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1、追及和相遇（一）,問題一：兩物體能追及的主要條件是什么？,能追及的特征： 兩物體在追及過程中在同一時(shí)刻處于 同一位置。,問題二：解決追及問題的關(guān)鍵在哪？,關(guān)鍵：位移關(guān)系、時(shí)間關(guān)系、速度關(guān)系,1：位移關(guān)系,追及到時(shí)：前者位移+兩物起始距離=后者位移,2：時(shí)間關(guān)系,同時(shí)出發(fā)：兩物體運(yùn)動時(shí)間相同。,思考：兩物體在同一直線上同向作勻速 運(yùn)動，則兩者之間距離如何變化?,3：速度關(guān)系,結(jié)論： 當(dāng)前者速度等于后者時(shí)，兩者距離不變。 當(dāng)前者速度大于后者時(shí)，兩者距離增大。 當(dāng)前者速度小于后者時(shí)，兩者距離減小。,思考：那勻變速直線運(yùn)動呢？結(jié)論 還成立嗎？,結(jié)論依然成立： 當(dāng)前者速度等于后者

2、時(shí)，兩者距離不變。 當(dāng)前者速度大于后者時(shí)，兩者距離增大。 當(dāng)前者速度小于后者時(shí)，兩者距離減小。,問題三：解決追及問題的突破口在哪？,突破口：研究兩者速度相等時(shí)的情況,在追及過程中兩物體速度相等時(shí)， 是能否追上或兩者間距離有極值 的臨界條件。,常見題型一： 勻加速(速度小)直線運(yùn)動追及勻速(速度大)直線運(yùn)動,開始兩者距離增加，直到兩者速度相等，然后兩者距離開始減小，直到相遇，最后距離一直增加。,即能追及上且只能相遇一次，兩者之間在追上前的最大距離出現(xiàn)在兩者速度相等時(shí)。,例1：一小汽車從靜止開始以3m/s2的加 速度啟動，恰有一自行車以6m/s的速度從車邊勻速駛過， （1）汽車在追上自行車前經(jīng)過

3、多長時(shí)間后兩者距離最遠(yuǎn)？此時(shí)距離是多少？ （2）經(jīng)過多長時(shí)間汽車能追上自行車？此時(shí)汽車的速度是多少？,例1：一小汽車從靜止開始以3m/s2的加速度啟動，恰有一自行車以6m/s的速度從車邊勻速駛過，（1）汽車在追上自行車前經(jīng)過多長時(shí)間后兩者距離最遠(yuǎn)？此時(shí)距離是多少？（2）經(jīng)過多長時(shí)間汽車能追上自行車？此時(shí)汽車的速度是多少？,解法一：物理分析法,(1)解：當(dāng)汽車的速度與自行車的速度相等時(shí)，兩車之間的距離最大。 由上述分析可知當(dāng)兩車之間的距離最大時(shí)有：,v汽atv自, tv自 /a6/32s,x自v自t x汽 at2/2,xmx自x汽,xmv自tat2/262322/26m,例1：一小汽車從靜止開

4、始以3m/s2的加速度啟動，恰有一自行車以6m/s的速度從車邊勻速駛過，（1）汽車在追上自行車前經(jīng)過多長時(shí)間后兩者距離最遠(yuǎn)？此時(shí)距離是多少？（2）經(jīng)過多長時(shí)間汽車能追上自行車？此時(shí)汽車的速度是多少？,解法二：數(shù)學(xué)極值法,(1)解：設(shè)經(jīng)過時(shí)間t 汽車和自行車之間的距離x,xx自x汽v自tat2/2 6t3t2/2,由二次函數(shù)求極值的條件可知： 當(dāng) tb/2a6/32s 時(shí)， 兩車之間的距離有極大值， 且 xm62322/26m,(1)解：當(dāng) tt0 時(shí)矩形與三角形的面積之差最大。,xm6t0/2 （1） 因?yàn)槠嚨乃俣葓D線的斜率等于汽車的加速度大小 a6/t0 t06/a6/32s （2） 由上

5、面（1）、（2）兩式可得 xm6m,例1：一小汽車從靜止開始以3m/s2的加速度啟動，恰有一自行車以6m/s的速度從車邊勻速駛過，（1）汽車在追上自行車前經(jīng)過多長時(shí)間后兩者距離最遠(yuǎn)？此時(shí)距離是多少？（2）經(jīng)過多長時(shí)間汽車能追上自行車？此時(shí)汽車的速度是多少？,解法三：圖像法,(1)解：選自行車為參照物，則從開始運(yùn)動到兩車相距最遠(yuǎn)這段過程中，汽車相對此參照物(自行車)的各個(gè)物理量的分別為： 已知：v相初6m/s，a相3m/s2， v相末0 由公式： 2a相x相v相末2v相初2 得 x相(v相末2v相初2) /2a相6m 由： v相末 v相初+ a相t 得 t = (v相末v相初) /a

6、相=2s,例1：一小汽車從靜止開始以3m/s2的加速度啟動，恰有一自行車以6m/s的速度從車邊勻速駛過，（1）汽車在追上自行車前經(jīng)過多長時(shí)間后兩者距離最遠(yuǎn)？此時(shí)距離是多少？（2）經(jīng)過多長時(shí)間汽車能追上自行車？此時(shí)汽車的速度是多少？,解法四：相對運(yùn)動法,例1：一小汽車從靜止開始以3m/s2的加速度啟動，恰有一自行車以6m/s的速度從車邊勻速駛過，（1）汽車在追上自行車前經(jīng)過多長時(shí)間后兩者距離最遠(yuǎn)？此時(shí)距離是多少？（2）經(jīng)過多長時(shí)間汽車能追上自行車？此時(shí)汽車的速度是多少？, v自t at2/2 6t3t2/2 t4s v汽at 34 12m/s,(2)解：汽車追上自行車時(shí)兩者位移相等,

7、常見題型二：勻速直線運(yùn)動追及勻加速直線運(yùn)動 （兩者相距一定距離，開始時(shí)勻速運(yùn)動的速度大）,開始兩者距離減小，直到兩者速度相等，然后兩者距離開始增加。所以：,到達(dá)同一位置前，速度相等，,則追不上。,到達(dá)同一位置時(shí)，速度相等，,則只能相遇一次。,到達(dá)同一位置時(shí)， v加 v勻，,則相遇兩次。,例2、車從靜止開始以1m/s2的加速度前進(jìn)，車后相距x0為25m處，某人同時(shí)開始以6m/s的速度勻速追車，能否追上？如追不上，求人、車間的最小距離。,解析：依題意，人與車運(yùn)動的時(shí)間相等，設(shè)為t, 當(dāng)人追上車時(shí)，兩者之間的位移關(guān)系為： x人x0 x車 即： v人tx0at2/2 由此方程求解t，

8、若有解，則可追上；若無解，則不能追上。 代入數(shù)據(jù)并整理得： t212t500 b24ac122450560 所以，人追不上車。,在剛開始追車時(shí)，由于人的速度大于車的速度，因此人車間的距離逐漸減?。划?dāng)車速大于人的速度時(shí)，人車間的距離逐漸增大。因此，當(dāng)人車速度相等時(shí)，兩者間距離最小。 at6 t6s 在這段時(shí)間里，人、車的位移分別為： x人v人t6636m x車at2/2162/218m xx0 x車x人2518367m,題型三：速度大的勻減速直線運(yùn)動追速度小的勻速運(yùn)動：,當(dāng)兩者速度相等時(shí)，若追者仍未追上被追者，則永遠(yuǎn)追不上，此時(shí)兩者有最小距離。,若追上時(shí)，兩者速度

9、剛好相等，則稱恰能相遇，也是兩者避免碰撞的臨界條件。,若追上時(shí)，追者速度仍大于被追者的速度，（若不出現(xiàn)碰撞）則先前的被追者還有一次追上先前的追者的機(jī)會，其間速度相等時(shí)，兩者相距最遠(yuǎn)。,例2、甲車在后以15 m/s的速度勻速行駛，乙車在前以9 m/s的速度勻速行駛。為了避免碰撞，甲車開始剎車，加速度大小為1m/s2。問為了避免碰撞甲剎車時(shí)距離乙最近為多少？,同學(xué)們，請用四種方法解題。,如果兩車之間的距離大于18米，又會出現(xiàn)什么情況。（假定兩車不會碰撞）,解答：設(shè)經(jīng)時(shí)間t追上。依題意： v甲tat2/2Lv乙t 15tt2/2329t t16s t4s (舍去) 甲車剎車后

10、經(jīng)16s追上乙車,變式訓(xùn)練：甲車在前以15 m/s的速度勻速行駛，乙車在后以9 m/s的速度勻速行駛。當(dāng)兩車相距32m時(shí)，甲車開始剎車，加速度大小為1m/s2。問經(jīng)多少時(shí)間乙車可追上甲車？,解答：甲車停止后乙再追上甲。 甲車剎車的位移 x甲v02/2a152/2112.5m 乙車的總位移 x乙x甲32144.5m tx乙/v乙144.5/916.06s,例2、甲車在前以15 m/s的速度勻速行駛，乙車在后以9 m/s的速度勻速行駛。當(dāng)兩車相距32m時(shí)，甲車開始剎車，加速度大小為1m/s2。問經(jīng)多少時(shí)間乙車可追上甲車？,A、B兩車沿同一直線向同一方向運(yùn)動，A車的速度vA

11、4 m/s，B車的速度vB10 m/s。當(dāng)B車運(yùn)動至A車前方7 m處時(shí)，B車以a2 m/s2的加速度開始做勻減速運(yùn)動，從該時(shí)刻開始計(jì)時(shí)，則A車追上B車需要多長時(shí)間？在A車追上B車之前，二者之間的最大距離是多少？,解答：設(shè)經(jīng)時(shí)間t追上。依題意： vBtat2/2x0vAt 10tt274t t7s t1s (舍去) A車剎車后經(jīng)7s追上乙車,解答：B車停止后A車再追上B車。 B車剎車的位移 xBvB2/2a102/425m A車的總位移 xAxB732m txA/vA32/48s,vAvBat T6/23s xx0 xBxA 7211216m,A、B兩車沿

12、同一直線向同一方向運(yùn)動，A車的速度vA4 m/s，B車的速度vB10 m/s。當(dāng)B車運(yùn)動至A車前方7 m處時(shí)，B車以a2 m/s2的加速度開始做勻減速運(yùn)動，從該時(shí)刻開始計(jì)時(shí)，則A車追上B車需要多長時(shí)間？在A車追上B車之前，二者之間的最大距離是多少？,題型四：速度大的勻速運(yùn)動追速度小的勻減速直線運(yùn)動,兩者距離一直變小，一定能追上。要注意追上時(shí)，勻減速運(yùn)動的速度是否為零。,題型五：勻變速運(yùn)動追勻變速運(yùn)動,總結(jié)：,解答追及，相遇問題時(shí)，首先根據(jù)速度的大小關(guān)系判斷兩者的距離如何變化，把整個(gè)運(yùn)動過程分析清楚，再注意明確兩物體的位移關(guān)系、時(shí)間關(guān)系、速度關(guān)系，這些關(guān)系是我們根據(jù)相關(guān)運(yùn)動學(xué)公式列方程的依據(jù)。,

13、（2）常用方法 1、解析法 2、臨界狀態(tài)分析法 3、圖像法 4、相對運(yùn)動法,甲乙兩車同時(shí)同向從同一地點(diǎn)出發(fā)，甲車以v116m/s的初速度，a12m/s2的加速度作勻減速直線運(yùn)動，乙車以v24m/s的速度，a21m/s2的加速度作勻加速直線運(yùn)動，求兩車相遇前兩車相距最大距離和相遇時(shí)兩車運(yùn)動的時(shí)間。,解法一：當(dāng)兩車速度相同時(shí)，兩車相距最遠(yuǎn)，此時(shí)兩車運(yùn)動時(shí)間為t1，兩車速度為v 對甲車： vv1a1t1 對乙車： vv2a2t1 兩式聯(lián)立得 t1(v1v2)/(a2a1)4s 此時(shí)兩車相距 xx1x2(v1t1a1t12/2)(v2t1a2t12/2)24m 當(dāng)乙車追上甲車時(shí)，兩

14、車位移均為x，運(yùn)動時(shí)間為t，則： v1ta1t2/2v2t2 a2t2/2 得 t8s 或 t0(出發(fā)時(shí)刻，舍去。),解法二： 甲車位移 x1v1ta1t2/2 乙車位移 x2v2ta2t2/2 某一時(shí)刻兩車相距為x x x1x2 (v1ta1t2/2)(v2ta2t2/2) 12t3t2/2 當(dāng)tb/2a 時(shí)，即 t4s 時(shí)，兩車相距最遠(yuǎn) x124342/224m 當(dāng)兩車相遇時(shí)，x0，即12t3t2/20 t8s 或 t0(舍去),一列火車以v1的速度直線行駛，司機(jī)忽然發(fā)現(xiàn)在正前方同一軌道上距車為x處有另一輛火車正沿著同一方向以較小速度v2做勻速運(yùn)動，

15、于是他立即剎車，為使兩車不致相撞，則a應(yīng)滿足什么條件？,方法1：設(shè)兩車經(jīng)過時(shí)間t相遇，則 v1tat2/2v2tx 化簡得：at22(v1v2)t2x0 當(dāng) 4(v1 v2)2 8ax0 即a(v1v2)2/2x時(shí)，t無解，即兩車不相撞.,方法2：當(dāng)兩車速度相等時(shí)，恰好相遇，是兩車相撞的臨界情況，則 v1atv2 v1tat2/2v2tx 解得 a(v1v2)2/2x 為使兩車不相撞，應(yīng)使 a(v1v2)2/2x,一列火車以v1的速度直線行駛，司機(jī)忽然發(fā)現(xiàn)在正前方同一軌道上距車為x處有另一輛火車正沿著同一方向以較小速度v2做勻速運(yùn)動，于是他立即剎車，為使兩車不致相撞，則a

16、應(yīng)滿足什么條件？,方法3: 后面的車相對前面的車做勻減速運(yùn)動，初狀態(tài)相對速度為(v1v2)，當(dāng)兩車速度相等時(shí)，相對速度為零， 根據(jù) vt2v022ax ，為使兩車不相撞，應(yīng)有 (v1v2)2 2ax a (v1v2)2/2x,一列火車以v1的速度直線行駛，司機(jī)忽然發(fā)現(xiàn)在正前方同一軌道上距車為x處有另一輛火車正沿著同一方向以較小速度v2做勻速運(yùn)動，于是他立即剎車，為使兩車不致相撞，則a應(yīng)滿足什么條件？,1、在一條公路上并排停著A、B兩車，A車先啟動，加速度a120m/s2，B車晚3s啟動，加速度a230m/s2，以A啟動為計(jì)時(shí)起點(diǎn)，問：在A、B相遇前經(jīng)過多長時(shí)間兩車相距最遠(yuǎn)？這個(gè)

17、距離是多少？,解一、兩車速度相等時(shí)，相距最遠(yuǎn)。 a1ta2(t3) 得 t9s xa1t2/2a2(t3)2/2270m,解二、 xa1t2/2a2(t3)2/2 5t290t135 5(t218t27) 二次項(xiàng)系數(shù)為負(fù)，有極大值。 x5(t9)2270 當(dāng)t9s時(shí)，x有極大值，x270m,1、在一條公路上并排停著A、B兩車，A車先啟動，加速度a120m/s2，B車晚3s啟動，加速度a230m/s2，以A啟動為計(jì)時(shí)起點(diǎn)，問：在A、B相遇前經(jīng)過多長時(shí)間兩車相距最遠(yuǎn)？這個(gè)距離是多少？,解三、用圖象法。 作出vt圖象。由圖可知， 在t9s時(shí)相遇。 x即為圖中斜三角形

18、的面積。 x3180/2270m,1、在一條公路上并排停著A、B兩車，A車先啟動，加速度a120m/s2，B車晚3s啟動，加速度a230m/s2，以A啟動為計(jì)時(shí)起點(diǎn)，問：在A、B相遇前經(jīng)過多長時(shí)間兩車相距最遠(yuǎn)？這個(gè)距離是多少？,2、A、B兩車在一條水平直線上同向勻速行駛，B車在前，車速v210m/s，A車在后，車速v120m/s，當(dāng)A、B相距100m時(shí)，A車用恒定的加速度a減速。求a為何值時(shí)，A車與B車相遇時(shí)不相撞。,解一：分析法。 對A： x1v1tat2/2 v2v1at 對B： x2v2t 且 x1x2 100m 由、得 10020tat2/210t10tat2/

19、2 由、得 t20s a0.5m/s2,解二、利用平均速度公式。 x1 (v1v2)t/215t x2v2t10t x1x215t10t100 t20s 由v2v1at得 a0.5m/s2,2、A、B兩車在一條水平直線上同向勻速行駛，B車在前，車速v210m/s，A車在后，車速v120m/s，當(dāng)A、B相距100m時(shí)，A車用恒定的加速度a減速。求a為何值時(shí)，A車與B車相遇時(shí)不相撞。,解三、作出vt圖。 圖中三角形面積表示A車車速由20m/s到10m/s時(shí)，A比B多之的位移，即x1x2 100m。 10010t/2 t20s a0.5m/s2,2、A、

20、B兩車在一條水平直線上同向勻速行駛，B車在前，車速v210m/s，A車在后，車速v120m/s，當(dāng)A、B相距100m時(shí)，A車用恒定的加速度a減速。求a為何值時(shí)，A車與B車相遇時(shí)不相撞。,解四、以B車為參照物，用相對運(yùn)動求解。 A相對于B車的初速度為10m/s，A以a減速，行駛100m后“停下”，跟B相遇而不相撞。 vt2v022ax 0102 2a100 a 0.5m/s2 v2v1at 得 t20s,2、A、B兩車在一條水平直線上同向勻速行駛，B車在前，車速v210m/s，A車在后，車速v120m/s，當(dāng)A、B相距100m時(shí)，A車用恒定的加速度a減速。求a為何值時(shí)，A車與B車

21、相遇時(shí)不相撞。,3、甲、乙兩車相距x，同時(shí)同向運(yùn)動，乙在前面做加速度為a1、初速度為零的勻加速運(yùn)動，甲在后面做加速度為a2、初速度為v0的勻加速運(yùn)動，試討論兩車在運(yùn)動過程中相遇次數(shù)與加速度的關(guān)系.,分析 由于兩車同時(shí)同向運(yùn)動，故有 v甲v0a2t v乙a1t,當(dāng)a1a2時(shí)，可得兩車在運(yùn)動過程中始終有v甲v乙。由于原來甲在后，乙在前，所以甲、乙兩車的距離在不斷縮短，經(jīng)過一段時(shí)間后甲車必然超過乙車，且甲超過乙后相距越來越大，因此甲、乙兩車只能相遇一次.,當(dāng)a1a2時(shí)，可得v甲v0v乙，同樣有v甲v乙，因此甲、乙兩車也只能相遇一次.,當(dāng)a1a2時(shí)，v甲和v乙的大小關(guān)系會隨著運(yùn)動時(shí)間的增加而發(fā)生變化。

22、最初v甲 v乙；隨著時(shí)間的推移，有v甲v乙，接下來則有v甲v乙。 若在v甲v乙之前，甲車還沒有超過乙車，隨后由于v甲v乙，甲車就沒有機(jī)會超過乙車，即兩車不相遇； 若在v甲v乙 時(shí)，兩車剛好相遇，隨后v甲v乙，甲車又要落后乙車，這樣兩車只能相遇一次； 若在v甲v乙前，甲車已超過乙車，即已相遇過一次，隨后由于v甲v乙，甲、乙距離又縮短，直到乙車反超甲車時(shí)，再相遇一次，則兩車能相遇兩次.,當(dāng)a1a2時(shí)，甲、乙兩車的運(yùn)動圖線分別為圖中的和，其中劃斜線部分的面積表示t時(shí)間內(nèi)甲車比乙車多發(fā)生的位移，若此面積為x，則t時(shí)刻甲車追上乙車而相遇，以后在相等時(shí)間內(nèi)甲車發(fā)生的位移都比乙車多，所以只能相遇一次.,,當(dāng)a1a2時(shí)，甲、乙兩車的運(yùn)動圖線分別為圖中的和，兩車也只能相遇一次.,,當(dāng)a1a2時(shí)，甲、乙兩車的運(yùn)動圖線分別為圖中的和，其中劃實(shí)斜線部分的面積表示甲車比乙車多發(fā)生的位移，劃虛斜線部分的面積表示乙車比甲車多發(fā)生的位移。若劃實(shí)斜線部分的面積小于x，說明甲車追不上乙車，則不能相遇；若劃實(shí)斜線部分的面積等于x，說明甲車剛追上乙車又被反超。則相遇一次；,,若劃實(shí)斜線部分的面積大于x。說明兩車先后相遇兩次。,