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1、有限元分析與應(yīng)用-習(xí)題課,2,線彈性力學(xué)靜力問題有限元法計算列式的推導(dǎo)是如何采用彈性力學(xué)問題基本方程？,答： (1) 假設(shè)單元的位移場模式,(2) 代入到幾何方程，得,(3) 代入到物理方程，得,(5) 疊加到總剛陣，得到結(jié)構(gòu)的平衡方程,3,2. 圖示彈性力學(xué)平面問題，采用三角形常應(yīng)變元，,網(wǎng)格劃分如圖，試求：,(1) 計算在你的結(jié)點編號下的系統(tǒng)剛度矩陣的半帶寬；,(2) 根據(jù)圖中結(jié)構(gòu)的邊界約束狀態(tài)，指出那些結(jié)點自由度的,位移已知并且為何值。,解：,4,3. 彈性力學(xué)有限元中，平面等參數(shù)單元中的“等參數(shù)”,概念是何意思？ 該單元在跨相鄰單元時，位移場連,續(xù)嗎？ 應(yīng)力場連續(xù)嗎？,5,4. 回答下

2、列問題：,6,4. 回答下列問題：,7,5. 對于平面、空間實體單元，位移有限元計算結(jié)果中，,位移和應(yīng)力解結(jié)果的精確度是相當嗎？如果精度不相,當，哪一個解較精確？,6. 判斷 （ ）1. 對于高壓電線的鐵塔那樣的框架結(jié)構(gòu)的模型化處理使用梁單元 。 （ ）2. 不能把梁單元、殼單元和實體單元混合在一起作成模型。（ ）3. 四邊形的平面單元盡可能作成接近正方形形狀的單元 。 （ ）4. 平面應(yīng)變單元也好，平面應(yīng)力單元也好，如果以單位厚度來作模型化處理的話會得到一樣的答案 。,6. 判斷 （ ）5. 一般應(yīng)力變化大的地方單元尺寸要劃的小才好。 （ ）6. 所謂全約束只要將位移自由度約束住，而不必約束

3、轉(zhuǎn)動自由度。 （ ）7. 同一載荷作用下的結(jié)構(gòu)，所給材料的彈性模量越大則變形值越小 。 （ ）8. 一維變帶寬存儲通常比二維等帶寬存儲更節(jié)省存儲量。,7. 填空,1平面應(yīng)力問題與薄板彎曲問題的彈性體幾何形狀都是薄板，但前者受力特點是： ，變形發(fā)生在板面內(nèi)；后者受力特點是： 的力的作用，板將變成有彎有扭的曲面。 2平面應(yīng)力問題與平面應(yīng)變問題都具有三個獨立的應(yīng)力分量： ，三個獨立的應(yīng)變分量： ，但對應(yīng)的彈性體幾何形狀前者為 ，后者為 。 3位移模式需反映 ，反映 ，滿足 。 4單元剛度矩陣的特點有： ， ，還可按節(jié)點分塊。 5軸對稱問題單元形狀為： ，由于軸對稱的特性，任意一點變形只發(fā)生在子午面上

4、，因此可以作為 問題處理。,平行于板面且沿厚度均布載荷作用,單元邊界上位移連續(xù),垂直于板面,x，y，xy,x，y，xy,薄板,長柱體,剛體位移,常應(yīng)變,對稱性,奇異性,二維,三角形或四邊形截面的空間環(huán)形單元,7. 填空,平衡方程、物理方程、幾何方程,6等參數(shù)單元指的是：描述位移和描述坐標采用相同的形函數(shù)形式。等參數(shù)單元優(yōu)點是：可以采用高階次位移模式，能夠模擬復(fù)雜幾何邊界，方便單元剛度矩陣和等效節(jié)點載荷的積分運算。,8一個空間塊體單元的節(jié)點有 個節(jié)點位移： 。,9變形體基本變量有 ; 基本方程有 。,10.實現(xiàn)有限元分析標準化和規(guī)范化的載體就是單元,6等參數(shù)單元指的是： 。等參數(shù)單元優(yōu)點是： 。

5、,u，v，w,3,位移、應(yīng)變、應(yīng)力,10. 實現(xiàn)有限元分析標準化和規(guī)范化的載體就是 。,單元,8. 選擇,（1）等參變換是指單元坐標變換和函數(shù)插值采用_ _的結(jié)點和_的插值函數(shù)。 （A）不相同，不相同 （B）相同，相同 （C）相同，不相同 （D）不相同，相同,B,8. 選擇,（2）有限元位移模式中，廣義坐標的個數(shù)應(yīng)與_相等。 （A）單元結(jié)點個數(shù) （B）單元結(jié)點自由度數(shù) （C）場變量個數(shù),B,8. 選擇,（3）如果出現(xiàn)在泛函中場函數(shù)的最高階導(dǎo)數(shù)是m階，單元的完備性是指試探函數(shù)必須至少是_完全多項式。 （A）m-1次 （B）m次 （C）2m-1次,B,8. 選擇,（4）與高斯消去法相比，高斯約當消

6、去法將系數(shù)矩陣化成了_形式，因此，不用進行回代計算。 （A）上三角矩陣 （B）下三角矩陣 （C）對角矩陣,C,8. 選擇,（5）對分析物體劃分好單元后，_會對剛度矩陣的半帶寬產(chǎn)生影響。 （A）單元編號 （B）單元組集次序 （C）結(jié)點編號,C,8. 選擇,（6）n個積分點的高斯積分的精度可達到_階。 （A）n-1 （B）n （C）2n-1 （D）2n,C,8. 選擇,（7）引入位移邊界條件是為了消除有限元整體剛度矩陣的_。 （A）對稱性 （B）稀疏性 （C）奇異性,C,8. 選擇,（8）在加權(quán)余量法中，若簡單地利用近似解的試探函數(shù)序列作為權(quán)函數(shù)，這類方法稱為_。 （A）配點法 （B）子域法 （C

7、）伽遼金法,C,8. 選擇,（9）采用位移元計算得到應(yīng)力近似解與精確解相比較，一般_。 （A）近似解總小于精確解 （B）近似解總大于精確解 （C）近似解在精確解上下震蕩 （D）沒有規(guī)律,C,8. 選擇,（10）對稱荷載在對稱面上引起的_分量為零。 （A）對稱應(yīng)力 （B）反對稱應(yīng)力 （C）對稱位移 （D）反對稱位移,D,9. 簡答,（1）簡述有限單元法結(jié)構(gòu)剛度矩陣的特點。,（a）對稱性； （b）奇異性； （c）主對角元恒正； （d）稀疏性； （e）非零元素帶狀分布,9. 簡答,（2）簡述有限元法中選取單元位移函數(shù)（多項式）的一般原則。,一般原則有: (a) 廣義坐標的個數(shù)應(yīng)該與結(jié)點自由度數(shù)相等；

8、 (b) 選取多項式時，常數(shù)項和坐標的一次項必須完備； (c) 多項式的選取應(yīng)由低階到高階； (d) 盡量選取完全多項式以提高單元的精度.,9. 簡答,（3）有限元法分析的目的是什么？,有限元方法分析的目的： (a) 對變形體中的位移、應(yīng)力、應(yīng)變進行定義和表達，進而建立平衡方程、幾何方程和物理方程。 (b) 針對具有任意復(fù)雜幾何形狀的變形體，完整得獲取在復(fù)雜外力作用下它內(nèi)部的準確力學(xué)信息。 (c) 力學(xué)分析的基礎(chǔ)上，對設(shè)計對象進行強度(strength)、剛度（stiffness）評判，修改、優(yōu)化參數(shù)。,9. 簡答,（4）有限單元法分析步驟.,(a) 結(jié)構(gòu)的離散化 (b) 選擇位移模式 (c)

9、 分析單元的力學(xué)特性 (d) 集合所有單元平衡方程，得到整體結(jié)構(gòu)的平衡方程 (e) 由平衡方程求解未知節(jié)點位移 (f) 單元應(yīng)變和應(yīng)力的計算,9. 簡答,（5）簡述有限單元法的收斂性準則。,完備性要求 如果在能量泛函中所出現(xiàn)的位移函數(shù)的最高階導(dǎo)數(shù)是m階，則有限元解收斂性條件之一是單元位移函數(shù)至少是m階完全多項式。 (b) 協(xié)調(diào)性要求 如果在能量泛函中所出現(xiàn)的位移函數(shù)的最高階導(dǎo)數(shù)是m階，則位移函數(shù)在單元邊界界面上必須具有直到m-1解的連續(xù)導(dǎo)數(shù)，即Cm-1連續(xù)性。,9. 簡答,（6）考慮下列三種改善應(yīng)力結(jié)果的方法（a）總體應(yīng)力磨平、（b）單元應(yīng)力磨平和（c）分片應(yīng)力磨平，請分別將它們按計算精度（高

10、低）和計算速度（快慢）進行排序。,計算精度（a）（c）（b） 計算速度（b）（c）（a）,9. 簡答,（a）總體應(yīng)力磨平,10. 計算,如圖1所示等腰直角三角形單元，其厚度為t，彈性模量為E=1，泊松比v=0；單元的邊長a=1及結(jié)點編號見下圖所示。試求： (1)形函數(shù)矩陣N ； (2)應(yīng)變矩陣B和應(yīng)力矩陣S； (3)單元剛度矩陣Ke。,10. 計算,解：,10. 計算,解：,10. 計算,解：,設(shè)圖1所示的各點坐標為 點1（a，0），點2（a，a），點3（0，0） 于是，可得單元的面積為,，及,（1）形函數(shù)N為,10. 計算,解：,（1）形函數(shù)N為,（2）單元應(yīng)變矩陣B和應(yīng)力矩陣S分別為,10

11、. 計算,解：,（1）形函數(shù)N為,（2）單元應(yīng)變矩陣B和應(yīng)力矩陣S分別為,10. 計算,解：,（1）形函數(shù)N為,（2）單元應(yīng)變矩陣B和應(yīng)力矩陣S分別為,10. 計算,解：,（1）形函數(shù)N為,（2）單元應(yīng)變矩陣B和應(yīng)力矩陣S分別為,10. 計算,解：,（2）單元應(yīng)變矩陣B和應(yīng)力矩陣S分別為,（1）形函數(shù)N為,（3） 單元剛度矩陣Ke,10. 計算,解：,（3） 單元剛度矩陣Ke,11. 計算,11. 計算,11. 計算,解：,3,（1）根據(jù)對稱性，計算模型如右圖所示。,（2）每個單元的合理局部編號，如右圖所示。所謂“合理”即使半帶寬B最?。?12. 一些概念及術(shù)語理解,（1）什么是平面應(yīng)力問題？

12、什么是平面應(yīng)變問題？,答：平面應(yīng)力問題是指薄板受平行于板面且沿厚度均布載荷作用，只有xy面上三個應(yīng)力分量x，y，xy非零。平面應(yīng)變問題是指長柱體受平行于橫截面且沿長度均布載荷作用，只有xy面上三個應(yīng)變分量x，y，xy非零。,12. 一些概念及術(shù)語理解,（2）單元剖分時應(yīng)注意哪些問題？,答：規(guī)模適當、單元形狀盡量接近正多邊形、不同材料部分劃分在不同單元、不同厚度或不同截面劃分在不同單元、集中力作用點及分布載荷密度變化處設(shè)置節(jié)點、應(yīng)力集中區(qū)域單元劃分密度要大、疏密過渡要平緩、希望了解某處位移此處設(shè)置節(jié)點、邊界點設(shè)置節(jié)點。,12. 一些概念及術(shù)語理解,（3）什么是位移模式？位移模式應(yīng)滿足哪些條件？,

13、答：位移模式是在單元范圍內(nèi)的位移函數(shù)，是坐標的函數(shù)。 位移模式通常應(yīng)滿足a）反映剛體位移；b）反映常變形；c）單元邊界上位移連續(xù)，三個條件。,12. 一些概念及術(shù)語理解,（4）什么是節(jié)點力？什么是節(jié)點載荷？,答：節(jié)點力是單元給節(jié)點的力或節(jié)點給單元的力，等于單元的彈性力；節(jié)點載荷是外界作用在彈性體節(jié)點上的力。,12. 一些概念及術(shù)語理解,（5）什么是單元分析？說說單元分析的大致過程。,答：單元分析就是尋求單元節(jié)點力與節(jié)點位移之間的關(guān)系。單元分析的大致過程：設(shè)定位移模式即用節(jié)點位移表達單元內(nèi)任意一點位移、建立應(yīng)變與位移之間的幾何方程、建立應(yīng)力與應(yīng)變之間的物理關(guān)系、由虛功原理建立節(jié)點力與單元內(nèi)任意一

14、點應(yīng)力之間的平衡關(guān)系，從而得到單元剛度方程。,12. 一些概念及術(shù)語理解,（6）單元剛度矩陣有哪些特點？說說它們的物理意義。,答：單元剛度矩陣具有對稱性、奇異性，可按節(jié)點分塊。對稱性反映了功的互等關(guān)系，奇異性說明單元在無約束情況下可以發(fā)生剛體位移，由于每個節(jié)點具有相同的自由度，因此單元剛度矩陣可按節(jié)點分成若干相似的子塊。,功互等定理 對于線彈性體，作用在同一構(gòu)件上第一組力在第二組力引起的位移上所做的功，等于第二組力在第一組力引起的位移上所做的功，,12. 一些概念及術(shù)語理解,（7）如何引入約束條件？,答：引入約束條件：a）對角元改1法，將剛度矩陣中有位移約束的自由度對應(yīng)的行和列對角元改為1，其

15、它元素改為0，載荷向量中對應(yīng)元素置為已知位移值，其它載荷元素減去已知位移值與該行對應(yīng)列剛度系數(shù)之積。b）乘大數(shù)法，將剛度矩陣中有位移約束的自由度對應(yīng)的行和列對角元乘以一個非常大的數(shù)，載荷向量中對應(yīng)元素改為該大數(shù)乘以對角元剛度系數(shù)再乘以已知位移值。c）降階法，將整體方程組中有位移約束的自由度對應(yīng)的行和列刪除，得到一組降階的修正方程，一般適用于手工計算。,12. 一些概念及術(shù)語理解,（8）平面問題中對稱邊界條件是什么？,答：平面問題中對稱邊界條件：對稱軸上節(jié)點垂直于對稱軸方向的位移為零。 用有限元程序計算分析一結(jié)構(gòu)的強度須提供哪些數(shù)據(jù)？ a）總體信息：問題類型，單元類型，單位制等；b）幾何信息：節(jié)

16、點坐標，單元節(jié)點組成，板厚度，梁截面等；c）材料信息：彈性模量，泊松比，密度等；d）載荷信息：集中力，集中力矩，分布面力，分布體力等；e）約束信息：對稱約束，反對稱約束，固定約束等。,12. 一些概念及術(shù)語理解,（9）有限元分析的大致步驟是什么？,答：首先進行結(jié)構(gòu)離散化，將無限個自由度的彈性體用有限個自由度的離散結(jié)構(gòu)模擬，再進行單元分析，即找出單元節(jié)點力與節(jié)點位移之間的關(guān)系，最后進行整體分析，即組集總剛、引入約束、形成整體載荷向量、方程組求解。解出節(jié)點位移，再求單元應(yīng)力等。,12. 一些概念及術(shù)語理解,（10）什么是軸對稱問題？什么是空間問題？它們的節(jié)點有哪幾個自由度？,答：軸對稱問題是指幾何

17、結(jié)構(gòu)、所受載荷和約束都關(guān)于同一軸對稱的情況，可作為二維問題處理。空間問題指結(jié)構(gòu)幾何形狀不屬于桿、板、殼、軸對稱等特殊情況的一般塊體，由空間塊單元模擬。軸對稱問題節(jié)點兩個自由度：徑向、軸向位移，空間問題節(jié)點三個自由度：x、y、z三方向平移。,12. 一些概念及術(shù)語理解,（11）軸對稱單元與平面單元有哪些區(qū)別？,答：軸對稱單元是三角形或四邊形截面的空間的環(huán)形單元，平面單元是三角形或四邊形平面單元；軸對稱單元內(nèi)任意一點有四個應(yīng)變分量，平面單元內(nèi)任意一點非零獨立應(yīng)變分量有三個。,12. 一些概念及術(shù)語理解,（12）已知幾何矩陣B和彈性矩陣D，推導(dǎo)軸對稱單元的剛度矩陣。,12. 一些概念及術(shù)語理解,（1

18、3）能給出解析式的解就是精確解，只能以數(shù)值方式求得解都是近似解。這種說法對不對？為什么？,答：不一定 應(yīng)用解析法時，往往有很多假設(shè)條件，將很多工況理想化，所以計算結(jié)果與實際狀況往往有出入，其誤差大小與理想化條件有關(guān)，所以解析式的解也不一定是精確解。,12. 一些概念及術(shù)語理解,（14）解析解的精度一定高于數(shù)值解的說法對不對？為什么？,答：不對，原因如題13，若理想化掉的情況和分析的對象相關(guān)性較大，也就是說對分析影響很大，那么在理想化后的工況下得到的結(jié)果與實際工況相差很大，此時精度還不如數(shù)值解的精度高。,12. 一些概念及術(shù)語理解,（15）有限元方程求解前為什么要進行約束處理？,答：為了消除剛體

19、位移，使方程具有唯一解。,（16）單元節(jié)點處的位移連續(xù)性條件指的是什么？,答：各點位移必須單值連續(xù),12. 一些概念及術(shù)語理解,（17）選擇單元位移插值函數(shù)是否要包含剛體位移？,答：位移插值函數(shù)的收斂性（完備性）要求： 位移插值函數(shù)必須包含常應(yīng)變狀態(tài) 位移插值函數(shù)必須包含剛體位移,（18）形函數(shù)有什么重要性質(zhì)？,答:1) 相關(guān)節(jié)點處的值為1，不相關(guān)節(jié)點處的值為0 (正交性） 2) 形函數(shù)之和恒等于1（正規(guī)性）,12. 一些概念及術(shù)語理解,（19）有限元應(yīng)用中根據(jù)什么構(gòu)造形函數(shù)？,答：形函數(shù)的性質(zhì),（20）三角形平面單元是常應(yīng)變單元，所以單元內(nèi)部各點的位移是相同的對嗎？為什么？,答: 不對，應(yīng)變

20、是位移的導(dǎo)數(shù) 。,12. 一些概念及術(shù)語理解,（21）幾何矩陣B表示的是什么關(guān)系？,答：B不是常矩陣，各元素均為r、s的函數(shù)。在單元內(nèi)不同點上B元素的值也不同，要計算那個點的應(yīng)力，在單元分析是就要同時給出該點處的B.要計算多個點，就要給出多個B。,（22）單元的協(xié)調(diào)性指的是什么、滿足什么條件的單元是協(xié)調(diào)單元？,答:單元的協(xié)調(diào)性（連續(xù)性），指相鄰單元公共邊界處位移的連續(xù)性條件。 滿足連續(xù)性條件的，稱為協(xié)調(diào)單元，反之稱為不協(xié)調(diào)單元。,12. 一些概念及術(shù)語理解,（23）單元剛度矩陣有什么特點？,答：單元剛度矩陣具有正定性、奇異性和對稱性三個重要特性。,（24）單元剛度矩陣的物理意義是什么？,答: 其正定性的物理意義是位移與載荷方向一致；奇異性是說單元含有剛體位移；對稱性是說單元剛度矩陣是對稱矩陣，程序設(shè)計時可充分使用。,