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1、 第七章 空間解析幾何與向量代數(shù) 向量是解決工程技術(shù)問(wèn)題的重要工具，空間直角坐標(biāo)系是研究向量和多元函數(shù)的基礎(chǔ)。本章在建立了空間直角坐標(biāo)系的基礎(chǔ)上研究向量的概念、運(yùn)算及其應(yīng)用，并以向量為工具來(lái)討論空間的直線和平面，最后介紹空間曲線的幾種特殊的二次曲面。 §7.1 空間直角坐標(biāo)系與向量的概念 在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，我們將平面上的任意點(diǎn)P與有序?qū)崝?shù)對(duì)建立起一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，由此將平面曲線與方程建立了一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。為建立空間圖形與方程的聯(lián)系，我們需要建立空間的點(diǎn)與有序數(shù)組間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，這種對(duì)應(yīng)關(guān)系可以通過(guò)建立空間直角坐標(biāo)系來(lái)實(shí)現(xiàn)。 一 空間直角坐標(biāo)系 1 空間直角坐標(biāo)系的建立 在空間，

2、任取一點(diǎn)O,經(jīng)過(guò)點(diǎn)O作三條相互垂直的直線，它們都以O(shè)為原點(diǎn)，一般具有相同的單位長(zhǎng)度；分別取它們的正向，使它們成為三條數(shù)軸分別稱為軸（橫軸）、軸（縱軸）、軸（豎軸），統(tǒng)稱為坐標(biāo)軸。三個(gè)坐標(biāo)軸正向一般構(gòu)成右手系，即伸開右手，讓拇指和四指垂直，當(dāng)右手四指從軸正向以逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°角轉(zhuǎn)向軸正向是，大拇指的指向就是軸的正向（如圖7-1）。這樣就構(gòu)成了空間直角坐標(biāo)系，點(diǎn)O稱為坐標(biāo)原點(diǎn)。 在空間直角坐標(biāo)系中，任意兩條坐標(biāo)軸所確定的平面稱為坐標(biāo)面。例如：由軸、軸確定的坐標(biāo)平面為平面，同理還有平面、平面。 三個(gè)坐標(biāo)面把空間分為八個(gè)部分，每一部分叫做一個(gè)卦限，由上到下，按逆時(shí)針?lè)较蚩煞謩e用Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ、

3、Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ表示。 2 空間上點(diǎn)的坐標(biāo) 設(shè)M為空間上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M分別作軸，軸，軸的垂線，垂足依次為P，Q ，R(如圖7-2),這三點(diǎn)在軸、軸、軸上的坐標(biāo)依次為，，，則空間上的一點(diǎn)M就唯一確定了一個(gè)有序數(shù)組；反之，若給定一組有序數(shù)組，，，且它們分別在軸，軸，軸上依次對(duì)應(yīng)P，Q ，R 點(diǎn)，過(guò)P，Q ，R 分別作平面垂直于所在坐標(biāo)軸，則這三個(gè)平面的交點(diǎn)就是有序數(shù)組所確定的唯一點(diǎn)M . 這樣，空間一點(diǎn)就與一個(gè)有序數(shù)組之間建立了一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，有序數(shù)組稱為點(diǎn)M的坐標(biāo)，記為M。 ，，分別稱為點(diǎn)M的橫坐標(biāo)，縱坐標(biāo)和豎坐標(biāo)。 顯然，原點(diǎn)O的坐標(biāo)為，坐標(biāo)軸上的點(diǎn)至少有兩個(gè)坐標(biāo)為0，坐標(biāo)面上的點(diǎn)至少有一個(gè)坐

4、標(biāo)為0.例如：在軸上的點(diǎn)均有；在平面上均有。 3 空間兩點(diǎn)間的距離公式 設(shè)空間兩點(diǎn)求它們之間的距離,則d== 特別地，點(diǎn) 到原點(diǎn)的距離d== 例1 求頂點(diǎn)為,,的三角形各邊的長(zhǎng)度。 解：由空間兩點(diǎn)間的距離公式知： == == 7 == 二 向量概念及其線性運(yùn)算 1.向量的概念 在自然科學(xué)和工程技術(shù)中經(jīng)常遇到兩類量：一類是只有大小的量。例如時(shí)間、質(zhì)量、長(zhǎng)度、面積等，這類量稱為數(shù)量（或標(biāo)量）；另一類是既有大小又有方向的量，如力、速度、加速度、位移等，這類量稱為向量（或矢量）。 A B 在數(shù)學(xué)上，常用有向線段表示向量，有向線段的長(zhǎng)度為向量的大小，有向線

5、段的方向?yàn)橄蛄康姆较颍訟為起點(diǎn)，B為終點(diǎn)的有向線段可表示為向量,也可以用黑體小寫字母，，表示（如圖所示） 向量的大小稱為向量的模，記作（或）；模為1的向量稱為單位向量， 模為0的向量稱為零向量，記作，規(guī)定其方向?yàn)槿我獾摹? 數(shù)學(xué)中，一般只關(guān)心向量的大小和方向，不關(guān)心其位置， 即若兩個(gè)向量和的模相等，方向相同，則稱這兩個(gè)向量相等，記作=，也就是說(shuō)，經(jīng)過(guò)平行移動(dòng)后能夠完全復(fù)合的向量是相等的，我們稱這樣的向量為自由向量，本書所討論的向量均為自由向量。 我們規(guī)定：一切零向量都相等。 2.向量的線性運(yùn)算 （1） 向量的加法： 定義1 設(shè)已知兩個(gè)向量，，以空間任意一點(diǎn)O為始點(diǎn)作=，=,

6、以O(shè)A,OB為邊作平行四邊形OACB,則從始點(diǎn)到對(duì)角頂點(diǎn)的向量 為向量與的和向量。 這種求向量的方法稱為向量加法的平行四邊形法則。 A C B O + 求向量的和還有另一種方法，由于向量可以平移，從空間一點(diǎn)O引向量=，從的終點(diǎn)B引向量=，則=+，這種求向量和的方法稱為向量加法的三角形法則。C B O + 三角形法則可以推廣到任意有限個(gè)向量相加的情況。 向量加法運(yùn)算律 1） 交換律 +=+ 2） 結(jié)合律 （+）+=+(+) (2)數(shù)乘向量 定義2

7、設(shè)是向量，為一實(shí)數(shù)，則與的乘積仍是一個(gè)向量，且 1） 2) 的方向 3） 當(dāng)=0或=時(shí)，規(guī)定=. 數(shù)乘向量的運(yùn)算律（） 交換律 = 結(jié)合律 == 分配律 =+ （ +）=+ 向量的加法及數(shù)乘向量統(tǒng)稱為向量的線性運(yùn)算. （3）向量的減法 定義3 若向量與，長(zhǎng)度相等，方向相反，稱為的負(fù)向量，記為 -，由向量與數(shù)乘向量知，-=（-） 引入負(fù)向量后，我們可以規(guī)定兩向量的減法，即與的差規(guī)定為-=+（-） 向量的減法可按三角形法則進(jìn)行，對(duì)已知向量、，從任意點(diǎn)O為始點(diǎn)，作=,=，則的終點(diǎn)B到的終點(diǎn)A的向量=- 3 向量的坐標(biāo)表示 （1） 向徑及其坐標(biāo)表示

8、 在空間直角坐標(biāo)系中，起點(diǎn)在原點(diǎn)O,終點(diǎn)為P的向量,稱為點(diǎn)P的向徑，記作或。 沿x軸，y軸，z軸正向分別取正向同向的單位向量稱為基本向量，分別記，，。 設(shè)向量的起點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)O,終點(diǎn)為P()，則向量=，=，=，由向量加法， =+=（+）+=++， （如圖所示） 簡(jiǎn)記為 = （2） 任意向量的坐標(biāo)表示 設(shè)則以為起點(diǎn)，為終點(diǎn)的向量=- (如圖) 所以 =（）-() = 即以為起點(diǎn)，以為終點(diǎn)的向量的坐標(biāo)表達(dá)式為 = 自由向量的坐標(biāo)是由它的起點(diǎn)和終點(diǎn)坐標(biāo)唯一確定，不受向量平行移動(dòng)的影響。 (3) 向量線性運(yùn)算

9、的坐標(biāo)表示 設(shè)= ，= ，則有 1）=++ 2）=（）= 例題 （3） 向量的模與方向余弦的坐標(biāo)表示 若非零向量（即向量）與三個(gè)坐標(biāo)軸正向間的夾角分別為、、，且規(guī)定，則稱、、為向量的方向角，并稱方向角的余弦， 為向量的方向余弦，且有 = = = = = = 如圖 顯然 =1 單位向量== 即的三個(gè)坐標(biāo)就是非零向量的方向余弦。 例題 ： 練習(xí) 7—1 §7.2 向量的數(shù)量積與向量積 7.2.1 數(shù)量積 1 數(shù)量積的概念與性質(zhì) 定義1 給定兩個(gè)向量和，定義它們的數(shù)

10、量積為 = （1） 其中是與的夾角。 例1 設(shè)物體在常力F作用下，由點(diǎn)A沿直線移動(dòng)到點(diǎn)B，移動(dòng)的距離為L(zhǎng),F與的夾角為（如圖），求力F所做的功W. 解：由物理意義知W= ，而L=, 所以，由數(shù)量積的定義知 W=F . 由數(shù)量積的定義容易推出 （1） （2）設(shè)為非零向量，則有 （3）兩個(gè)非零向量與之間的夾角公式 （4）對(duì)基本單位向量，有 數(shù)量積還滿足如下運(yùn)算律 （1） 交換律：

11、 （2） 結(jié)合律： （3） 分配律： 2. 數(shù)量積的坐標(biāo)表示 設(shè) ， ，則 ∥ 例2 設(shè)={4，-2,1} ，={2，-1，t},確定t,使（1） ，（2）∥。 解：（1）∵， ∴ =4×2+（-2）×（-1）+t = 0 解之得 t=-10 (2) ∵∥,由數(shù)與向量的乘法可知 即 ，解之 t 例3 設(shè)={-1，-1,4} ，={-1，2，-2},求的夾角。 解：由夾角公式==. ∴. 7.2.2 向量積 由力學(xué)知識(shí)可知，恒力F對(duì)某中心O的力矩是

12、一向量M,其模為 為與F夾角，F(xiàn)與M正向符合右手規(guī)則，這是由兩個(gè)具有實(shí)際物理意義向量確定另一向量的問(wèn)題。在自然科學(xué)與工程技術(shù)中，還有許多“兩個(gè)向量按上述規(guī)律確定一新向量”的問(wèn)題，一一般的，有下面定義 圖1 圖2 定義2 設(shè)、為任意兩個(gè)向量，則它們的向量積（叉積）是一個(gè)向量，用即 表示，并且 （1） （） 為兩向量夾角。 （2）垂直于和，且符合右手法則， （如圖） 向量積滿足以下運(yùn)算律（為向量，為實(shí)數(shù)） （數(shù)量積不滿足交換律） 由向量積定義可推出： （1） 向量與的數(shù)量積的模在幾何上表示以、為鄰邊的平

13、行四邊形的面積 ；（如圖） （2） 對(duì)于兩個(gè)非零向量與，∥； （3） 兩個(gè)非零向量與的夾角公式； （4） 對(duì)基本單位向量，有 ， （5） 設(shè) ，，則兩個(gè)向量的向量積的坐標(biāo)表示式為= 例4 設(shè)，，求。 解：= = = 練習(xí)題7.2 §7.3 平面與直線 本節(jié)重點(diǎn)討論在空間直角坐標(biāo)系中如何利用向量建立平面和直線的方程。 §7.3.1 平面方程 1.平面的點(diǎn)法式方程 定義1 若一個(gè)非零向量垂直于一已知平面，則稱這個(gè)向量為平面的法向量。設(shè)在平面上，的法向量,由此，我們來(lái)建立這個(gè)平面的方程

14、（如圖） 設(shè)為所求平面上任一點(diǎn)， 那么可得向量， 由空間解析幾何性質(zhì)知⊥,則P 在平面上的充要條件是⊥ 即 （1） 這就是平面的方程。由于方程（1）是由平面上一點(diǎn)及它的一個(gè)法向量確定的，所以該方程為平面的點(diǎn)法式方程。 例1 求過(guò)點(diǎn),和三點(diǎn)的平面方程。 2.平面的一般方程 由式（1）可得 若令 D=，則平面的點(diǎn)法式方程可寫成 ，這是一個(gè)三元一次方程，反之，對(duì)任意一個(gè)三元一次方程，（不同時(shí)為0），可任取滿足該方程的一組數(shù)，那么有，則由可得 ，這是過(guò)點(diǎn)以為法向量的平面方程。 所以， （2）表示一個(gè)平面，稱（2）為平面的一般式方程。 下面討論（2

15、）式的一些特殊情況： （1）當(dāng)D=0時(shí)，（2）式成為，平面通過(guò)原點(diǎn)； （2）當(dāng)A=0時(shí)，（2）式成為，法向量為,它與垂直，所以平面平行于軸. 同理，方程，分別表示平行于 軸、軸的平面； （3）當(dāng)A=D=0時(shí)，由（1）、（2）知平面通過(guò)軸. 同理，、分別表示通過(guò)軸、軸的平面； （4）當(dāng)A=B=0時(shí)，方程為，其法向量與平行，所以該平面平行于坐標(biāo)面。 同理，方程，分別表示平行于、的平面。 注意：在平面解析幾何中，二元一次方程表示一條直線，在空間解析幾何中，二元一次方程表示一個(gè)平面。 例3 求通過(guò)軸和點(diǎn)（4，-3,1）的平面方程。 3.平面的截距式方程 設(shè)一平面

16、的一般方程為，若該平面與 、、軸分別交于、、三點(diǎn)（如圖），其中全不為零，則這三點(diǎn)均滿足平面方程，既有 解方程組得 ，， 代入所設(shè)平面方程中（因平面不過(guò)原點(diǎn)，所以）,得 即得所求平面方程為 此方程稱為平面的截距式方程，其中分別稱為平面在軸、軸、軸上的截距。 例4 一平面過(guò)點(diǎn)A(5,4,3),且在各坐標(biāo)軸上的截距相等，求該平面的方程。 例5 寫出平面的截距式方程，并畫圖。 §7.3.2 直線的方程 1 直線的點(diǎn)向式方程 一直線過(guò)空間一點(diǎn)且與一已知非零向量 平行，則直線在空間的位置就完全確定了，向量稱為直線 的方向向量，下面

17、來(lái)建立直線的方程： 如圖所示，設(shè)為直線上不重合于的任意一點(diǎn)，那么平行于，由數(shù)量與向量的乘積可知，=，由于 = 從而得 （1） 反之，滿足式（1）的點(diǎn)一定在直線上，所以稱為直線的點(diǎn)向式方程。 思考：空間上直線表示式是唯一的嗎？ 注：因?yàn)槭欠橇阆蛄?，所以不同時(shí)為零。 若其中某個(gè)為零時(shí)，例如，則式（1）應(yīng)理解為 若兩個(gè)為零時(shí)，例如，則式（1）應(yīng)理解為 2 直線的一般式方程 空間上任意直線都可看作兩個(gè)平面的交線，因此，一條直線在空間直角坐標(biāo)系中就可以由兩個(gè)平面方程來(lái)表示。 設(shè)平面，的方程分別為

18、 : : 它們的交線為,則空間任一點(diǎn)在直線上的充要條件是：它同時(shí)在平面，上，即點(diǎn)的坐標(biāo)應(yīng)滿足方程組 (2) 它們的交線為的方程，由于是由兩個(gè)平面的一般方程聯(lián)立而成，因此稱為直線的一般方程。 注：通過(guò)空間 直線的平面有無(wú)限多個(gè)，只要在這無(wú)限多個(gè)平面中任選兩個(gè)，把這兩個(gè)平面聯(lián)立，所得的方程組就表示直線。 3 直線的參數(shù)方程 由直線的點(diǎn)向式方程，設(shè)其比值為，則有 =， 那么直線方程可寫成如下形式： （3） 式（3）稱為直線的參數(shù)方程。

19、 例1.求過(guò)點(diǎn)（1,0，-3）且與平面垂直的直線方程。 例2. 求過(guò)點(diǎn)M(1,1,1)且與直線L:平行的直線方程。 例3 把直線的一般式方程 化為直線的點(diǎn)向式方程和參數(shù)方程。 7.3.3 直線、平面的位置關(guān)系 1 平面與平面的位置關(guān)系 兩平面法向量的夾角，稱為兩平面的夾角（取銳角），如圖所示 設(shè)兩平面，的方程分別為 ， 它們的法向量分別為,,則與的夾角余弦 == (4) 并且有∥∥== 例 1 已知一平面過(guò)點(diǎn)A(3，-1，-5) 且與平面 和都垂直，求其方程. 2 直線與直線的位置關(guān)系 兩直線的方向向量的夾角稱

20、為兩直線的夾角（取銳角） 設(shè)兩直線和的方程分別為，, 它們的方向向量分別為=，=， 因此與的夾角余弦為 == （5） 特別地，有∥∥==； ⊥⊥. 3 直線與平面的位置關(guān)系 直線和它在平面上的投影直線的夾角稱為直線與平面的夾角. 設(shè)直線與平面的垂直線的夾角為，與的夾角為，則.求直線與平面夾角，就轉(zhuǎn)化為求直線與直線的夾角. 因?yàn)槠矫娴姆ㄏ蛄渴瞧矫娲咕€的方向向量，可由公式（5）先求出直線與平面垂線的夾角，則直線與平面的夾角隨之可得. 設(shè)，分別是直線的方向向量和平面的法向量，由兩向量夾角的余弦公式，有 ==== 特別地，有∥⊥；

21、 ⊥∥==. 例1 練習(xí)7.3.3 §7.4 曲面和空間曲線 在平面直角坐標(biāo)系下，方程的幾何圖形是平面上的一條曲線，本節(jié)將討論在空間直角坐標(biāo)系下方程所表示的常見圖形——空間中的曲面和曲線. 7.4.1 曲面方程 引例 設(shè)點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)A(3，-1,2)和B(0,1，-1)的距離相等，則點(diǎn)P的軌跡就是A,B兩點(diǎn)的垂直平分面，問(wèn)：點(diǎn)P的三個(gè)坐標(biāo)之間的關(guān)系是什么？ 解：由,根據(jù)兩點(diǎn)間距離的公式得 = 整理得 （1） 于是，點(diǎn)P的三個(gè)坐標(biāo)是這個(gè)方程的解，通常稱點(diǎn)P的坐標(biāo)滿足方程（1），或稱點(diǎn)P滿足方程

22、（1）. 反之，如果方程（1）有一個(gè)解，它所對(duì)應(yīng)空間中的點(diǎn)為，按上面的推導(dǎo)反推回去，可知點(diǎn)P到點(diǎn)A,B的距離是相等的，從而這樣的點(diǎn)P在A,B兩點(diǎn)的垂直平分面. 由此我們引入曲面方程的概念. 定義 若曲面S和三元方程滿足： （1）曲面S上的任意一點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足方程; (2)不在曲面S上的點(diǎn)的坐標(biāo)都不滿足方程. 那么稱方程為曲面S的方程，曲面S稱為方程的圖形，（如圖） 我們知道平面方程是關(guān)于的三元一次方程，所以平面是曲面的特殊情形，關(guān)于的二次方程所表示的曲面，稱之為二次曲面.本節(jié)重點(diǎn)研究下面兩個(gè)基本問(wèn)題： (1)已知曲面上的點(diǎn)所滿足的幾何條件，建立曲面的方程. (2)已知曲面的方

23、程，研究曲面的幾何形狀. 7.4.2 曲面方程的建立 下面介紹幾種特殊的二次曲面及其方程的建立. 1.球面 建立以為球心，R為半徑的球面方程. 設(shè)是球面上任意一點(diǎn)（如圖），則有, 而 =， 所以 （2） 這就是以點(diǎn)為球心，R為半徑的球面方程. 注：當(dāng)時(shí)，得球心在原點(diǎn)，半徑為R的球面方程為. 例1 2.柱面 平行于定直線并沿定曲線L移動(dòng)的直線C所形成的曲面稱為柱面.定曲線L稱為柱面的準(zhǔn)線，動(dòng)直線C稱為柱面的母線. 先考察方程在空間中表示什么樣的曲面. 在面上，它表示圓心在原點(diǎn)O、半徑為R的圓；在空間直角坐標(biāo)系中，方程不含豎坐

24、標(biāo)，因此，對(duì)空間一點(diǎn)，不論豎坐標(biāo)取何值，只要它的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)能滿足方程 ,這一點(diǎn)就落在曲面上，即所有通過(guò)面內(nèi)圓上一點(diǎn)，且平行于軸的直線L都在該曲面上，因此，該曲面可看作時(shí)平行于的直線L（母線）沿著面上的圓（準(zhǔn)線）移動(dòng)而形成，稱該曲面為圓柱面.(如圖) 一般地，在平面直角坐標(biāo)系中，方程表示一條平面曲線，在空間直角坐標(biāo)系中，方程表示以面上的曲線C: 為準(zhǔn)線，母線平行于軸的柱面，（如圖） 類似地，方程表示以面上的曲線:為準(zhǔn)線，母線平行于軸的柱面. 思考：方程表示什么樣的柱面？ 例2試說(shuō)明下列方程表示什么曲面. 解： 3 .旋轉(zhuǎn)曲面 平面曲線C繞同一平面上定直線L旋轉(zhuǎn)一周所形成

25、的曲面，稱為旋轉(zhuǎn)曲面，定直線L稱為旋轉(zhuǎn)軸. 建立面上一條曲線C:，繞軸旋轉(zhuǎn)一周所形成的旋轉(zhuǎn)曲面方程（如圖）. 設(shè)為旋轉(zhuǎn)曲面上任一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作一垂直于軸的平面，交軸與點(diǎn)，交曲線C于點(diǎn)，由于點(diǎn)M可以由點(diǎn)繞軸旋轉(zhuǎn)得到，因此有, （3） 因?yàn)?，，所以 （4） 又因?yàn)樵谇€C上，所以 將（3）、（4）代入上式，即得旋轉(zhuǎn)曲面方程 可見，求平面曲線繞軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)曲面方程，只要將中的換成，而保持不變，即得旋轉(zhuǎn)曲面方程. 同理，曲線繞軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)曲面方程為. 類似可得坐標(biāo)面上的曲線繞軸或軸旋轉(zhuǎn)，坐標(biāo)面上的曲線繞軸或軸旋轉(zhuǎn)，得到的曲面方程. 例3 7.4.3

26、 常見二次曲面 由三元二次方程表示的曲面統(tǒng)稱為二次曲面. 下面介紹幾種常見二次曲面的標(biāo)準(zhǔn)方程，并討論其形狀. 如何根據(jù)方程來(lái)判斷二次曲面的形狀？一種常用的方法是——截痕法：即用各坐標(biāo)面和平行于各坐標(biāo)面的平面取截曲面，得到一系列的交線（截痕），通過(guò)綜合分析這些截痕的形狀和性質(zhì)，來(lái)推斷曲面的形狀. 1.橢球面 方程 (＞0, ＞0, ＞0) (5) 所表示的曲面稱為橢球面.（如圖） 2.橢圓拋物面 方程，形狀如圖 3.單葉雙曲面 方程為 ，形狀如圖 4.雙葉雙曲面 方程為 ，形狀如圖 5.雙曲拋物面 方程為 ，形狀如圖，由于它形如馬鞍，故又稱馬鞍面，坐標(biāo)原點(diǎn)稱為它的鞍點(diǎn). 7.4.4 空間曲線 1.空間曲線的一般方程 空間曲線可以看出是兩個(gè)曲面的交線，設(shè)曲面的方程為和，則其交線的方程為 （6） 方程（6）稱為空間曲面的一般方程. 例 2.空間曲線的參數(shù)方程 空間曲線上動(dòng)點(diǎn)M的坐標(biāo)分別表示為參數(shù)的函數(shù) （7） 當(dāng)給定時(shí)，就得到上的一個(gè)點(diǎn)，隨著的變動(dòng)即得曲線上的全部點(diǎn)，方程組（7）(如圖)叫做空間曲線的參數(shù)方程，為參數(shù). 例 練習(xí)7.4 22