《2020年中考數(shù)學(xué)基礎(chǔ)題型提分講練專題12銳角三角函數(shù)含解析》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2020年中考數(shù)學(xué)基礎(chǔ)題型提分講練專題12銳角三角函數(shù)含解析（26頁珍藏版）》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、專題12 銳角三角函數(shù)必考點(diǎn)1 銳角三角函數(shù)：在直角三角形ABC中，C是直角， 1、正弦：把銳角A的對邊與斜邊的比叫做A的正弦，記作 2、余弦：把銳角A的鄰邊與斜邊的比叫做A的余弦，記作 3、正切：把銳角A的對邊與鄰邊的比叫做A的正切，記作 4、余切：把銳角A的鄰邊與對邊的比叫做A的余切，記作 說明：由定義可以看出tanAcotAl（或?qū)懗桑?5、銳角三角函數(shù)：銳角A的正弦、余弦、正切、余切都叫做A的銳角三角函數(shù) 說明：銳角三角函數(shù)都不能取負(fù)值。 0 sinA l； 0cosA；l 6、銳角的正弦和余弦之間的關(guān)系任意銳角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意銳角的余弦值等于它的余角的正弦值。 即s

2、inAcos（90一 A）cosB；cosAsin（90一A）sinB 7、銳角的正切和余切之間的關(guān)系任意銳角的正切值等于它的余角的余切值，任意銳角的余切值等于它的余角的正切值。 即tanAcot（90一 A）cotB；cotAtan（90A） tanB 說明：式中的90一A = B 。 8、三角函數(shù)值的變化規(guī)律 （1）當(dāng)角度在0 90間變化時(shí)，正弦值（正切值隨著角度的增大（或減?。┒龃螅ɑ驕p小） （2）當(dāng)角度在090間變化時(shí)，余弦值（余切值）隨著角度的增大（或減?。┒鴾p?。ɑ蛟龃螅?9、同角三角函數(shù)關(guān)系公式 （1）；（2）；（3） tanA 10一些特殊角的三角函數(shù)值【典例1】（2019

3、浙江中考真題）如圖，矩形的對角線交于點(diǎn)O，已知?jiǎng)t下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（ ）ABCD【答案】C【解析】選項(xiàng)A，四邊形ABCD是矩形，ABCDCB90，ACBD，AOCO，BODO，AOOBCODO，DBCACB，由三角形內(nèi)角和定理得：BACBDC，選項(xiàng)A正確； 選項(xiàng)B，在RtABC中，tan，即BCmtan，選項(xiàng)B正確；選項(xiàng)C，在RtABC中，AC，即AO，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；選項(xiàng)D，四邊形ABCD是矩形，DCABm，BACBDC，在RtDCB中，BD，選項(xiàng)D正確.故選C【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)和解直角三角形，能熟記矩形的性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵【舉一反三】1（2019浙江中考模擬）在RtABC中，C90，若

4、斜邊AB是直角邊BC的3倍，則tanB的值是( )AB3CD2【答案】D【解析】設(shè)BC=x，則AB=3x，由勾股定理得，AC=，tanB=，故選D考點(diǎn)：1銳角三角函數(shù)的定義；2勾股定理2（2019湖北中考真題）如圖，在的正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長都是，的頂點(diǎn)都在這些小正方形的頂點(diǎn)上，則的值為（ ）ABCD【答案】D【解析】如圖，過作于，則，AC5故選D【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的運(yùn)用以及銳角三角函數(shù)，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵3（2019廣東中考真題）如圖，有一斜坡AB，坡頂B離地面的高度BC為30m，斜坡的傾斜角是BAC，若，則次斜坡的水平距離AC為（ ）A75mB50mC30mD12

5、m【答案】A【解析】解：因?yàn)?，又BC30，所以，解得：AC75m，所以，故選A.【點(diǎn)睛】本題考查了正切三角函數(shù)，熟練掌握是解題的關(guān)鍵.必考點(diǎn)2 解直角三角形及其應(yīng)用由直角三角形中，除直角外的已知元素，求出所有未知元素的過程，叫做解直角三角形。若直角三角形ABC中，C90，那么A、B、C，a，b，c中除C90外，其余5個(gè)元素之間有關(guān)系： （l）；（2）A十B90； （3）； 所以，只要知道其中的2個(gè)元素（至少有一個(gè)是邊），就可以求出其余3個(gè)未知數(shù)。 【典例2】（2019山東中考真題）如圖，甲乙兩樓相距30米，乙樓高度為36米，自甲樓頂A 處看乙樓樓頂B處仰角為30，則甲樓高度為（ ）A11米B（

6、3615）米C15米D（3610）米【答案】D【解析】解：過點(diǎn)A作AEBD，交BD于點(diǎn)E，在RtABE中，AE30米，BAE30，BE30tan3010（米），ACEDBDBE（3610）（米）甲樓高為（3610）米故選D【點(diǎn)睛】此題主要考查三角函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟知特殊角的三角函數(shù)值.【舉一反三】1.（2019湖南中考真題）如圖，一艘輪船從位于燈塔C的北偏東60方向，距離燈塔60 n mile的小島A出發(fā)，沿正南方向航行一段時(shí)間后，到達(dá)位于燈塔C的南偏東45方向上的B處，這時(shí)輪船B與小島A的距離是( )A n mileB60 n mileC120 n mileDn mile【答案】D【

7、解析】過C作CDAB于D點(diǎn)，ACD=30，BCD=45，AC=60在RtACD中，cosACD=，CD=ACcosACD=60在RtDCB中，BCD=B=45，CD=BD=30，AB=AD+BD=30+30答：此時(shí)輪船所在的B處與燈塔P的距離是（30+30）nmile故選D【點(diǎn)睛】此題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用-方向角問題，求三角形的邊或高的問題一般可以轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題，解決的方法就是作高線2（2019四川中考真題）如圖，在中，則的值為（ ）ABCD【答案】D【解析】解：過點(diǎn)A作，垂足為D，如圖所示在中，；在中，故選：D【點(diǎn)睛】考查了解直角三角形以及勾股定理，通過解直角三角形及勾股定

8、理，求出AD，AB的長是解題的關(guān)鍵3（2019遼寧中考模擬）如圖，兩根竹竿AB和AD斜靠在墻CE上，量得ABC=，ADC=，則竹竿AB與AD的長度之比為ABCD【答案】B【解析】在RtABC中，AB=，在RtACD中，AD=，AB：AD=：=，故選B【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用、銳角三角函數(shù)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用參數(shù)解決問題1（2019湖南中考真題）如圖，在ABC中，C90，AC12，AB的垂直平分線EF交AC于點(diǎn)D，連接BD，若cosBDC，則BC的長是（ ）A10B8C4D2【答案】D【解析】C90，cosBDC，設(shè)CD5x，BD7x，BC2x，AB的垂直平分線EF交AC于點(diǎn)D

9、，ADBD7x，AC12x，AC12，x1，BC2；故選D.【點(diǎn)睛】本題考查直角三角形的性質(zhì)；熟練掌握直角三角形函數(shù)的三角函數(shù)值，線段垂直平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.2（2019吉林中考真題）如圖，一把梯子靠在垂直水平地面的墻上，梯子的長是3米若梯子與地面的夾角為，則梯子頂端到地面的距離BC為（）A米B米C米D米【答案】A【解析】解：由題意可得：，故故選：A【點(diǎn)睛】考核知識(shí)點(diǎn)：由正弦求邊.理解正弦定義是關(guān)鍵.3（2019四川中考真題）公元三世紀(jì)，我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽在注解周髀算經(jīng)時(shí)給出的“趙爽弦圖”如圖所示，它是由四個(gè)全等的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個(gè)大正方形如果大正方形的面積是125，小

10、正方形面積是25，則( )ABCD【答案】A【解析】解：大正方形的面積是125，小正方形面積是25，大正方形的邊長為，小正方形的邊長為5，故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形、勾股定理的證明和正方形的面積，難度適中，解題的關(guān)鍵是正確得出4（2019重慶中考真題）如圖，AB是垂直于水平面的建筑物為測量AB的高度，小紅從建筑物底端B點(diǎn)出發(fā)，沿水平方向行走了52米到達(dá)點(diǎn)C，然后沿斜坡CD前進(jìn)，到達(dá)坡頂D點(diǎn)處，在點(diǎn)D處放置測角儀，測角儀支架DE高度為0.8米，在E點(diǎn)處測得建筑物頂端A點(diǎn)的仰角為（點(diǎn)A，B，C，D，E在同一平面內(nèi)）斜坡CD的坡度（或坡比），那么建筑物AB的高度約為（ ）（參考數(shù)據(jù)，）A

11、65.8米B71.8米C73.8米D119.8米【答案】B【解析】解：過點(diǎn)E作與點(diǎn)M，延長ED交BC于G，斜坡CD的坡度（或坡比），米，設(shè)，則在中，即，解得，米，米，米，米，四邊形EGBM是矩形，米，米在中，米，米故選：B【點(diǎn)睛】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用仰角俯角問題，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵5（2019甘肅中考真題）在ABC中C90，tanA，則cosB_【答案】【解析】解：在RtABC中，C90，tanA，設(shè)ax，b3x，則c2x，cosB故答案為【點(diǎn)睛】此題考查的知識(shí)點(diǎn)是三角函數(shù)，關(guān)鍵明確求銳角的三角函數(shù)值的方法：利用銳角三角函數(shù)的定義，通過設(shè)參數(shù)的方法求

12、三角函數(shù)值，或者利用同角（或余角）的三角函數(shù)關(guān)系式求三角函數(shù)值6（2019江蘇中考真題）如圖，在中，則的長為_【答案】【解析】過作于點(diǎn)，設(shè)，則，因?yàn)椋?，則由勾股定理得，因?yàn)?，所以，則則【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理和正余弦公式的運(yùn)用，要學(xué)會(huì)通過作輔助線得到特殊三角形，以便求解.7（2019山東中考模擬）如圖，在邊長為1的小正方形網(wǎng)格中，點(diǎn)A、B、C、D都在這些小正方形的頂點(diǎn)上，AB、CD相交于點(diǎn)O，則tanAOD=_.【答案】2【解析】如圖，連接BE，四邊形BCEK是正方形，KF=CF=CK，BF=BE，CK=BE，BECK，BF=CF，根據(jù)題意得：ACBK，ACOBKO，KO：CO=BK：AC

13、=1：3，KO：KF=1：2，KO=OF=CF=BF，在RtPBF中，tanBOF=2，AOD=BOF，tanAOD=2故答案為2【點(diǎn)睛】此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，三角函數(shù)的定義此題難度適中，解題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確作出輔助線，注意轉(zhuǎn)化思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用8（2019四川中考模擬）在ABC中，C=90，若tanA=，則sinB=_【答案】 【解析】如圖所示：C=90，tanA=，設(shè)BC=x，則AC=2x，故AB=x，則sinB=.故答案為： 點(diǎn)睛：此題主要考查了銳角三角函數(shù)關(guān)系，正確表示各邊長是解題關(guān)鍵9（2019江蘇中考真題）如圖，在矩形ABCD中，H是AB的中點(diǎn)，將沿CH折疊，點(diǎn)B落在

14、矩形內(nèi)點(diǎn)P處，連接AP，則_【答案】【解析】如圖，連接PB，交CH于E，由折疊可得，CH垂直平分BP，又H為AB的中點(diǎn)，又，又中，故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查的是翻折變換的性質(zhì)和矩形的性質(zhì)，掌握折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應(yīng)邊和對應(yīng)角相等是解題的關(guān)鍵10（2019四川中考真題）如圖，在中，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，使得點(diǎn)落在上，則的值為_【答案】【解析】在中，AB=5，BC=12，繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，CD=AC-AD=8在中，故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及解直角三角形，難度較小，求出所求三角函數(shù)值的直角三角形的對應(yīng)邊長度，根據(jù)線段比就可

15、解決問題11（2019遼寧中考真題）如圖，一艘船以40nmile /h的速度由西向東航行，航行到A處時(shí)，測得燈塔P在船的北偏東30方向上，繼續(xù)航行2.5h，到達(dá)B處，測得燈塔P在船的北偏西60方向上，此時(shí)船到燈塔的距離為_nmile(結(jié)果保留根號(hào))【答案】50【解析】解：根據(jù)題意，得：PAB=60，PBA=30，AB=2.540=100(nmile)，P=180-PAB-PBA=180-60-30=90在RtPAB中，PB=ABsinPAB=100=50(nmile)故答案為：50【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用-方向角問題，通過解直角三角形求出PB的長是解題的關(guān)鍵12（2019青海中考真

16、題）如圖，是矗立在高速公路水平地面上的交通警示牌，經(jīng)測量得到如下數(shù)據(jù)：AM=4米，AB=8米，MAD=45，MBC=30，則警示牌的高CD為_米（結(jié)果保留根號(hào)）【答案】一4【解析】因?yàn)镸AD=45, AM=4,所以MD=4，因?yàn)锳B=8，所以MB=12,因?yàn)镸BC=30，所以CM=MBtan30=4.所以CD=4-4.【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，熟練掌握三角函數(shù)的相關(guān)定義以及變形是解題的關(guān)鍵.13（2019貴州中考真題）三角板是我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的好幫手.將一對直角三角板如圖放置，點(diǎn)C在FD的延長線上，點(diǎn)B在ED上，ABCF，F(xiàn)ACB90，E45，A60，AC10，則CD的長度是_.【答案

17、】155.【解析】過點(diǎn)B作BMFD于點(diǎn)M，在ACB中，ACB90，A60，AC10，ABC30，BC10tan6010，ABCF，BCM=ABC=30，BMBCsin305，CMBCcos3015，在EFD中，F(xiàn)90，E45，EDF45，MDBM5，CDCMMD155，故答案是：155.【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形，正確添加輔助線，構(gòu)建直角三角形是解題的關(guān)鍵.14（2019浙江中考真題）有一種落地晾衣架如圖1所示，其原理是通過改變兩根支撐桿夾角的度數(shù)來調(diào)整晾衣桿的高度. 圖2是支撐桿的平面示意圖，AB和CD分別是兩根不同長度的支撐桿，夾角BOD=. 若AO=85cm，BO=DO=65cm.

18、問: 當(dāng)，較長支撐桿的端點(diǎn)離地面的高度約為_.(參考數(shù)據(jù):，.)【答案】120.【解析】過O作OEBD，過A作AFBD，可得OEAF，BO=DO，OE平分BOD，BOE=BOD=74=37，F(xiàn)AB=BOE=37，在RtABF中，AB=85+65=150cm，h=AF=ABcosFAB=1500.8=120cm，故答案為：120【點(diǎn)睛】此題考查了解直角三角形的應(yīng)用，弄清題中的數(shù)據(jù)是解本題的關(guān)鍵15（2019山東中考模擬）為加快城鄉(xiāng)對接，建設(shè)全域美麗鄉(xiāng)村，某地區(qū)對A、B兩地間的公路進(jìn)行改建如圖，A、B兩地之間有一座山，汽車原來從A地到B地需途徑C地沿折線ACB行駛，現(xiàn)開通隧道后，汽車可直接沿直線A

19、B行駛已知BC=80千米，A=45，B=30（1）開通隧道前，汽車從A地到B地大約要走多少千米？（2）開通隧道后，汽車從A地到B地大約可以少走多少千米？（結(jié)果精確到0.1千米）（參考數(shù)據(jù)：1.41，1.73）【答案】（1）開通隧道前，汽車從A地到B地大約要走136.4千米；（2）汽車從A地到B地比原來少走的路程為27.2千米【解析】解：（1）過點(diǎn)C作AB的垂線CD，垂足為D，ABCD，sin30=，BC=80千米，CD=BCsin30=80（千米），AC=（千米），AC+BC=80+40401.41+80=136.4（千米），答：開通隧道前，汽車從A地到B地大約要走136.4千米；（2）cos

20、30=，BC=80（千米），BD=BCcos30=80（千米），tan45=，CD=40（千米），AD=（千米），AB=AD+BD=40+4040+401.73=109.2（千米），汽車從A地到B地比原來少走多少路程為：AC+BCAB=136.4109.2=27.2（千米）答：汽車從A地到B地比原來少走的路程為27.2千米【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的運(yùn)用以及解一般三角形，求三角形的邊或高的問題一般可以轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題，解決的方法就是作高線16（2019遼寧中考真題）如圖為某海域示意圖，其中燈塔D的正東方向有一島嶼C一艘快艇以每小時(shí)20nmile的速度向正東方向航行，到達(dá)A處時(shí)得燈塔D在

21、東北方向上，繼續(xù)航行0.3h，到達(dá)B處時(shí)測得燈塔D在北偏東30方向上，同時(shí)測得島嶼C恰好在B處的東北方向上，此時(shí)快艇與島嶼C的距離是多少？（結(jié)果精確到1nmile參考數(shù)據(jù)：1.41，1.73，2.45）【答案】此時(shí)快艇與島嶼C的距離是20nmile【解析】解：過點(diǎn)D作DEAB于點(diǎn)E，過點(diǎn)C作CFAB于點(diǎn)F，如圖所示則DECF，DEACFA90DCEF，四邊形CDEF為平行四邊形又CFE90，CDEF為矩形，CFDE根據(jù)題意，得：DAB45，DBE60，CBF45設(shè)DEx（nmile），在RtDEA中，tanDAB，AEx（nmile）在RtDEB中，tanDBE，BEx（nmile）AB200

22、.36（nmile），AEBEAB，xx6，解得：x9+3，CFDE（9+3）nmile在RtCBF中，sinCBF，BC20（nmile）答：此時(shí)快艇與島嶼C的距離是20nmile【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用方向角問題，通過解直角三角形求出BC的長是解題的關(guān)鍵17（2019四川中考真題）如圖，海中有兩個(gè)小島，某漁船在海中的處測得小島D位于東北方向上，且相距，該漁船自西向東航行一段時(shí)間到達(dá)點(diǎn)處，此時(shí)測得小島恰好在點(diǎn)的正北方向上，且相距，又測得點(diǎn)與小島相距(1)求的值；(2)求小島，之間的距離(計(jì)算過程中的數(shù)據(jù)不取近似值)【答案】(1)；(2)小島、相距.【解析】 (1)如圖，過點(diǎn)作，垂

23、足為，在中，在中，；(2)過點(diǎn)作，垂足為，則四邊形BEDF是矩形，在中，四邊形是矩形，在中，因此小島、相距.【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，正確添加輔助線構(gòu)建直角三角形，靈活運(yùn)用相應(yīng)三角形函數(shù)是解題的關(guān)鍵.18（2019遼寧中考真題）如圖，學(xué)校教學(xué)樓上懸掛一塊長為的標(biāo)語牌，即數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，小明和小紅要測量標(biāo)語牌的底部點(diǎn)到地面的距離測角儀支架高，小明在處測得標(biāo)語牌底部點(diǎn)的仰角為，小紅在處測得標(biāo)語牌頂部點(diǎn)的仰角為，依據(jù)他們測量的數(shù)據(jù)能否求出標(biāo)語牌底部點(diǎn)到地面的距離的長？若能，請計(jì)算；若不能，請說明理由（圖中點(diǎn)，在同一平面內(nèi)）（參考數(shù)據(jù)：，【答案】能，點(diǎn)到地面的距離的長約為【解析】能，理由如下

24、：延長交于，則，設(shè)，則，在中，則，解得，則，答：點(diǎn)到地面的距離的長約為【點(diǎn)睛】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用仰角俯角問題，掌握仰角俯角的概念、熟記銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵27（2019湖南中考真題）天門山索道是世界最長的高山客運(yùn)索道，位于張家界天門山景區(qū)在一次檢修維護(hù)中，檢修人員從索道A處開始，沿ABC路線對索道進(jìn)行檢修維護(hù)如圖：已知米，米，AB與水平線的夾角是，BC與水平線的夾角是求：本次檢修中，檢修人員上升的垂直高度是多少米？(結(jié)果精確到1米，參考數(shù)據(jù)：)【答案】檢修人員上升的垂直高度為943米【解析】如圖，過點(diǎn)B作于點(diǎn)H在中，(米)，(米)，在中，檢修人員上升的垂直高度(米)答：檢

25、修人員上升的垂直高度為943米【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，添加輔助線，構(gòu)建直角三角形是解題的關(guān)鍵.19（2019陜西中考真題）小明利用剛學(xué)過的測量知識(shí)來測量學(xué)校內(nèi)一棵古樹的高度。一天下午，他和學(xué)習(xí)小組的同學(xué)帶著測量工具來到這棵古樹前，由于有圍欄保護(hù)，他們無法到達(dá)古樹的底部B，如圖所示。于是他們先在古樹周圍的空地上選擇一點(diǎn)D，并在點(diǎn)D處安裝了測量器DC，測得古樹的頂端A的仰角為45；再在BD的延長線上確定一點(diǎn)G，使DG=5米，并在G處的地面上水平放置了一個(gè)小平面鏡，小明沿著BG方向移動(dòng)，當(dāng)移動(dòng)帶點(diǎn)F時(shí)，他剛好在小平面鏡內(nèi)看到這棵古樹的頂端A的像，此時(shí)，測得FG=2米，小明眼睛與地面的距離EF=1.6米，測傾器的高度CD=0.5米。已知點(diǎn)F、G、D、B在同一水平直線上，且EF、CD、AB均垂直于FB，求這棵古樹的高度AB。（小平面鏡的大小忽略不計(jì)）【答案】這棵古樹的高AB為18m【解析】如圖，過點(diǎn)C作CHAB于點(diǎn)H，則CHBD，BHCD0.5，在RtACH中，ACH45，AHCHBD，ABAHBHBD0.5，EFFB，ABFB，EFGABG90，由題意，易知EGFAGB，EFGABG，即，解得：BD17.5，AB=17.50.518(m)，這棵古樹的高AB為18m【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，相似三角形的判定與性質(zhì)，正確添加輔助線構(gòu)建直角三角形是解題的關(guān)鍵.