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1、1,第十一章 量綱分析法 （續(xù)）,流體力學,2,量綱、量綱和諧性原理,3,問題1,什么是量綱，什么是單位，二者之間有什么區(qū)別和聯(lián)系？,答：量綱是表示各種物理量的類別；單位是度量各種物理量數(shù)值大小的標準。單位和量綱都是關于度量的概念，單位決定量度的數(shù)量，而量綱則指量度的性質。,4,問題2,量綱分析方法提出的根據是什么，它有何作用？,答：1.提出根據 （1）自然界一切物理現(xiàn)象的內在規(guī)律，都可以用完整的物理方法來表示。 （2）任何完整物理方程，必須滿足量綱和諧性原理。 2.作用 可用來推導各物理量的量綱；簡化物理方程；檢驗物理方程、經驗公式的正確性與完善性，為科學地組織實驗過程、整理實驗成果提

2、供理論指導。,5,問題3,,,凡是正確反映客觀規(guī)律的物理方程，其方程各項的量綱都必須是一致的，這被之為量綱和諧性原理。但是在曼寧公式 中，謝齊系數(shù)C的量綱為 ，R的量綱為L，n為無量綱量，很明顯量綱是不和諧的，所以可能有人認為量綱和諧性原理是錯誤的，你是如何認識這個問題的，并闡述你的理由。,,6,解：量綱和諧性原理是以被無數(shù)事實證明的客觀真理。因為只有兩個同類型的物理量才能相加減，否則沒有物理意義的。而一些經驗公式是在沒有理論分析的情況下，根據部分實驗資料或實測數(shù)據統(tǒng)計而得，這類公式經常是量綱是不和諧的。這說明人們對客觀事物的認識還不夠全面和充分，只能用不完全的經驗關系式來表示局

3、部的規(guī)律性。這些公式隨著人們對流體本質的深刻認識，將逐步被修正或被正確完整的公式所替代。,,,,7,瑞利法,8,問題4,試用瑞利法分析溢流堰過流時單寬流量q 的表達式。已知q 與堰頂水頭H、水的密度和重力加速度g 有關。,9,1. 分析影響因素，列出函數(shù)方程,解：,根據題意可知，溢流堰過流時單寬流量q 與堰頂水頭H、水的密度和重力加速度g 有關，用函數(shù)關系式表示為,,2. 將q寫成H，，g的指數(shù)乘積形式，即,,10,3. 寫出量綱表達式,,,4. 選L、T、M作為基本量綱，表示各物理量的量綱為,,,,5. 由量綱和諧性原理求各量綱指數(shù),L：2=a-3b+c T：-1=-2c M：0=b,,a=

4、3/2 b=0 c=1/2,11,6. 代入指數(shù)乘積式，得,其中，k1為無量綱系數(shù)，即流量系數(shù)m，由實驗來確定。,,,,,即,12,問題5,求水泵輸出功率的表達式。已知水泵的輸出功率N 與單位體積水的重量 、流量Q、揚程H有關。,13,1. 分析影響因素，列出函數(shù)方程,解：,根據題意可知，水泵的輸出功率N 與單位體積水的重量 、流量Q、揚程H 有關,用函數(shù)關系式表示為,,2. 將N寫成 ，Q，H的指數(shù)乘積形式，即,,14,3. 寫出量綱表達式,,,4. 選L、T、M作為基本量綱，表示各物理量的量綱為,,,,5. 由量綱和諧性原理求各量綱指數(shù),L：2=-2a+3b+c T：-3=-2a-

5、b M：1=a,,a=1 b=1 c=1,15,6. 代入指數(shù)乘積式，得,其中，k為無量綱系數(shù)，通過實驗來確定。,,,,,16,定理,17,問題6,簡述布金漢定理的運用步驟？,答：1.確定關系式。根據對所研究現(xiàn)象的認識，確定影響這個現(xiàn)象的各個物理量及其關系式。,,2.確定基本物理量。從n個物理量中選取所包含的m個基本物理量作為基本量綱的代表，一般取m=3。使基本量綱的行列式不等于零，即保障基本無論量相互獨立。,18,3. 確定基本物理量依次與其余物理量組成的表達式。,,,,,,4. 滿足為無量綱相，由量綱和諧性原理定出各項基本物理量的指數(shù)a、b、c。,5. 寫出描述現(xiàn)象的關系式。,,19,問題

6、7,在用布金漢定理時，要選取3個相互基本物理量，如何合理的選擇這3個基本物理量呢？,答：（1）基本物理量與基本量綱相對應。即若基本量綱選（M，L，T）為三個，那么基本物理量也選擇三個；倘若基本量綱只出現(xiàn)兩個，則基本物理量同樣只須選擇兩個。 （2）選擇基本物理量時，應選擇重要的物理量。換句話說，不要選擇次要的物理量作為基本物理量，否則次要的物理量在大多數(shù)項中出現(xiàn)，往往使問題復雜化，甚至要重新求解。 （3）為保證三個基本物理量相互獨立，其量綱的指數(shù)行列式應滿足不等于零的條件。一般是從幾何學量、運動學量、動力學量中各選一個，即可滿足要求。,,20,問題8,文丘里流量計是用來測量有壓管路的流量，如右圖

7、所示，已知1-1斷面和2-2斷面之間的壓強差p隨流量Q，流體密度，液體粘度 以及大小直徑D1，D2變化。試用定律求出的壓強降落p表示的流量公式。,文丘里流量計,21,1. 分析影響因素，列出函數(shù)方程,解：,根據題意可知，壓強差p與通過的流量Q，流體的密度，液體的粘度 以及大小直徑D1,D2有關，用函數(shù)關系式表示為：,,可以看出函數(shù)中的變量個數(shù) n6,22,,,選取三個基本物理量，它們分別是幾何學量D1，運動學量Q 以及動力學量 。,2. 選取基本物理量,量綱指數(shù)行列式,由量綱公式：,故上述所選的三個基本物理量式相互獨立的。,23,,,3. 列出無量綱值,列出 個無量綱的值。,其中

8、 為待定指數(shù)。,24,4. 根據量綱和諧性原理，確定各 項的指數(shù),對于1，其量綱式為：,所以：,,25,對于2，其量綱式為：,對于3 ，其量綱式為：,,,,,26,5. 寫出無量綱量方程,上式中的數(shù)可根據需要取其倒數(shù)，而不會改變它的無量綱性質。即：,,27,問題9,流體在水平圓管中作恒定流動，管道截面沿程不變，管徑為D，由于阻力的作用，壓強將沿流程下降，通過觀察，已知兩個相距為 l 的斷面間的壓強差p與斷面平均流速V，流體密度，動力粘性系數(shù)以及管壁表面的平均粗糙度等因素有關。假設管道很長，管道進出口的影響不計。試用布金漢定理求p 的一般表達式。,28,1. 列出上述影響因素的函數(shù)關系式,解

9、：,,,,2. 在函數(shù)式中n7；選取3個基本物理量，依次為幾何學量D、運動學量V和動力學量，三個基本物理量的量綱是,29,,,其量綱指數(shù)行列式為,故說明基本物理量的量綱是相互獨立的?？蓪懗鰊3734個無量綱項。,,30,,,3. 列出無量綱值,其中， 為待定指數(shù)。,,,31,4. 根據量綱和諧性原理，各項中的指數(shù)分別確定如下（以1為例）,所以：,,,32,同理可得,,5. 寫出無量綱量方程，其中2項根據需要取其倒數(shù)，但不會改變其無量綱性質，所以,,33,求壓差p 時，以 ， 代入，可得,,,,令 ，最后可得沿程水頭損失公式為,,上式就是沿程損失的一般表達式。,

10、34,問題10,試用瑞利法和定理（布金漢定理）推導圓柱繞流的阻力FD的表達式，并說明瑞利法和布金漢定理各適用于何種情況？已知圓柱繞流阻力FD與圓柱的直徑為D、流體的流速為V、流體的密度為和流體的動力粘滯系數(shù)為有關。,35,1. 已知與阻力FD有關的物理量為d，V，，，即,解：一、瑞利法求解,,2. 將阻力寫成d，V， ， 的指數(shù)乘積形式，即,,3. 寫出量綱表達式,36,,,因為上面的三個方程式中有四個未知數(shù)，所以不能全部解出。我們保留其中的e，待實驗中去確定，并用它表示其余的指數(shù),,4. 選L、T、M作基本量綱，表示各物理量的量綱,5. 由量綱和諧性原理，求各量綱的指數(shù),L：1= a+b-3

11、c-e M：1= c+e T：-2=-b-e,a=2-e，b=2-e，c=1-e,37,,,6. 帶入指數(shù)乘積式，得,,即,如果令繞流阻力系數(shù) ，l為圓柱長，則得阻力公式,其中，繞流阻力系數(shù)CD與物體的形狀和雷諾數(shù)有關，最后由實驗確定。,38,1. 根據題意，本題共有5個物理量，即n = 5，這些物理量之間存在下述關系式,,,,2. 選取3個基本物理量，依次為幾何學量D、運動學量V和動力學量，三個基本物理量的量綱是,二、定理求解,,,,,39,,,其量綱指數(shù)行列式為,故說明基本物理量的量綱是相互獨立的?？蓪懗鰊3532個無量綱項。,,40,,,3. 列出無量綱值,其中， 為待定指數(shù)。,,,,4. 根據量綱和諧性原理，各項中的指數(shù)分別確定如下,對于1，其量綱式為,41,,,,,對于1，其量綱式為,,,,,42,,5. 寫出無量綱量方程，其中2項根據需要取其倒數(shù)，但不會改變其無量綱性質，所以,,,,,,式中： ，稱為繞流阻力系數(shù)，與物體的形狀和雷諾數(shù)有關，由實驗確定。,由以上可以看出，用兩種不同的量綱分析法得到的結果完全相同。一般，瑞利法適用于比較簡單的問題，相關變量未知數(shù)n45個，而布金漢定理是具有普遍性的方法。,