《2013高考數(shù)學(xué) 解題方法攻略 特殊證法 理》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2013高考數(shù)學(xué) 解題方法攻略 特殊證法 理（15頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、數(shù)學(xué)方法之特殊證法【考情分析】近幾年的高考雖然削弱了在不等式證明方面的要求，但像立體幾何中位置關(guān)系的認(rèn)定，數(shù)列關(guān)系式的認(rèn)可以及解析幾何性質(zhì)的證明都是頻頻出現(xiàn)的考試形式。在高考中所占的分值大約在30分左右。這類考題的特點是：（1）立體幾何證明多以線、面間垂直或平行關(guān)系的證明為主，解決此類問題的思路是應(yīng)用好在該部分學(xué)習(xí)的判定定理和性質(zhì)定理即可；（2）數(shù)列題可能是與等差等比數(shù)列定義或性質(zhì)有關(guān)的結(jié)論的證明問題（譬如證明數(shù)列是否為等差或等比數(shù)列，這類題目要應(yīng)用好定義和性質(zhì)公式，技巧性很強）、也可能是復(fù)合不等式知識的或單純等式形式的與自然數(shù)有關(guān)的結(jié)論的證明問題（解題思路是可能應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法或放縮法）；（3

2、）解析幾何中的解答題經(jīng)常與平面幾何圖形相結(jié)合，經(jīng)常判斷一些位置關(guān)系，此類題目的證明多要結(jié)合幾何特征，應(yīng)用好代數(shù)關(guān)系式說明；預(yù)測2012年高考的趨勢為：題型、題量以及出題點還和往年一樣，基本保持不變；【知識交匯】1定義法所謂定義法，就是直接用數(shù)學(xué)定義解決問題。數(shù)學(xué)中的定理、公式、性質(zhì)和法則等，都是由定義和公理推演出來。定義是揭示概念內(nèi)涵的邏輯方法，它通過指出概念所反映的事物的本質(zhì)屬性來明確概念。定義是千百次實踐后的必然結(jié)果，它科學(xué)地反映和揭示了客觀世界的事物的本質(zhì)特點。簡單地說，定義是基本概念對數(shù)學(xué)實體的高度抽象。用定義法解題，是最直接的方法。2反證法反證法是屬于“間接證明法”一類，是從反面的角

3、度思考問題的證明方法，即：肯定題設(shè)而否定結(jié)論，從而導(dǎo)出矛盾推理而得。反證法的實質(zhì)：“若肯定定理的假設(shè)而否定其結(jié)論，就會導(dǎo)致矛盾”。具體地講，反證法就是從否定命題的結(jié)論入手，并把對命題結(jié)論的否定作為推理的已知條件，進行正確的邏輯推理，使之得到與已知條件、已知公理、定理、法則或者已經(jīng)證明為正確的命題等相矛，矛盾的原因是假設(shè)不成立，所以肯定了命題的結(jié)論，從而使命題獲得了證明。反證法的證題模式可以簡要的概括我為“否定推理否定”。即從否定結(jié)論開始，經(jīng)過正確無誤的推理導(dǎo)致邏輯矛盾，達(dá)到新的否定，可以認(rèn)為反證法的基本思想就是“否定之否定”。應(yīng)用反證法證明的主要三步是：否定結(jié)論 推導(dǎo)出矛盾 結(jié)論成立。實施的具

4、體步驟是：第一步，反設(shè)：作出與求證結(jié)論相反的假設(shè)；第二步，歸謬：將反設(shè)作為條件，并由此通過一系列的正確推理導(dǎo)出矛盾；第三步，結(jié)論：說明反設(shè)不成立，從而肯定原命題成立。在應(yīng)用反證法證題時，一定要用到“反設(shè)”進行推理，否則就不是反證法。用反證法證題時，如果欲證明的命題的方面情況只有一種，那么只要將這種情況駁倒了就可以，這種反證法又叫“歸謬法”；如果結(jié)論的方面情況有多種，那么必須將所有的反面情況一一駁倒，才能推斷原結(jié)論成立，這種證法又叫“窮舉法”。一般來講，反證法常用來證明的題型有：命題的結(jié)論以“否定形式”、“至少”或“至多”、“唯一”、“無限”形式出現(xiàn)的命題；或者否定結(jié)論更明顯。具體、簡單的命題；

5、或者直接證明難以下手的命題，改變其思維方向，從結(jié)論入手進行反面思考，問題可能解決得十分干脆。3數(shù)學(xué)歸納法數(shù)學(xué)歸納法是用來證明某些與自然數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題的一種推理方法，在解數(shù)學(xué)題中有著廣泛的應(yīng)用。它是一個遞推的數(shù)學(xué)論證方法，論證的第一步是證明命題在n1(或n)時成立，這是遞推的基礎(chǔ)；第二步是假設(shè)在nk時命題成立，再證明nk1時命題也成立，這是無限遞推下去的理論依據(jù)，它判斷命題的正確性能否由特殊推廣到一般，實際上它使命題的正確性突破了有限，達(dá)到無限。這兩個步驟密切相關(guān)，缺一不可，完成了這兩步，就可以斷定“對任何自然數(shù)（或nn且nN）結(jié)論都正確”。由這兩步可以看出，數(shù)學(xué)歸納法是由遞推實現(xiàn)歸納的，屬于

6、完全歸納。運用數(shù)學(xué)歸納法證明問題時，關(guān)鍵是nk1時命題成立的推證，此步證明要具有目標(biāo)意識，注意與最終要達(dá)到的解題目標(biāo)進行分析比較，以此確定和調(diào)控解題的方向，使差異逐步減小，最終實現(xiàn)目標(biāo)完成解題。運用數(shù)學(xué)歸納法，可以證明下列問題：與自然數(shù)n有關(guān)的恒等式、代數(shù)不等式、三角不等式、數(shù)列問題、幾何問題、整除性問題等等。4不等式的證明方法（1）比較法是證明不等式最基本、最常用、最重要的方法之一。它包括“作差法”與“作商法”，比差法的理論依據(jù)是：比商法的理論依據(jù)是a，bR，那么： 判斷a，b的大小，當(dāng)a，bR時，可以通過判斷ab與0的大小來完成。當(dāng)a，bR時，可以通過判斷與1的大小來完成。比較法這種方法其

7、本質(zhì)就在于單獨討論“a，b”不等式難以證明時，就“ab，”整體討論，使問題遷移“環(huán)境”，給問題帶來新的結(jié)構(gòu)。對ab，變形后與0，1的比較提供可能，這種變形后的式子結(jié)構(gòu)“ab，”能夠和“0，1”比較大小是比較法的精髓。作差法中，對差“ab”的變形方法通常有通分、配方（非負(fù)數(shù)）、因式分解、二次函數(shù)的判別式等。作商法的一般步驟是，求商 變形 判斷與1的大小。方法的選擇：若不等式兩邊含有相同的項，或者作差以后能進行因式分解；能用配方法，能寫成分式判斷其符號，可使用作差法。若不等式兩邊是指數(shù)形式，能使分子、分母變形得到相同結(jié)果的不等式，用作商法比較容易，也就是說，凡適合于求“商”運算，并能比較出商與1的

8、大小的不等式，一般都適合于用作商法證明。（2）綜合法綜合法就是由已知出發(fā)，根據(jù)不等式性質(zhì)，基本不等式等，逐步推導(dǎo)得到所要證明的不等式的一種方法，也就是用因果關(guān)系書寫“從已知出發(fā)”借助不等式性質(zhì)和有關(guān)定理，經(jīng)過逐步的邏輯推理，最后達(dá)到待證不等式得證的全過程，其特點可描述為“執(zhí)因索果”，即從“已知”看“可知”逐步推向“未知”，綜合法證明題邏輯性很強，它要求每步推理都要有依據(jù)。（3）分析法證明不等式，可以從待證的不等式出發(fā)，分析使這個不等式成立的充分條件，把證明不等式轉(zhuǎn)化成為判定這些充分條件是否具備的問題，如果能斷定這些充分條件都已具備，那么就可以斷定原不等式成立，這種證明方法叫做分析法。分析法是從

9、結(jié)論入手，逆求使它成立的充分條件，直到和已知條件溝通為止，概括地說就是“從未知，看需知，逐步靠攏已知”。分析法證明“若A則B”的基本模式是欲證B為真只需證B1為真只需證B2為真只需證A為真，今已知A為真，故B必真其邏輯關(guān)系是（4）放縮法在證明不等式AB時，可以構(gòu)造出數(shù)學(xué)式C，使AC，且CB，則AB得證。其中數(shù)學(xué)式C常常通過將A縮小或?qū)放大而構(gòu)成，它的依據(jù)是不等式的傳遞性，這種證明方法叫做放縮法，用放縮法證明不等式，在高中數(shù)學(xué)中占有一定的比重?！舅枷敕椒ā款}型1：定義法例1（11天津理，20）已知數(shù)列與滿足：， ，且（）求的值；（）設(shè)，證明：是等比數(shù)列；（III）設(shè)證明：本小題主要考查等比數(shù)列

10、的定義、數(shù)列求和等基礎(chǔ)知識，考查運算能力、推理論證能力、綜合分析和解決問題的能力及分類討論的思想方法.滿分14分. （I）解：由 可得又（II）證明：對任意，得將代入，可得即又因此是等比數(shù)列.（III）證明：由（II）可得，于是，對任意，有將以上各式相加，得即，此式當(dāng)k=1時也成立.由式得從而所以，對任意，對于n=1，不等式顯然成立.所以，對任意題型2：反證法例3（2010江西理數(shù)理，22）證明以下命題：（1）對任一正整a,都存在整數(shù)b,c(bc)，使得成等差數(shù)列。（2）存在無窮多個互不相似的三角形，其邊長為正整數(shù)且成等差數(shù)列?！窘馕觥孔鳛閴狠S題，考查數(shù)學(xué)綜合分析問題的能力以及創(chuàng)新能力。 （1

11、）考慮到結(jié)構(gòu)要證，；類似勾股數(shù)進行拼湊。證明：考慮到結(jié)構(gòu)特征，取特值滿足等差數(shù)列，只需取b=5a，c=7a，對一切正整數(shù)a均能成立。結(jié)合第一問的特征，將等差數(shù)列分解，通過一個可做多種結(jié)構(gòu)分解的因式說明構(gòu)成三角形，再證明互不相似，且無窮。證明：當(dāng)成等差數(shù)列，則，分解得：選取關(guān)于n的一個多項式，做兩種途徑的分解對比目標(biāo)式，構(gòu)造，由第一問結(jié)論得，等差數(shù)列成立，考察三角形邊長關(guān)系，可構(gòu)成三角形的三邊。下證互不相似。任取正整數(shù)m，n，若m，相似：則三邊對應(yīng)成比例， 由比例的性質(zhì)得：，與約定不同的值矛盾，故互不相似。 點評：本題證明推出的結(jié)果是與題設(shè)矛盾。例4（11陜西理，21）設(shè)函數(shù)定義在上，導(dǎo)函數(shù)，（

12、1）求的單調(diào)區(qū)間和最小值；（2）討論與的大小關(guān)系；（3）是否存在，使得對任意成立？若存在，求出的取值范圍；若不存在，請說明理由【分析】（1）先求出原函數(shù)，再求得，然后利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性（單調(diào)區(qū)間），并求出最小值；（2）作差法比較，構(gòu)造一個新的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，并由單調(diào)性判斷函數(shù)的正負(fù)；（3）存在性問題通常采用假設(shè)存在，然后進行求解；注意利用前兩問的結(jié)論【解】（1），（為常數(shù)），又，所以，即，；，令，即，解得，當(dāng)時，是減函數(shù)，故區(qū)間在是函數(shù)的減區(qū)間；當(dāng)時，是增函數(shù)，故區(qū)間在是函數(shù)的增區(qū)間；所以是的唯一極值點，且為極小值點，從而是最小值點，所以的最小值是（2），設(shè)，則，當(dāng)時，即

13、，當(dāng)時，因此函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞減，當(dāng)時，=0，；當(dāng)時，=0， （3）滿足條件的不存在證明如下：證法一 假設(shè)存在，使對任意成立，即對任意有 但對上述的，取時，有，這與左邊的不等式矛盾，因此不存在，使對任意成立證法二 假設(shè)存在，使對任意成立，由（1）知，的最小值是，又，而時，的值域為，當(dāng)時，的值域為，從而可以取一個值，使，即,，這與假設(shè)矛盾不存在，使對任意成立題型3：數(shù)學(xué)歸納法例5（11湖南理，22）已知函數(shù)() =，g ()=+。 （）求函數(shù)h ()=()-g ()的零點個數(shù)，并說明理由； （）設(shè)數(shù)列滿足，證明：存在常數(shù)M,使得對于任意的，都有.解析：（I）由知，而，且，則為的一個零點，且在內(nèi)有零點

14、，因此至少有兩個零點解法1：，記，則。當(dāng)時，因此在上單調(diào)遞增，則在內(nèi)至多只有一個零點。又因為，則在內(nèi)有零點，所以在內(nèi)有且只有一個零點。記此零點為，則當(dāng)時，；當(dāng)時，；所以，當(dāng)時，單調(diào)遞減，而，則在內(nèi)無零點；當(dāng)時，單調(diào)遞增，則在內(nèi)至多只有一個零點；從而在內(nèi)至多只有一個零點。綜上所述，有且只有兩個零點。解法2：，記，則。當(dāng)時，因此在上單調(diào)遞增，則在內(nèi)至多只有一個零點。因此在內(nèi)也至多只有一個零點，綜上所述，有且只有兩個零點。（II）記的正零點為，即。（1）當(dāng)時，由，即.而，因此，由此猜測：。下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)時，顯然成立；假設(shè)當(dāng)時，有成立，則當(dāng)時，由知，因此，當(dāng)時，成立。故對任意的，成立。（2）

15、當(dāng)時，由（1）知，在上單調(diào)遞增。則，即。從而，即，由此猜測：。下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)時，顯然成立；假設(shè)當(dāng)時，有成立，則當(dāng)時，由知，因此，當(dāng)時，成立。故對任意的，成立。綜上所述，存在常數(shù)，使得對于任意的，都有.例6（2004年遼寧卷）已知函數(shù)，設(shè)，證明。證明：（1）當(dāng)時，由題設(shè)，又，所以成立。當(dāng)時，。而，所以，不等式也成立。（2）假設(shè)時，不等式成立，而，的對稱軸是，則f(x)在上是增函數(shù)。由得即注意到結(jié)論右邊的目標(biāo)式，湊式變形，有可見時，不等式也成立。由（1）和（2）知，時，恒成立。點評：上述證明中，把數(shù)列值的大小變化與函數(shù)值的大小聯(lián)系起來，再用函數(shù)的單調(diào)性渡過關(guān)卡，充分體現(xiàn)了數(shù)列與函數(shù)的緊密

16、關(guān)系。實際上，數(shù)列就是函數(shù)的特例。另外，上面第一步中，驗證后，又驗證，是為了能夠?qū)僭O(shè)應(yīng)用上函數(shù)的單調(diào)性，而之后的變形，只要明確目標(biāo)式，就順理成章了。題型4：放縮法在證明不等式中的妙用例7（11年湖北理17） 提高過江大橋的車輛通行能力可改善整個城市的交通狀況。在一般情況下，大橋上的車流速度v（單位：千米/小時）是車流密度x（單位：輛/千米）的函數(shù)。當(dāng)橋上的的車流密度達(dá)到200輛/千米時，造成堵塞，此時車流速度為0；當(dāng)車流密度不超過20輛/千米時，車流速度為60千米/小時，研究表明；當(dāng)時，車流速度v是車流密度x的一次函數(shù)（）當(dāng)時，求函數(shù)的表達(dá)式;（）當(dāng)車流密度為多大時，車流量（單位時間內(nèi)通過橋

17、上某觀點的車輛數(shù)，單位：輛/每小時）可以達(dá)到最大，并求出最大值（精確到1輛/小時）本小題主要考查函數(shù)、最值等基礎(chǔ)知識，同時考查運用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的能力。（滿分12分）解：（）由題意：當(dāng)；當(dāng)再由已知得故函數(shù)的表達(dá)式為 （）依題意并由（）可得當(dāng)為增函數(shù)，故當(dāng)時，其最大值為6020=1200；當(dāng)時，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立。所以，當(dāng)在區(qū)間20，200上取得最大值綜上，當(dāng)時，在區(qū)間0，200上取得最大值。即當(dāng)車流密度為100輛/千米時，車流量可以達(dá)到最大，最大值約為3333輛/小時。例8（1）已知ABC的三邊長為a、b、c，求證：證明：由，及余弦定理有：， ，同理可得：， 。（2）設(shè)a，b，c，

18、d都是正數(shù)，abbcca1，證明：。證明：， ，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號。點評：綜上可知，用擴大或縮小分式的分母或分子的方法，用添項或合項的方法，用某些函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)值的有界性等方法進行放縮來推理有關(guān)不等式，都是一些常用的放縮手段，難點在于放縮程序的調(diào)控，應(yīng)多思、多想、多練、多總結(jié)。題型5：典例不等式證明例9若，求證：，。 證法一：綜合法 又 證法二：換元法、判別式法 設(shè)為方程的兩根，則 （2） 將（2）代入（1），得，即， ，即 由，得 又 ，即 。 點評：換元法主要有三角代換、均值代換兩種，在應(yīng)用換元法時，要注意代換的等價性。如果作差以后的式子可以整理為關(guān)于某一個變量的二次式，則考慮用判別式法

19、證。 證法三：放縮法 于是有 從而 所以 （下略）。 點評：放縮法是不等式證明中最重要的變形方法之一，放縮要有的放矢，目標(biāo)可以從要證的結(jié)論中考查。 證法四：比較法 ， 對任意非負(fù)實數(shù)，有 ，即 （以下略）。 點評：比較法證不等式有作差（商）、變形、判斷三個步驟，變形的主要方向是因式分解、配方，判斷過程必須詳細(xì)敘述。 證法五：反證法 假設(shè)，則 又 因此，前后矛盾，故。 （以下略） 點評：有些不等式，如果不易從正面證明，可以考慮反證法。凡是含有“至少”、“唯一”或含有其他否定詞的命題，適宜用反證法。例10、（11年安徽理19）（）設(shè)證明，（），證明.本題考查不等式的基本性質(zhì)，對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)和對數(shù)換

20、底公式等基本知識，考查代數(shù)式的恒等變形能力和推理論證能力。證明：（I）由于，所以將上式中的右式減左式，得從而所要證明的不等式成立.（II）設(shè)由對數(shù)的換底公式得于是，所要證明的不等式即為其中故由（I）立知所要證明的不等式成立?！舅季S總結(jié)】1反證法所依據(jù)的是邏輯思維規(guī)律中的“矛盾律”和“排中律”。在同一思維過程中，兩個互相矛盾的判斷不能同時都為真，至少有一個是假的，這就是邏輯思維中的“矛盾律”；兩個互相矛盾的判斷不能同時都假，簡單地說“A或者非A”，這就是邏輯思維中的“排中律”。反證法在其證明過程中，得到矛盾的判斷，根據(jù)“矛盾律”，這些矛盾的判斷不能同時為真，必有一假，而已知條件、已知公理、定理、

21、法則或者已經(jīng)證明為正確的命題都是真的，所以“否定的結(jié)論”必為假。再根據(jù)“排中律”，結(jié)論與“否定的結(jié)論”這一對立的互相否定的判斷不能同時為假，必有一真，于是我們得到原結(jié)論必為真。所以反證法是以邏輯思維的基本規(guī)律和理論為依據(jù)的，反證法是可信的。2歸納是一種有特殊事例導(dǎo)出一般原理的思維方法。歸納推理分完全歸納推理與不完全歸納推理兩種。不完全歸納推理只根據(jù)一類事物中的部分對象具有的共同性質(zhì)，推斷該類事物全體都具有的性質(zhì)，這種推理方法，在數(shù)學(xué)推理論證中是不允許的。完全歸納推理是在考察了一類事物的全部對象后歸納得出結(jié)論來。3綜合法有時正好是分析過程的逆推，證法2雖然用綜合法表述，但若不先用分析法思考，顯然用綜合法是無從下手的，多數(shù)情況下綜合法的表述正是建立在分析法的基礎(chǔ)之上，由此可見分析法這種思想，可以運用到幾乎所有問題的解答之中。分析法的優(yōu)點是利于思考，它方向明確思路自然，易于掌握，而綜合法宜于表述，條理清晰，形式簡捷，因而證明不等式時，常用分析法尋找思路，再用綜合法來表述。分析法一般用于“證明不等式，綜合法難以實施”的時候。