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1、第3講圓錐曲線的綜合問題,專題四解析幾何,板塊三專題突破核心考點(diǎn),考情考向分析,1.圓錐曲線的綜合問題一般以直線和圓錐曲線的位置關(guān)系為載體，以參數(shù)處理為核心，考查范圍、最值問題，定點(diǎn)、定值問題，探索性問題. 2.試題解答往往要綜合應(yīng)用函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合、分類討論等多種思想方法，對(duì)計(jì)算能力也有較高要求，難度較大,熱點(diǎn)分類突破,真題押題精練,內(nèi)容索引,熱點(diǎn)分類突破,熱點(diǎn)一范圍、最值問題,圓錐曲線中的范圍、最值問題，可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題(以所求式子或參數(shù)為函數(shù)值)，或者利用式子的幾何意義求解,解答,(1)求橢圓C的方程；,(2)分別記PAO，PBO的面積為S1，S2，當(dāng)M，N，B三點(diǎn)共線時(shí)，求

2、S1S2的最大值.,解答,解設(shè)點(diǎn)A坐標(biāo)為(x1，y1)，點(diǎn)B坐標(biāo)為(x2，y2)， 則M為(x1，y1)， 設(shè)直線l的方程為ykxb， 聯(lián)立橢圓方程可得(4k21)x28kbx4b240，,M，N，B三點(diǎn)共線， kMNkBN，,設(shè)A，B兩點(diǎn)到直線OP的距離分別為d1，d2.,解決范圍問題的常用方法 (1)數(shù)形結(jié)合法：利用待求量的幾何意義，確定出極端位置后，利用數(shù)形結(jié)合法求解. (2)構(gòu)建不等式法：利用已知或隱含的不等關(guān)系，構(gòu)建以待求量為元的不等式求解. (3)構(gòu)建函數(shù)法：先引入變量構(gòu)建以待求量為因變量的函數(shù)，再求其值域.,跟蹤演練1(2018紹興市柯橋區(qū)模擬)已知拋物線C：y24x的焦點(diǎn)為F，

3、直線l：ykx4(1k2)與y軸、拋物線C相交于點(diǎn)P，A，B(自下而上)，記PAF，PBF的面積分別為S1，S2. (1)求AB中點(diǎn)M到y(tǒng)軸的距離d的取值范圍；,解答,得k2x2(8k4)x160， 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，,解答,熱點(diǎn)二定點(diǎn)、定值問題,1.由直線方程確定定點(diǎn)，若得到了直線方程的點(diǎn)斜式：yy0k(xx0)，則直線必過定點(diǎn)(x0，y0)；若得到了直線方程的斜截式：ykxm，則直線必過定點(diǎn)(0，m). 2.解析幾何中的定值問題是指某些幾何量(線段的長(zhǎng)度、圖形的面積、角的度數(shù)、直線的斜率等)的大小或某些代數(shù)表達(dá)式的值等與題目中的參數(shù)無關(guān)，不依參數(shù)的變化而變化，而始終是一

4、個(gè)確定的值.,例2(2018北京)已知拋物線C：y22px經(jīng)過點(diǎn)P(1，2)，過點(diǎn)Q(0，1)的直線l與拋物線C有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A，B，且直線PA交y軸于M，直線PB交y軸于N. (1)求直線l的斜率的取值范圍；,解答,解因?yàn)閽佄锞€y22px過點(diǎn)(1，2)， 所以2p4，即p2. 故拋物線C的方程為y24x. 由題意知，直線l的斜率存在且不為0. 設(shè)直線l的方程為ykx1(k0)，,依題意知(2k4)24k210， 解得k0或0k1.,又PA，PB與y軸相交，故直線l不過點(diǎn)(1，2). 從而k3. 所以直線l的斜率的取值范圍是(，3)(3，0)(0，1).,證明,證明設(shè)A(x1，y1)，B(x

5、2，y2)，,(1)動(dòng)直線過定點(diǎn)問題的兩大類型及解法 動(dòng)直線l過定點(diǎn)問題，解法：設(shè)動(dòng)直線方程(斜率存在)為ykxt，由題設(shè)條件將t用k表示為tmk，得yk(xm)，故動(dòng)直線過定點(diǎn)(m，0). 動(dòng)曲線C過定點(diǎn)問題，解法：引入?yún)⒆兞拷⑶€C的方程，再根據(jù)其對(duì)參變量恒成立，令其系數(shù)等于零，得出定點(diǎn).,先將式子用動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)或動(dòng)線中的參數(shù)表示，再利用其滿足的約束條件使其絕對(duì)值相等的正負(fù)項(xiàng)抵消或分子、分母約分得定值.,(2)求解定值問題的兩大途徑,跟蹤演練2已知傾斜角為 的直線經(jīng)過拋物線：y22px(p0)的焦點(diǎn)F，與拋物線相交于A，B兩點(diǎn)，且|AB|8. (1)求拋物線的方程；,解答,令A(yù)(x1，y1)

6、，B(x2，y2)， 則x1x23p， 由拋物線的定義得|AB|x1x2p4p8， p2. 拋物線的方程為y24x.,(2)過點(diǎn)P(12,8)的兩條直線l1，l2分別交拋物線于點(diǎn)C，D和E，F(xiàn)，線段CD和EF的中點(diǎn)分別為M，N.如果直線l1與l2的傾斜角互余，求證：直線MN經(jīng)過一定點(diǎn).,證明,證明設(shè)直線l1，l2的傾斜角分別為，,直線l1的斜率為k，則ktan . 直線l1與l2的傾斜角互余，,直線CD的方程為y8k(x12)， 即yk(x12)8.,設(shè)C(xC，yC)，D(xD，yD)，,顯然當(dāng)x10時(shí)，y0，,熱點(diǎn)三探索性問題,1.解析幾何中的探索性問題，從類型上看，主要是存在類型的相關(guān)題

7、型，解決這類問題通常采用“肯定順推法”，將不確定性問題明確化.其步驟為：假設(shè)滿足條件的元素(點(diǎn)、直線、曲線或參數(shù))存在，用待定系數(shù)法設(shè)出，列出關(guān)于待定系數(shù)的方程組，若方程組有實(shí)數(shù)解，則元素(點(diǎn)、直線、曲線或參數(shù))存在；否則，元素(點(diǎn)、直線、曲線或參數(shù))不存在. 2.反證法與驗(yàn)證法也是求解存在性問題常用的方法.,(1)求橢圓C的方程；,解答,設(shè)橢圓的焦點(diǎn)F1(0，c)， 由F1到直線4x3y120的距離為3，,又a2b2c2，求得a24，b23.,解答,設(shè)直線AB的方程為ykx1(k0)，,(8k)24(4k21)12256k2480. 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，,假設(shè)存在點(diǎn)P(0，

8、t)滿足條件，,所以PM平分APB. 所以直線PA與直線PB的傾斜角互補(bǔ)， 所以kPAkPB0.,即x2(y1t)x1(y2t)0. (*) 將y1kx11，y2kx21代入(*)式， 整理得2kx1x2(1t)(x1x2)0，,整理得3kk(1t)0，即k(4t)0， 因?yàn)閗0，所以t4.,解決探索性問題的注意事項(xiàng) 存在性問題，先假設(shè)存在，推證滿足條件的結(jié)論，若結(jié)論正確則存在，若結(jié)論不正確則不存在. (1)當(dāng)條件和結(jié)論不唯一時(shí)，要分類討論. (2)當(dāng)給出結(jié)論而要推導(dǎo)出存在的條件時(shí)，先假設(shè)成立，再推出條件. (3)當(dāng)條件和結(jié)論都不知，按常規(guī)方法解題很難時(shí)，要思維開放，采取另外的途徑.,(1)求

9、a，b的值，并寫出橢圓C的方程；,解答,(2)設(shè)A，B分別為橢圓C的左、右頂點(diǎn)，在橢圓C上有異于A，B的動(dòng)點(diǎn)P，若直線PA，PB與直線l：xm(m為常數(shù))分別交于不同的兩點(diǎn)M，N，則當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)，以MN為直徑的圓是否經(jīng)過定點(diǎn)？,解答,設(shè)直線PA，PB的斜率分別為k1，k2，,真題押題精練,真題體驗(yàn),1.(2017全國(guó)改編)已知F為拋物線C：y24x的焦點(diǎn)，過F作兩條互相垂直的直線l1，l2，直線l1與C交于A，B兩點(diǎn)，直線l2與C交于D，E兩點(diǎn)，則|AB|DE|的最小值為_.,解析,答案,16,解析因?yàn)镕為y24x的焦點(diǎn)， 所以F(1,0). 由題意知，直線l1，l2的斜率均存在且不為0， 設(shè)

10、l1的斜率為k，,同理可得|DE|4(1k2).,證明,2.(2018浙江)如圖，已知點(diǎn)P是y軸左側(cè)(不含y軸)一點(diǎn)，拋物線C：y24x上存在不同的兩點(diǎn)A，B滿足PA，PB的中點(diǎn)均在C上. (1)設(shè)AB中點(diǎn)為M，證明：PM垂直于y軸；,因?yàn)镻A，PB的中點(diǎn)在拋物線上，,所以y1y22y0， 所以PM垂直于y軸.,解答,押題預(yù)測(cè),(1)求C1，C2的方程；,押題依據(jù)本題將橢圓和拋物線聯(lián)合起來設(shè)置命題，體現(xiàn)了對(duì)直線和圓錐曲線位置關(guān)系的綜合考查.關(guān)注知識(shí)交匯，突出綜合應(yīng)用是高考的特色.,解答,押題依據(jù),解因?yàn)镃1，C2的焦點(diǎn)重合，,所以a24. 又a0，所以a2.,拋物線C2的方程為y24x.,(2)若過焦點(diǎn)F的直線l與橢圓分別交于M，Q兩點(diǎn)，與拋物線分別交于P，N兩點(diǎn)，是否存在斜率為k(k0)的直線l，使得 2？若存在，求出k的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.,解答,當(dāng)lx軸時(shí)，|MQ|3，|PN|4，不符合題意， 直線l的斜率存在， 可設(shè)直線l的方程為yk(x1)(k0)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，M(x3，y3)，N(x4，y4).,且144k21440，,