《2013高考數(shù)學(xué) 多考點(diǎn)綜合練 立體幾何 理 新人教A版》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2013高考數(shù)學(xué) 多考點(diǎn)綜合練 立體幾何 理 新人教A版（19頁珍藏版）》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、多考點(diǎn)綜合練(五)測試內(nèi)容：立體幾何(時間：120分鐘滿分：150分)一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分)1如下圖，某幾何體的正視圖與側(cè)視圖都是邊長為1的正方形，且體積為，則該幾何體的俯視圖可以是()解析：法一：體積為，而高為1，故底面積為，選C.法二：選項(xiàng)A得到的幾何體為正方體，其體積為1，故排除A；而選項(xiàng)B、D所得幾何體的體積都與有關(guān)，排除B、D；易知選項(xiàng)C符合答案：C2已知水平放置的ABC的直觀圖ABC(斜二測畫法)是邊長為a的正三角形，則原ABC的面積為()A.a2B.a2C.a2D.a2解析：斜二測畫法中原圖面積與直觀圖面積之比為1，則易知S(a)2，Sa2.故選D.

2、答案：D3已知直線a、b和平面，下列推理錯誤的是()A.ab B.bC.a或a D.ab解析：對于D項(xiàng)，可能ab，或a，b異面答案：D4(2011年安徽)一個空間幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為()A48 B328C488 D80解析：由三視圖可知幾何體是底面是等腰梯形的直棱柱，底面等腰梯形的上底為2，下底為4，高為4，兩底面積和為2(24)424，四個側(cè)面的面積為4(422)248，所以幾何體的表面積為488，故選C.答案：C5在四面體OABC中，a，b，c，D為BC的中點(diǎn)，E為AD的中點(diǎn)，則等于()A.abc B.abcC.abc D.abc解析：本題主要考查空間向量的三角形法

3、則或平行四邊形法則()()()abc，故選D.答案：D6正方體ABCDA1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是AA1，AB的中點(diǎn)，則EF與對角面BDD1B1所成角的度數(shù)是()A30 B45 C60 D150解析：如圖，EFA1B，EF，A1B與對角面BDD1B1所成的角相等，設(shè)正方體的棱長為1，則A1B.連接A1C1，交D1B1于點(diǎn)M，連接BM，則有A1M面BDD1B1，A1BM為A1B與面BDD1B1所成的角RtA1BM中，A1B，A1M，故A1BM30.EF與對角面BDD1B1所成角的度數(shù)是30.答案：A7已知各頂點(diǎn)都在一個球面上的正四棱柱的高為2，這個球的表面積為6，則這個正四棱柱的體積為()A

4、1 B2 C3 D4解析：S表4R26，R，設(shè)正四棱柱底面邊長為x，則(x)21R2，x1，V正四棱柱2.故選B.答案：B8已知平面平面，l，點(diǎn)A，Al，直線ABl，直線ACl，直線m，m，則下列四種位置關(guān)系中，不一定成立的是()AABm BACm CAB DAC解析：ABl，AB，AB，C成立m，m，m平行于與的交線lABm成立，ACm成立AC未必在內(nèi)，AC不一定成立，故選D.答案：D9.如圖，已知直四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面是菱形，且DAB60，ADAA11，F(xiàn)為棱AA1的中點(diǎn)，則點(diǎn)D到平面BFD1的距離為()A.B.C.D1解析：連接DF，BD，設(shè)點(diǎn)D到平面BFD1的距離為h，

5、由VDBFD1VBDFD1，即SBFD1hSDFD1ABsin 60，得h11，h.答案：B10(2011年遼寧)如圖，四棱錐SABCD的底面為正方形，SD底面ABCD，則下列結(jié)論中不正確的是()AACSBBAB平面SCDCSA與平面SBD所成的角等于SC與平面SBD所成的角DAB與SC所成的角等于DC與SA所成的角解析：AC面SBDSB面SBD，ACSB，A正確ABCD，AB平面SCD，B正確可證AC平面SBD，令A(yù)CBDO，連SO，ASO是SA與平面SBD所成角，CSO是SC與平面SBD所成角又SAC是等腰三角形，O是中點(diǎn)，ASOCSO，C正確答案：D11已知三棱錐PABC的四個頂點(diǎn)均在半

6、徑為3的球面上，且滿足0，0，0，則三棱錐PABC的側(cè)面積的最大值為()A9 B18 C36 D72解析：依題意PA、PB、PC兩兩垂直，以PA、PB、PC為棱構(gòu)造長方體，則長方體的體對角線即為球的直徑，PA2PB2PC24R236，S側(cè)(PAPBPBPCPCPA)()18.答案：B12(2012年江西)如圖，已知正四棱錐SABCD所有棱長都為1，點(diǎn)E是側(cè)棱SC上一動點(diǎn)，過點(diǎn)E垂直于SC的截面將正四棱錐分成上、下兩部分記SEx(0x1)，截面下面部分的體積為V(x)，則函數(shù)yV(x)的圖象大致為()解析：當(dāng)x1時，截面只與CD和CB相交，設(shè)交點(diǎn)分別為E1，E2，則下面部分即為三棱錐CEE1E2

7、.此時CE1x，EE1CE，ECE1ECE260，則EE1EE2(1x)，CE1CE22(1x)，則E1E22(1x)，此時V(x)(1x)2(1x)(1x)3.當(dāng)0x時，截面與SD，DA，AB，BS均相交，依次記為F，G，H，M，此時V(x)VEFMCDBVFDGMBH，VEFMCDBVSBCDVSEFM.SEx，則EFEMx，SFSM2x，F(xiàn)M2x，VSEFM2xxx3，又VSBCD11，故VEFMCDBx3.而MF綊HG，設(shè)AC與BD交于點(diǎn)O，AC與GH交于點(diǎn)O1，過M作MPBD于P，過F作FQBD于Q，可得三棱柱MPHFQG為直三棱柱，此時HPMPx，GH2x，則VMPHFQG(x)2

8、2xx(12x)2，又VMBPHVFDQG(x)2(x)(12x)3，故VFDGMBHx(12x)22(12x)3(12x)2(14x)，則此時V(x)x3(12x)2(14x)(6x36x21)故有V(x)V(x)故V(x)在(0，)上為減函數(shù)，在(，)和(，1)上為增函數(shù)，故選A.答案：A二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分)13若向量a(1,1，x)，b(1,2,1)，c(1,1,1)，滿足條件(ca)(2b)2，則x_.解析：由題可知ca(0,0,1x)，所以(ca)(2b)(0,0,1x)2(1,2,1)2(1x)2，從而解得x2.答案：214(2011年天津)一個幾何體

9、的三視圖如圖所示(單位：m)，則該幾何體的體積為_m3.解析：由三視圖可知，該幾何體為下面是長方體，上面是圓錐的組合體，長方體的體積V13216.圓錐的體積V2123該幾何體的體積VV1V26.答案：615(2012年上海)如圖，AD與BC是四面體ABCD中互相垂直的棱，BC2.若AD2c，且ABBDACCD2a，其中a、c為常數(shù)，則四面體ABCD的體積的最大值是_解析：根據(jù)圖形的變化，利用四面體的性質(zhì)和體積公式當(dāng)BABDCACDa，且EF為AD和BC的公垂線段，F(xiàn)為AD的中點(diǎn)時，該幾何體體積V最大，VmaxSAEDBCADEFBC.答案：c16(2012年河北質(zhì)檢)三棱錐PABC的兩側(cè)面PA

10、B，PBC都是邊長為2a的正三角形，ACa，則二面角APBC的大小為_解析：取PB的中點(diǎn)M，連接AM，CM，則AMPB，CMPB，AMC是二面角APBC的平面角由已知易知AMCMa，所以AMC是正三角形，所以AMC60.答案：60三、解答題(本大題共6小題，共70分，17題10分，1822題，每題12分解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)17(2013屆武漢市高三11月調(diào)研)如圖，在四棱錐SABCD中，底面ABCD是正方形，四個側(cè)面都是等邊三角形，AC與BD交于點(diǎn)O，E為側(cè)棱SC上的一點(diǎn)(1)若E為SC的中點(diǎn)，求證：SA平面BDE；(2)求證：平面BDE平面SAC.證明：(1)如圖，連接O

11、E.O是AC的中點(diǎn)，E是SC的中點(diǎn)，OESA，又SA平面BDE，OE平面BDE，SA平面BDE.(2)由已知，得SBSD，O是BD的中點(diǎn)，BDSO.又四邊形ABCD是正方形，BDAC.SOACO，BD平面SAC.BD平面BDE，平面BDE平面SAC.18(2012年湖南)如圖，在四棱錐PABCD中，PA平面ABCD，AB4，BC3，AD5，DABABC90，E是CD的中點(diǎn)(1)證明：CD平面PAE；(2)若直線PB與平面PAE所成的角和PB與平面ABCD所成的角相等，求四棱錐PABCD的體積解：法一：(1)證明：如圖(1)，連接AC.由AB4，BC3，ABC90，得AC5.又AD5，E是CD的

12、中點(diǎn)，所以CDAE.因?yàn)镻A平面ABCD，CD平面ABCD，所以PACD.而PA，AE是平面PAE內(nèi)的兩條相交直線，所以CD平面PAE.(2)過點(diǎn)B作BGCD，分別與AE，AD相交于點(diǎn)F，G，連接PF.由(1)CD平面PAE知，BG平面PAE.于是BPF為直線PB與平面PAE所成的角，且BGAE.由PA平面ABCD知，PBA為直線PB與平面ABCD所成的角由題意PBABPF，因?yàn)閟inPBA，sinBPF，所以PABF，由DABABC90知，ADBC，又BGCD，所以四邊形BCDG是平行四邊形，故GDBC3，于是AG2.在RtBAG中，AB4，AG2，BGAF，所以BG2，BF.于是PABF.

13、又梯形ABCD的面積為S(53)416，所以四棱錐PABCD的體積為VSPA16.法二：(1)證明：如圖(2)，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AD，AP所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系設(shè)PAh，則相關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo)為：A(0,0,0)，B(4,0,0)，C(4,3,0)，D(0,5,0)，E(2,4,0)，P(0,0，h)(1)易知(4,2,0)，(2,4,0)，(0,0，h)因?yàn)?800，0，所以CDAE，CDAP.而AP，AE是平面PAE內(nèi)的兩條相交直線，所以CD平面PAE.(2)由題設(shè)和(1)知，分別是平面PAE，平面ABCD的法向量，而PB與平面PAE所成的角和PB與平面ABCD所

14、成的角相等，所以|cos，|cos，|，即.由(1)知，(4,2,0)，(0,0，h)，又(4,0，h)，故.解得h.又梯形ABCD的面積為S(53)416，所以四棱錐PABCD的體積為VSPA16.19(2012年北京西城區(qū)期末)如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABBC2AA1，ABC90，D是BC的中點(diǎn)(1)求證：A1B平面ADC1；(2)求二面角C1ADC的余弦值；(3)試問線段A1B1上是否存在點(diǎn)E，使AE與DC1成60角？若存在，確定E點(diǎn)位置；若不存在，說明理由解：證明：(1)由ABCA1B1C1是直三棱柱，且ABC90，得BA、BC、BB1兩兩垂直以BC、BA、BB1所在直線

15、分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Bxyz.設(shè)BA2，則B(0,0,0)，C(2,0,0)，A(0,2,0)，C1(2,0,1)，D(1,0,0)，A1(0,2,1)，所以(1，2,0)，(2，2,1)，(0，2，1)設(shè)平面ADC1的法向量為n(x，y，z)，則有所以取y1，得n(2,1，2)n0，n，A1B平面ADC1，A1B平面ADC1.(2)易知平面ADC的一個法向量為(0,0,1)，由(1)知平面ADC1的一個法向量為n(2,1，2)，所以cosn，因?yàn)槎娼荂1ADC是銳二面角，所以二面角C1ADC的余弦值為.(3)假設(shè)存在滿足條件的點(diǎn)E.因?yàn)辄c(diǎn)E在線段A1B1上，

16、A1(0,2,1)，B1(0,0,1)，故可設(shè)E(0，1)，其中02.所以(0，2,1)，(1,0,1)因?yàn)锳E與DC1成60角，所以|cos，|，即|，解得1或3(舍去)所以當(dāng)點(diǎn)E為線段A1B1的中點(diǎn)時，AE與DC1成60角20(2012年浙江)如圖，在四棱錐PABCD中，底面是邊長為2的菱形，BAD120，且PA平面ABCD，PA2，M，N分別為PB，PD的中點(diǎn)(1)證明：MN平面ABCD；(2)過點(diǎn)A作AQPC，垂足為點(diǎn)Q，求二面角AMNQ的平面角的余弦值解：(1)證明：因?yàn)镸，N分別是PB，PD的中點(diǎn)，所以MN是PBD的中位線，所以MNBD.又因?yàn)镸N平面ABCD，所以MN平面ABCD

17、.(2)法一：連接AC交BD于O，以O(shè)為原點(diǎn)，OC，OD所在直線為x，y軸，建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz，如圖所示在菱形ABCD中，BAD120，得ACAB2，BDAB6.又因?yàn)镻A平面ABCD，所以PAAC.在直角PAC中，AC2，PA2，AQPC，得QC2，PQ4.由此知各點(diǎn)坐標(biāo)如下：A(，0,0)，B(0，3,0)，C(，0,0)，D(0,3,0)，P(，0,2)，M(，)，N(，)，Q(，0，)設(shè)m(x，y，z)為平面AMN的法向量，由(，)，(，)知取z1，得m(2，0，1)設(shè)n(x，y，z)為平面QMN的法向量由(，)，(，)，知取z5，得n(2，0,5)于是cosm，n.所以二面角

18、AMNQ的平面角的余弦值為.法二：在菱形ABCD中，BAD120，得ACABBCCDDA，BDAB.又因?yàn)镻A平面ABCD，所以PAAB，PAAC，PAAD.所以PBPCPD.所以PBCPDC.而M，N分別是PB，PD的中點(diǎn)，所以MQNQ，且AMPBPDAN，取線段MN的中點(diǎn)E，連接AE，EQ，則AEMN，QEMN，所以AEQ為二面角AMNQ的平面角由AB2，PA2，故在AMN中，AMAN3，MNBD3，得AE.在直角PAC中，AQPC，得AQ2，QC2，PQ4.在PBC中，cosBPC，得MQ.在等腰MQN中，MQNQ，MN3，得QE.在AEQ中，AE，QE，AQ2，得cosAEQ.所以二面

19、角AMNQ的平面角的余弦值為.21(2012年天津)如圖，在四棱錐PABCD中，PA平面ABCD，ACAD，ABBC，BAC45，PAAD2，AC1.(1)證明PCAD；(2)求二面角APCD的正弦值；(3)設(shè)E為棱PA上的點(diǎn)，滿足異面直線BE與CD所成的角為30，求AE的長解：法一：如圖，以點(diǎn)A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，依題意得A(0,0,0)，D(2,0,0)，C(0,1,0)，B(，0)，P(0,0,2)(1)證明：易得(0,1，2)，(2,0,0)，于是0，所以PCAD.(2)(0,1，2)，(2，1,0)設(shè)平面PCD的法向量n(x，y，z)，則即不妨令z1，可得n(1,2,1)可取平

20、面PAC的法向量m(1,0,0)于是cosm，n，從而sinm，n.所以二面角APCD的正弦值為.(3)設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為(0,0，h)，其中h0,2由此得(，h)由(2，1,0)，故cos，所以，cos 30，解得h，即AE.法二：(1)證明：由PA平面ABCD，可得PAAD，又由ADAC，PAACA，故AD平面PAC，又PC平面PAC，所以PCAD.(2)如圖，作AHPC于點(diǎn)H，連接DH.由PCAD，PCAH，可得PC平面ADH，因此DHPC，從而AHD為二面角APCD的平面角在RtPAC中，PA2，AC1，由此得AH.由(1)知ADAH.故在RtDAH中，DH.因此sinAHD.所以二面角A

21、PCD的正弦值為.(3)如圖，因?yàn)锳DC45，故過點(diǎn)B作CD的平行線必與線段AD相交，設(shè)交點(diǎn)為F，連接BE，EF.故EBF或其補(bǔ)角為異面直線BE與CD所成的角由于BFCD，故AFBADC.在RtDAC中，CD，sinADC，故sinAFB.在AFB中，由，AB，sinFABsin 135，可得BF.由余弦定理，BF2AB2AF22ABAFcosFAB，可得AF.設(shè)AEh.在RtEAF中，EF.在RtBAE中，BE.在EBF中，因?yàn)镋FBE，從而EBF30，由余弦定理得cos 30.可解得h.所以AE.22(2012年安徽)平面圖形ABB1A1C1C如圖1所示，其中BB1C1C是矩形，BC2，B

22、B14，ABAC，A1B1A1C1.現(xiàn)將該平面圖形分別沿BC和B1C1折疊，使ABC與A1B1C1所在平面都與平面BB1C1C垂直，再分別連接A1A，A1B，A1C，得到如圖2所示的空間圖形對此空間圖形解答下列問題(1)證明：AA1BC；(2)求AA1的長；(3)求二面角ABCA1的余弦值解：法一：(向量法)(1)證明：取BC，B1C1的中點(diǎn)分別為D和D1，連接A1D1，DD1，AD.由BB1C1C為矩形知，DD1B1C1.因?yàn)槠矫鍮B1C1C平面A1B1C1，所以DD1平面A1B1C1.又由A1B1A1C1知，A1D1B1C1.故以D1為坐標(biāo)原點(diǎn)，可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D1xyz.由

23、題設(shè)，可得A1D12，AD1.由以上可知AD平面BB1C1C，A1D1平面BB1C1C，于是ADA1D1.所以A(0，1,4)，B(1,0,4)，A1(0,2,0)，C(1,0,4)，D(0,0,4)故(0,3，4)，(2,0,0)，0，因此，即AA1BC.(2)因?yàn)?0,3，4)，所以|5，即AA15.(3)連接A1D.由BCAD，BCAA1，可知BC平面A1AD，BCA1D，所以ADA1為二面角ABCA1的平面角因?yàn)?0，1,0)，(0,2，4)，所以cos，即二面角ABCA1的余弦值為.(或用法向量求解)法二：(綜合法)(1)證明：取BC，B1C1的中點(diǎn)分別為D和D1，連接A1D1，DD

24、1，AD，A1D.由條件可知，BCAD，B1C1A1D1.由上可得AD面BB1C1C，A1D1面BB1C1C，因此ADA1D1，即AD，A1D1確定平面AD1A1D.又因?yàn)镈D1BB1，BB1BC.所以DD1BC.又考慮到ADBC，所以BC平面AD1A1D，故BCAA1.(2)延長A1D1到G點(diǎn)，使GD1AD.連接AG.因?yàn)锳D綊GD1，所以AG綊DD1綊BB1.由于BB1平面A1B1C1，所以AGA1G.由條件可知，A1GA1D1D1G3，AG4，所以AA15.(3)因?yàn)锽C平面AD1A1D，所以ADA1為二面角ABCA1的平面角在RtA1DD1中，DD14，A1D12，解得sinD1DA1，cosADA1cos(D1DA1)，即二面角ABCA1的余弦值為.