判斷靜摩擦力方向：靜摩擦力與相對運動趨勢相反。：靜摩擦力與相對運動趨勢相反。11身心健康（1）求質(zhì)心的運動求質(zhì)心的運動。利用質(zhì)心運動定律，設質(zhì)心在利用質(zhì)心運動定律，設質(zhì)心在Oxy平面內(nèi)運動，平面內(nèi)運動，則有平動方程則有平動方程CxxmaF CyymaF zCMJ 剛體平面平行運動的求解剛體平面平行運動的求解:（2）在質(zhì)心坐標系中討論剛體繞通過質(zhì)心并垂直于在質(zhì)心坐標系中討論剛體繞通過質(zhì)心并垂直于空間固定平面的軸轉(zhuǎn)動空間固定平

8、面的軸轉(zhuǎn)動。zCLJ（3）純滾動約束方程純滾動約束方程。CvRCaR12身心健康例題例題 討論一勻質(zhì)討論一勻質(zhì)實心的圓柱體在斜面實心的圓柱體在斜面上的運動。上的運動。N aCxG=mgrxyOfr 解解 圓柱體所受的力共有三個：圓柱體所受的力共有三個：重力重力G ，斜面的支承力，斜面的支承力N 和和摩擦力摩擦力f r，如圖所示。設圓柱體的質(zhì)量為，如圖所示。設圓柱體的質(zhì)量為m，半徑，半徑為為r，那么，它對其幾何的轉(zhuǎn)動慣量，那么，它對其幾何的轉(zhuǎn)動慣量 221mrJ 13身心健康這樣可得這樣可得rCfmgmaxsincosmgNmayCrfJr以上三式中，以上三式中，aCx x和和aCy是圓柱體質(zhì)心

9、在是圓柱體質(zhì)心在x x軸和軸和y y軸方軸方向的加速度，向的加速度，是圓柱體對其通過質(zhì)心的幾何軸轉(zhuǎn)是圓柱體對其通過質(zhì)心的幾何軸轉(zhuǎn)動的角加速度。因斜面粗糙，圓柱體下降時沒有滑動的角加速度。因斜面粗糙，圓柱體下降時沒有滑動，只能在斜面上作純粹滾動，那么此時動，只能在斜面上作純粹滾動，那么此時0yCma解上列五個式子，得解上列五個式子，得0yCma我們?nèi)『托泵嫫叫卸蛳碌姆较驗槲覀內(nèi)『托泵嫫叫卸蛳碌姆较驗閤軸的方向，和軸的方向，和斜面垂直而向上為斜面垂直而向上為y軸的方向軸的方向14身心健康，21sinmrJgaxCrmrJg21sin，sin2mgJmrJfrcosmgN 代入上式得代入上式得因

10、因221mrJ rgsin32，sin31mgfr，sin32gaxC15身心健康 如果這圓柱體從靜止開始沿斜面滾下一段距離如果這圓柱體從靜止開始沿斜面滾下一段距離x，與之相應，下降的豎直距離是，與之相應，下降的豎直距離是h=xsin，這時質(zhì)心，這時質(zhì)心的速度由的速度由ghgxxavxC34sin3422求得求得ghv34 如果斜面是光滑的，對圓柱體沒有摩擦力，即如果斜面是光滑的，對圓柱體沒有摩擦力，即fr=0，則圓柱體沿斜面滑下的加速度是，則圓柱體沿斜面滑下的加速度是singaxC16身心健康而圓柱體對質(zhì)心的角加速度與角速度為而圓柱體對質(zhì)心的角加速度與角速度為，0 0 如果圓柱體從靜止沿斜面

11、下滑的距離也是如果圓柱體從靜止沿斜面下滑的距離也是x x，則質(zhì)心所獲得的速度由，則質(zhì)心所獲得的速度由ghgxxavxC2sin222求得求得ghv2 在上述純粹滾動與純粹滑動兩種情況中，在上述純粹滾動與純粹滑動兩種情況中，我們看到，兩者加速度之比是我們看到，兩者加速度之比是2/32/3，兩者速度，兩者速度之比是之比是3217身心健康 本題也可用機械能守恒定律討論本題也可用機械能守恒定律討論。圓柱體在斜面。圓柱體在斜面上作純粹滾動下落時，所受到的斜面的摩擦力和正壓上作純粹滾動下落時，所受到的斜面的摩擦力和正壓力都不作功，滿足機械能守恒的條件。圓柱體從靜止力都不作功，滿足機械能守恒的條件。圓柱體從

12、靜止?jié)L下，它沒有初動能，只有重力勢能滾下，它沒有初動能，只有重力勢能mgh，當它滾動當它滾動下降這段高度時，全部動能是下降這段高度時，全部動能是222121CkJmvEC 對純粹滾動而言，對純粹滾動而言，vc=r，以此代入得，以此代入得22121CvmrJmECk 由機械能守恒定律得由機械能守恒定律得18身心健康22121CvmrJmmghC求得求得212mrJghvCC代入上式得代入上式得因因221mrJ ghv34和以前的結(jié)果完全一致。和以前的結(jié)果完全一致。19身心健康例例 一質(zhì)量為一質(zhì)量為m、半徑為、半徑為R R 的均質(zhì)圓柱，在水平外力的均質(zhì)圓柱，在水平外力作用下，在粗糙的水平面上作純滾

13、動，力的作用線作用下，在粗糙的水平面上作純滾動，力的作用線與圓柱中心軸線的垂直距離為與圓柱中心軸線的垂直距離為l，如圖所示。求質(zhì)心，如圖所示。求質(zhì)心的加速度和圓柱所受的靜摩擦力。的加速度和圓柱所受的靜摩擦力。解：設靜摩擦力解：設靜摩擦力f f 的方向如圖所示，則由質(zhì)心運的方向如圖所示，則由質(zhì)心運動方程：動方程：CmafF圓柱對質(zhì)心的轉(zhuǎn)動定律圓柱對質(zhì)心的轉(zhuǎn)動定律CJRflF純滾動條件為純滾動條件為RaC圓柱對質(zhì)心的轉(zhuǎn)動慣量為圓柱對質(zhì)心的轉(zhuǎn)動慣量為 FaC221mRJC聯(lián)立以上四式，解得聯(lián)立以上四式，解得20身心健康mRlRFaC3)(2FRlRf32由此可見由此可見l0,靜摩擦力向后靜摩擦力向后

14、 lr/2,f 0)59身心健康觀察者接收到的頻率：觀察者接收到的頻率：Ruu/n+=v觀察者觀察者向向波源運動波源運動sRsRuuvRRuvuuRv觀察者觀察者遠離遠離波源波源RRsuuv觀察者觀察者相對波源運動時相對波源運動時uuR RRsRsv若觀察者接近波源若觀察者接近波源R R為正，遠離為負為正，遠離為負60身心健康2.觀察者不動，波源相對介質(zhì)以速度觀察者不動，波源相對介質(zhì)以速度sv運動運動61身心健康As sTsvT s sv波源波源向向觀察者運動觀察者運動觀察者接收到的頻率觀察者接收到的頻率 ()suTvssuvRssuuvuuuwswss svRwRw62身心健康3.波源與接收

15、器同時相對介質(zhì)運動波源與接收器同時相對介質(zhì)運動uuR RRsRss svv觀察者接收到的頻率觀察者接收到的頻率 波源和觀察者波源和觀察者相向相向運動時運動時R RvS Sv和和均取正值均取正值波源和觀察者波源和觀察者相背相背運動時運動時R RvS Sv和和均取負值均取負值波源波源遠離遠離觀察者觀察者RssuuvsuuR Rs sv波源波源相對相對觀察者觀察者運動時運動時若波源接近觀察者若波源接近觀察者s s為正，遠離為負為正，遠離為負63身心健康例例 一個觀察者站在鐵路附近，聽到迎面開來的一個觀察者站在鐵路附近，聽到迎面開來的火車汽笛聲為火車汽笛聲為A4音音(頻率為頻率為440 Hz)，當火車

16、駛過，當火車駛過他身旁后，汽笛聲降為他身旁后，汽笛聲降為 G4 音音(頻率為頻率為392 Hz)，問，問火車的速率為多少火車的速率為多少?已知空氣中的聲速為已知空氣中的聲速為 330 m/s。解：設汽笛原來的頻率為解：設汽笛原來的頻率為 0，當火車駛近觀察者時，接收到的頻率為當火車駛近觀察者時，接收到的頻率為 ，=V 0/(V-u)當火車駛過觀察者后，接收到的頻率為當火車駛過觀察者后，接收到的頻率為 ，=V 0/(V+u)/=(V+u)/(V-u)火車速率火車速率 u=(-)V/(+)=19 m/s64身心健康kHz1101ms330u.已知空氣中的聲速為已知空氣中的聲速為的頻率為的頻率為Rv

17、解：解：1）車為接收器）車為接收器uuRv例題例題12 利用多普勒效應監(jiān)測車速，固定波源發(fā)出利用多普勒效應監(jiān)測車速，固定波源發(fā)出求車速求車速 .kHz100頻率為頻率為的超聲波，當汽車向波源行駛時，的超聲波，當汽車向波源行駛時，與波源安裝在一起的接收器接收到從汽車反射回來的波與波源安裝在一起的接收器接收到從汽車反射回來的波 2）車為波源）車為波源 SvuuRSuuvv車速車速RSvv18.56hkmu65身心健康 電磁波的傳播不依賴彈性介質(zhì)，波源和觀測者電磁波的傳播不依賴彈性介質(zhì)，波源和觀測者之間的相對運動速度決定了接聽到的頻率。電磁波之間的相對運動速度決定了接聽到的頻率。電磁波以光速傳播，在

18、涉及相對運動時應考慮相對論時空以光速傳播，在涉及相對運動時應考慮相對論時空變換關系。變換關系。當波源和觀測者在同一直線上運動時，得到當波源和觀測者在同一直線上運動時，得到 cvvcR RS Svv 波源和接收器之間相對運動的速度波源和接收器之間相對運動的速度。v66身心健康 振動物體不受任何阻力的影響，只在回復力作用振動物體不受任何阻力的影響，只在回復力作用下所作的振動，稱為下所作的振動，稱為無阻尼自由振動無阻尼自由振動。在回復力和阻力作用下的振動稱為在回復力和阻力作用下的振動稱為阻尼振動阻尼振動。67身心健康 對在流體對在流體(液體、氣體液體、氣體)中運動的物體，當物體速度中運動的物體，當物

19、體速度較小時，阻力大小正比于較小時，阻力大小正比于速度，且方向相反，表示為速度，且方向相反，表示為 fddxFvt ：阻力系數(shù)阻力系數(shù)物體的形狀、大小、和介質(zhì)的性質(zhì)決定物體的形狀、大小、和介質(zhì)的性質(zhì)決定68身心健康在阻力作用下的彈簧振子在阻力作用下的彈簧振子受力：受力：運動方程運動方程:引入引入固有角頻率固有角頻率20km在在小阻尼條件小阻尼條件下下 ，微分方程的解為，微分方程的解為:)(0其中其中阻力阻力fFkx彈性恢復力彈性恢復力22ddddxxmkxtt 2202dd20ddxxxtt00ecos()txAt2202m，阻尼系數(shù)阻尼系數(shù)69身心健康余弦項余弦項表征了表征了在彈性力和阻力作

20、用下的周期運動在彈性力和阻力作用下的周期運動；反映了反映了阻尼對振幅的影響阻尼對振幅的影響。tetAe0txO00ecos()txAt0A0其中其中和和為積分常數(shù)為積分常數(shù),由初始條件決定。由初始條件決定。上式中的上式中的阻尼振動的阻尼振動的準周期性振動準周期性振動70身心健康 阻尼振動阻尼振動不是周期性振動不是周期性振動，更不是簡諧振動，因位，更不是簡諧振動，因位移不是時間的周期函數(shù)。但阻尼振動有某種重復性。移不是時間的周期函數(shù)。但阻尼振動有某種重復性。位移相繼兩次達到極大值的時間間隔叫做位移相繼兩次達到極大值的時間間隔叫做阻尼振阻尼振動的周期動的周期，有，有顯而易見，顯而易見，由于阻尼，振

21、動變慢了由于阻尼，振動變慢了。阻尼振動的振幅為：阻尼振動的振幅為：阻尼振動振幅的衰減程度。阻尼振動振幅的衰減程度。2200222T0etAA振幅隨時間作指數(shù)衰減振幅隨時間作指數(shù)衰減。阻尼。阻尼大小決定了大小決定了71身心健康00000000000coscossinsinxAvAAxA 00ecos()txAt0A0其中其中和和為積分常數(shù)為積分常數(shù),由初始條件決定。由初始條件決定。2200000000()()tanvxAxvxx 即得即得 的所在象限可由的所在象限可由 的符號確定的符號確定。00cos72身心健康 阻尼振動阻尼振動的能量仍然等于動能與勢能之和，但的能量仍然等于動能與勢能之和，但總

22、總能量不再是常量能量不再是常量：221122Ekxmx00ecos()txAt0000ecos()esin()ttxAtAt 000esin()txAt 73身心健康222002222001cos()21 sin()2ttEkA etmA et22022222200001122ttkmmEmA eE emA 可見可見阻尼很小時阻尼很小時，能量仍然與，能量仍然與 時刻的振幅平方時刻的振幅平方成正比。成正比。t0 tAA e其中74身心健康2EQE 阻尼系數(shù)阻尼系數(shù)的大小反映了阻尼的大小。也可以用一的大小反映了阻尼的大小。也可以用一周中振子損失的能量在總能量中所占的比例來描寫阻周中振子損失的能量在

23、總能量中所占的比例來描寫阻尼的大小。通常定義時刻尼的大小。通常定義時刻 振子的能量振子的能量 與經(jīng)過一周與經(jīng)過一周后損失的能量后損失的能量 之比的之比的 倍為振子的倍為振子的品質(zhì)因數(shù)品質(zhì)因數(shù) 。QtEE22121tQe0222Qt 小阻尼（小阻尼（欠阻尼欠阻尼）情況下，由上式可得）情況下，由上式可得075身心健康阻尼振動的三種情形：阻尼振動的三種情形：臨界阻尼臨界阻尼過阻尼過阻尼欠阻尼欠阻尼欠阻尼欠阻尼過阻尼過阻尼臨界阻尼臨界阻尼000 xOt 通過控制阻尼的大小，通過控制阻尼的大小，以滿足不同實際需要。以滿足不同實際需要。應用應用：1、機器加大摩擦阻尼、機器加大摩擦阻尼3、靈敏電流計臨界阻尼

24、靈敏電流計臨界阻尼2、弦樂器加大輻射阻尼、弦樂器加大輻射阻尼76身心健康解：解：第一宇宙速度（環(huán)繞速度）第一宇宙速度（環(huán)繞速度）設在地球表面外某一高度的設在地球表面外某一高度的P點發(fā)射飛行器，發(fā)射速度為點發(fā)射飛行器，發(fā)射速度為v1，方方向和地面平行。當向和地面平行。當v1的值使機械能的值使機械能E0;因此有因此有,000)0(xeeexxcctexx0texxa022由此可得由此可得第第 25 屆屆 全國部分地區(qū)大學物理競賽全國部分地區(qū)大學物理競賽132身心健康解解210PPghPP液GNN21容器對地面的壓力等于液體的重力容器對地面的壓力等于液體的重力,對面對容器的支持力等于壓力對面對容器的

25、支持力等于壓力,因而也等于液體的重力因而也等于液體的重力.所以有所以有第第 25 屆屆 全國部分地區(qū)大學物理競賽全國部分地區(qū)大學物理競賽133身心健康解解:(1)對物塊對物塊A和和B分別列牛頓第二定律方程分別列牛頓第二定律方程ATaBmBgTaa0amTAA:)(:0aamgmTBBB)(0aamgmamBBAgmamamamBBBA0)(00gammmmmgmamaBABBABB第第 25 屆屆 全國部分地區(qū)大學物理競賽全國部分地區(qū)大學物理競賽134身心健康解解:(2)(i)對物塊對物塊A和和B(向下運動向下運動)分別列牛頓第二定律方程分別列牛頓第二定律方程)(:0aamTAA0;:amFa

26、mfTgmBBBBFf BABABmmammgma0)(BmBgTATaaa0fF由上述三個方程可得由上述三個方程可得,amamaamgmBBAB00)(0)(ammgmamamBABABBABmmgmaaB00不向下運動則要第第 25 屆屆 全國部分地區(qū)大學物理競賽全國部分地區(qū)大學物理競賽135身心健康(ii)對物塊對物塊A和和B(向上運動向上運動)分別列牛頓第二定律方程分別列牛頓第二定律方程)(:0aamTAA0;:amFamfgmTBBBBFf BABBAmmgmamma0)(BmBgTATaaa0fF由上述三個方程可得由上述三個方程可得,amamgmaamBBBA00)(動說明物體不可

27、能向上運;0ammABamamgmamamABBBA00綜合以上綜合以上(i)和和(ii)的分析的分析,可得要可得要B不動必須不動必須BABmmgma0第第 25 屆屆 全國部分地區(qū)大學物理競賽全國部分地區(qū)大學物理競賽136身心健康BABBAmmgmamma0)(BmBgTATaaa0fF綜合以上綜合以上(i)和和(ii)的分析的分析,可得要可得要B不動必須不動必須BABBABmmgmammgm0(iii)如果沒有題設的條件如果沒有題設的條件 BAmm則物體則物體B有可能有可能會向上運動會向上運動,此時有此時有a0要使物體要使物體B不向上運動不向上運動,則必須則必須 a0;即即gmammBBA

28、0)(BABmmgma0第第 25 屆屆 全國部分地區(qū)大學物理競賽全國部分地區(qū)大學物理競賽137身心健康解解:1、2間的線剪斷后間的線剪斷后,1和和2 向左運動向左運動,3向右運動向右運動.)2(43)2(442212121020202232221lqlqlqmmm運動過程中只有靜電場力做功運動過程中只有靜電場力做功,因此能量守恒因此能量守恒,即即312v3v1v2當三個小球在豎直方向成一直線時當三個小球在豎直方向成一直線時,3的速度為最大的速度為最大.)1(;021321且mmm三個小球組成的系統(tǒng)所受合外力為零三個小球組成的系統(tǒng)所受合外力為零,動量守恒動量守恒,即即由由(1)式得式得,123

29、22代入代入(2)式得式得,lqmm0223234212141第第 25 屆屆 全國部分地區(qū)大學物理競賽全國部分地區(qū)大學物理競賽138身心健康312v3v1v2lqmm0223234212141lqm022342143由此可得球由此可得球3的最大速度的最大速度,lmq02max36312v3v1v2312312v3v1v2系統(tǒng)在運動過程中系統(tǒng)在運動過程中,合外力為零合外力為零,質(zhì)心不動質(zhì)心不動.因此因此3運動的最大距離為運動的最大距離為llmlms3322334330cos220maxCCC第第 25 屆屆 全國部分地區(qū)大學物理競賽全國部分地區(qū)大學物理競賽139身心健康解解 (1)設設B在在t

30、時間內(nèi)從時間內(nèi)從A點運動到點運動到C點點221)(costLtSCACB在在C與與S的連線方向的速度為的連線方向的速度為SACvv1B根據(jù)多普勒效應根據(jù)多普勒效應,觀察者觀察者B遠離波源遠離波源S,因此因此B接收的頻率為接收的頻率為方向的速度是觀察者在與波源連線000uu 代入代入v1得得,02201)(1(tLtuuu第第 25 屆屆 全國部分地區(qū)大學物理競賽全國部分地區(qū)大學物理競賽140身心健康解解 (2)B在在t時間內(nèi)接收到的振動次數(shù)為時間內(nèi)接收到的振動次數(shù)為ttdttLtudttN00220)(1()(SACvv1BttdtLtut02200)()(ttLut02200)()(2200

31、LtLut022)(uLtLt第第 25 屆屆 全國部分地區(qū)大學物理競賽全國部分地區(qū)大學物理競賽141身心健康4Lxc解解(1)滑動前滑動前,軟繩的質(zhì)心坐標軟繩的質(zhì)心坐標LxLxLxxxc)(2/)()2/(滑動后滑動后,軟繩的質(zhì)心坐標為軟繩的質(zhì)心坐標為)22(212)(212222xLxLLLxLxL質(zhì)心下落的高度為質(zhì)心下落的高度為4)22(2122LxLxLLxxxhcccLxxL241x0 x0CC解題方法見解題方法見上冊上冊P56 例例2 第第 25 屆屆 全國部分地區(qū)大學物理競賽全國部分地區(qū)大學物理競賽142身心健康質(zhì)心下落的高度為質(zhì)心下落的高度為LxxLh241MghM221由能量

32、守恒得由能量守恒得)44(42)41(222222xLxLLgLxxLggh2)2(2xLLgLgxLxLLg2)2()2(22由此可得軟繩的速度為由此可得軟繩的速度為此時此時,軟繩的總動量為軟繩的總動量為xxLPPPxxL)(LgLMxLLgxLxLLM2)2(2)2)(2(2x0 x0CCMgN由動量定理由動量定理dtdPF合可得在堅直方向有可得在堅直方向有,2)2(2LgLMxLdtddtdPNMgLgLMxL2)2(4LgLMdtdxxL2)2)(2(2LgLMxLLgxL2)2(2)2(4第第 25 屆屆 全國部分地區(qū)大學物理競賽全國部分地區(qū)大學物理競賽143身心健康LgLMxLLg

33、xLNMg2)2(2)2(4MgN當當N=0時時,有有22)2(2xLLMgMg整理得整理得LLLLx)22(41)221(21)21(21即當即當x 為為 時時,細釘為軟繩提供的向上的支持力為零細釘為軟繩提供的向上的支持力為零.Lxx)22(41022)2(2xLLMgNMg整理得整理得xLLxLL22)2(222gLLgLLgxLx212222)2(00N=0時時,x=x0;此時軟繩的速度為此時軟繩的速度為第第 25 屆屆 全國部分地區(qū)大學物理競賽全國部分地區(qū)大學物理競賽144身心健康x0以右側(cè)向下運動的軟繩為參照系以右側(cè)向下運動的軟繩為參照系S討論問題討論問題當當x=x0時時,在運動坐標

34、在運動坐標S系中右側(cè)向下初速度為零系中右側(cè)向下初速度為零,左側(cè)左側(cè)B點向上的初速度為點向上的初速度為gLx020當當x=x0 時時軟繩的質(zhì)心坐標為軟繩的質(zhì)心坐標為)22(212002xLxLLxc初始時刻初始時刻(即即x=x0時時),軟繩的軟繩的BC間的距離為間的距離為)24(21)22(212002020020 xLxLLxxLxLLxxBCc)22(2122xLxLLxc靜止坐標系中質(zhì)心坐標為靜止坐標系中質(zhì)心坐標為xxxxcLxxLL2)(2)(1靜止坐標系中質(zhì)心的速度為靜止坐標系中質(zhì)心的速度為對比伽利略變速變換公司對比伽利略變速變換公司,u可得可得,當當x=x0 時時,質(zhì)心質(zhì)心C在運動坐

35、標系在運動坐標系S中的相對速度為中的相對速度為)(2000負號表示方向向上LxLxxc即在即在S系里看質(zhì)心系里看質(zhì)心是向上運動的是向上運動的.撤去細釘后撤去細釘后,軟繩只受重力作用軟繩只受重力作用,因此軟繩（參照系因此軟繩（參照系S）將作自由落體運動）將作自由落體運動.第第 25 屆屆 全國部分地區(qū)大學物理競賽全國部分地區(qū)大學物理競賽145身心健康x0軟繩被拉直時軟繩被拉直時,所用時間為所用時間為t;BC間的距離為間的距離為2LBC 在在S系中系中,B點向上的速度為點向上的速度為v0;質(zhì)心向上的速度大小為質(zhì)心向上的速度大小為vc,且二者關系為且二者關系為00LxcS系作自由落體運動系作自由落體

36、運動,在在S系中觀察系中觀察,B和和C都作向上的勻速直線運動都作向上的勻速直線運動(因為因為在在S系中觀察時系中觀察時,軟繩沒有受力的作用軟繩沒有受力的作用-完全完全“失重失重”).0000002000)()2()/1(/2xLxxLLxLxxBCBCtc將將 代入上式得代入上式得gLLx00,)4221(gLLLLLLLLLt)4221()4221)(42212()24(212002xLxLLBCt=0,時時BC間距離為間距離為gLgLL)22(4)22)(26()4221()4221)(4223(BCBCttc0因此有因此有第第 25 屆屆 全國部分地區(qū)大學物理競賽全國部分地區(qū)大學物理競賽

37、146身心健康gLt)22(4)22)(26(gL8)226)(26(gL4)23)(26(gL4)2314(gL)22)(22(4)22)(26(2gLgL44.24)2314(不正確gLt4)2914(第第 25 屆屆 全國部分地區(qū)大學物理競賽全國部分地區(qū)大學物理競賽147身心健康解解 分析分析:本題中兩個擺球是分別繞兩個支點轉(zhuǎn)動本題中兩個擺球是分別繞兩個支點轉(zhuǎn)動.因此因此,本題需要用動量定理和角動量定理求解本題需要用動量定理和角動量定理求解.(2)兩個擺對每個轉(zhuǎn)動點的總力矩也都不為零兩個擺對每個轉(zhuǎn)動點的總力矩也都不為零,因此碰撞過程中的系統(tǒng)角動量也不守恒因此碰撞過程中的系統(tǒng)角動量也不守恒

38、.(1)兩個擺球在碰撞過程中兩個擺球在碰撞過程中,所受合外力所受合外力 都不為零都不為零,因此系統(tǒng)的動量不守恒因此系統(tǒng)的動量不守恒;N2第第 25 屆屆 全國部分地區(qū)大學物理競賽全國部分地區(qū)大學物理競賽148身心健康如圖所示如圖所示,碰撞過程兩個擺所受的內(nèi)外力分別為碰撞過程兩個擺所受的內(nèi)外力分別為N和和N1,N2設碰撞時間為設碰撞時間為t,t很小很小.對兩個擺分別列動量定理方程對兩個擺分別列動量定理方程擺擺1:擺的動量等于質(zhì)心擺的動量等于質(zhì)心(圓心圓心)的動量的動量.)1(220111101111RmRmmmtNtN擺擺2:擺的動量等于質(zhì)心的動量擺的動量等于質(zhì)心的動量.)2(322202222

39、RmmmtNtN)3()3()3(301101111ccccJRPJRPtRNtRN擺擺1:擺的角動量等于質(zhì)心相對于擺的角動量等于質(zhì)心相對于O2的角動量加上擺相對于質(zhì)心的角動量的角動量加上擺相對于質(zhì)心的角動量.角動量方程角動量方程:兩個擺必須以同一點為參考點列方程兩個擺必須以同一點為參考點列方程,現(xiàn)以現(xiàn)以O2為參考點列方程為參考點列方程)sin(12JLrpLLLtMMdt或角動量定理角動量定理動量方程動量方程(設向右為正設向右為正):12PPtFFdt動量定理動量定理N2Rv1cr1cv2c)4()3(3222ccJRPtRN擺擺2:擺的角動量等于質(zhì)心相對于擺的角動量等于質(zhì)心相對于O2的角動

40、量加上擺相對于質(zhì)心的角動量的角動量加上擺相對于質(zhì)心的角動量.碰撞為彈性碰撞碰撞為彈性碰撞,動能守恒動能守恒:)5(212121222211201JJJ第第 25 屆屆 全國部分地區(qū)大學物理競賽全國部分地區(qū)大學物理競賽149身心健康N2Rv1cr1cv2c上述方程可化簡為上述方程可化簡為:)21()(2011mRtNtN)22(2922mRtNtN21)3(221)3(2302101121111RmRRmRmRRmtRNtRN21621630212012211RmRmmRRmtRNtRN)23(2133011mRtNtN)24(45721921)3(33222222222RmRmRmRRmtN)

41、1(220111101111RmRmmmtNtN)2(322202222RmmmtNtN)3()3()3(301101111ccccJRPJRPtRNtRN)4()3(3222ccJRPtRN)5(212121222211201JJJ222222212121202121)3(21)2(21)2(21RmRmRmRmRmRm第第 25 屆屆 全國部分地區(qū)大學物理競賽全國部分地區(qū)大學物理競賽150身心健康222222212121202121)3(21)2(21)2(21RmRmRmRmRmRm解聯(lián)立方程組解聯(lián)立方程組(1-2)-(4-2)即可求得即可求得 1和和 2:)25(45729219292

42、92222122222212202mRmRRmmRmR)21()(2011mRtNtN)23(2133011mRtNtN)24(45732RmtN)25(19)(6222120)22(2922mRtNtN由于由于N2只出現(xiàn)在只出現(xiàn)在(2-2)式中式中,且不是所要求的量且不是所要求的量,因此去除因此去除(2-2)式可式可.)6(4572132011RmmRtN(3-2)+(4-2)得得3(1-2)+(4-2)得得)7(457632011RmmRtN第第 25 屆屆 全國部分地區(qū)大學物理競賽全國部分地區(qū)大學物理競賽151身心健康)6(4572132011RmmRtN)7(457632011RmmR

43、tN由由(6)和和(7)得得RmmRRmmR201201457645732133)8(9191022457213601201兩邊乘兩邊乘4除除mR2得得)25(19)(6222120由由(5-2)得得,22101019)(6)9()(23102由由(8)/(9)得得)(2)(931910102221019919)(6(8)式入得式入得第第 25 屆屆 全國部分地區(qū)大學物理競賽全國部分地區(qū)大學物理競賽152身心健康)(2)(93191010)(27)(381010001138272738016511由此解得由此解得,0000102653665761996511199199 1代入代入(8)式得式

44、得第第 25 屆屆 全國部分地區(qū)大學物理競賽全國部分地區(qū)大學物理競賽153身心健康解解 (1)細桿在轉(zhuǎn)動過程中機械能守恒細桿在轉(zhuǎn)動過程中機械能守恒,由此可得由此可得sin3sin2312121222LgLmgmLmghJcCChcmg(2)轉(zhuǎn)動過程的策略矩為轉(zhuǎn)動過程的策略矩為cos2LmgMLgmLmgLJMJM2cos331cos212由轉(zhuǎn)動定律得由轉(zhuǎn)動定律得第第 26 屆屆 全國部分地區(qū)大學物理競賽全國部分地區(qū)大學物理競賽154身心健康解解 (1)設在設在dt時間內(nèi)有時間內(nèi)有dm質(zhì)量的水通過小孔流出水瓶質(zhì)量的水通過小孔流出水瓶,則由機械能守恒得瓶里水則由機械能守恒得瓶里水 的勢能減小等于流

45、出去的水的動能的勢能減小等于流出去的水的動能.CH/2221212gSHVgHHmgEp瓶內(nèi)水的勢能瓶內(nèi)水的勢能gSHdHdEp流出的水的質(zhì)量流出的水的質(zhì)量SdHdVdm流出的水的動能流出的水的動能SdHdmdEk21212121由機械能守恒得由機械能守恒得SdHgSHdHdEdEkP2121由此可得由此可得gH21(2)水瓶拋出后水瓶拋出后,瓶口的水與瓶口的水與整個水瓶一樣只受重力的作整個水瓶一樣只受重力的作用用,初速度又相同初速度又相同,因此它們因此它們的運動完全一樣的運動完全一樣,所以小孔沒所以小孔沒有水流出有水流出.即即 v2=0.第第 26 屆屆 全國部分地區(qū)大學物理競賽全國部分地區(qū)

46、大學物理競賽155身心健康解解:(1)合成駐波的表達式為合成駐波的表達式為321)42cos(2)4cos()42cos(200 xtAxtA2cos2cos2coscos)42cos(2)22cos()2cos(000 xtAxtAxtA)42cos(2)42cos(200 xtAxtA)2cos()4cos(20 xtA)4cos()2cos(20txA(2)駐波的振幅駐波的振幅)2cos(2)(0 xAxA波腹處坐標波腹處坐標,.2,1,0,221)2cos(kkxkxx第第 26 屆屆 全國部分地區(qū)大學物理競賽全國部分地區(qū)大學物理競賽156身心健康2020)/(11clll解解 (1)

47、根據(jù)相對論根據(jù)相對論,在在S系中空心管的長度為系中空心管的長度為:因此在因此在S系中粒子不動系中粒子不動,管的管的B端經(jīng)過粒子時端經(jīng)過粒子時t=0,則管的則管的A端經(jīng)過粒子的時刻端經(jīng)過粒子的時刻t1為為/)/(1/201cllt0121cS粒子相對于粒子相對于S系的速度為系的速度為222121ccS(2)粒子在管內(nèi)反射后相對管子的速度為粒子在管內(nèi)反射后相對管子的速度為v,則粒子相對于則粒子相對于S系的速度為系的速度為在在S系粒子從系粒子從A端到端到B端所用時間為滿足端所用時間為滿足)(1220222cllttS第第 26 屆屆 全國部分地區(qū)大學物理競賽全國部分地區(qū)大學物理競賽157身心健康因此

48、因此,在在S系看粒子從系看粒子從B到到A再到端所用時間為再到端所用時間為)(1/)1()(122220220212cclclttt/)/(1/201cllt在在S系粒子從系粒子從B端到端到A端所用時間為端所用時間為)(12)1(1)(12202222220clcccl)1/(2/)(122220222ccllttS)(1)1/(2220222cltc)(1)1()1()(1)1()1(22222022222220222ccltcccltc由此可得在由此可得在S系粒子從系粒子從A端到端到B端所用時間為端所用時間為)(1/)1(222202cclt第第 26 屆屆 全國部分地區(qū)大學物理競賽全國部分

49、地區(qū)大學物理競賽158身心健康解解:初始狀態(tài)初始狀態(tài)AB內(nèi)的壓強為內(nèi)的壓強為 P1AB=76cm;CD內(nèi)的壓強為內(nèi)的壓強為 P1CD=P1AB+76cm=152cm;末狀態(tài)末狀態(tài)AB內(nèi)的壓強為內(nèi)的壓強為 P2AB;CD內(nèi)的壓強為內(nèi)的壓強為 P2CD;則圖則圖2可得可得)1()76(21(7622ABCDABlxxPP令由氣體狀態(tài)方程可得由氣體狀態(tài)方程可得CDCDCDCDABABAVABVPVPVPVP22112211;)2()276(76176176212121xPPlPPSlPSPABABABABABABABAB)3();276(761;)762(762121xPPSlPSPCDCDABCD

50、CD第第 26 屆屆 全國部分地區(qū)大學物理競賽全國部分地區(qū)大學物理競賽159身心健康將將P1AB=76cm,P1CD=152cm代入代入(2)(3)式得式得)276()76()276(76176222xPxPABAB)276(76152)276(76115222xPxPCDCD將上兩式代入將上兩式代入(1)76(27676152276)76(2xxx)276)(276)(76()276(76152)276()76(2xxxxx)1()276(7622xlxPPABCDAB令)2()276(76121xPPABAB)3();276(76121xPPCDCD)21(76)21(76)1(76)21

51、(76152)21()76(7633yyyyyyx則有令)21)(21)(1()21(2)21(yyyyy化簡得化簡得)44(142)21(32yyyyy0274423yyy)41)(1()21(2)21(2yyyyABly代回去可求出求出第第 26 屆屆 全國部分地區(qū)大學物理競賽全國部分地區(qū)大學物理競賽160身心健康解解:將坐標原點建在月心將坐標原點建在月心,則月則月-地系統(tǒng)的地系統(tǒng)的 質(zhì)心坐標質(zhì)心坐標(即月球到質(zhì)心的距離即月球到質(zhì)心的距離)為為 mMmrMrc82422824010794.31098.5103.71084.31098.5月球繞質(zhì)心月球繞質(zhì)心C作圓周運動作圓周運動202rMm

52、GmrFcn月球的運動周期為月球的運動周期為天天秒24.272436001035316.21035316.2106701.21416.322666TrCrC0mM2882411288241120)1084.3(10794.31098.51067.6)1084.3(10794.31098.51067.6rrGMc16112106701.2101296.7ss第第 26 屆屆 全國部分地區(qū)大學物理競賽全國部分地區(qū)大學物理競賽161身心健康分析分析:由于地球和月球?qū)嶋H都不是一個質(zhì)點由于地球和月球?qū)嶋H都不是一個質(zhì)點,且地球有自轉(zhuǎn)和繞太陽的公轉(zhuǎn)等且地球有自轉(zhuǎn)和繞太陽的公轉(zhuǎn)等,因此將看到月球的形狀發(fā)生變化

53、因此將看到月球的形狀發(fā)生變化.出現(xiàn)出現(xiàn)“上弦上弦”、“下弦下弦”、“滿月滿月”等形等形狀狀.第第 26 屆屆 全國部分地區(qū)大學物理競賽全國部分地區(qū)大學物理競賽162身心健康分析分析:經(jīng)一個周期經(jīng)一個周期T0后后,月球相對于地球位置不變月球相對于地球位置不變;但地球相對于太陽轉(zhuǎn)過了一個角度但地球相對于太陽轉(zhuǎn)過了一個角度0 0,如圖所示如圖所示.00087.2636036524.27月球月球太陽太陽地球地球0經(jīng)經(jīng) 后后,月球相對于地球轉(zhuǎn)過的角度為月球相對于地球轉(zhuǎn)過的角度為;T0000087.2936024.2724.275.29360TTT001.293603655.29經(jīng)經(jīng) 后后,地球相對于太陽

54、轉(zhuǎn)過的角度為地球相對于太陽轉(zhuǎn)過的角度為;T月球月球太陽太陽地球地球太陽太陽,地球和月球近似在一直線上地球和月球近似在一直線上,如圖所示如圖所示.第第 26 屆屆 全國部分地區(qū)大學物理競賽全國部分地區(qū)大學物理競賽163身心健康每月的同一時刻要能看到相同的月球每月的同一時刻要能看到相同的月球,則月球如則月球如果開始與地球和太陽在一直線果開始與地球和太陽在一直線,那么經(jīng)過一個月那么經(jīng)過一個月后仍將與地球和太陽在一直線上后仍將與地球和太陽在一直線上,否則將看不到否則將看不到相同的月球相同的月球.0000360360365TTTT月球月球太陽太陽地球地球24.2736536524.27TT24.2736

55、576.337T)(44.2976.33724.27365天T第第 26 屆屆 全國部分地區(qū)大學物理競賽全國部分地區(qū)大學物理競賽164身心健康解解:(1)設設t時刻飛船的總質(zhì)量為時刻飛船的總質(zhì)量為M=M0+MR-m0t,速度為速度為v;t+dt時刻飛船速度時刻飛船速度v+dv,燃燒生成物相對于地面的速度大小為燃燒生成物相對于地面的速度大小為 產(chǎn)產(chǎn)u-(v+dv);0udMMd化簡得化簡得0)(000dtumdtmMMR代入代入M,dM得得在在dt時間內(nèi)燃燒的燃料質(zhì)量時間內(nèi)燃燒的燃料質(zhì)量dM=-m0dt;)(000tmMMumdtdaRMdudMddMM)()()(由動量守恒定律得由動量守恒定律

56、得由此可得由此可得,;)0(00minRMMumta)/,0(0000maxmMttmMMumaRR第第 26 屆屆 全國部分地區(qū)大學物理競賽全國部分地區(qū)大學物理競賽165身心健康(2)飛船的末速度飛船的末速度ve22221)()(21MudMddMMdEkttMudMd00由由 積分得積分得0udMMd)(ln)ln()(ln)(000tMMMuMMtMutRRtmMMtMR000)(,0)ln()ln()(00000MMMutmMMMMutReRR(3)在在dt時間內(nèi)時間內(nèi),系統(tǒng)動能的增量為系統(tǒng)動能的增量為)(21)(22ddMddMuudMMd和忽略二階小量將將 代入得代入得0udMMd

57、dtumdtmudMudEk2002221)(21212021)(umdtdEdtdWdtdxFFtPk2021)(umtPPPi第第 26 屆屆 全國部分地區(qū)大學物理競賽全國部分地區(qū)大學物理競賽166身心健康(4)發(fā)射效率發(fā)射效率(飛船最終獲得的動能占發(fā)動機釋放的全部燃料內(nèi)能之比飛船最終獲得的動能占發(fā)動機釋放的全部燃料內(nèi)能之比)(5)=MR/M0為何值時為何值時,效率效率 取極大值取極大值)ln(00MMMuRe飛船最終速度為飛船最終速度為200020)ln(2121MMMuMMERekt飛船獲得的總動能為飛船獲得的總動能為2002020)ln(2121MMMuMMRe燃料燃燒做的總功燃料燃燒做的總功(即放出的內(nèi)能即放出的內(nèi)能)為為 20202121)(uMmMumtPdttPERRMR內(nèi)根據(jù)定義根據(jù)定義,發(fā)射效率為發(fā)射效率為22002021/)ln(21uMMMMuMEERRkt內(nèi)2000)ln(MMMMMRR2)1ln(01)1ln(2)1ln(2dd令012)1ln(滿足這個式子的滿足這個式子的(兩條曲線的交點兩條曲線的交點),發(fā)射效率取極大值發(fā)射效率取極大值.第第 26 屆屆 全國部分地區(qū)大學物理競賽全國部分地區(qū)大學物理競賽167身心健康168身心健康169身心健康170身心健康171身心健康172身心健康173身心健康