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1、考點51 坐標系與參數(shù)方程 一、選擇題 1．（2011·安徽高考理科·Ｔ5）在極坐標系中，點（2，）到圓 的圓心的距離為 （A）2 (B) (C) （D) 【思路點撥】將極坐標系轉(zhuǎn)化為直角坐標系，在直角坐標系中求點到圓心的距離. 【精講精析】選D.由及得，則所以，即圓心坐標為（1,0），而點（2，）在直角坐標系中的坐標為（1，），所以兩點間的距離為 2．（2011·北京高考理科·T3）在極坐標系中，圓的圓心的極坐標是（ ） （A） （B） （C） （D） 【思路點撥】把圓的極坐標方程化為直角坐標方程，求出圓

2、心后，再轉(zhuǎn)換為極坐標. 【精講精析】選B.圓的方程可化為由得，即，圓心，化為極坐標為. 二、填空題 3．（2011·湖南高考理科·T9）在直角坐標系xOy中，曲線的參數(shù)方程為 在極坐標系（與直角坐標系xOy有相同的長度單位，且以原點O為極點，以x軸正半軸為極軸）中，曲線的方程為的交點個數(shù)為______ 【思路點撥】本題主要考查參數(shù)方程和極坐標方程轉(zhuǎn)化為平面直角坐標方程. 【精講精析】答案：2.由得到圓的方程，由 得到直線方程x-y+1=0，因為圓心在直線上，所以直線和圓有兩個交點. 4．（2011·湖南高考文科T9）在直角坐標系xOy中，曲線的參數(shù)方程為在極坐標系（與直角坐標

3、系xOy取相同的長度單位，且以原點O為極點，以x軸正半軸為極軸）中，曲線的方程為 的交點個數(shù)為_________ 【思路點撥】本題主要考查參數(shù)方程和極坐標方程轉(zhuǎn)化為平面直角坐標方程. 【精講精析】答案：2.由得到圓的方程，由 得到直線方程x-y+1=0，因為圓心在直線上，所以直線和圓有兩個交點. 5.（2011·江西高考理科·Ｔ15）（1）（坐標系與參數(shù)方程選做題）若曲線的極坐標方程為=，以極點為原點，極軸為x軸正半軸建立直角坐標系，則該曲線的直角坐標方程為 . 【思路點撥】先根據(jù)求出，再將=，代入即得. 【精講精析】 【答案】 6．（2011·陜西高考

4、理科·T15C）直角坐標系中，以原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，設點A，B分別在曲線：（為參數(shù)）和曲線：上，則的最小值為 ． 【思路點撥】利用化歸思想和數(shù)形結合法，把兩條曲線轉(zhuǎn)化為直角坐標系下的方程． 【精講精析】答案：3 曲線的方程是，曲線的方程是，兩圓外離，所以的最小值為． 7．（2011·陜西高考文科·T15C）（坐標系與參數(shù)方程選做題）直角坐標系中，以原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，設點A，B分別在曲線：（為參數(shù)）和曲線：上，則的最小值為 ． 【思路點撥】利用化歸思想和數(shù)形結合法，把兩條曲線轉(zhuǎn)化為直角坐標系下的

5、方程． 【精講精析】答案：1 曲線的方程是，曲線的方程是，兩圓外離，所以的最小值為． 8.（2011.天津高考理科.T11）.已知拋物線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）若斜率為1的 直線經(jīng)過拋物線的焦點，且與圓相切，則=________. 【思路點撥】化拋物線為普通方程，求出焦點，寫出直線方程，求圓心到直線的距離即可。 【精講精析】答案： 9.（2011·廣東高考理科·Ｔ14）（坐標系與參數(shù)方程選做題）已知兩曲線參數(shù)方程分別為和，它們的交點坐標為 . 【思路點撥】將兩曲線的參數(shù)方程化為普通方程，然后通過解方程組求得交點坐標. 【精講精析】答案： 分別將兩曲線的

6、參數(shù)方程化為普通方程得與，聯(lián)立得，解得（舍去），，得. 三、解答題 10．（2011·福建高考理科·Ｔ21）（2）在直角坐標系xOy中，直線的方程為x-y+4=0，曲線C的參數(shù)方程為. （I）已知在極坐標系（與直角坐標系xOy取相同的長度單位，且以原點O為極點，以x軸正半軸為極軸）中，點P的極坐標為（4，），判斷點P與直線l位置關系； （II）設點Q是曲線C上的一個動點，求它到直線l的距離的最小值. 【思路點撥】（I）將點P的極坐標化為直角坐標，然后代入直線的方程看是否滿足，從而判斷點P與直線的位置關系； （II）將點Q到直線的距離轉(zhuǎn)化為關于的三角函數(shù)式，然后利用三角函數(shù)的知識求最

7、小值. 【精講精析】 （I）把極坐標系下的點化為直角坐標得點. 因為點的直角坐標滿足直線的方程， 所以點在直線上. （II）因為點Q在曲線C上，故可設點Q的坐標為，從而點Q到直線的距離為 由此得，當時，取得最小值，且最小值為 11.（2011·江蘇高考·Ｔ21C）選修4-4：坐標系與參數(shù)方程（本小題滿分10分） 在平面直角坐標系中，求過橢圓（為參數(shù)）的右焦點，且與直線（為參數(shù)）平行的直線的普通方程。 【思路點撥】本題考察的是參數(shù)方程與普通方程的互化、橢圓的基本性質(zhì)、直線方程、兩條直線的位置關系，中檔題。解決本題的關鍵是掌握參數(shù)方程與普通方程的互化原則與技巧。 【精講精析

8、】橢圓的普通方程為右焦點為（4，0），直線（為參數(shù)）的普通方程為，斜率為：；所求直線方程為： 12.（2011·新課標全國高考理科·Ｔ23）在直角坐標系xOy?中，曲線C1的參數(shù)方程為（為參數(shù)）M是C1上的動點，P點滿足,P點的軌跡為曲線C2 (Ⅰ)求C2的方程 (Ⅱ)在以O為極點，x?軸的正半軸為極軸的極坐標系中，射線與C1的異于極點的交點為A，與C2的異于極點的交點為B，求. 【思路點撥】第（１）問，意味著為的中點，設出點的坐標，可由點的參數(shù)方程（曲線的方程）求得點的參數(shù)方程； 第（2）問，先求曲線和的極坐標方程，然后通過極坐標方程，求得射線與的交點的極徑，求得射線與的交點的極徑

9、，最后只需求＝即可. 【精講精析】（I）設P(x,y),則由條件知M().由于M點在C1上，所以 即 從而的參數(shù)方程為 （為參數(shù)） （Ⅱ）曲線的極坐標方程為，曲線的極坐標方程為. 射線與的交點的極徑為， 射線與的交點的極徑為. 所以. 13.（2011·新課標全國高考文科·Ｔ23）在直角坐標系xOy?中，曲線C1的參數(shù)方程為 （為參數(shù)）M是C1上的動點，P點滿足,P點的軌跡為曲線C2 (Ⅰ)求C2的方程 (Ⅱ)在以O為極點，x?軸的正半軸為極軸的極坐標系中，射線與C1的異于極點的交點為A，與C2的異于極點的交點為B，求. 【思路點撥】第（１）問，

10、意味著為的中點，設出點的坐標，可由點的參數(shù)方程（曲線的方程）求得點的參數(shù)方程； 第（2）問，先求曲線和的極坐標方程，然后通過極坐標方程，求得射線與的交點的極徑，求得射線與的交點的極徑，最后只需求＝即可. 【精講精析】（I）設P(x,y),則由條件知M().由于M點在C1上，所以 即 從而的參數(shù)方程為 （為參數(shù)） （Ⅱ）曲線的極坐標方程為，曲線的極坐標方程為. 射線與的交點的極徑為， 射線與的交點的極徑為. 所以 14.（2011·遼寧高考理科·Ｔ23）（本小題滿分10分）（選修4-4：坐標系與參數(shù)方程）在平面直角坐標系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為，曲

11、線C2的參數(shù)方程為.在以O為極點，x軸的正半軸為極軸的極坐標系中，射線l：θ=a與C1，C2各有一個交點．當a=0時，這兩個交點間的距離為2，當a=時，這兩個交點重合． （I）分別說明C1，C2是什么曲線，并求出a與b的值； （II）設當=時，l與C1，C2的交點分別為A1，B1，當a=-時，l與C1， C2的交點為A2，B2，求四邊形A1A2B2B1的面積． 【思路點撥】(Ⅰ)先求坐標，利用條件求與的值；(II)先寫出，的普通方程，再依次求出A1、A2、B2、B1的橫坐標，最后求等腰梯形A1A2B2B1的面積． 【精講精析】(Ⅰ)是圓，是橢圓. 當時，射線與，交點的直角坐標分別為，因為這兩點間的距離為2，且,所以. 當時，射線與，交點的直角坐標分別為，因為這兩點重合，所以. （Ⅱ），的普通方程分別為和. 當時，射線與交點的橫坐標為，與交點的橫坐標為. 當時，射線與，的兩個交點分別與，關于軸對稱，因此四邊形為等腰梯形. 故四邊形的面積為.