《佳一數(shù)學2014年秋季人教版教案 八年級-1 三角形的邊角關系》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《佳一數(shù)學2014年秋季人教版教案 八年級-1 三角形的邊角關系（19頁珍藏版）》請在裝配圖網上搜索。

1、 第1講 三角形的邊角關系 [教學內容] 《佳一動態(tài)數(shù)學思維》秋季人教版，八年級第1講“三角形的邊角關系”. [教學目標] 知識技能 1.結合具體實例，使學生掌握三角形邊角關系定理及推論；并掌握三角形的高、中線、角平分線以及外角等概念及性質. 2.通過觀察、操作、想象、推理、交流等活動，提高同學們推理能力和有條理地表達能力. 數(shù)學思考 1.通過合作探索理解并掌握三角形邊角關系的一些性質，培養(yǎng)學生抽象概括與觀察類推的能力. 2.以學生為課堂的主體，讓學生以自主探究、合作交流、分析討論、概括總結等來調動其學習積極性和主動性. 問題解決 1.運用三角形的有關知識解決

2、相應的數(shù)學問題. 2.在探究活動中，學會與人合作并能與他人交流思維的過程和探索的結果. 情感態(tài)度 在解決與三角形有關的問題時，鍛煉學生推理，歸納的能力. [教學重點和難點] 教學重點 三角形邊角的關系，三角形的重要線段，三角形的內角和定理以及三角形的外角定理. 教學難點 難點：三角形的重要線段的掌握. ［教與學互動設計］ 動畫多媒體語言課件 第一課時 教學路徑 學生活動 方案說明 導入： 老師：同學們，在前幾次課中表現(xiàn)的非常好。希望大家繼續(xù)加油！我們今天學習一種大家非常熟悉的平面圖形，你們認識下面這幾個圖形嗎？

3、 學生：。。。 老師：同學們，說的非常好。本節(jié)課我們將要繼續(xù)研究三角形，同學們，你能用你所知道的三角形的知識解下面這道題嗎？ (課件出示) 小穎的媽媽是某公司的一名工程師，她制作一個零件的形狀如圖所示，按規(guī)定∠BAC=90°，∠B=21°，∠C=20°，檢查工人量得∠BDC=130°，就斷定這個零件不合格，你能運用所學的知識說出其中的道理嗎？ 小穎（點擊頭像出示）：連接AD并延長（動畫展示），如圖（1）所示. 因為∠1=∠3+∠C，∠2=∠4+∠B， 所以∠1+∠2=∠3+∠C+∠4+∠B=（∠3+∠4）+∠C+∠B=∠BAC+∠B+∠C. 所以∠1+∠2=90°+21°

4、+20°=131°，即∠BDC=131°. 由于零件中∠BDC=130°，所以可以斷定這個零件不合格. 小萍：（點擊頭像出示）延長CD交AB于E（動畫展示），如圖（2）所示， 因為∠1=∠C+∠A，∠CDB=∠1+∠B， 所以∠BDC=∠C+∠A+∠B=20°+90°+21°=131°. 由于零件中∠BDC=130°，所以可以斷定這個零件不合格. 老師：同學們，我們現(xiàn)在各小組交流討論一下，關于三角形我們都學過哪些內容嗎？ （同學們討論，然后讓同學們說，最后老師總結一下） 回顧 1.三角形的概念 定義：由_______直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形.（

5、下一步：在橫線上填上：不在同一條） 2.三角形的分類 按角分： 按邊分： 3.三角形的重要線段 在三角形中，最重要的三種線段是三角形的中線、三角形的角平分線、三角形的高. 說明：（1）三角形的三條中線的交點在三角形的___ _部.（下一步：在橫線上填上：內） （2）三角形的三條角平分線的交點在三角形的______部.（下一步：在橫線上填上：內） （3）_______三角形的三條高的交點在三角形的內部；______三角形的三條高的交點是三角形的頂點；__ _三角形的三條高所在直線的交點在三角形的外部.（下一步：在橫線上分別填上：銳角 直角 鈍角） 4.三角

6、形三邊的關系 定理：三角形任意兩邊的和 __第三邊. 推論：三角形任意兩邊的差 第三邊. （下一步：在橫線上分別填上：大于 小于） 說明：運用“三角形中任意兩邊的和大于第三邊”可以判斷三條線段能否組成三角形；判斷三條線段能否組成三角形也可以直接檢驗較小的兩邊的和是否大于第三邊. 5.三角形各角的關系 定理：三角形的內角和是______度； 推論：（1）當有一個角是90°時，其余的兩個角的和為90°. （2）三角形的任意一個外角______和它不相鄰的兩個內角的和. （3）三角形的任意一個外角______任意一個和它不相鄰的內角. （下一步

7、：在橫線上分別填上：180 等于 大于） 說明：任一三角形中，最多有三個銳角，最少有兩個銳角；最多有一個鈍角；最多有一個直角. 老師：同學們，你能利用三角形所學的知識解決下面的問題嗎？讓我們來試試. 探究類型之一 三角形的計數(shù) 例1 如圖，平面上有A、B、C、D、E五個點，其中B、C、D及A、E、C分別在同一條直線上，那么以這五個點中的三個點為頂點的三角形有（ ） A.4個 B.6個 C.8個 D.10個 學生獨立完成此題. 師指定學生講解，并總結解決此類題的方法. 師：這類型題目只要我們牢牢記?。喊?/p>

8、照一定的順序來數(shù)才能保證不重不漏 解析：連接AB，AD，BE，DE（用動畫展示），如圖. 滿足條件的三角形有△ABE, △ADE, △BCE, △ECD, △ABC, △ACD, △BED, △ABD. 答案:在括號中出示答案C 老師總結：分類討論是三角形的計數(shù)中常見的思路方法. 老師：同學們，下面讓我們再來看看怎么利用三角形的三邊關系來解決問題吧. 探究類型之二 三角形的三邊關系 類似性問題2 現(xiàn)有3 cm，4 cm，7 cm，9 cm長的四根木棒，任取其中三根組成一個三角形，那么可以組成的三角形的個數(shù)是（ ） A.1 B.2

9、 C.3 D.4 學生獨立完成本題，老師指定學生講解，其他同學指正. 課件出示解析：運用“三角形中任意兩邊的和大于第三邊”可以判斷三條線段能否組成三角形，（下一步）也可以利用檢驗較小的兩邊的和是否大于第三邊來判斷三條線段能否組成三角形. 課件出示答案B 老師總結： 利用三角形的三邊關系來確定三條線段能否組成三角形. 師：讓我們來看看怎么做下面這道題？ 例2 邊長為整數(shù)，周長為20的等腰三角形的個數(shù)是 4 （換顏色出現(xiàn)） . 師：三角形的周長等于三角形三邊長的和.因為等腰三角形的周長固定和這個三角形的邊長整數(shù)，我們能得到什么呢？ 學生：能求出一

10、邊長的取值范圍，進而能確定這邊可能的取得整數(shù)值. 師：如果我們設三角形的三邊長分別為a,b,c,那你能得到什么他們三者滿足什么關系？ 生1：三角形的三邊長分別為a,b,c,a+b+c=20， 生2：利用三角形三邊的關系我們能得到三個不等式。 師：同學們，說得非常好。我們會發(fā)現(xiàn)只通過這兩個條件我們找到一邊的取值范圍還是很大？那我們還能怎么做呢？ 師：我們是不是可以假定a,b,c的大小關系，設a≥b≥c，這樣我們是能得到一個相對來說更小的一個范圍呢？ 學生獨立計算，然后找學生說說自己的答案，然后找其他同學指正，最后老師點評. 課件出示解析：根據(jù)三角形的周長及三角形的三邊關系建立不等式

11、和方程，求出三角形中一邊長的范圍，再求出其正整數(shù)解，進而求出滿足條件的等腰三角形的個數(shù). 課件出示答案： 設三角形的三邊長分別為a,b,c且a≥b≥c,a+b+c=20，則a≥7,又由b+c>a得a<10,所以7≤a＜10,所以a可能的整數(shù)值為7,8,9. （下一步）所以（a,b,c）為（9,9,2），（9,8,3）,(9,7,4),(9,6,5),(8,8,4),(8,7,5),(8,6,6),(7,7,6),其中等腰三角形有（9,9,2），（8，8, 4），（8, 6，6），（7，7,6）. 師：前面我們研究在一個圖形中到底有幾個三角形，還有三角形的三邊關系.同學們，我們是不是該研

12、究三角形的角之間有什么關系了？ 探究類型之三 三角形的內角和定理 例3 已知三角形三個內角的度數(shù)分別是x，y，z，且x+ y

13、的三個內角度數(shù)分別為x，y，z， 所以x+y+z=180°，又x+y90°， 所以這個三角形是鈍角三角形.故選C. 老師總結：利用三角形內角和為180°建立等量關系是解決三角形跟角有關問題的一個隱含條件. 老師：同學們，你們能應用三角形的有關角的知識解決下面這道題嗎?讓我們來看看. 例4 如圖（1），有一個五角星形ABCDE的圖案，（1）你能說明∠A+ ∠B+∠C+∠D+∠E=180°嗎？ （下一步出示）（2）當A點向下移動到BE上[如圖（2）]，上述結論是否仍然成立？（3）當A點移到BE的另一側[如圖（3）]，上述結論是否仍然成立？請說明理

14、由. 老師：同學們，這道題跟我們所學的三角形有什么關系？你發(fā)現(xiàn)了什么？你有什么思路嗎？ 找同學說說自己的解題思路，最后由老師講解. 課件出示方法一： （1）連接CD（做動畫）.將∠A,∠B,∠C,∠D,∠E的和轉化為△ACD的內角和. 課件出示答案： 解：（1）以題圖（1）為例，說明如下： 方法一：如圖，連接CD，設BD與EC相交于點F,如圖. 在△BEF中， ∠B+∠E+∠3=180° 在△CDF中，∠1+∠2+∠4=180°， 所以∠B+∠E+∠3=∠1+∠2+∠4 所以∠B+∠E=∠1+∠2 在△ACD中，∠A+∠ACD+∠ADC=

15、180°， 即∠A+∠ACF+∠1+∠ADF+∠2=180°， 所以∠A+∠ACF+∠ADF+∠B+∠E=180°. 方法二：課件出示解析：利用三角形內角和定理和三角形外角的性質來求即可. 課件出示答案:解：以題圖（1）為例，說明如下：設CE與BD、AD相交于F,如圖. 在△BEF中，∠B+∠E+∠1=180°. 因為∠2=∠A+∠C，∠1=∠2+∠D, 所以∠1=∠A+∠C +∠D， 所以∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°. 下一步（2）（3）： 在老師的指導下，同學們自己完成（2）和（3）. 老師總結：（1）在我們解決一些新問題時，往往需要我們將其轉化為比較熟悉的

16、問題，再加以解決. （2）本例中出現(xiàn)的“對頂三角形”（如圖），有如下結論：∠1+∠2＝ ∠3+∠4. 學生相互探討 教師引導學生復習（如果三角形的外角，三角形的角平分線，三角形的高還沒有學，可以由老師當做新課講解）

17、分類討論 探究多種解法 運用生活的實際問題來激起學習的興趣

18、 第二課時 教學路徑 學生活動 學生方案 老師：我們前面主要研究三角形的內角之間的關系，我們接下來研究怎么利用三角形的外角的性質來解決問題.

19、同學們，你還記得什么是三角形的外角？三角形的外角有什么性質? 老師找同學回答. 老師：同學們回答的非常好，我們都記住三角形的外角概念及性質，接下來我們看看同學們對三角形的外角知識的運用是不是也很熟練呢？看下面的題. 探究類型之四 三角形的外角和 例5 如圖，△ABC中，∠A，∠B，∠C的外角分別記為∠，∠，∠，若∠：∠：∠=3 ：4 ：5，則∠A ：∠B ：∠C =（ ） A.3 ：2 ：1 B.1 ：2 ：3 C.3 ：4 ：5 D.5 ：4 ：3 找學生獨立解題，老師指定學生說說自己的解題步驟，其他同學指正.

20、 師：注意強調三角形的內角和為360°，是在求跟三角形有關的角的度數(shù)時經常要使用的隱含條件 課件出示解析： 設∠=3x,∠β=4x,∠γ=5x.(下一步)根據(jù)三角形的外角和等于360°列方程，再求∠A，∠B，∠C的度數(shù). 課件出示答案： 解：設∠=3x，∠=4x，∠=5x，則 3x+4x+5x=360°. 解得 x=30°. 即∠=90°，∠=120°，∠=150°， 所以∠A=180°-∠=180°-90°=90°， ∠B=180°-∠=180°-120°=60°， ∠C=180°-∠=180°-150°=30°, 所以∠A ：∠B ：∠C=90°：60°：30°=3：

21、2：1. 老師引導學生說出： （1）三角形的外角和等于360°； （2）方程思想是解決幾何計算問題時常用思想. 類似性問題 5.將一副直角三角板如圖放置，使含30°角的三角板的短直角邊和含45°角的三角板的一條直角邊重合，則∠1的度數(shù)為 . 由同學們自己獨立完成，老師請同學回答具體的做題步驟，老師最后出示答案. 課件出示答案：75°. 類似性問題 6.如圖所示，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度數(shù). 請同學們思考： 1、 此題能用前面所講的例4的解題方法來解嗎？ 2、 這道題能利用三角形的外角的性質來解嗎？ 由學生回答問題，老師講評

22、. 課件出示解析：方法一：設BE，CF，AD相互交于G，H，K，如圖. ∠HGC=∠B+∠C, ∠GHD=∠D+∠E, ∠FKH=∠A+∠F.又因為∠HGC， ∠GHD，∠FKH是△GKH的外角，所以∠HGC+∠GHD+∠FKH=360°. 所以∠A+∠F+∠B+∠C+∠D+∠E=360°. 方法二：設BE，CF，AD相互交于G，H，K，如圖. 因為在△AFK中，∠A+∠F+∠4=180°, 在△BCG中，∠B+∠C+∠5=180°, 在△EDH中，∠D+∠E+∠6=180°, 所以∠A+∠F+∠4+∠B+∠C+∠5+∠D+∠E+∠6=180°×3＝5

23、40°. 又因為∠1+∠3+∠2＝180°，∠1＝∠4，∠2＝∠5，∠3＝∠6， 所以∠A+∠F+∠B+∠C+∠D+∠E=360°. 探究類型之五 三角形與平行線的綜合運用 例6 如圖，直線AC∥BD，連接AB，直線AC,BD及線段AB把平面分成①.②.③.④四部分，規(guī)定：線上各點不屬于任何部分.當動點P落在某個部分時，連接PA,PB，構成∠PAC，∠APB，∠PBD三個角.（提示：有公共端點的兩條重合的射線所組成的角的度數(shù)是0°） （1）當動點P落在第①部分時，求證：∠APB=∠PAC+∠PBD； （2）當動點P落在第②部分時，∠APB=∠P

24、AC+∠PBD是否成立（直接回答成立或不成立）？ （3）當動點P在第③部分時，全面探究∠PAC，∠APB，∠PBD之間的關系，并寫出動點P的具體位置和相應的結論.選擇其中一種結論加以證明. （1） 學生自己獨立思考，由學生自己獨立完成此題的（1），老師請同學說說自己的解題思路. 生1：延長BP交直線AC于點E. ∵ AC∥BD，∴∠PEA=∠PBD. ∵ ∠APB=∠PAE+∠PEA, ∴ ∠APB=∠PAC+∠PBD. 生2：過點P作FP∥AC，∴ ∠PAC=∠APF. ∵ AC∥BD，∴ FP∥BD. ∴ ∠FPB=∠PBD.∴∠APB=∠APF+∠FPB=∠PAC+

25、∠PBD. 師：如果在第二部分上述結論是不是成立？說說你的理由. 生：不成立，直接通過畫圖來說明就可以. （3）對于第三問，學生分組討論動點P的具體位置都可以在哪里.會有什么樣的結論. 生1：動點P在射線BA的右側 生2：動點P在射線BA上 生3：動點P在射線BA的左側. 學生獨立完成解題過程，然后找學生說說自己的答案,最后老師點評. （1）解法一：課件出示解析：延長BP交AC于點E，運用平行線的性質和三角形外角定理. 課件出示答案: 證明：如圖（1），延長BP交直線AC于點E(用動畫)，如圖. ∵ AC∥BD,∴∠PEA=∠PBD. ∵ ∠APB=∠PAE+∠PEA,

26、 ∴ ∠APB=∠PAC+∠PBD. 解法二：課件出示解析：利用平行線的性質來解題. 課件出示答案： 證明：如圖（2），過點P作FP∥AC(做動畫)，如圖. ∴ ∠PAC=∠APF. ∵ AC∥BD,∴ FP∥BD. ∴ ∠FPB=∠PBD. ∴∠APB=∠APF+∠FPB=∠PAC+∠PBD. （2）課件出示解析： 動畫畫圖 課件出示答案: 由觀察可知：不成立. （3）課件出示解析:運用平行線的性質或三角形外角的性質即可. 課件出示答案： （a）當動點P在射線BA的右側時，結論是∠PBD=∠PAC+∠APB. （證明）按鈕：如圖（3），連接

27、PA,PB（作動畫），設PB交AC于M，如圖. ∵ AC∥BD， ∴∠PMC=∠PBD. 又∵ ∠PMC=∠PAM+∠APM， ∴ ∠PBD=∠PAC+∠APB . （b）當動點P在射線BA上時，結論是∠PBD=∠PAC+∠APB或∠PAC=∠PBD+∠APB或∠APB=0°，∠PAC=∠PBD（任寫一個即可）. （證明）按鈕：證明：如圖（4）. ∵ 點P在射線BA上，∴∠APB=0°. ∵ AC∥BD ，∴∠PBD=∠PAC，∴∠PBD=∠PAC+∠APB或∠PAC= ∠PBD+∠APB或∠APB=0°，∠PAC=∠PBD. （c）當動點P在射線BA的左側時，結論是∠

28、PAC=∠APB+∠PBD. （證明）按鈕：證明： 如圖（5），連接PA，PB(做動畫)，設PB交AC于F，如圖. ∵ AC∥BD ， ∴∠PFC=∠PBD. ∵ ∠PAC=∠APF+∠PFA， ∴ ∠PAC=∠APB+∠PBD. 老師總結：解此類探索性命題的關鍵是由圖形提供的信息，探索、猜想、歸納出點在不同位置上有關角之間的變化規(guī)律. 師：前面講的你都學會了嗎？下面讓我們做幾道練習題來練一練. 類似性問題1： 1.如圖所示，已知△ABC是直角三角形，且∠BAC=30°，直線EF與△ABC的兩邊AC,AB分別交于M,N,那么∠CME+∠BNF=　　（　　?。? A.

29、150° B.180° C.135° D.不能確定 學生獨立完成，師指定學生說說自己的解題思路，其他同學指正． 3.如圖，在折紙活動中，小明制作了一張△ABC紙片，點D,E分別在邊AB，AC上，將△ABC沿著DE折疊壓平，A與A′重合，若∠A=75°，則∠1+∠2= （ ） A.150° B.210° C.105° D.75° 學生獨立完成，師指定學生說說自己的解題思路，其他同學指正． 課件出示解析：∵△A′DE是由△ABC沿DE翻折變換而成， ∴∠AED=∠A′ED，∠ADE=∠A′DE，∠A=

30、∠A′=75°， ∴∠AED+∠ADE=∠A′ED+∠A′DE=180°-75°=105°， ∴∠1+∠2=360°-2×105°=150°． 4.如圖，∠BDC=98°，∠C=38°，∠B=23°，則∠A的度數(shù)是 （ ） A.150° B.210° C.105° D.75° 學生獨立完成，老師找學生說說自己的解題思路. 課件出示解析：連接AD并延長（作動畫）.利用三角形的外角性質可得∠BDC=∠BAC+∠B+∠C. 課堂總結 我們對三角形的有關性質有了進一步的理解，希望大家在以后的學習中能繼續(xù)和老師一起學習.

31、 學生獨立完成 學生獨立完成 探求多種解法

32、 分類討論

33、

34、 類似性問題： 1.A 2.B 3.A解析：∵△A′DE是由△ABC沿DE翻折變換而成， ∴∠AED=∠A′ED，∠ADE=∠A′DE，∠A=∠A′=75°， ∴∠AED+∠ADE=∠A′ED+∠A′DE=180°-75°=105°， ∴∠1+∠2=360°-2×105°=150°．故選A． 4. C 5. 75° 6.方法一：解：設BE，CF，AD相互交于G，H，K，如圖. ∠HGC=∠B+∠C, ∠GHD=∠D+∠E, ∠FKH=∠A+∠F.又因為∠HGC， ∠GHD，∠FKH是△GKH的外角，所以∠HGC+∠GHD+∠FKH=360°. 所以∠A+

35、∠F+∠B+∠C+∠D+∠E=360°. 方法二： 解：設BE，CF，AD相互交于G，H，K. 因為在△AFK中，∠A+∠F+∠4=180°, 在△BCG中，∠B+∠C+∠5=180°, 在△EDH中，∠D+∠E+∠6=180°, 所以∠A+∠F+∠4+∠B+∠C+∠5+∠D+∠E+∠6=180°×3＝540°.又因為∠1+∠3+∠2＝180°，∠1＝∠4，∠2＝∠5，∠3＝∠6，所以∠A+∠F+∠B+∠C+∠D+∠E=360°. 練習冊答案： 1.C 2.A 3.B解析：只有當a2=2,a3=a1+a2=3,a4=a2+a3=

36、5,a5=a3+a4=8,a6=a4+a5=13時，7條線段中任意三條都不能構成三角形，故a6=13.故選B. 4.C 5.7,6,3或7,6,2 6.40° 7.120° 8. 9.解：由題意易得五邊形ABCDE的內角和為540°. 因為五邊形ABCDE的內角都相等， 所以∠E=∠EDC=∠C=540°÷5=108°. 在△AED和△BCD中，∠1+∠2=180°-∠E=72°， ∠3+∠4=180°-∠C=72°. 又因為∠1=∠2，∠3=∠4， 所以∠1=36°，∠3=36°， 所以x=∠EDC-∠1-∠3=36°. 補充練習 1. 如圖，已知線段A

37、D、BC相交于點Q，DM平分∠ADC，BM平分∠ABC，且∠A＝27°，∠M＝33°，求∠C的度數(shù)． 解：因為DM平分∠ADC，BM平分∠ABC， 所以∠CDM= ∠ADC, ∠MBC= ∠ABC. 由題意易得：∠C＋∠CDM＝∠M＋∠MBC， 即 同理， 由①、②得 因此∠C＝39°． 2.三角形的一條中線把其面積等分，試用這條規(guī)律完成下面問題． (1)把一個三角形分成面積相等的4塊(至少給出兩種方法)； (2)在一塊均勻的三角形草地上，恰好可放養(yǎng)84只羊，如圖，現(xiàn)被兩條中線分成4塊，則四邊形的一塊(陰影部分)恰好可放養(yǎng)幾只羊? 答案：(1)略．(2)連結OC． 利用方程組得陰影部分有28只羊.