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1、合情推理與演繹推理要點講解 一、合情推理之歸納推理與類比推理異同比較 合情推理是數(shù)學(xué)的基本思維過程，也是人們學(xué)習(xí)和生活中經(jīng)常使用的思維方式．在解決問題的過程中，合情推理具有猜側(cè)和發(fā)表結(jié)論，探索和提供思路的作用．有利于創(chuàng)新意識的培養(yǎng)．在能力高考的要求下，推理方法就顯得更加重要．在復(fù)習(xí)中要把推理方法形成自己的解決問題的意識，使得問題的解決有章有法，得心應(yīng)手．合情推理包括歸納推理和類比推理. 歸納推理和類比推理的聯(lián)系: 歸納推理與類比推理都是根據(jù)已有的事實，經(jīng)過觀察、分析、比較、聯(lián)想，再進行歸納、類比，然后提出猜想的推理．由這兩種推理得到的結(jié)論都不一定正確,其正確性有待進一步證明. 歸納推

2、理和類比推理的區(qū)別: (一) 歸納推理 1.歸納推理定義: 由某類事物的部分對象具有某些特征，推出該類事物的全部對象都具有這些特征的推理，或者由個別事實概括出一般結(jié)論的推理，稱為歸納推理（簡稱歸納）．簡言之，歸納推理是由部分到整體、由個別到一般的推理． 說明：歸納推理的思維過程大致如下： 2.歸納推理的特點: （1)歸納推理的前提是幾個已知的特殊現(xiàn)象，歸納所得的結(jié)論是尚屬未知的一般現(xiàn)象，該結(jié)論超越了前提所包容的范圍． (2)由歸納推理得到的結(jié)論具有猜測的性質(zhì)，結(jié)論是否真實，還需經(jīng)過邏輯證明和實踐檢驗．因此，它不能作為數(shù)學(xué)證明的工具． (3)歸納推理是一種具有創(chuàng)造性的推理．

3、通過歸納推理得到的猜想，可以作為進一步研究的起點，幫助人們發(fā)現(xiàn)問題和提出問題． 歸納推理是從個別事實中概括出一般原理的一種推理模型，歸納推理包括不完全歸納法和完全歸納法. 3.歸納推理的一般步驟： ①通過觀察個別情況發(fā)現(xiàn)某些相同本質(zhì)； ②從已知的相同性質(zhì)中推出一個明確表達的一般性命題． 說明：歸納推理基于觀察和實驗，像“瑞雪兆豐年”等農(nóng)諺一樣，是人們根據(jù)長期的實踐經(jīng)驗進行歸納的結(jié)果．物理學(xué)中的波義耳—馬略特定律、化學(xué)中的門捷列夫元素周期表、天文學(xué)中開普勒行星運動定律等，也都是在實驗和觀察的基礎(chǔ)上，通過歸納發(fā)現(xiàn)的． (二).類比推理（以下簡稱類比） 1.類比推理定義:由兩類對象具有

4、某些類似特征和其中一類對象的某些已知特征，推出另一類對象也具有這些特征的推理稱為類比推理（簡稱類比）．簡言之，類比推理是由特殊到特殊的推理． 2. 類比推理的一般步驟： ①找出兩類事物之間的相似性或一致性； ②用一類事物的性質(zhì)去推測另一類事物的性質(zhì)，得出一個明確的命題（猜想）． 3.說明：類比推理的思維過程大致如下圖所示： 類比推理是在兩類不同的事物之間進行對比，找出若干相同或相似點之后，推測在其他方面也可以存在相同或相似之處的一種推理模式．類比推理不象歸納推理那樣局限于同類事物, 同時,類比推理比歸納推理更富于想像,因而也就更具有創(chuàng)造性. 人類在科學(xué)研究中建立的不少假說和教學(xué)中

5、許多重要的定理，公式都是通過類比提出來的,工程技術(shù)中許多創(chuàng)造和發(fā)明也是在類比推理的啟迪下而獲得的．因此，類比推理已成為人類發(fā)現(xiàn)發(fā)明的重要工具. 例1 如圖，①，②，③，…是由花盆擺成的圖案，根據(jù)圖中花盆擺放的規(guī)律，第n個圖形中的花盆數(shù)an= ． 【答案】 an=3n2-3n+1. 【解析】仔細觀察發(fā)現(xiàn):圖案①的花盆數(shù)為:1個, a1=1; 圖案②的花盆中間數(shù)為3,上下兩行都是2個, a2=2+3+2; 圖案③的花盆中間數(shù)為5,上面兩行由下到上分別遞減1個,而且關(guān)于中間行上下對稱, a3=3+4+5+4+3;……;可以猜想: 第n個圖形中的花盆中間數(shù)為2n-1,上面每行由下

6、到上分別遞減1個,最上面有n個,而且關(guān)于中間行上下對稱,因此an=n+(n+1)+…+(2n-1)+…+(n+1) + n=3n2-3n+1. 【評析】上例是利用歸納推理解決問題的.歸納推理分為完全歸納和不完全歸納，由歸納推理所得的結(jié)論雖然未必是可靠的，但它由特殊到一般，由具體到抽象的認(rèn)識功能，對科學(xué)的發(fā)現(xiàn)是十分有用的．觀察、實驗，對有限的資料作歸納整理，提出帶有規(guī)律性的說法，乃是科學(xué)研究的最基本的方法之一. 例2 如圖，過四面體V-ABC的底面上任一點O分別作OA1∥VA，OB1∥VB，OC1∥VC，A1，B1，C1分別是所作直線與側(cè)面交點． 求證：++為定值． 分析 考慮平面上的

7、類似命題：“過△ABC（底）邊 AB上任一點O分別作OA1∥AC，OB1∥BC，分別交BC、AC于A1、B1，求證+為定值”．這一命題利用相似三角形性質(zhì)很容易推出其為定值1．另外，過A、O分別作BC垂線，過B、O分別作AC垂線，則用面積法也不難證明定值為1．于是類比到空間圍形，也可用兩種方法證明其定值為1． 證明：如圖，設(shè)平面OA1 VA∩BC＝M，平面OB1 VB∩AC＝N，平面OC1 VC∩AB=L，則有△MOA1∽△MAV，△NOB1∽△NBV，△LOC1 ∽△ LCV．得 ++=++. 在底面△ABC中，由于AM、BN、CL交于一點O，用面積法易證得： ++=1.∴++=1.

8、 【知識小結(jié)】類比推理是根據(jù)兩個對象有一部分屬性類似，推出這兩個對象的其他屬性亦類似的一種推理方法，例如我們拿分式同分?jǐn)?shù)來類比,平面幾何與立體幾何中的某些對象類比等等．我們必須清楚類比并不是論證，它可以幫助我們發(fā)現(xiàn)真理． 通俗地說，合情推理是指“合乎情理”的推理．?dāng)?shù)學(xué)研究中，得到一個新結(jié)論之前，合情推理常常能幫助我們猜測和發(fā)現(xiàn)結(jié)論；證明一個數(shù)學(xué)結(jié)論之前，合情推理常常能為我們提供證明的思路和方向． 二、從三個角度解決演繹推理問題 角度一：知識梳理 演繹推理的定義：從一般性的原理出發(fā)，推出某個特殊情況下的結(jié)論，這種推理稱為演繹推理． １．演繹推理是由一般到特殊的推理； ２．“三段論”是

9、演繹推理的一般模式；包括　 ⑴大前提---已知的一般原理； ⑵小前提---所研究的特殊情況；　　　　　　　 ⑶結(jié)論-----據(jù)一般原理，對特殊情況做出的判斷． 三段論的基本格式 M—P（M是P） （大前提） S—M（S是M） （小前提） S—P（S是P） （結(jié)論） 3.三段論推理的依據(jù),用集合的觀點來理解: 若集合M的所有元素都具有性質(zhì)P,S是M的一個子集,那么S中所有元素也都具有性質(zhì)P. 角度二：在實踐中體會與解決問題 例1 把“函數(shù)的圖象是一條拋物線”恢復(fù)成完全三段論. 解：二次函數(shù)的圖象是一條拋物線 （大前提） 函數(shù)是二次函數(shù)

10、（小前提） 所以函數(shù)的圖象是一條拋物線 （結(jié)論） 例2 已知lg2=m,計算lg0.8. 解：（1）lgan=nlga(a>0)---------大前提 lg8=lg23————小前提 lg8=3lg2————結(jié)論 lg(a/b)=lga-lgb(a>0,b>0)——大前提 lg0.8=lg(8/10) ——小前提 lg0.8=lg(8/10)——結(jié)論 例3 如圖;在銳角三角形ABC中,AD⊥BC, BE⊥AC, D,E是垂足,求證AB的中點M到D,E的距離相等. 解： (1)因為有一個內(nèi)角是只直角的三角形是直角三角形, ——大前提 在△

11、ABC中,AD⊥BC,即∠ADB=90° —-小前提 所以△ABD是直角三角形 ——結(jié)論 (2)因為直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半,——大前提 因為 DM是直角三角形斜邊上的中線, ——小前提 所以 DM= AB ——結(jié)論 同理 EM=AB 所以 DM=EM. 由此可見，應(yīng)用三段論解決問題時，首先應(yīng)該明確什么是大前提和小前提．但為了敘 述簡潔，如果大前提是顯然的，則可以省略．再來看一個例子． 例4 證明函數(shù)在內(nèi)是增函數(shù)． 分析：證明本例所依據(jù)的大前提是：在某個區(qū)間（a, b）內(nèi)，如果，那

12、么函數(shù)在這個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增． 小前提是:的導(dǎo)數(shù)在區(qū)間內(nèi)滿足，這是證明本例的關(guān)鍵． 證明：. 當(dāng)時，有，所以. 于是根據(jù)“三段論”得在內(nèi)是增函數(shù)． 在演繹推理中，只要前提和推理形式是正確的，結(jié)論必定是正確的． 還有其他的證明方法嗎？ 思考:因為指數(shù)函數(shù)是增函數(shù)，——大前提 而是指數(shù)函數(shù)， ——小前提 所以是增函數(shù)． ——結(jié)論 (1)上面的推理形式正確嗎？ (2)推理的結(jié)論正確嗎？為什么？ 上述推理的形式正確，但大前提是錯誤的（因為當(dāng)時，指數(shù)函數(shù)是減函數(shù)），所以所得的結(jié)論是錯誤的．“三段論”是由古希臘的亞里士多德創(chuàng)立的．亞里士

13、多德還提出了用演繹推理來建立各門學(xué)科體系的思想．例如，歐幾里得的《原本》．就是一個典型的演繹系統(tǒng)，它從10條公理和公設(shè)出發(fā)，利用演繹推理，推出所有其他命題．像這種盡可能少地選取原始概念和一組不加證明的原始命題（公理、公設(shè)），以此為出發(fā)點，應(yīng)用演繹推理，推出盡可能多的結(jié)論的方法，稱為公理化方法． 繼《原本》之后，公理化方法廣泛應(yīng)用于自然科學(xué)、社會科學(xué)領(lǐng)域．例如，牛頓在他的巨著《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》中，以牛頓三定律為公理，運用演繹推理推出關(guān)于天體空間的一系列科學(xué)理論，建立了牛頓力學(xué)的一整套完整的理論體系．至此，我們學(xué)習(xí)了兩種推理方式一一合情推理與演繹推理． 角度三：答疑解惑 1．合情推理與

14、演繹推理的主要區(qū)別是什么？ 歸納和類比是常用的合情推理從推理形式上看，歸納是由部分到整體、個別到一般的推理,類比是由特殊到特殊的推理；而演繹推理是由一般到特殊的推理．從推理所得的結(jié)論來看，合情推理的結(jié)論不一定正確，有待進一步證明；演繹推理在大前提、小前提和推理形式都正確的前提下，得到的結(jié)論一定正確． 人們在認(rèn)識世界的過程中，需要通過觀察、將積累的知識加工、整理，使之條理化、實驗等獲取經(jīng)驗；也需要辨別它們的真系統(tǒng)化．合情推理和演繹推理分別在這兩個環(huán)節(jié)中扮演著重要角色. 就數(shù)學(xué)而言，演繹推理是證明數(shù)學(xué)結(jié)論、建立數(shù)學(xué)體系的重要思維過程，但數(shù)學(xué)結(jié)明思路等的發(fā)現(xiàn)，主要靠合情推理．因此，我們不僅要學(xué)

15、會證明，也要學(xué)會猜想． 2．演繹推理常見錯誤產(chǎn)生的主要原因是： (1)．大前提不成立；(2)．小前提不符合大前提的條件. 3．解答演繹推理題時的方法技巧： （1）緊扣題干內(nèi)容，不要對題中陳述的事實提出任何懷疑，不要被與題中陳述不一致的常理所干擾.題中所給的陳述有的合乎常理，有的可能不太合乎常理.但你心中必須明確，這段陳述在解答過程中被假設(shè)是正確的、不容置疑的.你不能對試題所陳述的事實的正誤提出懷疑，也不能自作聰明地以自己具備的這方面的知識進行推理，得出答案，而完全忽視試題中所陳述的事實. （2）依靠形式邏輯有關(guān)推論法則嚴(yán)格推理，注意大前提、小前提、結(jié)論三者之間的關(guān)系.在演繹推理題中，前提與結(jié)論之間有必然性的聯(lián)系，結(jié)論不能超出前提所界定的范圍.因此，在解答此種試題時，必須緊扣題干部分陳述的內(nèi)容，正確答案應(yīng)與所給的陳述相符.必須注意的是，此類試題的備選答案具有很強的迷惑性，即各個選項幾乎都是有道理的，但有道理并不等于與這段陳述直接相關(guān).正確的答案應(yīng)與陳述直接有關(guān)，即從陳述中直接推出. （3）必要時，可以在草稿紙上用自己設(shè)計的符號來表示推論過程，幫助你記住一些重要信息和推出正確結(jié)論.