《2015年步步高二輪復(fù)習(xí)-專(zhuān)題四 第2講 數(shù)列求和及綜合應(yīng)用》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2015年步步高二輪復(fù)習(xí)-專(zhuān)題四 第2講 數(shù)列求和及綜合應(yīng)用（17頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、第2講數(shù)列求和及綜合應(yīng)用考情解讀高考對(duì)本節(jié)知識(shí)主要以解答題的形式考查以下兩個(gè)問(wèn)題：1.以遞推公式或圖、表形式給出條件，求通項(xiàng)公式，考查用等差、等比數(shù)列知識(shí)分析問(wèn)題和探究創(chuàng)新的能力，屬中檔題；2.通過(guò)分組、錯(cuò)位相減等轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列的求和問(wèn)題，考查等差、等比數(shù)列求和公式及轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用，屬中檔題1數(shù)列求和的方法技巧(1)分組轉(zhuǎn)化法有些數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，若將數(shù)列通項(xiàng)拆開(kāi)或變形，可轉(zhuǎn)化為幾個(gè)等差、等比數(shù)列或常見(jiàn)的數(shù)列，即先分別求和，然后再合并(2)錯(cuò)位相減法這是在推導(dǎo)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)所用的方法，這種方法主要用于求數(shù)列anbn的前n項(xiàng)和，其中an，bn分別是等差數(shù)

2、列和等比數(shù)列(3)倒序相加法這是在推導(dǎo)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式時(shí)所用的方法，也就是將一個(gè)數(shù)列倒過(guò)來(lái)排列(反序)，當(dāng)它與原數(shù)列相加時(shí)若有公式可提，并且剩余項(xiàng)的和易于求得，則這樣的數(shù)列可用倒序相加法求和(4)裂項(xiàng)相消法利用通項(xiàng)變形，將通項(xiàng)分裂成兩項(xiàng)或n項(xiàng)的差，通過(guò)相加過(guò)程中的相互抵消，最后只剩下有限項(xiàng)的和這種方法，適用于求通項(xiàng)為的數(shù)列的前n項(xiàng)和，其中an若為等差數(shù)列，則.常見(jiàn)的裂項(xiàng)公式：；()；()；()2數(shù)列應(yīng)用題的模型(1)等差模型：如果增加(或減少)的量是一個(gè)固定量時(shí)，該模型是等差模型，增加(或減少)的量就是公差(2)等比模型：如果后一個(gè)量與前一個(gè)量的比是一個(gè)固定的數(shù)時(shí)，該模型是等比模型，這個(gè)固

3、定的數(shù)就是公比(3)混合模型：在一個(gè)問(wèn)題中同時(shí)涉及等差數(shù)列和等比數(shù)列的模型(4)生長(zhǎng)模型：如果某一個(gè)量，每一期以一個(gè)固定的百分?jǐn)?shù)增加(或減少)，同時(shí)又以一個(gè)固定的具體量增加(或減少)時(shí)，我們稱(chēng)該模型為生長(zhǎng)模型如分期付款問(wèn)題，樹(shù)木的生長(zhǎng)與砍伐問(wèn)題等(5)遞推模型：如果容易找到該數(shù)列任意一項(xiàng)an與它的前一項(xiàng)an1(或前n項(xiàng))間的遞推關(guān)系式，我們可以用遞推數(shù)列的知識(shí)來(lái)解決問(wèn)題熱點(diǎn)一分組轉(zhuǎn)化求和例1等比數(shù)列an中，a1，a2，a3分別是下表第一、二、三行中的某一個(gè)數(shù)，且a1，a2，a3中的任何兩個(gè)數(shù)不在下表的同一列.第一列第二列第三列第一行3210第二行6414第三行9818(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式

4、；(2)若數(shù)列bn滿足：bnan(1)nln an，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Sn.思維啟迪(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù)逐個(gè)推敲確定an的通項(xiàng)公式；(2)分組求和解(1)當(dāng)a13時(shí)，不合題意；當(dāng)a12時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)a26，a318時(shí)，符合題意；當(dāng)a110時(shí)，不合題意因此a12，a26，a318，所以公比q3.故an23n1 (nN*)(2)因?yàn)閎nan(1)nln an23n1(1)nln(23n1)23n1(1)nln 2(n1)ln 323n1(1)n(ln 2ln 3)(1)nnln 3，所以Sn2(133n1)111(1)n(ln 2ln 3)123(1)nnln 3.當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，Sn2ln 33nl

5、n 31；當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，Sn2(ln 2ln 3)ln 33nln 3ln 21.綜上所述，Sn思維升華在處理一般數(shù)列求和時(shí)，一定要注意使用轉(zhuǎn)化思想把一般的數(shù)列求和轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列進(jìn)行求和，在求和時(shí)要分析清楚哪些項(xiàng)構(gòu)成等差數(shù)列，哪些項(xiàng)構(gòu)成等比數(shù)列，清晰正確地求解在利用分組求和法求和時(shí)，由于數(shù)列的各項(xiàng)是正負(fù)交替的，所以一般需要對(duì)項(xiàng)數(shù)n進(jìn)行討論，最后再驗(yàn)證是否可以合并為一個(gè)公式已知數(shù)列an中，a11，anan1()n(nN*)(1)求證：數(shù)列a2n與a2n1(nN*)都是等比數(shù)列；(2)若數(shù)列an的前2n項(xiàng)和為T(mén)2n，令bn(3T2n)n(n1)，求數(shù)列bn的最大項(xiàng)(1)證明因?yàn)閍nan1

6、()n，an1an2()n1，所以.又a11，a2，所以數(shù)列a1，a3，a2n1，是以1為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列；數(shù)列a2，a4，a2n，是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列(2)解由(1)可得T2n(a1a3a2n1)(a2a4a2n)33()n，所以bn3n(n1)()n，bn13(n1)(n2)()n1，所以bn1bn3(n1)()n(n)3(n1)()n1(2n)，所以b1b4bn，所以(bn)maxb2b3.熱點(diǎn)二錯(cuò)位相減法求和例2設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，已知a11，Sn12Snn1(nN*)，(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)若bn，數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為T(mén)n，nN*，證明：Tn1時(shí)，S

7、n2Sn1n兩式相減得an的遞推關(guān)系式，然后構(gòu)造數(shù)列求通項(xiàng)；(2)先利用錯(cuò)位相減法求出Tn，再放縮(1)解Sn12Snn1，當(dāng)n2時(shí)，Sn2Sn1n，an12an1，an112(an1)，即2(n2)，又S22S12，a1S11，a23，2，當(dāng)n1時(shí)，式也成立，an12n，即an2n1(nN*)(2)證明an2n1，bn，Tn，Tn，兩式相減，得Tn2()20，前n項(xiàng)和為Sn，S36，且滿足a3a1,2a2，a8成等比數(shù)列(1)求an的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)bn，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Tn的值思維啟迪(1)利用方程思想可確定a，d，寫(xiě)出an；(2)利用裂項(xiàng)相消法求Tn.解(1)由S36，得a22.a

8、3a1,2a2，a8成等比數(shù)列，(2d)(26d)42，解得d1或d，d0，d1.數(shù)列an的通項(xiàng)公式為ann.(2)Tn(1)()()()()().思維升華裂項(xiàng)相消法適合于形如形式的數(shù)列，其中an為等差數(shù)列已知等差數(shù)列an是遞增數(shù)列，且滿足a4a715，a3a88.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)令bn(n2)，b1，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Sn.解(1)根據(jù)題意a3a88a4a7，a4a715，所以a4，a7是方程x28x150的兩根，且a480，當(dāng)n7時(shí)，由于S6570，故Sn570(a7a8an)5707041()n6780210()n6.因?yàn)閍n是遞減數(shù)列，所以An是遞減數(shù)列因?yàn)锳n，A

9、882.73480，A976.82380，所以必須在第九年年初對(duì)M更新思維升華解答數(shù)列應(yīng)用題，與函數(shù)應(yīng)用題的求解過(guò)程類(lèi)似，一般要經(jīng)過(guò)三步：(1)建模，首先要認(rèn)真審題，理解實(shí)際背景，理清數(shù)學(xué)關(guān)系，把應(yīng)用問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)列問(wèn)題；(2)解模，利用所學(xué)的數(shù)列知識(shí)，解決數(shù)列模型中的相關(guān)問(wèn)題；(3)釋模，把已解決的數(shù)列模型中的問(wèn)題返回到實(shí)際問(wèn)題中去，與實(shí)際問(wèn)題相對(duì)應(yīng)，確定問(wèn)題的結(jié)果設(shè)某商品一次性付款的金額為a元，以分期付款的形式等額地分成n次付清，若每期利率r保持不變，按復(fù)利計(jì)算，則每期期末所付款是()A.(1r)n元B.元C.(1r)n1元D.元答案B解析設(shè)每期期末所付款是x元，則各次付款的本利和為x(1r

10、)n1x(1r)n2x(1r)n3x(1r)xa(1r)n，即xa(1r)n，故x.1數(shù)列綜合問(wèn)題一般先求數(shù)列的通項(xiàng)公式，這是做好該類(lèi)題的關(guān)鍵若是等差數(shù)列或等比數(shù)列，則直接運(yùn)用公式求解，否則常用下列方法求解：(1)an(2)遞推關(guān)系形如an1anf(n)，常用累加法求通項(xiàng)(3)遞推關(guān)系形如f(n)，常用累乘法求通項(xiàng)(4)遞推關(guān)系形如“an1panq(p、q是常數(shù)，且p1，q0)”的數(shù)列求通項(xiàng)，常用待定系數(shù)法可設(shè)an1p(an)，經(jīng)過(guò)比較，求得，則數(shù)列an是一個(gè)等比數(shù)列(5)遞推關(guān)系形如“an1panqn(q，p為常數(shù)，且p1，q0)”的數(shù)列求通項(xiàng)，此類(lèi)型可以將關(guān)系式兩邊同除以qn轉(zhuǎn)化為類(lèi)型(4

11、)，或同除以pn1轉(zhuǎn)為用迭加法求解2數(shù)列求和中應(yīng)用轉(zhuǎn)化與化歸思想的常見(jiàn)類(lèi)型：(1)錯(cuò)位相減法求和時(shí)，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列的求和問(wèn)題求解(2)并項(xiàng)求和時(shí)，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列求和(3)分組求和時(shí)，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為能用公式法或錯(cuò)位相減法或裂項(xiàng)相消法或并項(xiàng)法求和的幾個(gè)數(shù)列的和求解提醒：運(yùn)用錯(cuò)位相減法求和時(shí)，相減后，要注意右邊的n1項(xiàng)中的前n項(xiàng)，哪些項(xiàng)構(gòu)成等比數(shù)列，以及兩邊需除以代數(shù)式時(shí)注意要討論代數(shù)式是否為零3數(shù)列應(yīng)用題主要考查應(yīng)用所學(xué)知識(shí)分析和解析問(wèn)題的能力其中，建立數(shù)列模型是解決這類(lèi)問(wèn)題的核心，在解題中的主要思路：首先構(gòu)造等差數(shù)列或等比數(shù)列模型，然后用相應(yīng)的通項(xiàng)公式與求和公式求解；通過(guò)歸納得到結(jié)論，

12、再用數(shù)列知識(shí)求解.真題感悟1(2013湖南)設(shè)Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和，Sn(1)nan，nN*，則：(1)a3_；(2)S1S2S100_.答案(1)(2)解析anSnSn1(1)nan(1)n1an1(n2)，an(1)nan(1)n1an1(n2)當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，an1(n2)，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，2anan1(n2)，當(dāng)n4時(shí)，a3.根據(jù)以上an的關(guān)系式及遞推式可求a1，a3，a5，a7，a2，a4，a6，a8，.a2a1，a4a3，a6a5，S1S2S100(a2a1)(a4a3)(a100a99).2(2014課標(biāo)全國(guó))已知數(shù)列an滿足a11，an13an1.(1)證明an是等比數(shù)列，并求

13、an的通項(xiàng)公式；(2)證明.證明(1)由an13an1，得an13(an)又a1，所以an是首項(xiàng)為，公比為3的等比數(shù)列an，因此an的通項(xiàng)公式為an.(2)由(1)知.因?yàn)楫?dāng)n1時(shí)，3n123n1，所以.于是1(1).所以.押題精練1如圖，一個(gè)類(lèi)似楊輝三角的數(shù)陣，則第n(n2)行的第2個(gè)數(shù)為_(kāi)答案n22n3解析由題意可知：圖中每行的第二個(gè)數(shù)分別為3,6,11,18，即a23，a36，a411，a518，a3a23，a4a35，a5a47，anan12n3，累加得：ana2357(2n3)，ann22n3.2秋末冬初，流感盛行，特別是甲型H1N1流感某醫(yī)院近30天每天入院治療甲流的人數(shù)依次構(gòu)成數(shù)

14、列an，已知a11，a22，且an2an1(1)n(nN*)，則該醫(yī)院30天入院治療甲流共有_人答案255解析由于an2an1(1)n，所以a1a3a291，a2，a4，a30構(gòu)成公差為2的等差數(shù)列，所以a1a2a29a30151522255.故該醫(yī)院30天入院治療甲流的人數(shù)為255.3已知數(shù)列bn滿足3(n1)bnnbn1，且b13.(1)求數(shù)列bn的通項(xiàng)公式；(2)已知，求證：1.(1)解因?yàn)?(n1)bnnbn1，所以.則3，3，3，3，累乘，可得3n1n，因?yàn)閎13，所以bnn3n，即數(shù)列bn的通項(xiàng)公式bnn3n.(2)證明因?yàn)?，所以an3n.因?yàn)?)，所以(1)()()1.因?yàn)閚N*

15、，所以0，所以11，所以恒成立，則常數(shù)m所能取得的最大整數(shù)為_(kāi)答案5解析要使S2nSn恒成立，只需(S2nSn)min.因?yàn)?S2(n1)Sn1)(S2nSn)(S2n2S2n)(Sn1Sn)a2n1a2n2an10，所以S2nSnS2S1，所以m0，nN*，且a3a28，又a1，a5的等比中項(xiàng)為16.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)bnlog4an，數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為Sn，是否存在正整數(shù)k，使得k對(duì)任意nN*恒成立若存在，求出正整數(shù)k的最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由解(1)設(shè)數(shù)列an的公比為q，由題意可得a316.a3a28，a28，q2.an2n1.(2)bnlog42n1，Snb1b2bn.，0；當(dāng)n3時(shí)，bn1bn0.所以當(dāng)n3時(shí)，bn取得最大值，即Tn取得最大值，此時(shí)S375，即該廠家獲利最大時(shí)，銷(xiāo)售量和廣告費(fèi)分別為375千克和3千元