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1、2013年高考數(shù)學 易錯點點睛與高考突破 專題15 導數(shù)及其應用【難點突破】難點 1利用導數(shù)的幾何意義1已知拋物線y=-x2+2,過其上一點P引拋物線的切線l,使l與兩坐標軸在第一象限圍成的面積最小,求l的方程。把x0=代入得l的方程為:2x+3y-8=0.2由原點O向三次曲線y=x3-3ax2(a0)引切線,切于點P1(x1,y1)(O,P1兩點不重合),再由P1引此曲線的切線,切于點P2(x2,y2)(P1,P2不重合)。如此繼續(xù)下去,得到點列Pn(xn,yn)求x1;求xn與xn+1滿足的關(guān)系式;若a0,試判斷xn與a的大小關(guān)系并說明理由 (3)由(2)得xn+1=-難點 2利用導數(shù)探討
2、函數(shù)的單調(diào)性1已知mR,研究函數(shù)f(x)=的單調(diào)區(qū)間f(x)在(-1,-)上是減函數(shù)。當0m3時,x1x2.在區(qū)間(-,-)(-1,+)上g(x)0,即f(x)0.3已知f(x)=ax3+bx2+cx+d是定義在R上的函數(shù),其圖像交x軸于A、B、C三點,若點B的坐標為(2,0),且f(x)在-1,0和4,5上有相同的單調(diào)性,在0,2和4,5上有相反的單調(diào)性。(1)求C的值;(2)在函數(shù)f(x)的圖像上是否存在一點M(x0,y0)使得f(x)在點M處的切線斜率為3b?若存在,求出點M的坐標;若不存在,說明理由。4已知函數(shù)f(x)=+(b-1)x2+cx(b,c為常數(shù))(1)若f(x)在x(-,x
3、1)及x(x2+)上單調(diào)遞增,且在x(x1,x2)上單調(diào)遞減,又滿足0x2-x11.求證b2x1,試比較t2+bt+c與x1的大小,并加以證明。難點 3利用導數(shù)求函數(shù)的極值和最值1已知函數(shù)f(x)=ax3+cx+d(a0)是R上奇函數(shù),當x=-1時,f(x)取得極值2。(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)若對于x1、x2-1,1,不等式|f(x1)-f(x2)|m,求m的最小值。2.設函數(shù)f(x)是定義在-1,0 0,1上奇函數(shù),當x-1,0時,f(x)=2ax+(a為實數(shù))(1)當x(0,1)時,求f(x)的解析式;(2)若a-1,試判斷f(x)在0,1上的單調(diào)性;(3)是否存在a,使得當x(
4、0,1)時,f(x)有最大值-6。4x+2+10,x=.又x(0, )時,h(x)0.x=時,h(x)有最小值h()=-a0)(1)證明:0a1;易錯點 3導數(shù)的應用1已知函數(shù)f(x)=-x3+3x2+9x+a.(1)求f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間;(2)若f(x)在區(qū)間-2,2上最大值為20,求它在該區(qū)間上的最小值?!惧e解分析】在閉區(qū)間上求函數(shù)的最大值和最小值,應把極值點的函數(shù)值與兩端點的函數(shù)值進行比較大小才能產(chǎn)生最大(小)值點,而上面解答題直接用極大(?。┲堤娲畲螅ㄐ。?已知函數(shù)f(x)=ax3+3x2-x+1在R上是減函數(shù),求a的取值范圍。4設函數(shù)f(x)=x-ln(x+m)其中常數(shù)m為整數(shù)
5、。(1)當m為何值時,f(x)0;(2)定理:若g(x)在a、b上連續(xù),且g(a)與g(b)異號,則至少存在一點x0(a、b),使g(x0)=0.試用上述定理證明:當整數(shù)m1時,方程f(x)=0,在e-m-m,e2m-m內(nèi)有兩個實根?!惧e誤解答】 令f(x)0,xln(x+m).5用長為90cm,寬為48cm的長方形鐵皮做一個無蓋的容器,先在四角分別截去一個小正形,然后把四邊翻轉(zhuǎn)90角,再焊接而成(如圖,)問該容器高為多少時,容器的容積最大?最大容積是多少?【特別提醒】1證函數(shù)f(x)在(a,b)上單調(diào),可以用函數(shù)的單調(diào)性定義,也可用導數(shù)來證明,前者較繁,后者較易,要注意若f(x)在(a、b)
6、內(nèi)個別點上滿足f(x)=0(或不存在但連續(xù))其余點滿足f(x)0(或f(x)0時,函數(shù)f(x)在(-,+)上有極值5 某企業(yè)有一條價值a萬元的流水生產(chǎn)線,要提高該流水生產(chǎn)線的生產(chǎn)能力,提高產(chǎn)品的增加值,就要對充水生產(chǎn)線進行技術(shù)改造,假設增加值y萬元與技改把風入x萬元之間的關(guān)系滿足y與(a-x)x2成正比例;當x=時,y=;0t,其中t為常數(shù)且t0,2.(1)設y=f(x),求出f(x)的表達式,并求其定義域;答案: f(x)=8a2x212x3=(0x,t2)(2)求出增加值y的最大值,并求出此時的技改投入x值。解析:y=sinx+cosx-sinx=xcosx,x(-,-)時,y0.3 已知
7、函數(shù)f(x)=在(1,+)上為減函數(shù),則a的取值范圍為 ( )A0a B01ln恒成立,x4 函數(shù)y=2x3-3x2-12x+5在0,3上的最大值、最小值分別是 ( )6 函數(shù)f(x)=x3-2x+3的圖像在x=1處的切線與圓x2+y2=8的位置關(guān)系是 ( )A相切 B相交且過圓心 C相交但不過圓心 D相離7設集合A0,1),B1,2,函數(shù)f(x)若x0A,且ff(x0)A,則x0的取值范圍是()A. B(log32,1)C. D.8 函數(shù)f(x)lg(x0,xR),有下列命題:f(x)的圖象關(guān)于y軸對稱;f(x)的最小值是2;f(x)在(,0)上是減函數(shù),在(0,)上是增函數(shù);f(x)沒有最
8、大值其中正確命題的序號是_(請?zhí)钌纤姓_命題的序號)方法二:當n0時,f(x)1,x0,1),則log2x1x0,1);10已知定義域為R的函數(shù)f(x)是奇函數(shù)(1)求a,b的值;11已知函數(shù)f(x),g(x)分別是二次函數(shù)f(x)和三次函數(shù)g(x)的導函數(shù),它們在同一坐標系下的圖象如圖所示,設函數(shù)h(x)f(x)g(x),則()Ah(1)h(0)h(1) Bh(1)h(1)h(0)Ch(0)h(1)h(1) Dh(0)h(1)h(1)答案:D解析:取特殊值,令f(x)x2,g(x)x3,則h(0)h(1)h(1)12下列四個命題中,正確的是()A對于命題p:xR,使得x2x10,則綈p:x
9、R,均有x2x10B函數(shù)f(x)exex切線斜率的最大值是2C已知函數(shù)f(a)sinxdx,則f1cos1D函數(shù)y32x1的圖象可以由函數(shù)y2x的圖象僅通過平移變換得到13設函數(shù)yf(x)是定義在R上以1為周期的函數(shù),若g(x)f(x)2x在區(qū)間2,3上的值域為2,6,則函數(shù)g(x)在12,12上的值域為()A2,6 B20,34C22,32 D24,2814由直線x,x,y0與曲線ycosx所圍成的封閉圖形的面積為()A. B.C. D1答案:C解析:直線x,x,y0與曲線ycosx所圍成的封閉圖形的面積為cosxdx.15已知函數(shù)f(x)ax3bx2cx,其導函數(shù)yf(x)的圖象經(jīng)過點(1
10、,0),(2,0),如圖所示,則下列說法中不正確的是_當x時,函數(shù)f(x)取得極小值;f(x)有兩個極值點;當x2時,函數(shù)f(x)取得極小值;當x1時,函數(shù)f(x)取得極大值16. 函數(shù)f(x)=xlnx,則f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是_.答案:(0,) 解析:令f(x)=lnx+11)時,f(t-x) 恒成立,試求m的最大值。21.已知函數(shù)f(x)=-x3-bx2-5cx-2d在-,0上單調(diào)遞減,在0,6上單調(diào)遞增,且方程f(x)=0有3個實根:m、n、1。(1)求f(4)的取值范圍。AB=9,AC=3,BC=由A到C所需要時間為t,23. 函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(0,+)內(nèi)可導,導函數(shù)f(x)是減函數(shù),且f(x)0,設x0(0,+),y=kx+m是y=f(x)在點x0,f(x0)得的切線方程,并設函數(shù)g(x)=kx+m;(1)用x0、f(x0)、f(x0)表示m;(3)若關(guān)于x的不等式a2+1ax+b在0,+上恒成立,其中a、b為實數(shù),求x的取值范圍及a與b所滿足的關(guān)系。答案:0b01 a0是不等式成立的必要條件肥下討論設此條件成立.X2+1ax+b,即x2-ax+1(1-b)。令(x)=ax+b-,于是ax+b對任意x0,+成立的充要條件是(x)0,