《高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽教材講義 第三章 函數(shù)講義》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽教材講義 第三章 函數(shù)講義（6頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、第三章 函數(shù)一、基礎(chǔ)知識(shí)定義1 映射，對(duì)于任意兩個(gè)集合A，B，依對(duì)應(yīng)法則f，若對(duì)A中的任意一個(gè)元素x，在B中都有唯一一個(gè)元素與之對(duì)應(yīng)，則稱f: AB為一個(gè)映射。定義2 單射，若f: AB是一個(gè)映射且對(duì)任意x, yA, xy, 都有f(x)f(y)則稱之為單射。定義3 滿射，若f: AB是映射且對(duì)任意yB，都有一個(gè)xA使得f(x)=y，則稱f: AB是A到B上的滿射。定義4 一一映射，若f: AB既是單射又是滿射，則叫做一一映射，只有一一映射存在逆映射，即從B到A由相反的對(duì)應(yīng)法則f-1構(gòu)成的映射，記作f-1: AB。定義5 函數(shù)，映射f: AB中，若A，B都是非空數(shù)集，則這個(gè)映射為函數(shù)。A稱為它

2、的定義域，若xA, yB，且f(x)=y（即x對(duì)應(yīng)B中的y），則y叫做x的象，x叫y的原象。集合f(x)|xA叫函數(shù)的值域。通常函數(shù)由解析式給出，此時(shí)函數(shù)定義域就是使解析式有意義的未知數(shù)的取值范圍，如函數(shù)y=3-1的定義域?yàn)閤|x0,xR. 定義6 反函數(shù)，若函數(shù)f: AB（通常記作y=f(x)）是一一映射，則它的逆映射f-1: AB叫原函數(shù)的反函數(shù)，通常寫(xiě)作y=f-1(x). 這里求反函數(shù)的過(guò)程是：在解析式y(tǒng)=f(x)中反解x得x=f-1(y)，然后將x, y互換得y=f-1(x)，最后指出反函數(shù)的定義域即原函數(shù)的值域。例如：函數(shù)y=的反函數(shù)是y=1-(x0).定理1 互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)的

3、圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱。定理2 在定義域上為增（減）函數(shù)的函數(shù)，其反函數(shù)必為增（減）函數(shù)。定義7 函數(shù)的性質(zhì)。（1）單調(diào)性：設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間I上滿足對(duì)任意的x1, x2I并且x1 x2，總有f(x1)f(x2)，則稱f(x)在區(qū)間I上是增（減）函數(shù)，區(qū)間I稱為單調(diào)增（減）區(qū)間。（2）奇偶性：設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镈，且D是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的數(shù)集，若對(duì)于任意的xD，都有f(-x)=-f(x)，則稱f(x)是奇函數(shù)；若對(duì)任意的xD，都有f(-x)=f(x)，則稱f(x)是偶函數(shù)。奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱。（3）周期性：對(duì)于函數(shù)f(x)，如果存在一個(gè)不為零的常數(shù)T，使

4、得當(dāng)x取定義域內(nèi)每一個(gè)數(shù)時(shí)，f(x+T)=f(x)總成立，則稱f(x)為周期函數(shù)，T稱為這個(gè)函數(shù)的周期，如果周期中存在最小的正數(shù)T0，則這個(gè)正數(shù)叫做函數(shù)f(x)的最小正周期。定義8 如果實(shí)數(shù)ab，則數(shù)集x|axb, xR叫做開(kāi)區(qū)間，記作（a,b），集合x(chóng)|axb,xR記作閉區(qū)間a,b，集合x(chóng)|axb記作半開(kāi)半閉區(qū)間（a,b，集合x(chóng)|axa記作開(kāi)區(qū)間（a, +），集合x(chóng)|xa記作半開(kāi)半閉區(qū)間（-,a.定義9 函數(shù)的圖象，點(diǎn)集(x,y)|y=f(x), xD稱為函數(shù)y=f(x)的圖象，其中D為f(x)的定義域。通過(guò)畫(huà)圖不難得出函數(shù)y=f(x)的圖象與其他函數(shù)圖象之間的關(guān)系(a,b0)；（1）向右平

5、移a個(gè)單位得到y(tǒng)=f(x-a)的圖象；（2）向左平移a個(gè)單位得到y(tǒng)=f(x+a)的圖象；（3）向下平移b個(gè)單位得到y(tǒng)=f(x)-b的圖象；（4）與函數(shù)y=f(-x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱；（5）與函數(shù)y=-f(-x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱；（6）與函數(shù)y=f-1(x)的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱；（7）與函數(shù)y=-f(x)的圖象關(guān)于x軸對(duì)稱。定理3 復(fù)合函數(shù)y=fg(x)的單調(diào)性，記住四個(gè)字：“同增異減”。例如y=, u=2-x在（-,2）上是減函數(shù)，y=在（0，+）上是減函數(shù)，所以y=在（-,2）上是增函數(shù)。注：復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷方法為同增異減。這里不做嚴(yán)格論證，求導(dǎo)之后是顯然的。二、方法與例題

6、xyx11x1數(shù)形結(jié)合法。例1 求方程|x-1|=的正根的個(gè)數(shù).【解】 分別畫(huà)出y=|x-1|和y=的圖象，由圖象可知兩者有唯一交點(diǎn)，所以方程有一個(gè)正根。例2 求函數(shù)f(x)=的最大值?！窘狻?f(x)=，記點(diǎn)P(x, x2)，A（3，2），B（0，1），則f(x)表示動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)A和B距離的差。因?yàn)閨PA|-|PA|AB|=,當(dāng)且僅當(dāng)P為AB延長(zhǎng)線與拋物線y=x2的交點(diǎn)時(shí)等號(hào)成立。所以f(x)max=2.函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用。例3 設(shè)x, yR，且滿足，求x+y.【解】 設(shè)f(t)=t3+1997t，先證f(t)在（-，+）上遞增。事實(shí)上，若a0，所以f(t)遞增。由題設(shè)f(x-1)=-1=f(1-

7、y)，所以x-1=1-y，所以x+y=2.例4 奇函數(shù)f(x)在定義域（-1，1）內(nèi)是減函數(shù)，又f(1-a)+f(1-a2)0，求a的取值范圍?！窘狻?因?yàn)閒(x)是奇函數(shù)，所以f(1-a2)=-f(a2-1)，由題設(shè)f(1-a)f(a2-1)。又f(x)在定義域（-1，1）上遞減，所以-11-aa2-11，解得0a1。例5 設(shè)f(x)是定義在（-，+）上以2為周期的函數(shù)，對(duì)kZ, 用Ik表示區(qū)間(2k-1, 2k+1，已知當(dāng)xI0時(shí)，f(x)=x2，求f(x)在Ik上的解析式?！窘狻?設(shè)xIk，則2k-10，則由得n0，設(shè)f(t)=t(+1),則f(t)在（0，+）上是增函數(shù)。又f(m)=f

8、(-n)，所以m=-n，所以3x-1+2x-3=0，所以x=)若m0。同理有m+n=0,x=,但與m0矛盾。綜上，方程有唯一實(shí)數(shù)解x=3.配方法。例7 求函數(shù)y=x+的值域。【解】 y=x+=2x+1+2+1-1=(+1)-1-1=-.當(dāng)x=-時(shí)，y取最小值-，所以函數(shù)值域是-，+）。4換元法。例8 求函數(shù)y=(+2)(+1),x0,1的值域?！窘狻苛?=u，因?yàn)閤0,1，所以2u2=2+24,所以u(píng)2,所以2，12，所以y=,u2+2，8。所以該函數(shù)值域?yàn)?+，8。5判別式法。例9 求函數(shù)y=的值域?！窘狻坑珊瘮?shù)解析式得(y-1)x2+3(y+1)x+4y-4=0. 當(dāng)y1時(shí)，式是關(guān)于x的方

9、程有實(shí)根。所以=9(y+1)2-16(y-1)20，解得y1.又當(dāng)y=1時(shí)，存在x=0使解析式成立，所以函數(shù)值域?yàn)椋?。6關(guān)于反函數(shù)。例10 若函數(shù)y=f(x)定義域、值域均為R，且存在反函數(shù)。若f(x)在(-,+ )上遞增，求證：y=f-1(x)在(-,+ )上也是增函數(shù)。【證明】設(shè)x1x2, 且y1=f-1(x1), y2=f-1(x2)，則x1=f(y1), x2=f(y2)，若y1y2，則因?yàn)閒(x)在(-,+ )上遞增，所以x1x2與假設(shè)矛盾，所以y1y2。即y=f-1(x)在(-,+ )遞增。例11 設(shè)函數(shù)f(x)=，解方程：f(x)=f-1(x).【解】 首先f(wàn)(x)定義域?yàn)椋?

10、，-）-，+）；其次，設(shè)x1, x2是定義域內(nèi)變量，且x1x20,所以f(x)在（-，-）上遞增，同理f(x)在-，+）上遞增。在方程f(x)=f-1(x)中，記f(x)=f-1(x)=y，則y0，又由f-1(x)=y得f(y)=x，所以x0,所以x,y-，+）.若xy，設(shè)xy，則f(x)=yy也可得出矛盾。所以x=y.即f(x)=x，化簡(jiǎn)得3x5+2x4-4x-1=0,即(x-1)(3x4+5x3+5x2+5x+1)=0,因?yàn)閤0，所以3x4+5x3+5x2+5x+10，所以x=1.三、基礎(chǔ)訓(xùn)練題1已知X=-1, 0, 1, Y=-2, -1, 0, 1, 2，映射f：XY滿足：對(duì)任意的xX

11、，它在Y中的象f(x)使得x+f(x)為偶數(shù)，這樣的映射有_個(gè)。2給定A=1，2，3，B=-1，0，1和映射f：XY，若f為單射，則f有_個(gè)；若f為滿射，則f有_個(gè)；滿足ff(x) =f(x)的映射有_個(gè)。3若直線y=k(x-2)與函數(shù)y=x2+2x圖象相交于點(diǎn)（-1，-1），則圖象與直線一共有_個(gè)交點(diǎn)。4函數(shù)y=f(x)的值域?yàn)?，則函數(shù)g(x)=f(x)+的值域?yàn)開(kāi)。5已知f(x)=，則函數(shù)g(x)=ff(x)的值域?yàn)開(kāi)。6已知f(x)=|x+a|，當(dāng)x3時(shí)f(x)為增函數(shù)，則a的取值范圍是_。7設(shè)y=f(x)在定義域（，2）內(nèi)是增函數(shù)，則y=f(x2-1)的單調(diào)遞減區(qū)間為_(kāi)。8若函數(shù)y=(

12、x)存在反函數(shù)y=-1(x)，則y=-1(x)的圖象與y=-(-x)的圖象關(guān)于直線_對(duì)稱。9函數(shù)f(x)滿足=1-，則f()=_。10. 函數(shù)y=, x(1, +)的反函數(shù)是_。11求下列函數(shù)的值域：（1）y=; (2)y=; (3)y=x+2; (4) y=12. 已知定義在R上，對(duì)任意xR, f(x)=f(x+2)，且f(x)是偶函數(shù)，又當(dāng)x2,3時(shí)，f(x)=x，則當(dāng)x-2,0時(shí)，求f(x)的解析式。四、高考水平訓(xùn)練題1已知a, f(x)定義域是（0,1，則g(x)=f(x+a)+f(x-a)+f(x)的定義域?yàn)開(kāi)。2設(shè)0a1時(shí)，f(x)=(a-1)x2-6ax+a+1恒為正值。則f(x

13、)定義域?yàn)開(kāi)。3映射f: a, b, c, d1，2，3滿足10f(a)f(b)f(c)f(d)0，函數(shù)f(x)定義域?yàn)镽，且f(x+a)=，求證：f(x)為周期函數(shù)。11設(shè)關(guān)于x的方程2x2-tx-2=0的兩根為，（），已知函數(shù)f(x)=,（1）求f()、f()；（2）求證：f(x)在，上是增函數(shù)；（3）對(duì)任意正數(shù)x1, x2，求證：0，a1,F(x)是奇函數(shù)，則G(x)=F(x)是_（奇偶性）.3若=x，則下列等式中正確的有_.F(-2-x)=-2-F(x)；F(-x)= ；F(x-1)=F(x)；F(F(x)=-x.4.設(shè)函數(shù)f：RR滿足f(0)=1，且對(duì)任意x,yR，都有f(xy+1)

14、=f(x)f(y)-f(y)-x+2，則f(x)=_.5已知f(x)是定義在R上的函數(shù)，f(1)=1，且對(duì)任意xR都有f(x+5)f(x)+5, f(x+1) f(x)+1。若g(x)=f(x)+1-x，則g(2002)= _.6. 函數(shù)f(x)=的單調(diào)遞增區(qū)間是_.7. 函數(shù)f(x)=的奇偶性是：_奇函數(shù)，_偶函數(shù)（填是，非）。8. 函數(shù)y=x+的值域?yàn)開(kāi).9設(shè)f(x)=,對(duì)任意的aR，記V(a)=maxf(x)-ax|x1, 3-minf(x)-ax|x1, 3，試求V(a)的最小值。10解方程組： （在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)）11設(shè)kN+, f: N+N+滿足：（1）f(x)嚴(yán)格遞增；（2）對(duì)任意n

15、N+, 有ff(n)=kn，求證：對(duì)任意nN+, 都有nf(n)六、聯(lián)賽二試水平訓(xùn)練題1求證：恰有一個(gè)定義在所有非零實(shí)數(shù)上的函數(shù)f，滿足：（1）對(duì)任意x0, f(x)=xf；（2）對(duì)所有的x-y且xy0，有f(x)+f(y)=1+f(x+y).2.設(shè)f(x)對(duì)一切x0有定義，且滿足：（）f(x)在（0，+）是增函數(shù)；()任意x0, f(x)f=1，試求f(1).3. f:0,1R滿足：（1）任意x0, 1, f(x)0；（2）f(1)=1；（3）當(dāng)x, y, x+y0, 1時(shí)，f(x)+f(y)f(x+y)，試求最小常數(shù)c，對(duì)滿足（1），（2），（3）的函數(shù)f(x)都有f(x)cx.4. 試求

16、f(x,y)=6(x2+y2)(x+y)-4(x2+xy+y2)-3(x+y)+5(x0, y0)的最小值。5對(duì)給定的正數(shù)p,q(0, 1)，有p+q1p2+q2，試求f(x)=(1-x)+在1-q,p上的最大值。6已知f: (0,1)R且f(x)=.當(dāng)x時(shí)，試求f(x)的最大值。7函數(shù)f(x)定義在整數(shù)集上，且滿足f(n)=，求f(100)的值。8函數(shù)y=f(x)定義在整個(gè)實(shí)軸上，它的圖象在圍繞坐標(biāo)原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)角后不變。（1）求證：方程f(x)=x恰有一個(gè)解；（2）試給出一個(gè)具有上述性質(zhì)的函數(shù)。9設(shè)Q+是正有理數(shù)的集合，試構(gòu)造一個(gè)函數(shù)f: Q+Q+，滿足這樣的條件：f(xf(y)=x, yQ+.高考資源網(wǎng)()來(lái)源：高考資源網(wǎng)版權(quán)所有：高考資源網(wǎng)(www.k s 5 )