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1、考點(diǎn)53 坐標(biāo)系與參數(shù)方程 一、填空題 1.（2012·湖北高考理科·Ｔ16）在直角坐標(biāo)系xOy中，以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知射線與曲線（t為參數(shù)）相較于A，B來兩點(diǎn)，則線段AB的中點(diǎn)的直角坐標(biāo)為_________. 【解題指南】本題考查極坐標(biāo)的意義與參數(shù)方程,可轉(zhuǎn)化為直線與拋物線的交點(diǎn)問題,再利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求解. 【解析】曲線可化為: ,射線可化為,聯(lián)立著兩個方程得:,點(diǎn)A,B的橫坐標(biāo)就是此方程的根, 線段AB的中點(diǎn) . 【答案】. 2.（2012·廣東高考文科·Ｔ14）在平面直角坐標(biāo)系中，曲線和 的參數(shù)方程分別為（為參數(shù)，和（t為參數(shù)），則曲線和的交

2、點(diǎn)坐標(biāo)為 . 【解題指南】解決本題顯然把C1的方程化成普通方程之后，再把C2中點(diǎn)的坐標(biāo)代入C1方程，可求出t，進(jìn)而可確定交點(diǎn)坐標(biāo). 【解析】把的方程化成普通方程為,,兩曲線的交點(diǎn)坐標(biāo)為. 【答案】. 3.（2012·廣東高考理科·Ｔ14）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1和C2的參數(shù)方程分別為和，則曲線C1與C2的交點(diǎn)坐標(biāo)為_______. 【解題指南】解決本題顯然把C2的方程化成普通方程之后，再把C1中點(diǎn)的坐標(biāo)代入C2方程，可求出t，進(jìn)而可確定交點(diǎn)坐標(biāo). 【解析】把C2的方程化成普通方程為,兩曲線的交點(diǎn)坐標(biāo)為. 【答案】(1,1). 4.（2012·湖南高考

3、文科·Ｔ10）在極坐標(biāo)系中，曲線：與曲線：的一個交點(diǎn)在極軸上，則a=_______. 【解題指南】本題考查直線的極坐標(biāo)方程、圓的極坐標(biāo)方程，直線與圓的位置關(guān)系，考查轉(zhuǎn)化的思想、方程的思想，考查運(yùn)算能力；題型年年有，難度適中.把曲線與曲線的極坐標(biāo)方程都轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程，求出與軸交點(diǎn)，即得.極軸上的點(diǎn)對應(yīng)的角，所以可以取，進(jìn)行求解. 【解析】曲線的直角坐標(biāo)方程是，曲線的普通方程是直角坐標(biāo)方程，因?yàn)榍€C1：與曲線C2：的一個交點(diǎn)在極軸上，所以與軸交點(diǎn)橫坐標(biāo)與值相等，由，知＝. 【答案】. 5.（2012·北京高考理科·Ｔ9）直線(t為參數(shù))與曲線 (α為任意實(shí)數(shù))的交點(diǎn)個數(shù)為

4、 【解題指南】消參后，得到直線與圓的方程，利用圓心到直線的距離與半徑的關(guān)系判斷直線與圓的位置關(guān)系. 【解析】消參后，直線為，曲線為圓。圓心（0，0）到直線的距離為，小于半徑3，所以直線與圓相交，因此，交點(diǎn)個數(shù)為2個. 【答案】2. 6.（2012·陜西高考理科·Ｔ15）直線與圓相交的弦 長為 【解題指南】解方程組求出交點(diǎn)的坐標(biāo),再求弦長；或先化極坐標(biāo)方程為直角坐標(biāo)方程，再求弦長. 【解析】解法一：解方程組得或，所求弦長為2.解法二：直線可化為,即；圓兩邊同乘以得，化為直角坐標(biāo)方程是,解方程組得，∴,∴弦長是. 【答案】. 7.（2012·

5、湖南高考理科·Ｔ9）在直角坐標(biāo)系xOy 中，已知曲線C1： (t為參數(shù))與曲線C2 ： (為參數(shù)，a＞0 ) 有一個公共點(diǎn)在X軸上，則a= . 【解題指南】x軸上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)為0，以此為突破口，逐步解出a的值。 【解析】由y=0知1-2t=0，t=， 【答案】. 8.（2012·安徽高考理科·Ｔ13）在極坐標(biāo)系中，圓的圓心到直線的距離是 . 【解題指南】將極坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為普通方程，根據(jù)點(diǎn)到線的距離公式求距離. 【解析】圓的圓心 直線；點(diǎn)到直線的距離是. 【答案】. 9.（2012·江西高考理科·Ｔ15）曲線C的直角坐標(biāo)方程為x2＋y2-

6、2x=0，以原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，則曲線C的極坐標(biāo)方程為___________. 【解題指南】通過極坐標(biāo)的定義建立曲線C的參數(shù)方程將其代入直角坐標(biāo)方程，化簡整理可得極坐標(biāo)方程. 【解析】設(shè)曲線C的參數(shù)方程為，代入直角坐標(biāo)方程可得，化簡整理得. 【答案】. 10.（2012·天津高考理科·Ｔ12）已知拋物線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），其中p>0,焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線為L，過拋物線上一點(diǎn)M作的垂線，垂足為E，若|EF|=|MF|,點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為3，則=________. 【解題指南】化拋物線為普通方程，求出焦點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)拋物線定義結(jié)合解三角形即可求得值. 【解析】，焦點(diǎn)，過

7、點(diǎn)M做Y軸的垂線，垂足為N，由題意可知，是正三角形，所以，在中，，. 【答案】2. 二、解答題 11.（2012·新課標(biāo)全國高考文科·Ｔ23）與（2012·新課標(biāo)全國高考理科·Ｔ23）相同 已知曲線的參數(shù)方程是，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立坐標(biāo)系，曲線的坐標(biāo)方程是，正方形的頂點(diǎn)都在上，且依逆時針次序排列，點(diǎn)的極坐標(biāo)為. （1）求點(diǎn)的直角坐標(biāo)； （2）設(shè)為上任意一點(diǎn)，求的取值范圍 【解題指南】（1）利用極坐標(biāo)的定義求得A、B、C、D的坐標(biāo)； （2）由方程的參數(shù)式表示出|PA|2+ |PB|2 + |PC|2+ |PD|2關(guān)于的函數(shù)式，利用三角函數(shù)的知識求取值范圍. 【

8、解析】（1）由已知可得 ， ， 即 . (2)設(shè)令，則 . 因?yàn)樗缘娜≈捣秶? 12.（2012·遼寧高考文科·T23）與（2012·遼寧高考理科·T23）相同 在直角坐標(biāo)中，圓，圓. (Ⅰ)在以O(shè)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，分別寫出圓的極坐標(biāo)方程，并求出圓的交點(diǎn)坐標(biāo)(用極坐標(biāo)表示)； (Ⅱ)求出的公共弦的參數(shù)方程. 【解題指南】將直角坐標(biāo)方程化為極坐標(biāo)方程，聯(lián)立，求得交點(diǎn)極坐標(biāo)； 【解析】(1)圓的極坐標(biāo)方程為；圓的極坐標(biāo)方程為； 聯(lián)立方程組，解得。故圓，的交點(diǎn)極坐標(biāo)為. （2）由，及得， 圓，的交點(diǎn)直角坐標(biāo)為 故圓，的公共弦的參數(shù)方程為

9、. 13.（2012·福建高考理科·Ｔ21）在平面直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．已知直線上兩點(diǎn)M，N的極坐標(biāo)分別為,，圓C的參數(shù)方程(為參數(shù))． (Ⅰ) 設(shè)P為線段MN的中點(diǎn)，求直線OP的平面直角坐標(biāo)方程； (Ⅱ) 判斷直線與圓C的位置關(guān)系． 【解題指南】本題主要考查極坐標(biāo)系與直角坐標(biāo)系的互化、圓的參數(shù)方程，利用轉(zhuǎn)化與化歸思想求解. 【解析】（Ⅰ）由題意知，M，N的平面直角坐標(biāo)分別為，， 又P為線段MN的中點(diǎn)，從而P的平面直角坐標(biāo)為 故直線的平面直角坐標(biāo)方程為. （Ⅱ）因?yàn)橹本€上兩點(diǎn)M，N的平面直角坐標(biāo)分別為，， 所以直線的平面直角坐標(biāo)方程為 又圓C的圓心坐標(biāo)為，半徑 ∴圓心到直線的距離為 ∴直線和圓相交. 14.（2012·江蘇高考·Ｔ21）在極坐標(biāo)系中，已知圓C經(jīng)過點(diǎn)，圓心為直線與極軸的交點(diǎn)，求圓C的極坐標(biāo)方程． 【解題指南】根據(jù)圓圓心為直線與極軸的交點(diǎn)求出圓心坐標(biāo)；根據(jù)圓經(jīng)過點(diǎn)求出圓的半徑.從而得到圓的極坐標(biāo)方程. 【解析】∵圓圓心為直線與極軸的交點(diǎn)， ∴在中令，得. ∴圓的圓心坐標(biāo)為（1，0）. ∵圓經(jīng)過點(diǎn)，∴圓的半徑為. ∴圓經(jīng)過極點(diǎn)。∴圓的極坐標(biāo)方程為.