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1、不等式中恒成立問題的解法研究在不等式的綜合題中，經(jīng)常會遇到當(dāng)一個結(jié)論對于某一個字母的某一個取值范圍內(nèi)所有值都成立的恒成立問題。恒成立問題的基本類型：類型1：設(shè)，（1）上恒成立；（2）上恒成立。類型2：設(shè)（1）當(dāng)時，上恒成立，上恒成立（2）當(dāng)時，上恒成立上恒成立類型3：。類型4： 恒成立問題的解題的基本思路是：根據(jù)已知條件將恒成立問題向基本類型轉(zhuǎn)化，正確選用函數(shù)法、最小值法、數(shù)形結(jié)合等解題方法求解。一、用一次函數(shù)的性質(zhì) 對于一次函數(shù)有：例1：若不等式對滿足的所有都成立，求x的范圍。解析：我們可以用改變主元的辦法，將m視為主變元，即將元不等式化為：，；令，則時，恒成立，所以只需即，所以x的范圍是。

2、二、利用一元二次函數(shù)的判別式 對于一元二次函數(shù)有：（1）上恒成立；（2）上恒成立例2：若不等式的解集是R，求m的范圍。解析：要想應(yīng)用上面的結(jié)論，就得保證是二次的，才有判別式，但二次項系數(shù)含有參數(shù)m，所以要討論m-1是否是0。（1）當(dāng)m-1=0時，元不等式化為20恒成立，滿足題意；（2）時，只需，所以，。三、利用函數(shù)的最值（或值域）（1）對任意x都成立；（2）對任意x都成立。簡單計作：“大的大于最大的，小的小于最小的”。由此看出，本類問題實質(zhì)上是一類求函數(shù)的最值問題。例3：在ABC中，已知恒成立，求實數(shù)m的范圍。解析：由，恒成立，即恒成立，例4：（1）求使不等式恒成立的實數(shù)a的范圍。解析：由于函

3、，顯然函數(shù)有最大值，。如果把上題稍微改一點，那么答案又如何呢？請看下題：（2）求使不等式恒成立的實數(shù)a的范圍。解析：我們首先要認(rèn)真對比上面兩個例題的區(qū)別，主要在于自變量的取值范圍的變化，這樣使得的最大值取不到，即a取也滿足條件，所以。 所以，我們對這類題要注意看看函數(shù)能否取得最值，因為這直接關(guān)系到最后所求參數(shù)a的取值。利用這種方法時，一般要求把參數(shù)單獨放在一側(cè)，所以也叫分離參數(shù)法。四：數(shù)形結(jié)合法 對一些不能把數(shù)放在一側(cè)的，可以利用對應(yīng)函數(shù)的圖象法求解。例5：已知，求實數(shù)a的取值范圍。解析：由，在同一直角坐標(biāo)系中做出兩個函數(shù)的圖象，如果兩個函數(shù)分別在x=-1和x=1處相交，則由得到a分別等于2和

4、0.5，并作出函數(shù)的圖象，所以，要想使函數(shù)在區(qū)間中恒成立，只須在區(qū)間對應(yīng)的圖象在在區(qū)間對應(yīng)圖象的上面即可。當(dāng)才能保證，而才可以，所以。 由此可以看出，對于參數(shù)不能單獨放在一側(cè)的，可以利用函數(shù)圖象來解。利用函數(shù)圖象解題時，思路是從邊界處（從相等處）開始形成的。例6：若當(dāng)P(m,n)為圓上任意一點時，不等式恒成立，則c的取值范圍是（ ）A、 B、 C、 D、解析：由，可以看作是點P(m,n)在直線的右側(cè)，而點P(m,n)在圓上，實質(zhì)相當(dāng)于是在直線的右側(cè)并與它相離或相切。，故選D。 其實在習(xí)題中，我們也給出了一種解恒成立問題的方法，即求出不等式的解集后再進行處理。 以上介紹了常用的五種解決恒成立問題

5、。其實，對于恒成立問題，有時關(guān)鍵是能否看得出來題就是關(guān)于恒成立問題。下面，給出一些練習(xí)題，供同學(xué)們練習(xí)。練習(xí)題：1、對任意實數(shù)x，不等式恒成立的充要條件是_。2、設(shè)上有意義，求實數(shù)a的取值范圍.。3、當(dāng)恒成立，則實數(shù)a的范圍是_。4、已知不等式： 對一切大于1的自然數(shù)n恒成立，求實數(shù)a的范圍。含參不等式恒成立問題的求解策略“含參不等式恒成立問題”把不等式、函數(shù)、三角、幾何等內(nèi)容有機地結(jié)合起來，其以覆蓋知識點多，綜合性強，解法靈活等特點而倍受高考、競賽命題者的青睞。另一方面，在解決這類問題的過程中涉及的“函數(shù)與方程”、“化歸與轉(zhuǎn)化”、“數(shù)形結(jié)合”、“分類討論”等數(shù)學(xué)思想對鍛煉學(xué)生的綜合解題能力，

6、培養(yǎng)其思維的靈活性、創(chuàng)造性都有著獨到的作用。本文就結(jié)合實例談?wù)勥@類問題的一般求解策略。一、判別式法若所求問題可轉(zhuǎn)化為二次不等式，則可考慮應(yīng)用判別式法解題。一般地，對于二次函數(shù),有1）對恒成立; 2）對恒成立 例1已知函數(shù)的定義域為R，求實數(shù)的取值范圍。解：由題設(shè)可將問題轉(zhuǎn)化為不等式對恒成立，即有解得。所以實數(shù)的取值范圍為。若二次不等式中的取值范圍有限制，則可利用根的分布解決問題。例2設(shè)，當(dāng)時，恒成立，求實數(shù)的取值范圍。解：設(shè)，則當(dāng)時，恒成立Oxyx-1當(dāng)時，顯然成立；當(dāng)時，如圖，恒成立的充要條件為：解得。綜上可得實數(shù)的取值范圍為。二、最值法 將不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問題的一種處理方法

7、，其一般類型有：1）恒成立2）恒成立例3已知，當(dāng)時，恒成立，求實數(shù)的取值范圍。解：設(shè)，則由題可知對任意恒成立令，得而即實數(shù)的取值范圍為。例4函數(shù)，若對任意，恒成立，求實數(shù)的取值范圍。解：若對任意，恒成立，即對，恒成立，考慮到不等式的分母，只需在時恒成立而得而拋物線在的最小值得注：本題還可將變形為，討論其單調(diào)性從而求出最小值。三、分離變量法若所給的不等式能通過恒等變形使參數(shù)與主元分離于不等式兩端，從而問題轉(zhuǎn)化為求主元函數(shù)的最值，進而求出參數(shù)范圍。這種方法本質(zhì)也還是求最值，但它思路更清晰，操作性更強。一般地有：1）恒成立2）恒成立實際上，上題就可利用此法解決。略解：在時恒成立，只要在時恒成立。而易

8、求得二次函數(shù)在上的最大值為，所以。 例5已知函數(shù)時恒成立，求實數(shù)的取值范圍。解： 將問題轉(zhuǎn)化為對恒成立。令，則由可知在上為減函數(shù)，故即的取值范圍為。注：分離參數(shù)后，方向明確，思路清晰能使問題順利得到解決。四、變換主元法處理含參不等式恒成立的某些問題時，若能適時的把主元變量和參數(shù)變量進行“換位”思考，往往會使問題降次、簡化。例6對任意，不等式恒成立，求的取值范圍。分析：題中的不等式是關(guān)于的一元二次不等式，但若把看成主元，則問題可轉(zhuǎn)化為一次不等式在上恒成立的問題。解：令，則原問題轉(zhuǎn)化為恒成立（）。 當(dāng)時，可得，不合題意。當(dāng)時，應(yīng)有解之得。故的取值范圍為。注：一般地，一次函數(shù)在上恒有的充要條件為。四

9、、數(shù)形結(jié)合法數(shù)學(xué)家華羅庚曾說過：“數(shù)缺形時少直觀，形缺數(shù)時難入微”，這充分說明了數(shù)形結(jié)合思想的妙處，在不等式恒成立問題中它同樣起著重要作用。我們知道，函數(shù)圖象和不等式有著密切的聯(lián)系：1）函數(shù)圖象恒在函數(shù)圖象上方；2）函數(shù)圖象恒在函數(shù)圖象下上方。x-2-4yO-4例7設(shè) , ,若恒有成立,求實數(shù)的取值范圍. 分析：在同一直角坐標(biāo)系中作出及 的圖象 如圖所示，的圖象是半圓 的圖象是平行的直線系。要使恒成立，則圓心到直線的距離滿足 解得（舍去)由上可見，含參不等式恒成立問題因其覆蓋知識點多，方法也多種多樣，但其核心思想還是等價轉(zhuǎn)化，抓住了這點，才能以“不變應(yīng)萬變”，當(dāng)然這需要我們不斷的去領(lǐng)悟、體會和

10、總結(jié)。含參不等式恒成立問題中，求參數(shù)取值范圍一般方法恒成立問題是數(shù)學(xué)中常見問題，也是歷年高考的一個熱點。大多是在不等式中，已知一個變量的取值范圍，求另一個變量的取值范圍的形式出現(xiàn)。下面介紹幾種常用的處理方法。一、 分離參數(shù)在給出的不等式中，如果能通過恒等變形分離出參數(shù)，即：若恒成立，只須求出，則；若恒成立，只須求出，則，轉(zhuǎn)化為函數(shù)求最值。例1、已知函數(shù)，若對任意恒有，試確定的取值范圍。解：根據(jù)題意得：在上恒成立，即：在上恒成立，設(shè)，則當(dāng)時， 所以 在給出的不等式中，如果通過恒等變形不能直接解出參數(shù)，則可將兩變量分別置于不等式的兩邊，即：若恒成立，只須求出，則，然后解不等式求出參數(shù)的取值范圍；若

11、恒成立，只須求出，則，然后解不等式求出參數(shù)的取值范圍，問題還是轉(zhuǎn)化為函數(shù)求最值。例2、已知時，不等式恒成立，求的取值范圍。解：令， 所以原不等式可化為：，要使上式在上恒成立，只須求出在上的最小值即可。 二、 分類討論在給出的不等式中，如果兩變量不能通過恒等變形分別置于不等式的兩邊，則可利用分類討論的思想來解決。例3、若時，不等式恒成立，求的取值范圍。解：設(shè)，則問題轉(zhuǎn)化為當(dāng)時，的最小值非負(fù)。（1） 當(dāng)即：時， 又所以不存在；（2） 當(dāng)即：時， 又 （3） 當(dāng) 即：時， 又綜上所得：三、 確定主元在給出的含有兩個變量的不等式中，學(xué)生習(xí)慣把變量看成是主元（未知數(shù)），而把另一個變量看成參數(shù)，在有些問題

12、中這樣的解題過程繁瑣。如果把已知取值范圍的變量作為主元，把要求取值范圍的變量看作參數(shù)，則可簡化解題過程。例4、若不等式對滿足的所有都成立，求的取值范圍。解：設(shè)，對滿足的，恒成立， 解得：四、 利用集合與集合間的關(guān)系在給出的不等式中，若能解出已知取值范圍的變量，就可利用集合與集合之間的包含關(guān)系來求解，即：，則且，不等式的解即為實數(shù)的取值范圍。例5、當(dāng)時，恒成立，求實數(shù)的取值范圍。解：（1） 當(dāng)時，則問題轉(zhuǎn)化為 （2） 當(dāng)時，則問題轉(zhuǎn)化為綜上所得：或五、 數(shù)形結(jié)合數(shù)形結(jié)合法是先將不等式兩端的式子分別看作兩個函數(shù)，且正確作出兩個函數(shù)的圖象，然后通過觀察兩圖象（特別是交點時）的位置關(guān)系，列出關(guān)于參數(shù)的

13、不等式。例6、若不等式在內(nèi)恒成立，求實數(shù)的取值范圍。解：由題意知：在內(nèi)恒成立，在同一坐標(biāo)系內(nèi)，分別作出函數(shù)和觀察兩函數(shù)圖象，當(dāng)時，若函數(shù)的圖象顯然在函數(shù)圖象的下方，所以不成立；當(dāng)時，由圖可知，的圖象必須過點或在這個點的上方，則， 綜上得：上面介紹了含參不等式中恒成立問題幾種解法，在解題過程中，要靈活運用題設(shè)條件綜合分析，選擇適當(dāng)方法準(zhǔn)確而快速地解題。含參數(shù)不等式恒成立問題的解題策略（專題探究）一、教學(xué)目標(biāo)：理解含參不等式恒成立問題特征；能充分利用化歸、數(shù)形結(jié)合、函數(shù)和分類討論等數(shù)學(xué)思想解決含參不等式恒成立問題；培養(yǎng)學(xué)生分析解決綜合問題的能力。二、教學(xué)方法：啟發(fā)、探究三、教學(xué)過程：通過含參數(shù)不等

14、式恒成立問題的求解，通過變式、啟發(fā)、引導(dǎo)學(xué)生探究解題策略，培養(yǎng)學(xué)生利用化歸、數(shù)形結(jié)合、函數(shù)和分類討論等數(shù)學(xué)思想進行解題的意識。例題1：已知不等式對恒成立，求實數(shù)的取值范圍。變式：已知不等式對恒成立，求實數(shù)的取值范圍。例題2：已知不等式對恒成立，求實數(shù)的取值范圍。變式1：已知不等式對恒成立，求實數(shù)的取值范圍。變式2：已知不等式對恒成立，求實數(shù)的取值范圍。例題3：當(dāng)時，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍。練習(xí)1：已知函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍。練習(xí)2：對于滿足的所有實數(shù)，求使不等式恒成立的的取值范圍。思考：1、若不等式對滿足的所有都成立，求實數(shù)的取值范圍。2、設(shè)，若滿足不等式的一切實數(shù)，能

15、使不等式恒成立，求正實數(shù)的取值范圍。常見不等式恒成立問題的幾種求解策略不等式恒成立問題是近幾年高考以及各種考試中經(jīng)常出現(xiàn)，它綜合考查函數(shù)、方程和不等式的主要內(nèi)容，并且與函數(shù)的最值、方程的解和參數(shù)的取值范圍緊密相連，本文結(jié)合解題教學(xué)實踐舉例說明幾種常見不等式恒成立問題的求解策略，以拋磚引玉。 1 變量轉(zhuǎn)換策略例1 已知對于任意的a-1,1，函數(shù)f(x)=ax2+(2a-4)x+3-a0 恒成立，求x的取值范圍.解析 本題按常規(guī)思路是分a=0時f(x)是一次函數(shù)，a0時是二次函數(shù)兩種情況討論，不容易求x的取值范圍。因此，我們不能總是把x看成是變量，把a看成常參數(shù)，我們可以通過變量轉(zhuǎn)換，把a看成變量

16、，x看成常參數(shù)，這就轉(zhuǎn)化一次函數(shù)問題，問題就變得容易求解。令g(a)=(x2+2x-1)a-4x+3在a-1,1時，g(a)0恒成立，則，得.點評 對于含有兩個參數(shù)，且已知一參數(shù)的取值范圍，可以通過變量轉(zhuǎn)換，構(gòu)造以該參數(shù)為自變量的函數(shù)，利用函數(shù)圖象求另一參數(shù)的取值范圍。2 零點分布策略例2 已知，若恒成立，求a的取值范圍.解析 本題可以考慮f(x)的零點分布情況進行分類討論，分無零點、零點在區(qū)間的左側(cè)、零點在區(qū)間的右側(cè)三種情況，即0或或，即a的取值范圍為-7，2.點評 對于含參數(shù)的函數(shù)在閉區(qū)間上函數(shù)值恒大于等于零的問題,可以考慮函數(shù)的零點分布情況,要求對應(yīng)閉區(qū)間上函數(shù)圖象在x軸的上方或在x軸上

17、就行了.3 函數(shù)最值策略 例3 已知，若恒成立，求a的取值范圍. 解析 本題可以化歸為求函數(shù)f(x)在閉區(qū)間上的最值問題,只要對于任意.若恒成立或或，即a的取值范圍為.點評 對于含參數(shù)的函數(shù)在閉區(qū)間上函數(shù)值恒大于等于或小于等于常數(shù)問題,可以求函數(shù)最值的方法,只要利用恒成立；恒成立.本題也可以用零點分布策略求解.4 變量分離策略 例4 已知函數(shù)，若在區(qū)間上，的圖象位于函數(shù)f(x)的上方，求k的取值范圍.解析 本題等價于一個不等式恒成立問題,即對于恒成立,式子中有兩個變量,可以通過變量分離化歸為求函數(shù)的最值問題. 對于恒成立對于恒成立,令,設(shè),則,即x=1時, k的取值范圍是k2.變式 若本題中將

18、改為，其余條件不變，則也可以用變量分離法解.由題意得，對于恒成立對于恒成立,令,設(shè),則，, k的取值范圍是k. 點評 本題通過變量分離，將不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題，本題構(gòu)造的函數(shù)求最值對學(xué)生來說有些難度，但通過換元后巧妙地轉(zhuǎn)化為“對勾函數(shù)”，從而求得最值. 變式題中構(gòu)造的函數(shù)通過換元后轉(zhuǎn)化為“二次函數(shù)型”，從而求得最值.本題也可以用零點分布策略和函數(shù)最值策略求解.5 數(shù)形結(jié)合策略例5 設(shè)函數(shù),若恒有成立,試求實數(shù)a的取值范圍. 解析 由題意得,令,.可化為，它表示以(2,0)為圓心，2 為半徑的上半圓；表示經(jīng)過定點(-2,0)，以a為斜率的直線，要使恒成立，只需所表示的半圓在所表

19、示的直線下方就可以了(如圖所示)當(dāng)直線與半圓相切時就有，即，由圖可知，要使恒成立，實數(shù)a的取值范圍是xyO點評 本題通過對已知不等式變形處理后，挖掘不等式兩邊式子的幾何意義，通過構(gòu)造函數(shù)，運用數(shù)形結(jié)合的思想來求參數(shù)的取值范圍，不僅能使問題變得直觀，同時也起到了化繁為簡的效果.6 消元轉(zhuǎn)化策略 例6 已知f(x)是定義在-1,1上的奇函數(shù),且f(1)=1,若，若對于所有的恒成立，求實數(shù)t的取值范圍. 解析 本題不等式中有三個變量，因此可以通過消元轉(zhuǎn)化的策略，先消去一個變量，容易證明f(x)是定義在-1,1上的增函數(shù),故 f(x)在-1,1上的最大值為f(1)=1,則對于所有的恒成立對于所有的恒成

20、立，即對于所有的恒成立，令，只要， 點評 對于含有兩個以上變量的不等式恒成立問題,可以根據(jù)題意依次進行消元轉(zhuǎn)化,從而轉(zhuǎn)化為只含有兩變量的不等式問題,使問題得到解決.以上介紹的幾種常見不等式恒成立問題的求解策略，只是分別從某個側(cè)面入手去探討不等式中參數(shù)的取值范圍。事實上，這些策略不是孤立的，在具體的解題實踐中，往往需要綜合考慮，靈活運用，才能使問題得以順利解決。淺談不等式恒成立問題中心摘要近幾年在數(shù)學(xué)高考試題中經(jīng)常遇到不等式恒成立問題。在05年高考遼寧、湖北及天津等省均出現(xiàn)此類題型。本文根據(jù)高考題及高考模擬題總結(jié)了四種常見的解決不等式恒成立問題的方法。法一：轉(zhuǎn)換主元法。適用于一次型函數(shù)。法二：化

21、歸二次函數(shù)法。適用于二次型函數(shù)。法三：分離參數(shù)法。適用于一般初等函數(shù)。法四：數(shù)型結(jié)合法。中文關(guān)鍵詞“不等式”, “恒成立”在近些年的數(shù)學(xué)高考題及高考模擬題中經(jīng)常出現(xiàn)恒成立問題，這樣的題目一般綜合性強，可考查函數(shù)、數(shù)列、不等式及導(dǎo)數(shù)等諸多方面的知識。同時，培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題、綜合駕馭知識的能力。下面結(jié)合例題淺談恒成立問題的常見解法。1 轉(zhuǎn)換主元法確定題目中的主元，化歸成初等函數(shù)求解。此方法通?；癁橐淮魏瘮?shù)。 例1：若不等式 2x1m(x2-1)對滿足2m2的所有m都成立，求x的取值范圍。 解：原不等式化為 (x21)m(2x1)0 記f(m)= (x21)m(2x1) (2m2) 根據(jù)題

22、意有： 即：解之：得x的取值范圍為2 化歸二次函數(shù)法根據(jù)題目要求，構(gòu)造二次函數(shù)。結(jié)合二次函數(shù)實根分布等相關(guān)知識，求出參數(shù)取值范圍。例2：在R上定義運算：xy(1y) 若不等式(xa)(xa)1對任意實數(shù)x成立，則 ( )(A)1a1 (B)0a2 (C) (D) 解：由題意可知 (x-a)1-(x+a) 0對xR恒成立記f(x)=x2-x-a2+a+1則應(yīng)滿足(-1)2-4(-a2+a+1)0化簡得 4a2-4a-30對滿足0x1的所有實數(shù)x都成立，求m的取值范圍。解：設(shè)f(x)=x2-2mx+2m+1本題等價于函數(shù)f(x)在0x1上的最小值大于0，求m的取值范圍。(1)當(dāng)m0時，f(x)在0

23、,1上是增函數(shù)，因此f(0)是最小值，解 得 m1時，f(x)在0,1 上是減函數(shù)，因此f(1)是最小值解 得 m1綜合(1)(2)(3) 得 注：當(dāng)化歸為二次函數(shù)后，自變量是實數(shù)集的子集時，應(yīng)用二次函數(shù)知識解決有時較繁瑣。此型題目有時也可轉(zhuǎn)化為后面的法3求解。3 分離參數(shù)法在題目中分離出參數(shù)，化成af(x) （afmax(x) （aan-1恒成立，求a0的取值范圍。解：依題意：3n+(-1)n-12n+(-1)n2na03n-1+(-1)n-22n-1+(-1)n-12n-1a0化簡，得 (-1)n32n-1a0-3n-1+(-1)n2n-1 (1)當(dāng)n=2k-1 kN*時 a0()n-1+

24、 設(shè)g1(n)= ()n-1+ g1(n)在nN* 時且n=2k-1,kN*時是增函數(shù) g1(n)的最小值為g1(1) a0-()n-1+ 設(shè)g2(n)=- ()n-1+ g2(n)在nN*且n=2k,kN*時是減函數(shù) g2(n)的最大值為g2(2)0 a00綜上可知0a00。設(shè)x0(0, )，y=kx+m是曲線y=f(x)在點(x0，f(x0)處的切線方程并設(shè)函數(shù)g(x)=kx+m（）用x0，f(x0)，(x0)表示m；（）證明：當(dāng)x(0, )時，g(x)f(x)（）若關(guān)于x的不等式x2+1ax+b在0, ）上恒成立，其中a、b為實數(shù)。求b的取值范圍及a與b所滿足的關(guān)系。 本題（）應(yīng)用了此方

25、法。（）解：0b1，a0是不等式成立的必要條件。以下討論設(shè)此條件成立。 x2+1ax+b 即x2-ax+(1-b)0對任意x0, )成立的充要條件是a令(x)=ax+b-，于是ax+b對任意x0, )成立的充要條件是(x)0由(x)=a-=0得x= 當(dāng)0x時，(x) 時，(x) 0,所以，當(dāng)x時，(x)取最小值。因此，(x)0成立的充要條件是()0。即a 綜上，不等式x2+1ax+b對任意x0, 成立的充要條件是 a顯然，存在a、b使式成立的充要條件是：不等式有解。解不等式得 因此，式即為b的取值范圍，式即為實數(shù)a與b所滿足的關(guān)系。4.數(shù)型結(jié)合法例7：如果對任意實數(shù)x，不等式恒成立，則實數(shù)k的

26、取值范圍是解析：畫出y1=,y2=kx的圖像，由圖可看出 0k1K=1例8：已知a0且a1,當(dāng)x(-1，1)時，不等式x2-ax恒成立，則a的取值范圍解析：不等式x2-ax x2-畫出y1= ax,y2= x2-的圖像。由圖可看出 a1或10恒成立，滿足題意；（2）時，只需，所以，。三、利用函數(shù)的最值（或值域）（1）對任意x都成立；（2）對任意x都成立。簡單計作：“大的大于最大的，小的小于最小的”。由此看出，本類問題實質(zhì)上是一類求函數(shù)的最值問題。例3：在ABC中，已知恒成立，求實數(shù)m的范圍。解析：由，恒成立，即恒成立，例4：（1）求使不等式恒成立的實數(shù)a的范圍。解析：由于函，顯然函數(shù)有最大值，

27、。如果把上題稍微改一點，那么答案又如何呢？請看下題：（2）求使不等式恒成立的實數(shù)a的范圍。解析：我們首先要認(rèn)真對比上面兩個例題的區(qū)別，主要在于自變量的取值范圍的變化，這樣使得的最大值取不到，即a取也滿足條件，所以。 所以，我們對這類題要注意看看函數(shù)能否取得最值，因為這直接關(guān)系到最后所求參數(shù)a的取值。利用這種方法時，一般要求把參數(shù)單獨放在一側(cè)，所以也叫分離參數(shù)法。四：數(shù)形結(jié)合法 對一些不能把數(shù)放在一側(cè)的，可以利用對應(yīng)函數(shù)的圖象法求解。例5：已知，求實數(shù)a的取值范圍。解析：由，在同一直角坐標(biāo)系中做出兩個函數(shù)的圖象，如果兩個函數(shù)分別在x=-1和x=1處相交，則由得到a分別等于2和0.5，并作出函數(shù)的

28、圖象，所以，要想使函數(shù)在區(qū)間中恒成立，只須在區(qū)間對應(yīng)的圖象在在區(qū)間對應(yīng)圖象的上面即可。當(dāng)才能保證，而才可以，所以。 由此可以看出，對于參數(shù)不能單獨放在一側(cè)的，可以利用函數(shù)圖象來解。利用函數(shù)圖象解題時，思路是從邊界處（從相等處）開始形成的。例6：若當(dāng)P(m,n)為圓上任意一點時，不等式恒成立，則c的取值范圍是（ ）A、 B、 C、 D、解析：由，可以看作是點P(m,n)在直線的右側(cè)，而點P(m,n)在圓上，實質(zhì)相當(dāng)于是在直線的右側(cè)并與它相離或相切。，故選D。 其實在習(xí)題中，我們也給出了一種解恒成立問題的方法，即求出不等式的解集后再進行處理。 以上介紹了常用的五種解決恒成立問題。其實，對于恒成立問

29、題，有時關(guān)鍵是能否看得出來題就是關(guān)于恒成立問題。下面，給出一些練習(xí)題，供同學(xué)們練習(xí)。練習(xí)題：1、對任意實數(shù)x，不等式恒成立的充要條件是_。2、設(shè)上有意義，求實數(shù)a的取值范圍.。3、當(dāng)恒成立，則實數(shù)a的范圍是_。4、已知不等式： 對一切大于1的自然數(shù)n恒成立，求實數(shù)a的范圍。函數(shù)中恒成立問題解題策略函數(shù)的內(nèi)容作為高中數(shù)學(xué)知識體系的核心，也是歷年高考的一個熱點.函數(shù)類問題的解決最終歸結(jié)為對函數(shù)性質(zhì)、函數(shù)思想的應(yīng)用.恒成立問題，在高中數(shù)學(xué)中較為常見.這類問題的解決涉及到一次函數(shù)、二次函數(shù)、三角函數(shù)、指數(shù)與對數(shù)函數(shù)等函數(shù)的性質(zhì)、圖象，滲透著換元、化歸、數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程等思想方法，有利于考查學(xué)生的綜

30、合解題能力，在培養(yǎng)思維的靈活性、創(chuàng)造性等方面起到了積極的作用.恒成立問題在解題過程中有以下幾種策略：賦值型；一次函數(shù)型；二次函數(shù)型；變量分離型；數(shù)形結(jié)合型.現(xiàn)在我們一起來探討其中一些典型的問題.策略一、賦值型利用特殊值求解等式中的恒成立問題，常常用賦值法求解，特別是對解決填空題、選擇題能很快求得.例1由等式x4+a1x3+a2x2+a3x+a4= (x+1)4+b1(x+1)3+ b2(x+1)2+b3(x+1)+b4 定義映射f：(a1,a2,a3,a4)b1+b2+b3+b4,則f：(4,3,2,1) ( )A.10 B.7 C.-1 D.0略解：取x=0，則 a4=1+b1+b2+b3+

31、b4,又 a4=1,所以b1+b2+b3+b4 =0 ，故選D例2如果函數(shù)y=f(x)=sin2x+acos2x的圖象關(guān)于直線x= 對稱，那么a=（ ）.A.1 B.-1 C . D. -.略解：取x=0及x=，則f(0)=f(),即a=-1，故選B.此法體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中從一般到特殊的轉(zhuǎn)化思想.策略二、一次函數(shù)型利用單調(diào)性求解給定一次函數(shù)y=f(x)=ax+b(a0),若y=f(x)在m,n內(nèi)恒有f(x)0，則根據(jù)函數(shù)的圖象（線段）（如下圖） 可得上述結(jié)論等價于），或 ） 可合并定成nmoxynmoxy同理，若在m,n內(nèi)恒有f(x)2a+x恒成立的x的取值范圍.分析：在不等式中出現(xiàn)了兩個字母：x及

32、a,關(guān)鍵在于該把哪個字母看成是一個變量，另一個作為常數(shù).顯然可將a視作自變量，則上述問題即可轉(zhuǎn)化為在-2，2內(nèi)關(guān)于a的一次函數(shù)大于0恒成立的問題.解：原不等式轉(zhuǎn)化為(x-1)a+x2-2x+10在|a|2時恒成立,設(shè)f(a)= (x-1)a+x2-2x+1,則f(a)在-2,2上恒大于0，故有：即解得：x3. 即x(,1)(3,+)此類題本質(zhì)上是利用了一次函數(shù)在區(qū)間m,n上的圖象是一線段，故只需保證該線段兩端點均在x軸上方（或下方）即可.策略三、二次函數(shù)型利用判別式,韋達(dá)定理及根的分布求解對于二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c=0(a0)在實數(shù)集R上恒成立問題可利用判別式直接求解，即 f(x)

33、0恒成立；f(x)g(a)恒成立，則g(a)f(x)min;若對于x取值范圍內(nèi)的任何一個數(shù)，都有f(x)f(x)max.(其中f(x)max和f(x)min分別為f(x)的最大值和最小值)例6.已知三個不等式，要使同時滿足的所有x的值滿足，求m的取值范圍.略解：由得2x3;,構(gòu)造函數(shù)，畫出圖象，得am(x2-1)對滿足2m2的所有m都成立，求x的取值范圍。 解：原不等式化為 (x21)m(2x1)0 記f(m)= (x21)m(2x1) (2m2) 根據(jù)題意有： 即：解之：得x的取值范圍為2 化歸二次函數(shù)法根據(jù)題目要求，構(gòu)造二次函數(shù)。結(jié)合二次函數(shù)實根分布等相關(guān)知識，求出參數(shù)取值范圍。例2：在R

34、上定義運算：xy(1y) 若不等式(xa)(xa)1對任意實數(shù)x成立，則 ( ) (A)1a1 (B)0a2 (C) (D) 解：由題意可知 (x-a)1-(x+a) 0對xR恒成立記f(x)=x2-x-a2+a+1則應(yīng)滿足(-1)2-4(-a2+a+1)0化簡得 4a2-4a-30對滿足0x1的所有實數(shù)x都成立，求m的取值范圍。解：設(shè)f(x)=x2-2mx+2m+1本題等價于函數(shù)f(x)在0x1上的最小值大于0，求m的取值范圍。(1)當(dāng)m0時，f(x)在0,1上是增函數(shù)，因此f(0)是最小值，解 得 m1時，f(x)在0,1 上是減函數(shù)，因此f(1)是最小值解 得 m1綜合(1)(2)(3)

35、 得 注：當(dāng)化歸為二次函數(shù)后，自變量是實數(shù)集的子集時，應(yīng)用二次函數(shù)知識解決有時較繁瑣。此型題目有時也可轉(zhuǎn)化為后面的法3求解。3 分離參數(shù)法在題目中分離出參數(shù)，化成af(x) （afmax(x) （aan-1恒成立，求a0的取值范圍。解：依題意：3n+(-1)n-12n+(-1)n2na03n-1+(-1)n-22n-1+(-1)n-12n-1a0化簡，得 (-1)n32n-1a0-3n-1+(-1)n2n-1 (1)當(dāng)n=2k-1 kN*時 a0()n-1+ 設(shè)g1(n)= ()n-1+ g1(n)在nN* 時且n=2k-1,kN*時是增函數(shù) g1(n)的最小值為g1(1) a0-()n-1+

36、 設(shè)g2(n)=- ()n-1+ g2(n)在nN*且n=2k,kN*時是減函數(shù) g2(n)的最大值為g2(2)0 a00綜上可知0a00。設(shè)x0(0, )，y=kx+m是曲線y=f(x)在點(x0，f(x0)處的切線方程并設(shè)函數(shù)g(x)=kx+m（）用x0，f(x0)，(x0)表示m；（）證明：當(dāng)x(0, )時，g(x)f(x)（）若關(guān)于x的不等式x2+1ax+b在0, ）上恒成立，其中a、b為實數(shù)。求b的取值范圍及a與b所滿足的關(guān)系。 本題（）應(yīng)用了此方法。（）解：0b1，a0是不等式成立的必要條件。以下討論設(shè)此條件成立。 x2+1ax+b 即x2-ax+(1-b)0對任意x0, )成立的

37、充要條件是a令(x)=ax+b-，于是ax+b對任意x0, )成立的充要條件是(x)0由(x)=a-=0得x= 當(dāng)0x時，(x) 時，(x) 0,所以，當(dāng)x時，(x)取最小值。因此，(x)0成立的充要條件是()0。即a 綜上，不等式x2+1ax+b對任意x0, 成立的充要條件是 a顯然，存在a、b使式成立的充要條件是：不等式有解。解不等式得 因此，式即為b的取值范圍，式即為實數(shù)a與b所滿足的關(guān)系。4.數(shù)型結(jié)合法例7：如果對任意實數(shù)x，不等式恒成立，則實數(shù)k的取值范圍是解析：畫出y1=,y2=kx的圖像，由圖可看出 0k1K=1例8：已知a0且a1,當(dāng)x(-1，1)時，不等式x2-ax恒成立，則

38、a的取值范圍解析：不等式x2-ax x2-畫出y1= ax,y2= x2-的圖像。由圖可看出 a1或1m(x2-1)對滿足-2m2的所有m都成立，求x的取值范圍。 分析：從表面上看，這是一個關(guān)于x的一元二次不等式，實質(zhì)上可看作是關(guān)于m的一元一次不等式，并且已知它的解集為2，2，求參數(shù)x的取值范圍，這是一種“轉(zhuǎn)換主元”的思想方法。 解：原不等式化為(x2-1)m-(2x-1)0 4函數(shù)。 解： 例5(1990年上海高考題)設(shè)A=x|x-|,B=x|x-3(a+1)x+2(3a+1)0,求使AB的a 的取值范圍。 解：易得A=2a,a1.記f(x)=x-3(a+1)x+2(3a+1),則AB當(dāng)且僅

39、當(dāng)對xA，f(x)0恒成立 ，其充要條件是f(x)在A上的最大值不大于零。而f(x)在A上的最大值為f(2a)或f(a1)。因而a=-1或1a3.故工的范圍為1,3-1.不等式恒成立、能成立、恰成立問題分析及應(yīng)用一、不等式恒成立問題的處理方法1、轉(zhuǎn)換求函數(shù)的最值：（1）若不等式在區(qū)間上恒成立,則等價于在區(qū)間上，的下界大于A（2）若不等式在區(qū)間上恒成立,則等價于在區(qū)間上,的上界小于A例1、設(shè)f(x)=x2-2ax+2,當(dāng)x-1,+時，都有f(x)a恒成立，求a的取值范圍。例2、已知對任意恒成立,試求實數(shù)的取值范圍;例3、R上的函數(shù)既是奇函數(shù)，又是減函數(shù)，且當(dāng)時，有恒成立，求實數(shù)m的取值范圍.例4

40、、已知函數(shù)在處取得極值，其中、為常數(shù).（1）試確定、的值； （2）討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（3）若對任意，不等式恒成立，求的取值范圍。2、主參換位法例5、若不等式對恒成立，求實數(shù)a的取值范圍例6、若對于任意，不等式恒成立，求實數(shù)x的取值范圍例7、已知函數(shù)，其中為實數(shù)若不等式對任意都成立，求實數(shù)的取值范圍3、分離參數(shù)法（1） 將參數(shù)與變量分離，即化為（或）恒成立的形式；（2） 求在上的最大（或最小）值；（3） 解不等式(或) ，得的取值范圍。適用題型：（1） 參數(shù)與變量能分離；（2） 函數(shù)的最值易求出。例8、當(dāng)時，不等式恒成立，則的取值范圍是 .例9、已知函數(shù),其中（1）當(dāng)滿足什么條件時,取得極值?

41、（2）已知,且在區(qū)間上單調(diào)遞增,試用表示出的取值范圍.4、數(shù)形結(jié)合例10 、若對任意,不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是_例11、當(dāng)x(1,2)時，不等式恒成立，求a的取值范圍。二、不等式能成立問題的處理方法若在區(qū)間上存在實數(shù)使不等式成立,則等價于在區(qū)間上；若在區(qū)間上存在實數(shù)使不等式成立,則等價于在區(qū)間上的.例12、已知不等式在實數(shù)集上的解集不是空集，求實數(shù)的取值范圍_ 例13、若關(guān)于的不等式的解集不是空集，則實數(shù)的取值范圍是 例14、已知函數(shù)（）存在單調(diào)遞減區(qū)間，求的取值范圍三、不等式恰好成立問題的處理方法例15、不等式的解集為則_例16、已知當(dāng)?shù)闹涤蚴?試求實數(shù)的值.例17、已知兩函數(shù)f(x

42、)=8x2+16x-k，g(x)=2x3+5x2+4x，其中k為實數(shù)。（1）對任意x-3，3，都有f（x)g(x)成立，求k的取值范圍；（2）存在x-3，3，使f（x)g(x)成立，求k的取值范圍；（3）對任意x1、x2-3，3，都有f（x1)g(x2)，求k的取值范圍。不等式恒成立、能成立、恰成立問題專項練習(xí)1、 若不等式對任意實數(shù)x恒成立，求實數(shù)m取值范圍2、已知不等式對任意的恒成立，求實數(shù)k的取值范圍3、設(shè)函數(shù)對于任意實數(shù)，恒成立，求的最大值。4、對于滿足|p|2的所有實數(shù)p,求使不等式恒成立的x的取值范圍。5、已知不等式恒成立。求實數(shù)的取值范圍。6、對任意的，函數(shù)的值總是正數(shù)，求x的取

43、值范圍7、 若不等式在內(nèi)恒成立，則實數(shù)m的取值范圍 。8、不等式在內(nèi)恒成立，求實數(shù)a的取值范圍。9、不等式有解，求的取值范圍。10、對于不等式，存在實數(shù)，使此不等式成立的實數(shù)的集合是M；對于任意，使此不等式恒成立的實數(shù)的集合為N，求集合11、對一切實數(shù)x,不等式恒成立，求實數(shù)a的范圍。若不等式有解，求實數(shù)a的范圍。若方程有解，求實數(shù)a的范圍。12、 若x,y滿足方程，不等式恒成立，求實數(shù)c的范圍。 若x,y滿足方程，求實數(shù)c的范圍。13、設(shè)函數(shù)，其中若對于任意的，不等式在上恒成立，求的取值范圍14、設(shè)函數(shù)，其中常數(shù)，若當(dāng)時，恒成立，求的取值范圍。15、已知向量=(，x+1)，= (1-x，t)。若函數(shù)在區(qū)間（-1，1）上是增函數(shù)，求t的取值范圍。不等式恒成立、能成立、恰成立問題 參考答案例1、解：a的取值范圍為-3，1tg(t)o1圖1t=m例2、解：等價于對任意恒成立,又等價于時,的最小值成立.由于在上為增函數(shù),則