《2013高考數(shù)學(xué) 解題方法攻略 數(shù)列不等式 理》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2013高考數(shù)學(xué) 解題方法攻略 數(shù)列不等式 理（11頁珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、數(shù)列不等式三個(gè)考察點(diǎn)：通項(xiàng)公式求和證不等式一、 通項(xiàng)公式學(xué)校的訓(xùn)練較多這里不詳細(xì)介紹。要熟練掌握：1、 待定系數(shù)法、不動(dòng)點(diǎn)法、特征根法（連續(xù)兩年中有考差）2、 熟悉變形。包括：兩邊同時(shí)除以如、平方、變倒數(shù)、因式分解、取對(duì)數(shù)、換元若不熟悉可以找講義，或者高妙上有介紹3、累加累乘法但是高考一般不會(huì)直白地給出關(guān)系，或者給出常見的通項(xiàng)公式。高考題大多這樣出題：1、 與函數(shù)、解析幾何結(jié)合這個(gè)范圍太泛了不好歸納，難度一般不會(huì)太大，見招拆招即可2、 給出不常規(guī)的通項(xiàng)公式，但有提示比如：=1，8-16+2+5=0（0），=,求通項(xiàng)公式現(xiàn)在不可能把通項(xiàng)公式求出再求，那么顯然需先求出，故變形為=，代入遞推關(guān)系即可

2、得，再乘以即可。還有一種情況便是先讓考生得出、后猜想用數(shù)學(xué)歸納證明，有時(shí)不會(huì)提示考生要猜想，但別的常規(guī)方法得不出通項(xiàng)公式時(shí)要果斷大膽猜想總之，這種題一定要順著提示做通項(xiàng)公式中一定要重視的是累加累乘法看上去似乎很簡(jiǎn)單：但是這卻是解決不等式證明最原始也是最重要的方法。原因很簡(jiǎn)單：高考考的是靈活，除了通項(xiàng)公式的變形，不動(dòng)點(diǎn)法等方法靈活度不大，所以大多所謂的很難想的題目大多歸根到底是遞推。比如：1、 奇偶項(xiàng)不同的數(shù)列。奇項(xiàng)間或者偶項(xiàng)間的遞推（后會(huì)介紹）2、 數(shù)歸。證明的核心便是3、 通過通過與間的關(guān)系得出或或，這是解決（為常數(shù)）。這種對(duì)的運(yùn)用是解決大多數(shù)絕對(duì)值不等式的核心。對(duì)也能靈活運(yùn)用具體后面會(huì)介紹

3、。二、 求和要求等差、等比數(shù)列求和公式、掌握裂項(xiàng)、錯(cuò)位相減一模的裂項(xiàng)需要引起重視，湖南2010文科題考查到這一點(diǎn)：三、 不等式證明大多數(shù)考生認(rèn)為不等式無從下手，其實(shí)熟悉每種證明方法的使用情況、學(xué)會(huì)用逆向思維，絕大多數(shù)不等式可以迎刃而解基本方法有：1、 二項(xiàng)式定理2、 構(gòu)造函數(shù)3、 數(shù)學(xué)歸納法（加強(qiáng)命題）4、 不等式5、 遞推6、 上下聯(lián)系7、 放縮現(xiàn)具體介紹：一、 二項(xiàng)式定理雖然以前習(xí)題有出現(xiàn)，但廣東高考應(yīng)該不會(huì)出現(xiàn)公式的考查側(cè)重點(diǎn)是二項(xiàng)式定理：，運(yùn)用如下：1、 證明:2、 證明:若出現(xiàn)求（k為常數(shù)），萬不得已才可考慮用洛必達(dá)法則，因?yàn)槿?duì)數(shù)后求導(dǎo)比較難（可考慮用貝努力不等式證明單調(diào)性）一般可

4、以用放縮代勞二、 構(gòu)造函數(shù)1、經(jīng)常運(yùn)用在上下聯(lián)系的題目中。這種情況下題目會(huì)提示如何構(gòu)造函數(shù)，難度不大2、構(gòu)造函數(shù)在探究存在性問題中可以用于討論單調(diào)性從而得出結(jié)論3、含指數(shù)、對(duì)數(shù)的不等式可以通過貝努力不等式變換與函數(shù)構(gòu)造結(jié)合使用。Eg：證明：時(shí)，4、含的不等式可能用到函數(shù)構(gòu)造。Eg：證明：（）三、數(shù)學(xué)歸納法證明：能用數(shù)學(xué)歸納法的關(guān)鍵是：、易于推得且或 證明時(shí)要充分利用已知條件，比如：除已知條件外假設(shè)成立時(shí)的不等式是可用的條件；更多時(shí)候直接證明：或 在數(shù)學(xué)歸納法證明：時(shí)經(jīng)常碰到這個(gè)問題：若則，這就有不動(dòng)點(diǎn)的感覺了。有一種加強(qiáng)命題就是用這種方法確定出的上下確界的。Eg：，證明：對(duì)于一切自然數(shù)n都有令

5、，則（不要糾結(jié)的話是多少），故加強(qiáng)命題為： 一方面，另一方面 給出一題較為特殊的考查數(shù)學(xué)歸納法的題目：十年P(guān)160 22題，特殊值法與數(shù)歸的結(jié)合。后有另一種解法（充分利用已知條件）Ex：加強(qiáng)命題如果有明確的通項(xiàng)公式，那么加強(qiáng)命題可以解決大部分題目，很不幸的是這種提醒其實(shí)在高考中很少見。因?yàn)榉趴s的最后一步大多為，所以大多情況可用直接加強(qiáng)命題解決問題。遇到問題首選應(yīng)是放縮后裂項(xiàng)或者轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列如果通項(xiàng)公式中含有，則加強(qiáng)命題為，首先必須保證，通過分離變量得出a取值范圍后再去考慮數(shù)學(xué)歸納法第一步對(duì)a取值的要求，因?yàn)槿粢獣r(shí)加強(qiáng)命題就成立，對(duì)a的取值范圍要求比較高，不一定有合適的數(shù)值，因此可以從、開始加

6、強(qiáng)命題。但是加強(qiáng)命題需要較強(qiáng)的計(jì)算能力，建議在平時(shí)熟悉這種方法加快破題速度下面給出三道習(xí)題（答案見后）：1、 證明：2、 證明：3、 證明：4、 試做四校聯(lián)考（華附省實(shí)深中廣雅）壓軸題（想辦法用加強(qiáng)命題去掉）最后強(qiáng)調(diào)下數(shù)學(xué)歸納法的格式：和假設(shè)前要加序號(hào)證明成功后要寫由可知不等式（ ）成立。四、不等式注意：數(shù)學(xué)歸納法解是證明不了重要不等式的，因此必須基本不等式解決的題不能用數(shù)歸代勞。11年廣東數(shù)列題就是例子不等式真正廣東大題會(huì)考查的就是基本不等式與各種變形（柯西不等式的考查在弱化，雖然一些高考題可以運(yùn)用柯西不等式巧解但技巧性較高，較難想到）：（時(shí)取等）它取自均值不等式，均值不等式是：基本不等式的

7、運(yùn)用于收尾項(xiàng)的放縮，需要注意的是：證明：時(shí)，若用基本不等式首尾并項(xiàng)則需要討論項(xiàng)數(shù)奇偶性，若直接運(yùn)用均值不等式就快多了。Ex: 不等式首尾相加遇到奇偶性問題時(shí)可以考慮用倒敘相加還有就是絕對(duì)值不等式了，后面會(huì)介紹五、遞推我們證明不等式時(shí)有個(gè)誤區(qū)，總覺得必須得到通項(xiàng)公式拉開架勢(shì)去證明心理才有底，其實(shí)有時(shí)即使能得到復(fù)雜的通項(xiàng)公式，對(duì)與證明不等式反而會(huì)加大難度。而我們看到與是不等關(guān)系或者通項(xiàng)公式求不出時(shí)就會(huì)特別緊張，其實(shí)這種題方向極好把握Eg：已知0，記：=，=求證：當(dāng)時(shí)，（1）（2）（3）3第一問作商法、作差法、數(shù)學(xué)歸納法都可以得出，數(shù)歸最容易想到。對(duì)于證明（2）（3）問，顯然前面介紹的四種方法在這里

8、都失靈了。這就回到證明時(shí)應(yīng)首先考慮的問題：（1）放縮后裂項(xiàng)或者（2）轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列第二問有兩種解法，都是運(yùn)用了前一種思想。第一種方法較為靈活：欲證，只需證：，而由（1）知，故，所以得證第二種解法較容易想到：=，因而從遞推關(guān)系得到，就得出，通過（1）的結(jié)論得證第三問也有兩種方法，都運(yùn)用了第二種思想：若化為等比數(shù)列（），則，即為題中的3的3.所以確定與就是要確定的。而通過與的遞推關(guān)系得出：想辦法從通項(xiàng)公式中湊出或者：，這時(shí)就聯(lián)想，想到用重要不等式降次：，接下來通過與3之間的推敲接順利得出，著就知道需要保留第一項(xiàng)后化為等比數(shù)列： 第二種方法非常巧妙：，則只需證3即可。雖然這兩小問都是同一題，但是以較

9、高的難度體現(xiàn)出解決相鄰項(xiàng)數(shù)間有不等關(guān)系的題的精髓：逆向思維。想辦法用遞推關(guān)系得出與，把這一點(diǎn)解決了一切都好辦了。第二問的方法二、第三問的方法一看似復(fù)雜，其實(shí)是循規(guī)蹈矩得出的。大致思路為：確認(rèn)用哪種遞推；確定通過已知條件逐漸迫近如果把這兩小題都吃透了，那么就可以看回以前所謂的許多壓軸題了：套卷17壓軸（只需小于1即可）套卷14壓軸（運(yùn)用已知條件中的得出）試做：若，（），證：（已知：對(duì)任意成立的充要條件是）六、上下聯(lián)系 上面題目有提示時(shí)優(yōu)先考慮這個(gè)。高考題與奧賽題的區(qū)別就是高考題可以拾級(jí)而上。不等式證明如果不順著出題人的思維走往往容易繞彎子（這不是函數(shù)的特殊值法）。例子：套卷12壓軸題七、放縮這個(gè)

10、課堂上講的最多，補(bǔ)充幾個(gè)少見的不等式即可1、2、3、4、5、6、，證明：令介紹兩種熱門題型：一、絕對(duì)值不等式可以和不等式證明、反證法、函數(shù)（拉格朗日中值定理）相結(jié)合解題誤區(qū)就是老是看絕對(duì)值不順眼想將改為，其實(shí)是自找苦吃。絕對(duì)值不等式本來挺多的：1、2、3、高考題其實(shí)都基本考的是第三個(gè)兩種變形：題目分析：湖南09年壓軸題是需要用第一種遞推思想而且它隱藏了一個(gè)條件：就是是有限的廣東11年一模題最后一問計(jì)算量思維量都比較大，膽子大的人才能完全做出來，當(dāng)長(zhǎng)見識(shí)吧。第二問還是可以很輕松做出來的。試做：是定義在上且滿足如下條件的函數(shù)組成的集合：對(duì)任意的，都有；存在常數(shù)，使得對(duì)任意的，都有.(I)設(shè) ，證明

11、：(II)設(shè)，如果存在，使得，那么這樣的是唯一的；(III) 設(shè)，任取，令，證明：給定正整數(shù)，對(duì)任意的正整數(shù)，成立不等式二、 奇偶項(xiàng)問題最經(jīng)典最難的便是天津2010（十年P(guān)160 17題）、2011的兩題這兩題可以吸取的經(jīng)驗(yàn)有：1、凡是求通項(xiàng)公式中存在就分奇偶項(xiàng)（可能不用求通項(xiàng)公式，直接并項(xiàng)）2、遞推是解決奇偶項(xiàng)數(shù)列通項(xiàng)公式的關(guān)鍵方法3、奇偶項(xiàng)數(shù)列求和證明不等式要分類討論4、11年那題更為復(fù)雜，從第二小問的代換可以看出奇偶項(xiàng)數(shù)列僅憑一對(duì)相鄰項(xiàng)不能完全解決問題，通過3項(xiàng)間的代換才能徹底解決問題5、看似=增加了討論范圍，將變?yōu)椋鋵?shí)有降次的方法。可試做：十年P(guān)160 27題再給出一道經(jīng)典的題：，求

12、證：時(shí)，先看答案：通過逆向思維得：當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)有：則當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)啟示：1、 證明奇偶項(xiàng)求和不等式也可以化為等比數(shù)列（通過并項(xiàng)）2、 證明部分奇偶項(xiàng)求和不等式可先證明n為奇數(shù)（或偶數(shù)）時(shí)成立，再利用證明n為偶數(shù)（或奇數(shù)）時(shí)成立?？偨Y(jié)（不一定齊全，自己可繼續(xù)積累經(jīng)驗(yàn)）：1、 第一原則是上下聯(lián)系2、 盡量化簡(jiǎn)原不等式至方便分析、解決的形態(tài)3、 存在考慮取對(duì)數(shù)后求導(dǎo)或者二項(xiàng)式4、 存在可考慮求導(dǎo)或者去指數(shù)或者直接運(yùn)算5、 存在可以求導(dǎo)或者通過值域定義域的關(guān)系去掉6、 證明或者可考慮：或者；證明：時(shí)可考慮并項(xiàng)7、 如果對(duì)于證明一個(gè)不等式不確定用哪個(gè)方法，多試幾次遇到這種情況總結(jié)出適合自己的方

13、法試用順序例子：一、2012年一模題壓軸題：證明：思路：因?yàn)閮蛇吳蠛突蛘吡秧?xiàng)都不太容易，所以果斷試證：即證：若構(gòu)造函數(shù)因?yàn)榈拇嬖诤茈y求導(dǎo)；若用不等式也因?yàn)榈拇嬖诤茈y運(yùn)用二項(xiàng)式定理證明得出，重要不等式就更難運(yùn)用了；顯然這個(gè)不等式?jīng)]什么好上下聯(lián)系的；放縮其實(shí)自己沒底，于是試試數(shù)歸先直接在草稿紙上算第二步：要證：，現(xiàn)在顯然二項(xiàng)式定理就適用了所以思路就出來了：要證，只需證，再通過數(shù)歸和二項(xiàng)式定理的結(jié)合即可證出二、，（），已知，求證：（上題證得：）題目都有提示了，于是取對(duì)數(shù)，即證：顯然容易遞推后裂項(xiàng)求和，而就變得礙事了，為了遞推求和怎么辦呢？由于上題有，于是將遞推關(guān)系改為：，接下來通過遞推后求和問題便迎

14、刃而解了?？傊?，證不等式一定要運(yùn)用好逆向思維，學(xué)會(huì)預(yù)判。這種思維通過熟悉各種方法使用范圍后，做幾題陌生題，按這種思維應(yīng)該能提供比較明確的思路。答案：數(shù)學(xué)歸納法（全國題）：先特殊值法：若要?jiǎng)t然后巧妙利用已知條件證明單調(diào)性：（數(shù)歸第二步）：接下來就是要證明：，而，分離變量得再次運(yùn)用數(shù)歸證明即為所求即可加強(qiáng)放縮：1、右邊增加后數(shù)歸2、右邊增加，從n2起開始數(shù)歸3、右邊增加，其中常數(shù)可在,2間，從n2起開始數(shù)歸遞推：顯然為，接下來的就是遞推，變形通項(xiàng)公式：由已知條件得絕對(duì)值不等式：第一問：運(yùn)用拉格朗日中值定理，注意對(duì)應(yīng)的性質(zhì)證明，明確寫出二三問直接上答案：（2）設(shè)存在兩個(gè)使得,則由，得，所以，矛盾，故結(jié)論成立。（3），所以+最后祝大家高考順利，考到理想的大學(xué)