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1、導(dǎo)數(shù)參數(shù)范圍數(shù)學(xué)高考G.導(dǎo)數(shù)，高考中新的“經(jīng)濟(jì)”增長點1、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性問題設(shè)函數(shù)y=f(x)在某個區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，如果f(x)0，則f(x)為增函數(shù)；如果f(x)0則f(x)為減函數(shù)。反之亦然。高考常以函數(shù)單調(diào)區(qū)間、單調(diào)性證明等問題為載體，考查導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性質(zhì)和分類討論思想的應(yīng)用。(20)(安徽文 本小題滿分14分)設(shè)函數(shù)f（x）=-cos2x-4tsincos+4t2+t2-3t+4,xR,其中1，將f(x)的最小值記為g(t).()求g(t)的表達(dá)式；()討論g(t)在區(qū)間（-1,1）內(nèi)的單調(diào)性并求極值.20（福建文 本小題滿分12分）設(shè)函數(shù)（）求的最小值；（）若對恒成立，求實數(shù)的取

2、值范圍2、利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)極（最）值問題設(shè)y=f(x)為可導(dǎo)函數(shù)，函數(shù)f(x)在某點取得極值的充要條件是該點的導(dǎo)數(shù)為零或不存在且該點兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)異號；定義在閉區(qū)間上的初等函數(shù)必存在最值，它只能在區(qū)間的端點或區(qū)間內(nèi)的極值點取得。高考常結(jié)合求函數(shù)極值(最值)、參數(shù)取值范圍、解決數(shù)學(xué)應(yīng)用等問題考查導(dǎo)數(shù)最值性質(zhì)在函數(shù)問題中的應(yīng)用。19（北京理 本小題共13分）如圖，有一塊半橢圓形鋼板，其半軸長為，短半軸長為，計劃將此鋼板切割成等腰梯形的形狀，下底是半橢圓的短軸，上底的端點在橢圓上，記，梯形面積為（I）求面積以為自變量的函數(shù)式，并寫出其定義域；（II）求面積的最大值19（湖南理 本小題滿分12分）如圖4，

3、某地為了開發(fā)旅游資源，欲修建一條連接風(fēng)景點和居民區(qū)的公路，點所在的山坡面與山腳所在水平面所成的二面角為（），且，點到平面的距離（km）沿山腳原有一段筆直的公路可供利用從點到山腳修路的造價為萬元/km，原有公路改建費用為萬元/km當(dāng)山坡上公路長度為km（）時，其造價為萬元已知，（I）在上求一點，使沿折線修建公路的總造價最?。唬↖I） 對于（I）中得到的點，在上求一點，使沿折線修建公路的總造價最小（III）在上是否存在兩個不同的點，使沿折線修建公路的總造價小于（II）中得到的最小總造價，證明你的結(jié)論AEDBHP3、利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義解決有關(guān)切線問題函數(shù)f(x)在點x0處的導(dǎo)數(shù)f(x0)是曲線y=f

4、(x)在點(x0.f(x0)處切線的斜率。高考常結(jié)合函數(shù)圖象的切線及其面積、不等式等問題對導(dǎo)數(shù)幾何意義的應(yīng)用進(jìn)行考查。19.(全國二理 本小題滿分12分）已知函數(shù)（1）求曲線在點處的切線方程；（2）設(shè)，如果過點可作曲線的三條切線，證明：4、利用導(dǎo)數(shù)求解參數(shù)的取值范圍或恒成立的不等式問題構(gòu)造函數(shù)，運用導(dǎo)數(shù)在函數(shù)單調(diào)性方面的性質(zhì)，可解決不等式證明、參數(shù)取值范圍等問題。設(shè)置此類試題，旨在考查導(dǎo)數(shù)基礎(chǔ)性、工具性、現(xiàn)代性的作用，以強(qiáng)化數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識。21. (陜西文 本小題滿分12分)已知在區(qū)間0,1上是增函數(shù),在區(qū)間上是減函數(shù),又()求的解析式;()若在區(qū)間(m0)上恒有x成立,求m的取值范圍.（22

5、）（浙江理 本題15分）設(shè)，對任意實數(shù)，記（I）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（II）求證：（）當(dāng)時，對任意正實數(shù)成立；（）有且僅有一個正實數(shù)，使得對任意正實數(shù)成立5、利用導(dǎo)數(shù)知識求解數(shù)列問題數(shù)列是一類特殊的函數(shù)，因此利用導(dǎo)數(shù)的知識來研究數(shù)列的有關(guān)問題，能取到簡化運算的效果。設(shè)函數(shù).()當(dāng)x=6時,求的展開式中二項式系數(shù)最大的項;()對任意的實數(shù)x,證明()是否存在,使得an恒成立?若存在,試證明你的結(jié)論并求出a的值;若不存在,請說明理由.F. 函數(shù)與導(dǎo)數(shù)經(jīng)典例題剖析題型1:函數(shù)的概念及其表示例1、設(shè)函數(shù)則的值為（ ）ABCD例2、已知，則的值等于 例3、設(shè) ，又記則 （ ）A； B； C； D；【解析】

6、:本題考查周期函數(shù)的運算。，據(jù)此，因為型，故選.點評本題考查復(fù)合函數(shù)的求法，以及是函數(shù)周期性，考查學(xué)生觀察問題的能力，通過觀察，關(guān)于總結(jié)、歸納，要有從特殊到一般的思想。題型2:函數(shù)圖象與性質(zhì)例4、“龜兔賽跑”講述了這樣的故事：領(lǐng)先的兔子看著慢慢爬行的烏龜，驕傲起來，睡了一覺，當(dāng)它醒來時，發(fā)現(xiàn)烏龜快到終點了，于是急忙追趕，但為時已晚，烏龜還是先到達(dá)了終點用S1、S2分別表示烏龜和兔子所行的路程，t為時間，則下圖與故事情節(jié)相吻合的是 （ ） A B C D【解析】：選（B），在（B）中，烏龜?shù)竭_(dá)終點時，兔子在同一時間的路程比烏龜短。點評函數(shù)圖象是近年高考的熱點的試題，考查函數(shù)圖象的實際應(yīng)用，考查學(xué)

7、生解決問題、分析問題的能力，在復(fù)習(xí)時應(yīng)引起重視。題型3:函數(shù)的零點例6、函數(shù)的零點所在的區(qū)間是 ）AB（1，10）CD【解析】：因為f（1）010，f（10）10，即f（1）f（10）0，所以函數(shù)f（x）在區(qū)間（1,10）之間有零點。例7、已知a是實數(shù)，函數(shù)，如果函數(shù)在區(qū)間-1，1上有零點，求實數(shù)a的取值范圍?！窘馕觥慨?dāng)a=0時，函數(shù)為f(x)=2x -3，其零點x=不在區(qū)間-1，1上。當(dāng)a0時，函數(shù)f(x) 在區(qū)間-1，1分為兩種情況：函數(shù)在區(qū)間1，1上只有一個零點，此時或解得1a5或a= 函數(shù)在區(qū)間1，1上有兩個零點，此時 或解得a5或a0在(-,+)上恒成立f()=-a-a+20, 即-

8、2a1. -2a0. 綜合、可知，實數(shù)a的取值范圍是-2af(7)Bf(6)f(9)Cf(7)f(9)Df(7)f(10)解析：由已知得y=f(x)的對稱軸為x=8，f(x)在上為減函數(shù)，則f(x)在上為增函數(shù)，所以f(6)=f(10)0，且； （2）方程f(x)=0在(0, 1)內(nèi)有兩個實根. 解析：（1）因為，所以. 由條件a+b+c=0，消去b，得ac0；由條件a+b+c=0，消去c得.故. （2）拋物線的頂點坐標(biāo)為，在的兩邊乘以，得. 又因為，而，所以方程f(x)=0在區(qū)間與內(nèi)分別有一實根. 故方程f(x)=0在(0, 1)內(nèi)有兩個實根. 點評高考對三個“二次”的聯(lián)考，常存常新，特別是

9、充分利用二次函數(shù)的圖象，常使問題的解決顯得直觀明了。函數(shù)與不等式的綜合問題題4設(shè)函數(shù). （1）證明：的導(dǎo)數(shù)；（2）若對所有都有，求a的取值范圍. 解析 （1）略；（2）令，則，（1）若，當(dāng)x0時，故g(x)在(0，+)上為增函數(shù)，所以，x0時，即. （2）若a2，方程的正根為，此時，若，則，故g(x)在該區(qū)間為減函數(shù). 所以，時，即，與題設(shè)相矛盾. 綜上，滿足條件的a的取值范圍是點評：導(dǎo)數(shù)知識與不等式知識的結(jié)合求解一類參數(shù)的取值范圍，是在知識的交匯點上設(shè)計的題目，能考查學(xué)生對各知識點進(jìn)行滲透及綜合分析問題的能力，每年的高考都有不少這樣的題，今年也如此. 1.2 數(shù)列與不等式數(shù)列與不等式既是高考

10、的主干知識，又是數(shù)學(xué)高考的重點內(nèi)容之一，近幾年的高考試題中，既注重數(shù)列、極限等自身內(nèi)容的綜合，也注重考查思維能力，在數(shù)列與不等式這一部分，常以壓軸題的形式出現(xiàn)，它主要從以下幾個部分考查： 等差、等比數(shù)列 題5等差數(shù)列an的前n項和為（1）求數(shù)列的通項與前n項和Sn；（2）設(shè)，求證：數(shù)列bn中任意不同的三項都不可能成為等比數(shù)列. 解析：（1）由已知得故（2）由（1）得. 假設(shè)數(shù)列bn中存在三頂bp、bq、br（p、q、r互不相等）成等比數(shù)列，則，即 與pr矛盾. 所以數(shù)列bn中任意不同的三項都不可能成等比數(shù)列. 點評：本小題考查數(shù)列的基本知識，考查等差數(shù)列的概念、通項公式與前n項和公式，考查等比

11、數(shù)列的概念與性質(zhì)，考查化歸的數(shù)學(xué)思想方法以及推理和運算能力. 遞推數(shù)列. 遞推數(shù)列是近幾年高考命題的一個熱點內(nèi)容之一。?？汲Ｐ履Ｐ突瘹w是解題的常用方法：化歸為等差或等比數(shù)列解決；借助數(shù)學(xué)歸納法解決；推出通項公式解決；直接利用遞推公式推斷數(shù)列的性質(zhì)解決. 題6在數(shù)列an中，其中. 求數(shù)列an的通項公式. 解析方法1：根據(jù)已知條件得，據(jù)此猜想，然后用數(shù)學(xué)歸納法證明如下：（略）方法2：將兩邊同除以，則即：. 令. 則. bn為等差數(shù)列，公差d=1. 且 從而，. 點評解法1通過求出的基礎(chǔ)上，猜想出an的通項公式，然后用數(shù)學(xué)歸納法給出證明，而解法2利用等價轉(zhuǎn)換的思想，將數(shù)列轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列，注重了對能力

12、的考查. 數(shù)列與不等式數(shù)列知識與不等式的內(nèi)容整合在一起，形成了證明不等式、求不等式中的參數(shù)范圍、求數(shù)列中的最大項、最小項、比較數(shù)列中的項的大小關(guān)系、研究數(shù)列的單調(diào)性等問題. 數(shù)列不等式的證明和解決要調(diào)動證明不等式的各種手段，如比較法、放縮法、函數(shù)法、反證法，均值不等式法、數(shù)學(xué)歸納法、分析法等. 因此，這類問題解決方法相當(dāng)豐富，是考查邏輯推理、演譯證明、運算求解、歸納抽象等理性思維推理以及數(shù)學(xué)聯(lián)結(jié)能力的好素材. 題7，已知數(shù)列滿足，并且（為非零參數(shù)，n=2,3,）（1）若成等比數(shù)列，求參數(shù)的取值范圍. （2）當(dāng)0時，證明；（3）當(dāng)1時，證明解析：（1）（略）（2）由已知，及，可得由不等式的性質(zhì)，

13、有另一方面，. 因此，故. (3)當(dāng)1時，由（2）可知又由（2），則從而因此. 點評：本題中的（2）是利用不等式的性質(zhì)進(jìn)行證明的，而（3）利用放縮法轉(zhuǎn)化數(shù)列求和進(jìn)行證明的. 1.3 三角與向量 三角的恒等變換 題8已知且. （1）求值；（2）求. 解析：（1）由得于是（2）由，得又. 由得 所以點評：本題考查三角恒等變形的主要基本公式，三角函數(shù)值的符號、已知三角函數(shù)值求角以及計算能力. 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì). 題9函數(shù)的圖象為C. 圖象C關(guān)于直線對稱；函數(shù)f(x)在區(qū)間內(nèi)是增函數(shù)；由的圖象向右平移個單位長度可以得到圖象C. 以上三個論斷中，正確論斷的序號是 。解析將代入函數(shù)得3.正確；令，即正

14、確；將x的圖象向右平移個單位得錯誤，答案：. 點評：考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì). 向量的運算. 向量的平行、垂直及平面向量的數(shù)量積是向量運算中的重要的考點，2008年仍在此命題，仍以客觀題出現(xiàn). 例10如圖，在四邊形ABCD中，則的值為（ ）A2BC4D解析：又，且BDDC,AB/DC. 延長AB到E，使BEDC（如圖），連CE，則CDDB. CEAE，AEC是等腰直角三角形，EAC45. 答案C點評：本題考查向量的基本運算. 三角形內(nèi)的三角函數(shù). 三角形內(nèi)的三角函數(shù)問題主要考查解三角形、三角形形狀的判定，三角形內(nèi)的恒等變換. 題11已知ABC的周長為，且（1）求邊AB的長；（2）若ABC的面積

15、為，求角C的度數(shù). 解析（I）由題意及正弦定理，得兩式相減，得AB1.（II）由ABC的面積得由余弦定理，得. 點評：本題充分利用正弦定理和余弦定理解三角形. 1.4 排列、組合、二項式定理、概率與統(tǒng)計 排列組合問題. 具體解題策略如下：（1）相鄰問題，捆綁為一；（2）不相鄰問題，插空處理；（3）特殊優(yōu)先，一般在后；（4）定序問題只選不排（或先排后除）；（5）元素相同排列，定序處理；（6）條件交叉，容斥原理；（7）平均分堆，先分后除；（8）不同球入盒，先分堆后排列；（9）相同球入盒，隔板處理；（10）正難則反，排除法處理； 二項式定理. 二項式定理主要考查二項展開式及展開式的通項，并利用通項求

16、特征項或特征項的系數(shù)，并注意系數(shù)與二項式系數(shù)的區(qū)別。一般以客觀題形式出現(xiàn)，題目較為基礎(chǔ). 概率與統(tǒng)計. 概率與統(tǒng)計的引入拓寬了應(yīng)用問題取材的范圍，概率的計算、離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的計算等內(nèi)容都是考查實踐能力的極好素材. 由于中學(xué)數(shù)學(xué)中所學(xué)習(xí)的概率與統(tǒng)計內(nèi)容是這一數(shù)學(xué)分支中最基礎(chǔ)的內(nèi)容，考慮到教學(xué)實際和學(xué)生的生活實際，高考對這部分內(nèi)容的考查貼近考生生活，注重考查基礎(chǔ)知識和基本方法. 隨機(jī)變量是理科高考的必考內(nèi)容，其中理科離散型隨機(jī)變量的分布列、期望與方差最熱點. 題型以解答題為主，以選擇題、填空題為輔. 這種形勢有可能發(fā)生變化，即有可能轉(zhuǎn)變?yōu)橐钥陀^題為主. 文科主要是抽樣方法的考查，

17、以客觀題為主. 題12在醫(yī)學(xué)生物學(xué)試驗中，經(jīng)常以果蠅作為試驗對象，一個關(guān)有6只果蠅的籠子里，不慎混入了兩只蒼蠅（此時籠內(nèi)有8只蠅子：6只果蠅和2只蒼蠅），只好將籠子打開一個小孔，讓蠅子一只一只往外飛，直到兩只蒼蠅都飛出，再關(guān)閉小孔，以表示籠內(nèi)還剩下的果蠅的只數(shù). （1）寫出的分布列（不要求寫出計算過程）；（2）求數(shù)學(xué)期望E；（3）求概率P（E）. 解析：（1）的分布列為0123456P（2）數(shù)學(xué)期望為（3）所求的概率為點評：本小題主要考查等可能場合下的事件概率的計算、離散型隨機(jī)變量的分布列、數(shù)學(xué)期望的概念及其計算，考查分析問題及解決實際問題的能力. 1.5 立體幾何立體幾何的線面關(guān)系是重點考查

18、內(nèi)容，特別要注意的是，對一道試題可以用二種方法選用，特別強(qiáng)調(diào)用向量法解決問題. 其中，一線與一面垂直是熱點，中點是?？?，正方體是重要模型?？傊?，立體幾何常從以下幾個方面考查. 位置關(guān)系的判斷或證明. 題13 已知兩條直線m、n，兩個平面、，給出下面四個命題：mn, m n； /，m, nm/nmn, mn； ，mn，mn；其中正確的序號是（ ）A、B、C、D、解析：由，m, nmn或m、n異面，錯由mn，man或n, 錯，故選C.答案：C. 點評：本題考查兩直線與平面垂直問題，是兩平行直線垂直同一平面，是兩平行直線與兩平行平面中的一個垂直，則與另一平面也垂直. 空間的距離和空間的角題14 如圖

19、所示，正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱長都為2，D為CC1的中點. （1）求證：AB1平面A1BD；（2）求二面角AA1DB的大小；（3）求點C到平面A1BD的距離；解析：（1）取BC 中點O，連結(jié)AO，正三棱柱ABCA1B1C1中，平面ABC平面BCC1B1，AO平面BCC1B1，連結(jié)B1O，在正方形BB1C1C中，O、D分別為BC、CC1的中點，B1OBD，AB1BD. 在正方形ABB1A1中，AB1A1B，AB1平面A1BD. （2）設(shè)AB1與A1B交于點G，在平面A1BD中，作CFA1D于F，連結(jié)AF，由（1）得AB1平面A1BD，AFA1D, AFG為二面角AAD1B的平面角. 在

20、AA1D中，由等面積法可求得AF=,又，所以二面角AA1DB的大小為. （3）A1BD中，BD=A1D=，在正三棱柱中，A1到平面BCC1B1的距離為設(shè)點C到平面A1BD的距離為d. 由得 點C到平面A1BD的距離為. 點評：本題主要考查直線與平面的位置關(guān)系，二面角的大小，點到平面的距離等知識?？疾榭臻g想象能力、邏輯思維能力和運算能力.此題還可以用空間向量的方法解答 有關(guān)面積與體積的計算計算幾何體的體積問題，應(yīng)記住相應(yīng)的幾何體的體積公式，要邊證明邊計算，一般會涉及到割補(bǔ)問題、特定位置問題，涉及到多面體、正棱柱（錐）以及球的性質(zhì)。求體積、面積的最值時，往往還會選擇導(dǎo)數(shù)方法來處理. 題15直三棱柱

21、（以A1B1C1為底面）被一平面所截得到的幾何體，截面為ABC，已知A1B1=B1C1=1，A1B1C1=90，AA1=4，BB1=2，CC1=3，求此幾何體的體積. 解析本題的幾何體體積可轉(zhuǎn)化為求三棱柱A1B1C1A2B2C2和四棱錐BAA2C2C體積的和，由已知，三棱錐A1B1C1A2B2C2和四棱錐BAA2C2C的體積都很容易求解. 過B作截面BA2C2/面A1B1C1，分別交AA1，CC1于A2，C2. 作BHA2C2于H，連CH. A1B1=B1C1=1，所以，=. . .點評本題是將所求幾何體分割成一個三棱柱和一個四棱錐，從而用規(guī)則的幾何體求積方法求解，用割補(bǔ)方法解決此類問題較為合

22、理. 1.6 平面解析幾何圓錐曲線主要從以下四個方面考查：以客觀題的形式考查圓錐曲線的基本概念和性質(zhì)；求平面曲線的方程和軌跡；圓錐曲線的有關(guān)元素計算、關(guān)系證明和范圍確定；涉及與圓錐曲線對稱變換、最值和位置關(guān)系有關(guān)的問題. 綜合以上知識，歸納如下： 直線與圓題16 設(shè)m為實數(shù)，若，則m的取值范圍是 . 解析 題中所給的集合關(guān)系為兩個點集的關(guān)系，記O(0, 0), C(3，4)，借助圖形并結(jié)合分析，若mb0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，A是橢圓上的一點，AF2F1F2，原點O到直線AF1的距離為. （1）（略）（2）設(shè)Q1、Q2為橢圓上兩個動點，OQ1OQ2，過原點O作直線Q1Q2的垂線OD，垂

23、足為D，求點D的軌跡方程. 解析 （II）設(shè)點D(x0, y0)，當(dāng)y00時，ODQ1Q2， ，Q1Q2方程為y=kx+m，Q1(x1, y1), Q2(x2, y2)滿足 ，故, 又，由OQ1OQ2知x1x2+y1y2=0，有. 當(dāng)y0=0時，x=x0, Q1(x1, y1), Q2(x2, y2)滿足， ，由于x1x2+y1y2=0，即 ，D為坐標(biāo)仍滿足方程. 點評 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系是高考中重中之重，應(yīng)熟練掌握解決此類問題的基本思想與方法，即方程組思想，在設(shè)直線方程時，應(yīng)考慮到直線垂直于x軸的特殊情況，分類討論等，在用韋達(dá)定理時，不能忘記0的條件. 定值與最值及參數(shù)的取值范圍題20

24、 設(shè)F1、F2分別是橢圓的左、右焦點. （1）若P是該橢圓上的一個動點，求的最大值和最小值. （2）設(shè)過定點M(0, 2)的直線與橢圓交于不同的兩點A、B，且AOB為銳角（其中O為坐標(biāo)原點），求直線l的斜率k的取值范圍. 解析（1）設(shè)P(x, y)，則，又 x=0時，即點P為橢圓短軸端點時，有最小值2.時，即點P為橢圓長軸端點時，有最大值1. （2）直線x=0不滿足條件，可設(shè)直線,由得 ,，令，得.又，故cos0， .即，又， k24，即2k2. 綜上有.點評 本題是求最值與參數(shù)的取值范圍。這類問題涉及面廣、條件隱蔽，能力要求高。常見思想有： 根據(jù)問題中顯性條件或隱蔽性條件構(gòu)建各變量的不等式組

25、， 如利用圓錐曲線的有界性、判別式、二次方程根的分布，點與曲線的位置關(guān)系（右支、左支等）；根據(jù)變量間的關(guān)系，構(gòu)造變量的目標(biāo)函數(shù)，通過求函數(shù)的值域或最值來確定；根據(jù)平面幾何性質(zhì)求變量的最值. 2. 注重知識交匯交叉，整合重組模式多樣由于高考試題有區(qū)分選拔功能，在考查基礎(chǔ)知識的同時，還要注重能力的考查，確立能力立意命題的指導(dǎo)思想。因此命題時，特別注意知識之間的交叉、滲透與整合，命題者常常在知識的整合、交匯點上設(shè)計試題，應(yīng)當(dāng)特別關(guān)注下列整合模式. 2.1 平面向量與其也知識點的整合由于平面向量具有代數(shù)式與幾何雙重形式的身份，具有極其豐富的數(shù)與形的教學(xué)背景和很強(qiáng)的工具性能，因此成為高考中能力考查的一大

26、新熱點. 平面向量與代數(shù)的整合例如：（湖北卷）已知向量ab，若函數(shù)ab在區(qū)間(1，1)上是增函數(shù)，求t的取值范圍. 答案：t5.平面向量與三角函數(shù)的整合例如：（山東卷，17）已知向量m和n ，且|m+n|=，求. 答案：. 平面向量與解析幾何的整合例如：（全國卷I）已知橢圓的中心為坐標(biāo)原點O，焦點在x軸上，斜率為1，且過橢圓右焦點F的直線交橢圓于A、B兩點，與a（3，1）共線. （1）求橢圓的離心率；（2）設(shè)M為橢圓上任意一點，且，證明為定值. 答案：略平面向量與平面幾何的整合例如：（湖南卷）P是ABC所在平面上一點，若，則點ABC的（ ）A、外心B、內(nèi)心C、重心D、垂心答案：D2.2 數(shù)學(xué)期

27、望與其他知識的整合數(shù)學(xué)期望，作為新增的教學(xué)內(nèi)容，既是教學(xué)重點，又是教學(xué)難點，近年來出現(xiàn)的數(shù)學(xué)期望與其它知識點整合的高考試題，讓人耳目一新. 數(shù)學(xué)期望與函數(shù)的整合例如：（湖南卷）某城市有甲、乙、丙3個旅游景點，一位客人游覽這3個景點的概率分別是0.4，0.5，0.6且客人是否游覽哪個景點互不影響，設(shè)表示客人離開該城市游覽的景點與沒游覽的景點數(shù)之差的絕對值. （1）求的分布列及數(shù)學(xué)期望；（2）記“函數(shù)f(x)=x23x+1在區(qū)間2，+）上的單調(diào)遞增”為事件A，求事件A的概率. 答案：（略）數(shù)學(xué)期望與解析幾何的整合例如：（全國卷III）設(shè)l為平面上過點(0, 1)的直線，l的斜率等可能地取，用表示坐

28、標(biāo)原點到l的距離，則隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望E= . 答案：. 數(shù)學(xué)期望與數(shù)列的整合例如：（廣東卷）箱中裝有大小相同的黃、白兩種顏色的乒乓球，黃、白球的數(shù)量比為s:t，現(xiàn)在從箱中每次任意取出一個球，若取出的是黃球則結(jié)束，若取出的是白球，則將其中放回箱中，并繼續(xù)從箱中任意取出一個球，但取球的次數(shù)最多不超過n次，以表示取球結(jié)束時已取到白球的次數(shù). （1）求的分布列；（2）求的數(shù)學(xué)期望；答案：（略）2.3 導(dǎo)數(shù)與其他知識的整合導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的重要工具，近兩年來已出現(xiàn)導(dǎo)數(shù)在研究不等式及向量、三角函數(shù)等方面的綜合試題. 導(dǎo)數(shù)與不等式的整合例如：（湖南卷）設(shè)f(x)、g(x)分別定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x0時，且

29、g(3)=0，則不等式f(x)g(x)0的解集是（ ）A、B、C、D、答案D三角導(dǎo)數(shù)與向量的整合例如：（江西卷）已知向量a，b=，令f(x)ab，是否存在實數(shù)，使（其中是f(x)的導(dǎo)函數(shù)），若存在，則求出x的值；若不存在，則證明之. 簡解：由，得，但此時無意義，故不存在這樣的實數(shù)x. 3. 應(yīng)用問題有規(guī)可循，偶爾出人意料之外應(yīng)用性問題，近年來，一改過去應(yīng)用問題局限于函數(shù)及不等式的范疇，在線性規(guī)劃、導(dǎo)數(shù)及概率、期望兩年內(nèi)就出現(xiàn)許多內(nèi)容新穎、貼近生活的優(yōu)秀試題，2008年應(yīng)重點關(guān)注下列4種模式的應(yīng)用題. 3.1利用線性規(guī)劃求值例如：（湖北卷）某實驗室需購某種化工原料106kg，現(xiàn)在市場上該原料有兩

30、種包裝，一種是每袋35kg，價格為140元；另一各是每袋24kg，價格為120元，在滿足需要的條件下，最少要花費 元. 解析：設(shè)購買35kg的x袋，24kg的y袋，則35x+24y106,xN, yN, 共要花費z=140x+120y. 作出35x+24y106，xN, yN對應(yīng)的可行域，目標(biāo)函數(shù)z=140x+120y在格點（1，3）處取最小值500元，填500.3.2利用導(dǎo)數(shù)求最值例如（遼寧卷）甲方是一農(nóng)場，乙方是一工廠. 由于乙方生產(chǎn)需占用甲方的資源，因此甲方有權(quán)向乙方索賠以彌補(bǔ)經(jīng)濟(jì)損失并獲得一定凈收入，在乙方不賠付的甲方的情況下，乙方的利潤x(元)與年產(chǎn)量(t)噸滿足函數(shù)關(guān)系x=2000

31、.若乙方每生產(chǎn)一噸產(chǎn)品必須賠付甲方s元（以下稱s為賠付價格）；(1)將乙方的年利潤w（元）表示為年產(chǎn)量t(噸)的函數(shù)，并求出乙方獲得最大利潤的年產(chǎn)量；（2）甲方每年受乙方生產(chǎn)影響的經(jīng)濟(jì)損失金額y=0.002t2(元)，在乙方按照獲得最大利潤的產(chǎn)量進(jìn)行生產(chǎn)的前提下，甲方要在索賠中獲得最大凈收入，應(yīng)向乙方要求的賠付價格s是多少？ 答案略3.3概率和期望的實際應(yīng)用例如（天津卷）某公司有5萬元資金用于投資開發(fā)項目，如果成功，一年后可獲利12%，一旦失敗，一年后將喪失全部資金的50%，下表是過去200例類似項目開發(fā)的實施結(jié)果. 投資成功投資失敗192次8次則該以司一年后估計可獲收益的期望是 （元）. 答

32、案67603.4正態(tài)分布與線性回歸的應(yīng)用例如（07廣東卷）下表提供了某廠節(jié)能降耗技術(shù)改造后甲產(chǎn)品過程中記錄的產(chǎn)量x（噸）與相應(yīng)的生產(chǎn)能耗y（噸標(biāo)準(zhǔn)煤）的幾組對應(yīng)數(shù)據(jù). x3456y2.5344.5（1）請畫出上表數(shù)據(jù)的散點圖；（2）請根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出y關(guān)于x的線性回歸方程；（3）已知該廠技改前100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)以能耗為90噸標(biāo)準(zhǔn)煤，試根據(jù)（II）求出線性回歸方程，預(yù)測生產(chǎn)100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗比技改前降低多少噸標(biāo)準(zhǔn)煤？（參考數(shù)值：32.5+43+54+64.5=66.5） 答案略又如： 2006年湖北、2007年連續(xù)兩年都考查了正態(tài)分布問題. 4. 高考新題層出不容，設(shè)

33、計線索撲朔迷離4.1 “即時定義”題層出不窮所謂即時定義題，就是在試題的敘述中當(dāng)場給出一個概念，概念的給出常伴有“設(shè)”“稱”“規(guī)定”“定義”等字眼，然后再根據(jù)這個概念現(xiàn)學(xué)現(xiàn)用來解題. 這一類試題考生往往比較陌生，但又有新意. 例如：（遼寧卷）在R上定義運算：，若不等式對任意實數(shù)x成立，則（ ）A、1a1B、0a1時，；（2）對于n6，已知，求證：，（3）求出滿足等式的所有正整數(shù)n. 數(shù)論是數(shù)學(xué)的一個重要分支，整數(shù)的基本性質(zhì)是其中最為重要的部分. 本題具有很多的高等數(shù)學(xué)背景，第1問可由伯努利不等式借助導(dǎo)數(shù)得證，第3問不定方程問題，它具有勾股定理，費爾馬大定理，埃斯柯特猜想等背景，本題選材、立意時

34、代感強(qiáng)，此類試題在高考中較為常見. 以函數(shù)的上下確界為設(shè)計線索例如：定義在D上的函數(shù)f(x)，如果滿足：常數(shù)M0，都有|f(x)|M成立，則稱f(x)是D上的有界函數(shù)，其中M稱為函數(shù)的上界. （1）試判斷函數(shù)在1, 3上是不是有界函數(shù)？請給出證明；（2）若已知質(zhì)點的運動方程為，要使在上的每一時刻的瞬時速度是以M1為的上界的有界函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍. 答案略有界函數(shù)是數(shù)學(xué)分析的一個基本概念。本題以高觀點為背景，通過給出的定義（設(shè)置新情景），考查學(xué)生閱讀、理解、遷移新知識的能力，以及靈活運用函數(shù)知識求解不等式恒成立問題的能力. 以圖論知識為設(shè)計線索例如：對大于或等于2的自然數(shù)m的n次寬冪進(jìn)行如

35、下圖的方式“分裂”，仿此，52的“分裂”中最大的數(shù)是 ，若m3的“分裂”中最小的數(shù)是211，則m的值為 . 圖論作為一個數(shù)學(xué)分支，與計算機(jī)有關(guān)學(xué)科的學(xué)習(xí)與研究有著密切的關(guān)系，本題通過圖形語言傳遞給我們一種信息，即按一定的規(guī)則進(jìn)行“分裂”，本題的求解過程中融入了等差數(shù)列的知識，使試題的創(chuàng)新有了堅實的基礎(chǔ). 以級數(shù)的收斂性為設(shè)計線索例如：設(shè)數(shù)列an的前n項（1）求首項a1與通項an；（2）設(shè) 證明：. 以高等數(shù)學(xué)中的級數(shù)收斂性為背景，以數(shù)列和不等式的知識為載體，考查了轉(zhuǎn)化思想以及分析問題和解決問題的能力，此類問題有時比較復(fù)雜，此時數(shù)學(xué)歸納法和放縮性是基本解法，放縮時應(yīng)注意放縮的目標(biāo)，應(yīng)以我們熟悉的

36、基本求和方法所適用的數(shù)列為準(zhǔn)，此類問題在高考中屢見不鮮. 表述方法帶有高等數(shù)學(xué)色彩的試題還有許多，如函數(shù)的凹凸性、介值定理、行列式、線性有關(guān)、分形幾何等，剖析這類試題，不難看出他們往往以新定義的概念或是簡單解法的形式出現(xiàn)在高考試卷中，充分體現(xiàn)了中學(xué)數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)在形式上、思想方法上或是知識上的和諧銜接，這些題目形式新穎，將各種能力的考查融于一身，已成為高考一道獨特的風(fēng)景，值得引起我們的注意，尤其是能力較強(qiáng)的學(xué)生可在老師指導(dǎo)下，閱讀一點高等數(shù)學(xué)書籍以便爭創(chuàng)高分或滿分. C. 高考題型解題技巧必做題部分由填空題和解答題兩種題型組成如何快速、準(zhǔn)確地進(jìn)行解答，下面介紹一些常用的方法：一、填空題填空題是

37、一種傳統(tǒng)題型，它是一個不完整的陳述句形式，填寫的可能是一個詞語、數(shù)字、符號、數(shù)學(xué)語句等根據(jù)所填寫內(nèi)容的形式，可將填空題分成兩類：一是要求填寫數(shù)值、數(shù)集、數(shù)量關(guān)系的，如方程、不等式的解集，函數(shù)的定義域、值域、最大(小)值，線段的長度，角的度數(shù)等，稱為定量型；二是要求填寫具有某種性質(zhì)的對象或給定某種數(shù)學(xué)對象的性質(zhì)的，如曲線方程、焦點坐標(biāo)、離心率等，稱為定性型填空題的解法大致有以下幾種：直接求解法：直接從題設(shè)條件出發(fā)，利用定義、定理、性質(zhì)、常用結(jié)論等解得結(jié)果；特例求解法：當(dāng)題目暗示結(jié)論唯一或結(jié)果為定值時，可取特例求解；數(shù)形結(jié)合法：借助于圖形進(jìn)行直觀分析，輔以計算得出結(jié)果；等價轉(zhuǎn)化法：把題設(shè)中復(fù)雜的、

38、抽象的問題轉(zhuǎn)化為簡單的、具體的問題來解決；編外公式法：編外公式是指從課本或習(xí)題中總結(jié)出來的“真命題”，用于解答填空題具有起點高、速度快、準(zhǔn)確性強(qiáng)等優(yōu)點；逆向思維法：從未知入手，尋求使結(jié)論成立的原因，從而使問題得解填空題不需要解題過程，可以省去某些步驟，大跨度前進(jìn)，配合心算、速算，力求快速，避免“小題大做”由于只看最后結(jié)果，不設(shè)中間分，因此對正確性要求較高，解答過程中要力求準(zhǔn)確無誤，填寫的結(jié)果要規(guī)范，如結(jié)果要化為最簡，解集要用集合表示，根式要化為最簡，實際量要注意單位等二、解答題2008年數(shù)學(xué)試卷解答題6題共90分，其中前三題屬于中等難度題，后三題是比較難的題，如何在有限的時間內(nèi)發(fā)揮自己的水平，

39、做好做對解答題，對學(xué)生的數(shù)學(xué)成績的影響可是幾分、十幾分甚至更多。根據(jù)以往的經(jīng)驗要做好以下幾點： (一)審題審題，實際上是分析問題和解決問題的思維過程，要保持清醒的頭腦，有清浙的思路審題要慢，要正確審出題意，必須逐字逐句經(jīng)過大腦“過濾”，千萬不要“想當(dāng)然”，一方面要看清題目要求，另一方面是看清題目本身，力求準(zhǔn)確無誤。只有耐心仔細(xì)地審題，準(zhǔn)確地把握題目中的關(guān)鍵詞與量(如“至多至少”，“a0”，自變量的取值范圍等)，從中獲取盡可能多的信息，才能迅速找準(zhǔn)解題方向，這是正確解題的前提因而這一步不圖快審題時要保持清醒的頭腦，一旦某道題目的解答被“卡殼”時，不要緊張，要馬上變換思維方式，換個角度、換個方位去

40、思考，不要自己判定為“死刑”而放棄在歷年大的考試中，常見審題方面出現(xiàn)的毛病是:(1)拿到試卷，急于作答，審題不細(xì)，導(dǎo)致漏筆或不按要求作答，導(dǎo)致失分;(2)審錯題，答案不切題意要求，答案錯誤這些毛病應(yīng)該克服(二)解題要將你的解題策略轉(zhuǎn)化為得分點，就要用準(zhǔn)確完整的數(shù)學(xué)語言將你的解題過程表述出來，這一點往往被一些學(xué)生所忽視對于同一道題目，有的人理解的深，有的人理解的淺，有的人解決的多，有的人解決的少.為了區(qū)分這種情況，高考的閱卷評分辦法是懂多少知識就給多少分.這種方法我們叫它“分段評分”，或者“踩點給分”踩上知識點就得分，踩得多就多得分. “分段得分”的基本精神是：會做的題目力求不失分；部分理解的題

41、目力爭多得分. 1.對于會做的題目，要解決“會而不對，對而不全”這個老大難問題.有的考生拿到題目，明明會做，但最終答案卻是錯的會而不對.有的考生答案雖然對，但中間有邏輯缺陷或概念錯誤，或缺少關(guān)鍵步驟對而不全.因此，會做的題目要特別注意表達(dá)的準(zhǔn)確、考慮的周密、書寫的規(guī)范、語言的科學(xué)，防止被“分段扣點分”.經(jīng)驗表明，對于考生會做的題目，閱卷老師則更注意找其中的合理成分，分段給點分，所以“做不出來的題目得一二分易，做得出來的題目得滿分難”. 會做的題目書寫要快，復(fù)查要慢有了解題思路，書寫文字要快，以贏得時間復(fù)查的時候要特別注意，一是不要全部檢查，因時間不允許，要有針對性地檢查一先檢查是否漏答，再根據(jù)

42、草稿紙上記錄的題號檢查疑惑題目并爭取在這里補(bǔ)上分?jǐn)?shù)二是不要重復(fù)原來的思路，換個思路再思考這個問題，不僅要檢查答案，而且還要檢查問題的性質(zhì)，看看自己是否真的把題目弄清楚了2.對絕大多數(shù)考生來說，更為重要的是如何從拿不下來的題目中分段得點分.我們說，有什么樣的解題策略，就有什么樣的得分策略.把你解題的真實過程原原本本寫出來，就是“分段得分”的全部秘密. （1）缺步解答.如果遇到一個很困難的問題，確實啃不動，一個聰明的解題策略是，將它們分解為一系列的步驟，或者是一個個小問題，先解決問題的一部分，能解決多少就解決多少，能演算幾步就寫幾步，尚未成功不等于失敗.特別是那些解題層次明顯的題目，或者是已經(jīng)程序

43、化了的方法，每一步得分點的演算都可以得分，最后結(jié)論雖然未得出，但分?jǐn)?shù)卻已過半，這叫“大題拿小分”. （2）跳步答題.解題過程卡在某一過渡環(huán)節(jié)上是常見的.這時，我們可以先承認(rèn)中間結(jié)論，往后推，看能否得到結(jié)論.如果不能，說明這個途徑不對，立即改變方向;如果能得出預(yù)期結(jié)論，就回過頭來，集中力量攻克這一“卡殼處”.由于考試時間的限制，“卡殼處”的攻克如果來不及了，就可以把前面的寫下來，再寫出“證實某步之后，繼續(xù)有”一直做到底.也許，后來中間步驟又想出來，這時不要亂七八糟插上去，可補(bǔ)在后面.若題目有兩問，第一問想不出來，可把第一問作“已知”，“先做第二問”，這也是跳步解答. （3）退步解答.“以退求進(jìn)”

44、是一個重要的解題策略.如果你不能解決所提出的問題，那么，你可以從一般退到特殊，從抽象退到具體，從復(fù)雜退到簡單，從整體退到部分，從較強(qiáng)的結(jié)論退到較弱的結(jié)論.總之，退到一個你能夠解決的問題.為了不產(chǎn)生“以偏概全”的誤解，應(yīng)開門見山寫上“本題分幾種情況”.這樣，還會為尋找正確的、一般性的解法提供有意義的啟發(fā). （4）輔助解答.一道題目的完整解答，既有主要的實質(zhì)性的步驟，也有次要的輔助性的步驟.實質(zhì)性的步驟未找到之前，找輔助性的步驟是明智之舉.如:準(zhǔn)確作圖，把題目中的條件翻譯成數(shù)學(xué)表達(dá)式，設(shè)應(yīng)用題的未知數(shù)等.答卷中要做到穩(wěn)扎穩(wěn)打，字字有據(jù)，步步準(zhǔn)確，盡量一次成功，提高成功率.試題做完后要認(rèn)真做好解后檢

45、查，答卷是否準(zhǔn)確，所寫字母與題中圖形上的是否一致，格式是否規(guī)范，尤其是要審查字母、符號是否抄錯，在確信萬無一失后方可交卷. (三)處理好“三個”關(guān)系1“會做”與“得分”的關(guān)系許多考生在考試中經(jīng)常是“心中有數(shù)”卻說不清楚，扣分者不在少數(shù)只有重視解題過程的語言表述，“會做”的題才能“得分”2快與準(zhǔn)的關(guān)系在目前題量大、時間緊的情況下，“準(zhǔn)”字則尤為重要只有“準(zhǔn)”才能得分，只有“準(zhǔn)”你才可不必考慮再花時間檢查，而“快”是平時“習(xí)”練的結(jié)果，不是考場上所能解決的問題，一味求快，只會落得錯誤百出適當(dāng)?shù)芈稽c、準(zhǔn)一點，可得多一點分;相反，快一點，錯一片，花了時間還得不到分3難題與容易題的關(guān)系拿到試卷后，應(yīng)將全卷通覽一遍，做到三個