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1、水桶的表面、臺燈的罩子面等,曲面在空間解析幾何中被看成是點的幾何軌跡,曲面方程的定義：,曲面的實例：,第四章 柱面、錐面、旋轉曲面與二次曲面,觀察柱面的形成過程:,定義4.1.1 平行于定直線并沿定曲線移動的直線所形成的曲面稱為柱面.,這條定曲線叫柱面的準線，動直線叫柱面的母線.,4.1 柱面,母線,準線,柱面舉例：,拋物柱面,平面,拋物柱面方程：,平面方程：,從柱面方程看柱面的特征：,（其他類推）,實 例,橢圓柱面，,雙曲柱面 ，,拋物柱面，,母線/ 軸,母線/ 軸,母線/ 軸,1. 橢圓柱面,2. 雙曲柱面,4.2 錐面,定義4.2.1 通過一定點且與定曲線相交的一族直線所產生的曲面叫做錐

2、面.,這些直線都叫做錐面的母線.,那個定點叫做錐面的頂點.,錐面的方程是一個三元方程.,特別當頂點在坐標原點時：,n次齊次方程,F(x,y,z)= 0,的圖形是以原點為頂點的錐面；,方程 F(x,y,z)= 0是 n次齊次方程：,準線,頂點,F(x,y,z)= 0.,反之，以原點為頂點的錐面的方程是n次齊次方程,錐面是直紋面,錐面的準線不唯一，和一切母線都相交的每一條曲線都可以作為它的母線.,請同學們自己用截痕法 研究其形狀.,橢圓錐面,解,圓錐面方程,或,43 旋轉曲面,目標：通過本節(jié)的學習，掌握旋轉曲面的有關概念，熟練掌握旋轉曲面方程的求法，了解幾個常見的旋轉曲面. 重點難點：旋轉曲面方程

3、的求法.,圖4-3,方程,解,下面特殊的旋轉曲面,曲線 C,C,繞 z軸,曲線 C,C,繞z軸,.,曲線 C,旋轉一周得旋轉曲面 S,C,S,M,N,z,P,y,z,o,繞 z軸,.,f (y1, z1)=0,M(x,y,z),., S,曲線 C,旋轉一周得旋轉曲面 S,C,S,M,N,z,P,.,繞 z軸,.,.,f (y1, z1)=0,M(x,y,z),f (y1, z1)=0,f (y1, z1)=0,., S,建立旋轉曲面的方程：,如圖,將 代入,得方程,方程,結論（規(guī)律）： 當坐標面上的曲線繞此坐標面上的一個坐標軸旋轉，求此旋轉曲面的方程，只需將在 此坐標面里的方程改變即得，改變的

4、方法是：保留與旋轉軸同名的坐標，而以其他兩個 坐標的平方和的平方根代替方程中的另一坐標。,旋轉橢球面,旋轉雙葉雙曲面,旋轉單葉雙曲面,旋轉拋物面,幾種 特殊旋轉曲面,1 雙葉旋轉曲面 2 單葉旋轉曲面 3 旋轉錐面 4 旋轉拋物面 5 環(huán)面,x,0,1 雙葉旋轉雙曲面,繞 x 軸一周,x,0,.,繞 x 軸一周,1 雙葉旋轉雙曲面,x,0,.,1 雙葉旋轉雙曲面,.,繞 x 軸一周,a,2 單葉旋轉雙曲面,上題雙曲線,繞 y 軸一周,a,.,上題雙曲線,繞 y 軸一周,2 單葉旋轉雙曲面,a,.,.,.,2 單葉旋轉雙曲面,上題雙曲線,繞 y 軸一周,3 旋轉錐面,兩條相交直線,繞 x 軸一周

5、,.,兩條相交直線,繞 x 軸一周,3 旋轉錐面,.,兩條相交直線,繞 x 軸一周,得旋轉錐面,.,3 旋轉錐面,o,4 旋轉拋物面,拋物線,繞 z 軸一周,o,.,拋物線,繞 z 軸一周,4 旋轉拋物面,y,.,o,x,z,生活中見過這個曲面嗎？,.,4 旋轉拋物面,拋物線,繞 z 軸一周,得旋轉拋物面,5環(huán)面,r,R,繞 y軸 旋轉所成曲面,5環(huán)面,繞 y軸 旋轉所成曲面,.,5環(huán)面,繞 y軸 旋轉所成曲面,環(huán)面方程,.,生活中見過這個曲面嗎？,.,.,救生圈,.,5 環(huán)面,二次曲面的定義：,三元二次方程所表示的曲面稱之為二次曲面,相應地平面被稱為一次曲面,討論二次曲面形狀的截痕法：,用坐

6、標面和平行于坐標面的平面與曲面相截，考察其交線（即截痕）的形狀，然后加以綜合，從而了解曲面的全貌,以下用截痕法討論幾種特殊的二次曲面,二次曲面,截痕法,用z = h截曲面,用y = m截曲面,用x = n截曲面,a,b,c,4.4 橢球面,橢球面的方程,橢球面與三個坐標面的交線：,橢球面,橢圓截面的大小隨平面位置的變化而變化.,橢球面與平面 的交線為橢圓,同理與平面 和 的交線也是橢圓.,橢球面的幾種特殊情況：,旋轉橢球面,由橢圓 繞 軸旋轉而成,旋轉橢球面與橢球面的區(qū)別：,方程可寫為,與平面 的交線為圓.,球面,截面上圓的方程,方程可寫為,4.5 (1) 單葉雙 曲 面,解析幾何的基本思想是

7、用代數(shù)的方法來研究解決幾何問題，其主要內容可示意如下：,第一章,點,坐標,軌跡,方程,第二章,曲面,曲線,普通,參數(shù),平面,與直線,第三章,方程與關系,一般曲面,第四章,常見曲面和二次曲面,第五章,二次曲線的一般理論,一般曲線,一、概念,在空間直角坐標系中，由方程,所表示的曲面，叫做單葉雙曲面, 此方程叫做單葉雙曲面的標準方程.,方程,與,表示的曲面也是單葉雙曲面.,二、性質,1. 對稱性,中心 ：,坐標原點（1個）;,主軸 ：,x軸、y軸和z軸（3條）;,主平面：,xOy面、yOz面和zOx面（3個）.,2. 截距和頂點,x=0, y=0 z無解,則z 軸上沒有頂點；,x=0, z=0 y

8、= b,則y軸上有頂點:,z=0, y=0 x = a,則x軸上有頂點:,（0，b ，0）（2個）；,（a，0，0）（2個）.,3.主截線,(1),: 雙曲線,實軸為y軸, 虛軸為z軸;,: 雙曲線,實軸為x軸, 虛軸為z軸;,(2),(3),: (腰橢圓）.,4.平行截線,無論h取何值，此方程組總表示在平面:,上的橢圓，,它的兩半軸為：,與,此時橢圓的兩軸端點,（ ，0， h）,與,（0， ， h）,分別在兩條主截線,（雙,曲線）上，,且所在平面與腰橢圓平行.,結論：單葉雙曲面可以看成是由一個橢圓變動其大小和位置而產生的，在變動中這個橢圓始終保持：所在平面平行于xOy面，且兩軸的端點分別沿著

9、yOz和zOx面上的主截線（雙曲線）滑動。,三、圖形,根據(jù)以上討論，可畫出單葉雙曲面的圖形如下：,主雙曲線（yoz面）,腰橢圓（xoy面）,主雙曲線 （xoz面）,主雙曲線 （yoz面）,主雙曲線 （xoz面）,腰橢圓 （xoy面）,四、總結,單葉雙曲面的圖形可由一族橢圓生成，由這個無界的曲面可聯(lián)想到宇宙的廣袤。因此，在美國有一座天文館，就建成單葉雙曲面的形狀，其設計師就是由彗星的橢圓、雙曲線軌道聯(lián)想到這幅探索宇宙空間的精美圖畫。這充分表現(xiàn)了設計者極高的數(shù)學素質和審美意識。,由此我們聯(lián)想到圓柱面在建筑藝術上的應用：圓柱面是由與一條定圓相交且垂直于此定圓所在平面的一族直線產生的軌跡，因而既具有圓

10、的柔軟性，又具有直線的堅硬性，融剛直與柔軟于一體。正是這種特有的性質，世界上眾多的建筑尤其是體育館都建成圓柱形（如上海的萬體館等），這種建筑形狀所包含的審美內容是豐富的，它是團結、友誼的顯現(xiàn)（圓的意義），又是力量、意志的象征（直線的意義），即奧林匹克精神。,抽象的幾何圖形，一旦納入審美的藝術范疇，會帶來特殊的美感，抽象的幾何圖形被美學家稱為“有意味的形式”，正好表現(xiàn)出它有特殊意味的審美內容，因此，在觀察幾何圖形時應重視美的聯(lián)想。,作業(yè)：P165習題3,4,5.,（摘自“解析幾何教學中,的審美教育”，馬世祥等，甘肅高師學報，2005，Vol.10 NO.2）,上海萬體館,夜景,近景,已知軌跡求方

11、程：,1.求出,矢量式參數(shù)方程；,2.寫出,坐標式參數(shù)方程；,3. 轉化,為普通方程。,已知方程，,求空間軌跡：,參數(shù)方程,數(shù)參數(shù),1.,（一個參數(shù)為曲線，,兩個參數(shù)為曲面。）,2.,普通方程,看形式,（聯(lián)立方程組為,曲線，,單獨一個方程,為曲面。）,(0t +),表示空間曲線。,只有一個參數(shù)t,1.,2.,(u+, t+),有兩個參數(shù)u、t,表示空間曲面。,1.,聯(lián)立方程組的形式，,表示曲線。,2.,x=0,單獨一個方程，,表示曲面,（平面）。,判斷：,（1）,（2）,圖形 方程,1.常見曲面,方程 圖形,2.二次曲面,(1)對稱性,(3)主截線,(2)頂點,(4)平行截線,截痕法,用z =

12、 a截曲面,用y = b截曲面,用x = c截曲面,4.6 拋物面,一、橢圓拋物面,截痕法,用z = a截曲面,用y = b截曲面,用x = c截曲面,.,4.6 拋物面,一、橢圓拋物面,（ 與 同號）,橢圓拋物面,用截痕法討論：,（1）用坐標面 與曲面相截,截得一點，即坐標原點,設,原點也叫橢圓拋物面的頂點.,橢圓拋物面方程,與平面 的交線為橢圓.,當 變動時，這種橢圓的中心都在 軸上.,與平面 不相交.,（2）用坐標面 與曲面相截,截得拋物線,與平面 的交線為拋物線.,它的軸平行于 軸.,頂點,（3）用坐標面 ， 與曲面相截,均可得拋物線.,同理當 時可類似討論.,橢圓拋物面的圖形如下：,特殊地：當 時，方程變?yōu)?旋轉拋物面,（由 面上的拋物線 繞 z 軸旋轉而成的）,與平面 的交線為圓.,當 變動時，這種圓的中心都在 軸上.,用z = a截曲面,用y = 0截曲面,用x = b截曲面,截痕法,一、雙曲拋物面（馬鞍面）,截痕法,.,用z = a截曲面,用y = 0截曲面,用x = b截曲面,一、雙曲拋物面（馬鞍面）,截痕法,.,用z = a截曲面,用y = 0截曲面,用x = b截曲面,一、雙曲拋物面（馬鞍面）,（ 與 同號）,雙曲拋物面（馬鞍面）,用截痕法討論：,設,圖形如下：,