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1、(江蘇專用)2013年高考數(shù)學總復(fù)習 第八章第7課時 拋物線 課時闖關(guān)(含解析)A級雙基鞏固一、填空題1在拋物線y22px上,橫坐標為4的點到焦點的距離為5,則p的值為_解析:由題意45,p2.答案:22(2010高考湖南卷改編)設(shè)拋物線y28x上一點P到y(tǒng)軸的距離是4,則點P到該拋物線焦點的距離是_解析:由題意知P到拋物線準線的距離為4(2)6,由拋物線的定義知,點P到拋物線焦點的距離也是6.答案:63已知過拋物線y24x的焦點F的直線交該拋物線于A、B兩點,AF2,則BF_.解析:因為AF2,所以xA(1)2.所以xA1,所以A(1,2)又F(1,0),所以BFAF2.答案:24當a為任何
2、值時,直線(a1)xy2a10恒過定點P,則過P點的拋物線的標準方程為_解析:由,得定點P(2,3),拋物線過定點P,當焦點在x軸上時,方程為y2x,當焦點在y軸上時,拋物線方程為x2y.答案:y2x或x2y5若動點P到點F(2,0)的距離與它到直線x20的距離相等,則點P的軌跡方程為_解析:由拋物線的定義可知,點P的軌跡是以(2,0)為焦點,以x2為準線的拋物線,其方程為y28x.答案:y28x6已知拋物線y22px的準線與雙曲線x2y22的左準線重合,則拋物線的焦點坐標為_解析:拋物線y22px的準線方程為x.又曲線x2y22的左準線為x1.故有1,p2.則拋物線方程為y24x,焦點坐標為
3、(1,0)答案:(1,0)7已知拋物線y22px(p0)的準線與圓(x3)2y216相切,則p的值為_解析:由已知,可知拋物線的準線x與圓(x3)2y216相切,圓心為(3,0),半徑為4,圓心到直線的距離d34,解得p2.答案:28(2012南京調(diào)研)已知點A(2,1),y24x的焦點是F,P是y24x上的點,為使|PA|PF|取得最小值,P點的坐標是_解析:過P作PKl(l為拋物線的準線)于K,則|PF|PK|,|PA|PF|PA|PK|,當P點的縱坐標與A點的縱坐標相同時,|PA|PK|最小,此時P點的縱坐標為1,把y1代入y24x得x.即當P點的坐標為時,|PA|PF|最小答案:二、解
4、答題9.如圖所示,直線l1和l2相交于點M,l1l2,點Nl1,以A、B為端點的曲線段C上的任一點到l2的距離與到點N的距離相等若AMN為銳角三角形,|AM|,|AN|3,且|NB|6,建立適當?shù)淖鴺讼?,求曲線段C的方程解:以直線l1為x軸,線段MN的垂直平分線為y軸,建立直角坐標系,由條件可知,曲線C是以點N為焦點,以l2為準線的拋物線的一段,其中A、B分別為C的端點設(shè)曲線C的方程為y22px(p0)(xAxxB,y0),其中xA、xB為A、B的橫坐標,p|MN|,所以M,N.由|AM|,|AN|3,得22pxA17,22pxA9.聯(lián)立解得xA,代入式,并由p0,解得或因為AMN為銳角三角形
5、,所以xA,故舍去由點B在曲線C上,得xB|BN|4.綜上,曲線C的方程為y28x(1x4,y0)10已知拋物線C:x22py(p0),其焦點F到準線的距離為.(1)試求拋物線C的方程;(2)設(shè)拋物線C上一點P的橫坐標為t(t0),過P的直線交C于另一點Q,交x軸于M,過點Q作PQ的垂線交C于另一點N,若MN是C的切線,求t的最小值解:(1)焦點F到準線的距離為,p.故拋物線C的方程為x2y.(2)設(shè)P(t,t2),Q(x,x2),N(x0,x),則直線MN的方程為yx2x0(xx0)令y0,得M,kPM,kNQx0x.NQQP,且兩直線斜率存在,kPMkNQ1,即(x0x)1,整理,得x0.
6、又Q(x,x2)在直線PM上,則與共線,得x0,由,得(t0),t,t或t(舍去)所求t的最小值為.B級能力提升一、填空題1(2012無錫質(zhì)檢)已知拋物線y2x2上任意一點P,則點P到直線x2y80的距離的最小值為_解析:設(shè)P(x0,y0),則點P到直線x2y80的距離d.又點P在拋物線y2x2上,所以y02x,所以d|4xx08|,所以當x0時,dmin.答案:2若過點P(2,1)的直線l與拋物線y24x交于A、B兩點,且(),則直線l的方程為_解析:由(),則P為AB中點,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)(x1x2),則x1x24,y1y22,又y4x1,y4x2,(y1y2)(y1y
7、2)4(x1x2),2.l斜率為2、l的方程為y12(x2)即2xy30.答案:2xy303已知拋物線y22x,直線AB交拋物線于A,B兩點,交x軸正半軸于點M(m,0)若0(O為坐標原點),則m的值是_解析:設(shè)A,B.由0,得y1y20.當直線AB的斜率存在時,設(shè)為k(k0,m0),則直線AB的方程為yk(xm)由得ky22y2km0,而48k2m0恒成立,所以滿足條件又y1y22m,所以m22m0,則m2或m0(舍去),所以m2.當直線AB的斜率不存在時,則A(m,),B(m,)由0,則m22m0,所以m2或m0(舍去),所以m2.綜上,得m2.答案:24(2010高考湖南卷)過拋物線x2
8、2py(p0)的焦點作斜率為1的直線與該拋物線交于A,B兩點,A,B在x軸上的正射影分別為D,C.若梯形ABCD的面積為12,則p_.解析:依題意,拋物線的焦點F的坐標為,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),直線AB的方程為yx,代入拋物線方程得,y23py0,故y1y23p,|AB|AF|BF|y1y2p4p,直角梯形有一個內(nèi)角為45,故|CD|AB|4p2p,梯形面積為|CD|3p2p3p212,p2.答案:2二、解答題5(2010高考福建卷)已知拋物線C:y22px(p0)過點A(1,2)(1)求拋物線C的方程,并求其準線方程;(2)是否存在平行于OA(O為坐標原點)的直線l,使得直線
9、l與拋物線C有公共點,且直線OA與l的距離等于?若存在,求直線l的方程;若不存在,說明理由解:(1)將(1,2)代入y22px,得(2)22p1,所以p2.故所求拋物線C的方程為y24x,其準線方程為x1.(2)假設(shè)存在符合題意的直線l,其方程為y2xt.由得y22y2t0.直線l與拋物線C有公共點,48t0,解之得t.由直線OA與l的距離d,可得,t1.1,),1,)故符合題意的直線l存在,其方程為2xy10.6.如圖所示,M是拋物線y2x上的一點,動弦ME、MF分別交x軸于A、B兩點,且MAMB.(1)若M為定點,證明:直線EF的斜率為定值;(2)若M為動點,N(a,0)(其中aR)是x軸上一點,求|MN|的最小值解:(1)證明:設(shè)M(y,y0),直線ME的斜率為k(k0),則直線MF的斜率為k,直線ME的方程為yy0k(xy)由消去x,得ky2yy0(1ky0)0.解得yE,xE.同理,yF,xF.kEF(定值)所以直線EF的斜率為定值(2)設(shè)M(x0,y0),則yx0(x00)|MN|,x00,當0,即a時,|MN|min|a|;當0,即a時,|MN|min.|MN|min