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1、高考數(shù)學中涂色問題的常見解法及策略與涂色問題有關的試題新穎有趣,近年已經(jīng)在高考題中出現(xiàn)，其中包含著豐富的數(shù)學思想。解決涂色問題方法技巧性強且靈活多變，因而這類問題有利于培養(yǎng)學生的創(chuàng)新思維能力、分析問題與觀察問題的能力，有利于開發(fā)學生的智力。本文擬總結涂色問題的常見類型及求解方法一、 區(qū)域涂色問題1、 根據(jù)分步計數(shù)原理，對各個區(qū)域分步涂色，這是處理染色問題的基本方法。例1、 用5種不同的顏色給圖中標、的各部分涂色，每部分只涂一種顏色，相鄰部分涂不同顏色，則不同的涂色方法有多少種？ 分析：先給號區(qū)域涂色有5種方法，再給號涂色有4種方法，接著給號涂色方法有3種，由于號與、不相鄰，因此號有4種涂法，根

2、據(jù)分步計數(shù)原理，不同的涂色方法有2、 根據(jù)共用了多少種顏色討論，分別計算出各種出各種情形的種數(shù)，再用加法原理求出不同的涂色方法種數(shù)。例2、四種不同的顏色涂在如圖所示的6個區(qū)域，且相鄰兩個區(qū)域不能同色。2分析：依題意只能選用4種顏色，要分四類：（1）與同色、與同色，則有；（2）與同色、與同色，則有；（3）與同色、與同色，則有；（4）與同色、與同色，則有；（5）與同色、與同色，則有；所以根據(jù)加法原理得涂色方法總數(shù)為5=120例3、如圖所示，一個地區(qū)分為5個行政區(qū)域，現(xiàn)給地圖著色，要求相鄰區(qū)域不得使用同一顏色，現(xiàn)有4種顏色可供選擇，則不同的著方法共有多少種？ 分析：依題意至少要用3種顏色243151

3、) 當先用三種顏色時，區(qū)域2與4必須同色，2) 區(qū)域3與5必須同色，故有種；3) 當用四種顏色時，若區(qū)域2與4同色，4) 則區(qū)域3與5不同色，有種；若區(qū)域3與5同色，則區(qū)域2與4不同色，有種，故用四種顏色時共有2種。由加法原理可知滿足題意的著色方法共有+2=24+224=723、 根據(jù)某兩個不相鄰區(qū)域是否同色分類討論，從某兩個不相鄰區(qū)域同色與不同色入手，分別計算出兩種情形的種數(shù)，再用加法原理求出不同涂色方法總數(shù)。例4用紅、黃、藍、白、黑五種顏色涂在如圖所示的四個區(qū)域內，每個區(qū)域涂一種顏色，相鄰兩個區(qū)域涂不同的顏色，如果顏色可以反復使用，共有多少種不同的涂色方法？分析：可把問題分為三類：1234

4、（1） 四格涂不同的顏色，方法種數(shù)為；（2） 有且僅兩個區(qū)域相同的顏色，即只有一組對角小方格涂相同的顏色，涂法種數(shù)為；5) 兩組對角小方格分別涂相同的顏色，涂法種數(shù)為，因此，所求的涂法種數(shù)為4、 根據(jù)相間區(qū)使用顏色的種類分類ABCDEF例5如圖， 6個扇形區(qū)域A、B、C、D、E、F，現(xiàn)給這6個區(qū)域著色，要求同一區(qū)域涂同一種顏色，相鄰的兩個區(qū)域不得使用同一種顏色，現(xiàn)有4種不同的顏色可解（1）當相間區(qū)域A、C、E著同一種顏色時，有4種著色方法，此時，B、D、F各有3種著色方法，此時，B、D、F各有3種著色方法故有種方法。 （2）當相間區(qū)域A、C、E著色兩不同的顏色時，有種著色方法，此時B、D、F有

5、種著色方法，故共有種著色方法。 （3）當相間區(qū)域A、C、E著三種不同的顏色時有種著色方法，此時B、D、F各有2種著色方法。此時共有種方法。故總計有108+432+192=732種方法。說明：關于扇形區(qū)域區(qū)域涂色問題還可以用數(shù)列中的遞推公來解決。 如：如圖，把一個圓分成個扇形，每個扇形用紅、白、藍、黑四色之一染色，要求相鄰扇形不同色，有多少種染色方法？解：設分成n個扇形時染色方法為種（1） 當n=2時、有=12種，即=12（2） 當分成n個扇形，如圖，與不同色，與 不同色，與不同色，共有種染色方法， 但由于與鄰，所以應排除與同色的情形；與同色時，可把、 看成一個扇形，與前個扇形加在一起為個扇形，

6、此時有種染色法，故有如下遞推關系： 二、 點的涂色問題方法有：（1）可根據(jù)共用了多少種顏色分類討論，（2）根據(jù)相對頂點是否同色分類討論，（3）將空間問題平面化，轉化成區(qū)域涂色問題。例6、將一個四棱錐的每個頂點染上一種顏色，并使同一條棱的兩端點異色，如果只有5種顏色可供使用，那么不同的染色方法的總數(shù)是多少？解法一：滿足題設條件的染色至少要用三種顏色。（1）若恰用三種顏色，可先從五種顏色中任選一種染頂點S，再從余下的四種顏色中任選兩種涂A、B、C、D四點，此時只能A與C、B與D分別同色，故有種方法。（2）若恰用四種顏色染色，可以先從五種顏色中任選一種顏色染頂點S，再從余下的四種顏色中任選兩種染A與

7、B，由于A、B顏色可以交換，故有種染法；再從余下的兩種顏色中任選一種染D或C，而D與C，而D與C中另一個只需染與其相對頂點同色即可，故有種方法。（3）若恰用五種顏色染色，有種染色法綜上所知，滿足題意的染色方法數(shù)為60+240+120=420種。 解法二：設想染色按SABCD的順序進行，對S、A、B染色，有種染色方法。 由于C點的顏色可能與A同色或不同色，這影響到D點顏色的選取方法數(shù)，故分類討論： C與A同色時（此時C對顏色的選取方法唯一），D應與A（C）、S不同色，有3種選擇；C與A不同色時，C有2種選擇的顏色，D也有2種顏色可供選擇，從而對C、D染色有種染色方法。 由乘法原理，總的染色方法是

8、SCDAB解法三：可把這個問題轉化成相鄰區(qū)域不同色問題：如圖，對這五個區(qū)域用5種顏色涂色，有多少種不同的涂色方法？解答略。三、 線段涂色問題對線段涂色問題，要注意對各條線段依次涂色，主要方法有：1) 根據(jù)共用了多少顏色分類討論2) 根據(jù)相對線段是否同色分類討論。例7、用紅、黃、藍、白四種顏色涂矩形ABCD的四條邊，每條邊只涂一種顏色，且使相鄰兩邊涂不同的顏色，如果顏色可以反復使用，共有多少種不同的涂色方法？解法一：（1）使用四顏色共有種（2）使用三種顏色涂色，則必須將一組對邊染成同色，故有種，（3）使用二種顏色時，則兩組對邊必須分別同色，有種因此，所求的染色方法數(shù)為種解法二：涂色按ABBCCD

9、DA的順序進行，對AB、BC涂色有種涂色方法。由于CD的顏色可能與AB同色或不同色，這影響到DA顏色的選取方法數(shù)，故分類討論：當CD與AB同色時，這時CD對顏色的選取方法唯一，則DA有3種顏色可供選擇CD與AB不同色時，CD有兩種可供選擇的顏色，DA也有兩種可供選擇的顏色，從而對CD、DA涂色有種涂色方法。由乘法原理，總的涂色方法數(shù)為種例8、用六種顏色給正四面體的每條棱染色，要求每條棱只染一種顏色且共頂點的棱涂不同的顏色，問有多少種不同的涂色方法？ 解：（1）若恰用三種顏色涂色，則每組對棱必須涂同一顏色，而這三組間的顏色不同，故有種方法。（2）若恰用四種顏色涂色，則三組對棱中有二組對棱的組內對

10、棱涂同色，但組與組之間不同色，故有種方法。（3）若恰用五種顏色涂色，則三組對棱中有一組對棱涂同一種顏色，故有種方法。（4）若恰用六種顏色涂色，則有種不同的方法。 綜上，滿足題意的總的染色方法數(shù)為種。四、 面涂色問題例9、從給定的六種不同顏色中選用若干種顏色，將一個正方體的6個面涂色，每兩個具有公共棱的面涂成不同的顏色，則不同的涂色方案共有多少種？分析：顯然，至少需要3三種顏色，由于有多種不同情況，仍應考慮利用加法原理分類、乘法原理分步進行討論解：根據(jù)共用多少種不同的顏色分類討論（1）用了六種顏色，確定某種顏色所涂面為下底面，則上底顏色可有5種選擇，在上、下底已涂好后，再確定其余4種顏色中的某一

11、種所涂面為左側面，則其余3個面有3！種涂色方案，根據(jù)乘法原理（2）共用五種顏色，選定五種顏色有種方法，必有兩面同色（必為相對面），確定為上、下底面，其顏色可有5種選擇，再確定一種顏色為左側面，此時的方法數(shù)取決于右側面的顏色，有3種選擇（前后面可通過翻轉交換）；(3)共用四種顏色,仿上分析可得；(4)共用三種顏色,例10、四棱錐，用4種不同的顏色涂在四棱錐的各個面上，要求相鄰不同色，有多少種涂法？ ABCDP53214 解：這種面的涂色問題可轉化為區(qū)域涂色問題，如右圖，區(qū)域1、2、3、4相當于四個側面，區(qū)域5相當于底面；根據(jù)共用顏色多少分類：（1） 最少要用3種顏色，即1與3同色、2與4同色，此時有種；（2） 當用4種顏色時，1與3同色、2與4兩組中只能有一組同色，此時有；故滿足題意總的涂色方法總方法交總數(shù)為