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1、數(shù)學(xué)思想方法知識(shí)網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建考情分析預(yù)測(cè)數(shù)學(xué)思想方法是對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)最高層次的提煉與概括，數(shù)學(xué)思想方法較之?dāng)?shù)學(xué)知識(shí)具有更高的層次，具有理性的地位，它是一種數(shù)學(xué)意識(shí)，屬于思維和能力的范疇，它是數(shù)學(xué)知識(shí)的精髓，是知識(shí)轉(zhuǎn)化為能力的橋梁高考中把函數(shù)與方程的思想作為數(shù)學(xué)思想方法的重點(diǎn)進(jìn)行考查，通過選擇題和填空題考查函數(shù)與方程思想的基本運(yùn)算，而在解答題中，則從更深的層次，在知識(shí)網(wǎng)絡(luò)的交匯處，從思想方法與相關(guān)能力相綜合的角度進(jìn)行深入考查；對(duì)數(shù)形結(jié)合思想的考查側(cè)重兩個(gè)方面：一方面是充分利用選擇題和填空題的題型特點(diǎn)(只需寫出結(jié)果而無需寫出解答過程)，突出將復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系問題轉(zhuǎn)化為直觀的幾何圖形問題的意識(shí)，即由“數(shù)”到“

2、形”的轉(zhuǎn)化；另一方面在解答題中以由“形”到“數(shù)”的轉(zhuǎn)化為主來考查數(shù)形結(jié)合思想；對(duì)于分類與整合思想是以解答題為主進(jìn)行考查的，通常是通過對(duì)含有字母參數(shù)的數(shù)學(xué)問題進(jìn)行分類與整合的研究，考查考生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性與周密性；轉(zhuǎn)化與化歸思想在高考中的重點(diǎn)是一些常用的變換方法，如一般與特殊的轉(zhuǎn)化，繁與簡(jiǎn)的轉(zhuǎn)化，構(gòu)造轉(zhuǎn)化，命題的等價(jià)轉(zhuǎn)化等縱觀近幾年的高考試題，都加大了對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的考查，把數(shù)學(xué)思想方法的考查寓于各部分知識(shí)的考查之中，以知識(shí)為載體，著重考查能力與方法題目很常見預(yù)測(cè)2011年數(shù)學(xué)高考中，仍然會(huì)在選擇題、填空題、解答題中以初等數(shù)學(xué)的各個(gè)知識(shí)點(diǎn)為背景，考查數(shù)學(xué)思想方法，對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的考查不會(huì)削弱，會(huì)更加

3、鮮明，更加重視第19講函數(shù)與方程思想主干知識(shí)整合1“函數(shù)與方程”思想的地位函數(shù)與方程思想是最重要的一種數(shù)學(xué)思想，高考中所占比重較大，綜合知識(shí)多、題型多、應(yīng)用技巧多函數(shù)思想即將所研究的問題借助建立函數(shù)關(guān)系式亦或構(gòu)造中間函數(shù)，結(jié)合初等函數(shù)的圖象與性質(zhì)，加以分析、轉(zhuǎn)化、解決有關(guān)求值、解(證)不等式、解方程以及討論參數(shù)的取值范圍等問題；方程思想即將問題中的數(shù)量關(guān)系運(yùn)用數(shù)學(xué)語言轉(zhuǎn)化為方程模型加以解決2“函數(shù)與方程”思想的作用運(yùn)用方程思想解決問題主要從四個(gè)方面著手：一是把問題中對(duì)立的已知與未知建立相等關(guān)系統(tǒng)一在方程中，通過解方程解決；二是從分析問題的結(jié)構(gòu)入手，找出主要矛盾，抓住某一個(gè)關(guān)鍵變量，將等式看成關(guān)

4、于這個(gè)主變?cè)?常稱為主元)的方程，利用方程的特征解決；三是根據(jù)幾個(gè)變量間的關(guān)系，符合某些方程的性質(zhì)和特征(如利用根與系數(shù)的關(guān)系構(gòu)造方程等)，通過研究方程所具有的性質(zhì)和特征解決；四是中學(xué)數(shù)學(xué)中常見的數(shù)學(xué)模型(如函數(shù)、曲線等)，經(jīng)常轉(zhuǎn)化為方程問題去解決3“函數(shù)與方程”思想在高中數(shù)學(xué)中的體現(xiàn)(1)函數(shù)與方程是密切相關(guān)的，對(duì)于函數(shù)yf(x)，當(dāng)y0時(shí)，就轉(zhuǎn)化為方程f(x)0，也可以把函數(shù)式y(tǒng)f(x)看做二元方程yf(x)0.函數(shù)問題(例如求反函數(shù)，求函數(shù)的值域等)可以轉(zhuǎn)化為方程問題來求解，方程問題也可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題來求解，如解方程f(x)0，就是求函數(shù)yf(x)的零點(diǎn)(2)函數(shù)與不等式也可以相互轉(zhuǎn)化

5、，對(duì)于函數(shù)yf(x)，當(dāng)y0時(shí)，就轉(zhuǎn)化為不等式f(x)0，借助于函數(shù)圖象與性質(zhì)解決有關(guān)問題，而研究函數(shù)的性質(zhì)，也離不開解不等式(3)數(shù)列的通項(xiàng)或前n項(xiàng)和是自變量為正整數(shù)的函數(shù)，用函數(shù)的觀點(diǎn)處理數(shù)列問題十分重要(4)函數(shù)f(x)(axb)n(nN*)與二項(xiàng)式定理是密切相關(guān)的，利用這個(gè)函數(shù)用賦值法和比較系數(shù)法可以解決很多二項(xiàng)式定理的問題(5)解析幾何中的許多問題，例如直線和二次曲線的位置關(guān)系問題，需要通過解二元方程組才能解決，涉及到二次方程與二次函數(shù)的有關(guān)理論(6)立體幾何中有關(guān)線段、角、面積、體積的計(jì)算，經(jīng)常需要運(yùn)用列方程或建立函數(shù)表達(dá)式的方法加以解決要點(diǎn)熱點(diǎn)探究探究點(diǎn)一函數(shù)方程思想在求解最值或

6、參數(shù)的取值范圍的應(yīng)用例1 已知函數(shù)f(x)x32x2x，g(x)x2xa，若函數(shù)yf(x)與yg(x)的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍【解答】 函數(shù)f(x)與yg(x)的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)等價(jià)于方程x32x2xx2xa有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，即關(guān)于x的方程x33x2a0有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，令h(x)x33x2a，則h(x)3x26x.令h(x)0，解得0x0，解得x2.所以h(x)在(，0)和(2，)上為增函數(shù)，在(0,2)上為減函數(shù)所以h(0)為極大值，h(2)為極小值從而h(2)0h(0)，解得4a0.【點(diǎn)評(píng)】 本題在求解參數(shù)取值范圍時(shí)，利用函數(shù)的極值處理，迅速準(zhǔn)確地使問題得到解決

7、變?cè)囶}如果關(guān)于實(shí)數(shù)x的方程ax23x的所有解中，僅有一個(gè)正數(shù)解，那么實(shí)數(shù)a的取值范圍為()Aa|2a2 Ba|a0或a2Ca|a2或a0；t(，1)，(1，)時(shí)，f(t)0，證明：f(x)；(3)若不等式x2f(x2)m22bm3時(shí)，x1,1及b1,1都恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍【解答】 用三點(diǎn)共線的充要條件構(gòu)建目標(biāo)函數(shù)，借助導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性，利用值域構(gòu)建不等式求解參數(shù)范圍問題(1)y2f(1)ln(x1)0，y2f(1)ln(x1)，由于A、B、C三點(diǎn)共線，即y2f(1)ln(x1)1，yf(x)ln(x1)12f(1)，f(x)，故f(1)，f(x)ln(x1)(2)令g(x)f(x)，由g

8、(x)，x0，g(x)0，g(x)在(0，)上是增函數(shù)，故g(x)g(0)0，即f(x).(3)原不等式等價(jià)于x2f(x2)m22bm3，令h(x)x2f(x2)x2ln(x21)，由h(x)x，當(dāng)x1,1時(shí)，h(x)max0，m22bm30.令Q(b)m22bm3，則解得m3或m3.變?cè)囶} 對(duì)于滿足0p4的所有實(shí)數(shù)p，不等式x2px4xp3都成立，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是_x3或x1，若僅有一個(gè)常數(shù)c使得對(duì)于任意的x，都有y滿足方程logaxlogayc，這時(shí)a的取值的集合為_ (1)2【解析】 由logaxlogayc，得y(xa,2a)，則當(dāng)xa,2a時(shí)，y.又對(duì)于任意的xa,2a，都有ya

9、，a2，因此又僅有一個(gè)常數(shù)c，所以2loga23a2. (2)函數(shù)f(x)(0x2)的值域是()A. B. C. D.(2)C【解析】 由y，得y21cos2x5y24y2cosx.令tcosx(t1,1)，則等價(jià)于方程t24y2t5y210在1,1上有實(shí)數(shù)根令g(t)t24y2t5y21，g(1)y20，g(1)9y20，故y2，因此值域?yàn)?，選C.探究點(diǎn)四運(yùn)用函數(shù)、方程、不等式的相互轉(zhuǎn)化，解決有關(guān)問題例4 若關(guān)于x的方程x22kx10的兩根x1、x2滿足1x10x22，則k的取值范圍是()A. B. C. D.A【解析】設(shè)函數(shù)f(x)x22kx1，關(guān)于x的方程x22kx10的兩根x1、x2滿

10、足1x10x22，即k0，故選擇A.變?cè)囶} 已知aR，若關(guān)于x的方程x2x|a|0有實(shí)根，則a的取值范圍是_【解析】方程即|a|x2x2，利用絕對(duì)值的幾何意義，得|a|，可得實(shí)數(shù)a的取值范圍為.探究點(diǎn)五函數(shù)方程思想在數(shù)列問題中的應(yīng)用例5 2010全國(guó)卷 記等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，設(shè)S312，且2a1，a2，a31成等比數(shù)列，求Sn.【解答】 設(shè)數(shù)列an的公差為d，依題設(shè)有即解得或因此Snn(3n1)，或Sn2n(5n)變?cè)囶} 已知函數(shù)f(x)若數(shù)列an滿足anf(n)(nN*)，且an是遞增數(shù)列，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A. B. C2,3) D(1,3)【解析】A依題意，數(shù)列an滿足a

11、nf(n)(nN*)，且an是遞增數(shù)列，所以f(x)在(0，)上是增函數(shù)，所以解得aln21且x0時(shí)，exx22ax1.【解答】(1)f(x)ex2，所以當(dāng)xln2，)時(shí)，f(x)是增函數(shù)；當(dāng)x(，ln2)時(shí)，f(x)是減函數(shù)所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是ln2，)，單調(diào)遞減區(qū)間是(，ln2)所以f(x)極小值f(ln2)22ln22a.(2)證明：設(shè)g(x)exx22ax1，則g(x)ex2x2a，由(1)知當(dāng)aln21時(shí)，g(x)最小值22ln22a，所以有g(shù)(x)最小值0，即g(x)在R上是增函數(shù)，于是當(dāng)aln21時(shí)，對(duì)任意x(0，)，都有g(shù)(x)g(0)，所以g(x)exx22ax10，

12、所以exx22ax1.22010撫州卷 已知數(shù)列an，bn中，a10，b11，且當(dāng)nN*時(shí)，an，bn，an1成等差數(shù)列，bn，an1，bn1成等比數(shù)列(1)求數(shù)列an，bn的通項(xiàng)公式；(2)求最小自然數(shù)k，使得當(dāng)nk時(shí)，對(duì)任意實(shí)數(shù)0,1，不等式(23)bn(24)an(3)恒成立【解答】 (1)依題意2bnanan1，abnbn1.又a10，b11， bn0，an0，且2bn，2(n2)， 數(shù)列是等差數(shù)列，又b24，b39，n，n1也適合bnn2，an(n1)n.(2)將an，bn代入不等式(23)bn(24)an(3)，整理得(2n1)n24n30.令f()(2n1)n24n3，則f()是

13、關(guān)于的一次函數(shù)，由題意可得解得n1或n3.存在最小自然數(shù)k3，使得當(dāng)nk時(shí)，不等式恒成立規(guī)律技巧提煉1函數(shù)方程思想就是用函數(shù)、方程的觀點(diǎn)和方法處量變量或未知數(shù)之間的關(guān)系，從而解決問題的一種思維方式，是很重要的數(shù)學(xué)思想(1)函數(shù)思想：把某變化過程中的一些相互制約的變量用函數(shù)關(guān)系表達(dá)出來，并研究這些量之間的相互制約關(guān)系，最后解決問題，這就是函數(shù)思想應(yīng)用函數(shù)思想解題，確立變量之間的函數(shù)關(guān)系是一關(guān)鍵步驟，大體可分為下面兩個(gè)步驟：根據(jù)題意建立變量之間的函數(shù)關(guān)系式，把問題轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的函數(shù)問題；根據(jù)需要構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的相關(guān)知識(shí)解決問題2)方程思想(：在某變化過程中，往往需要根據(jù)一些要求，確定某些變量的值

14、，這時(shí)常常列出這些變量的方程或(方程組)，通過解方程(或方程組)求出它們，這就是方程思想2函數(shù)與方程是兩個(gè)有著密切聯(lián)系的數(shù)學(xué)概念，它們之間相互滲透，很多方程的問題需要用函數(shù)的知識(shí)和方法解決，很多函數(shù)的問題也需要用方程的方法來支援，函數(shù)與方程之間的辯證關(guān)系，形成了函數(shù)方程思想第20講數(shù)形結(jié)合思想主干知識(shí)整合1數(shù)形結(jié)合思想的概念數(shù)形結(jié)合思想，就是把問題的數(shù)量關(guān)系和圖形結(jié)合起來考查的思想方法，即根據(jù)解決問題的需要，可以把數(shù)量關(guān)系的問題轉(zhuǎn)化為圖形的性質(zhì)和特征去研究，或者把圖形的性質(zhì)問題轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系的問題去研究數(shù)形結(jié)合思想，不僅是一種重要的解題方法，而且也是一種重要的思想方法，在高考中經(jīng)常考查2數(shù)與形

15、轉(zhuǎn)換的三條途徑(1)通過坐標(biāo)系的建立，引入數(shù)量化靜為動(dòng)，以動(dòng)求解(2)轉(zhuǎn)化，通過分析數(shù)與式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，把問題轉(zhuǎn)化到形的角度來考慮如將轉(zhuǎn)化為勾股定理或平面上兩點(diǎn)間的距離等(3)構(gòu)造，通過對(duì)數(shù)(式)與形特點(diǎn)的分析，聯(lián)想相關(guān)知識(shí)構(gòu)造圖形或函數(shù)等比如構(gòu)造一個(gè)幾何圖形，構(gòu)造一個(gè)函數(shù)，構(gòu)造一個(gè)圖表等3數(shù)形結(jié)合的主要解題方式(1)數(shù)轉(zhuǎn)化為形，即根據(jù)所給出的“數(shù)”的特點(diǎn)，構(gòu)造符合條件的幾何圖形，用幾何方法去解決(2)形轉(zhuǎn)化為數(shù)，即根據(jù)題目特點(diǎn)，用代數(shù)方法去研究幾何問題(3)數(shù)形結(jié)合，即用數(shù)研究形，用形研究數(shù)，相互結(jié)合，使問題變得簡(jiǎn)捷、直觀、明了華羅庚先生說：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微”運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解

16、題，不僅直觀，易于尋找解題途徑，而且能避免繁雜的計(jì)算和推理，簡(jiǎn)化解題過程，可起到事半功倍的效果所以華先生還一語雙關(guān)地告誡學(xué)生“不要得意忘形”要點(diǎn)熱點(diǎn)探究探究點(diǎn)一代數(shù)問題幾何化以形助數(shù)例1 (1)2010湖北卷 若直線yxb與曲線y3有公共點(diǎn)，則b的取值范圍是()A1,12 B12，12C12，3 D1，3(1)C【解析】 曲線方程可化簡(jiǎn)為(x2)2(y3)24(1y3)，即表示圓心為(2,3)，半徑為2的半圓依據(jù)數(shù)形結(jié)合，當(dāng)直線yxb與此半圓相切時(shí)須滿足圓心(2,3)到直線yxb距離等于2，2，解得b12或b12.因?yàn)槭窍掳雸A，故可得b12，當(dāng)直線過(0,3)時(shí)，解得b3，故12b3，所以C正

17、確 (2)2010全國(guó)卷 若變量x，y滿足約束條件則zx2y的最大值為()A4 B3 C2 D1(2)B【解析】 畫出可行域(如下圖)，zx2yyxz，由圖可知，當(dāng)直線l經(jīng)過點(diǎn)A(1，1)時(shí)，z最大，且最大值為zmax12(1)3.【點(diǎn)評(píng)】 本小題主要考查線性規(guī)劃知識(shí)、作圖、識(shí)圖能力及計(jì)算能力求解時(shí)，將代數(shù)式賦予了幾何意義，那就是直線的“在軸上的截距的2倍的相反數(shù)”，再結(jié)合圖形，從而使問題得到解決除了賦予“截距”的意義外，我們還經(jīng)常將式子賦予“斜率”“兩點(diǎn)間的距離”等請(qǐng)看下面變式題變?cè)囶}(1)已知實(shí)系數(shù)方程x2(m1)xmn10的兩個(gè)實(shí)根分別為x1，x2，且0x11，x21，則的取值范圍是()

18、A. B. C. D(2，1)(1) A【解析】 解答此題的關(guān)鍵是要由根的分布將條件轉(zhuǎn)化為m，n的關(guān)系式，令f(x)x2(m1)xmn1，則f(x)0的兩根分別滿足0x11，即有即為以上區(qū)域內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)(m，n)和原點(diǎn)連線的斜率的范圍(如圖)，從而得到20時(shí)函數(shù)為減函數(shù)，故選A.(2)2010安徽卷 設(shè)abc0，二次函數(shù)f(x)ax2bxc的圖象可能是()圖7202D【解析】 (2)根據(jù)二次函數(shù)圖象開口向上或向下，分a0或a0時(shí)，b、c同號(hào)，C、D兩圖中c0，故b0，選項(xiàng)D符合(3)2010重慶卷 到兩互相垂直的異面直線的距離相等的點(diǎn)，在過其中一條直線且平行于另一條直線的平面內(nèi)的軌跡是()A直線

19、B橢圓 C拋物線 D雙曲線(3)D【解析】 (圖形略)在邊長(zhǎng)為a的正方體ABCDA1B1C1D1中，DC與A1D1是兩互相垂直的異面直線，平面ABCD過直線DC且平行于A1D1，以D為原點(diǎn)，分別以DA，DC為x軸、y軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)P(x，y)在平面ABCD內(nèi)且到A1D1與DC的距離相等，則|x|，x2y2a2.【點(diǎn)評(píng)】 轉(zhuǎn)換數(shù)與形的重要途徑之一就是通過坐標(biāo)系的建立，引入數(shù)量，化靜為動(dòng)，以動(dòng)求解變?cè)囶}(1)2010湖南卷 函數(shù)yax2bx與ylogx(ab0，|a|b|)在同一直角坐標(biāo)系中的圖象可能是()圖7203(1)D【解析】 函數(shù)yax2bx與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)是(0,0)，.對(duì)于

20、A、B，由拋物線的圖象知，則(0,1)，所以ylog|x不是增函數(shù)，排除；對(duì)于C，由拋物線的圖象知a0且1，所以ylog|x應(yīng)是增函數(shù)排除C，故選D.(2)若動(dòng)直線x與函數(shù)f(x)sinx和g(x)cosx的圖象分別交于M、N兩點(diǎn)，則的最大值為()A1 B. C. D2 (2)B高考命題者說【考查目的】 本題考查三角函數(shù)的最大值的求法，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想【命制過程】 考生對(duì)f(x)sinx和g(x)cosx的圖象是比較熟悉的本題可以通過作圖直觀得到線段MN，但要從圖形的變化確定線段MN的長(zhǎng)度的最大值是困難的，這就必須將“形”轉(zhuǎn)化為“數(shù)”實(shí)際上|MN|sincos|sin.命制本題的目的是考

21、查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用和三角函數(shù)yAsin(x)的最大值的求解方法【解題思路】 |MN|sincos|.【試題評(píng)價(jià)】 試題以考生熟悉的三角函數(shù)圖象入手，巧妙設(shè)計(jì)動(dòng)態(tài)的圖形變化，將“形”的問題求|MN|的最大值，轉(zhuǎn)化為“數(shù)”的問題求函數(shù)y|sincos|的最大值，不僅突出考查了三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，也考查了考生將知識(shí)遷移到不同情境中的能力，將數(shù)形結(jié)合的思想充分展現(xiàn)出來(引自高等教育出版社2009年大綱版的高考理科試題分析第62頁第8題)探究點(diǎn)三“數(shù)”“形”互助相得益彰例3 (1)2010全國(guó)卷1 已知F是橢圓C的一個(gè)焦點(diǎn)，B是短軸的一個(gè)端點(diǎn)，線段BF的延長(zhǎng)線交C于點(diǎn)D, 且2，則C的離心率為_(1

22、)【解析】 (法一)如圖，|BF|a，作DD1y軸于點(diǎn)D1，則由2，得，所以|DD1|OF|c，即xD，由橢圓的第二定義得|FD|ea.又由|BF|2|FD|，得a2ae 解法二：設(shè)橢圓方程為第一標(biāo)準(zhǔn)形式1，設(shè)D(x2，y2)，F(xiàn)分BD所成的比為2，xCx2xCc；yCy2，代入橢圓方程得1e.(2)2010安徽卷 橢圓E經(jīng)過點(diǎn)A(2,3)，對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2在x軸上，離心率e.(1)求橢圓E的方程；(2)求F1AF2的角平分線所在直線的方程【解答】 (1)設(shè)橢圓E的方程為1.由e，即，a2c，得b2a2c23c2，所以橢圓方程1.將A(2,3)代入上式，得1，解得c2，橢圓E的方

23、程為1. (2)由(1)知F1(2,0)，F(xiàn)2(2,0)，所以直線AF1的方程為y(x2)，即3x4y60；直線AF2的方程為x2.由橢圓E的圖形知F1AF2的角平分線所在直線的斜率為正數(shù)設(shè)P(x，y)為F1AF2的角平分線所在直線上任一點(diǎn)，則|x2|.若3x4y65x10，即x2y80，其斜率為負(fù)，不合題意，舍去于是3x4y65x10，即2xy10.所以F1AF2的角平分線所在直線的方程為2xy10.教師備選習(xí)題(選題理由：1,2均為數(shù)形結(jié)合，很有代表性)12010黃岡卷 方程2sincos，0,2)的根的個(gè)數(shù)是()A1 B2 C3 D4【解析】B因?yàn)榉匠逃懈蔯os0，令sinx，(1x

24、1)，則問題轉(zhuǎn)化為方程2x的根的個(gè)數(shù)的問題，記C1：y2x，C2：y，則問題轉(zhuǎn)化為兩曲線交點(diǎn)個(gè)數(shù)的問題在同一坐標(biāo)系中畫出它們的圖象，如圖所示，故選B.【點(diǎn)評(píng)】 方程根的個(gè)數(shù)與曲線交點(diǎn)的個(gè)數(shù)是相同的本例先對(duì)數(shù)式換元轉(zhuǎn)化，再進(jìn)行數(shù)形轉(zhuǎn)化，最后考查曲線交點(diǎn)的個(gè)數(shù)2如果實(shí)數(shù)x，y滿足等式(x2)2y23，則的最大值是()A. B. C. D.【解析】 D將寫成的形式，這樣就可以看成是圓(x2)2y23上任意一點(diǎn)到定點(diǎn)(0,0)連線的斜率如圖，顯然當(dāng)連線與圓相切時(shí)取得最值，其中傾斜角為銳角的切線斜率最大，為.規(guī)律技巧提煉1運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想分析解決問題時(shí)，要遵循三個(gè)原則：(1)等價(jià)性原則：要注意由于所作的

25、草圖不能精確刻畫數(shù)量關(guān)系帶來的負(fù)面效應(yīng)；(2)雙向性原則：即進(jìn)行幾何直觀分析，又要進(jìn)行相應(yīng)的代數(shù)抽象探求，僅對(duì)代數(shù)問題進(jìn)行幾何分析容易失真；(3)簡(jiǎn)單性原則：不要為了“數(shù)形結(jié)合”而數(shù)形結(jié)合，而取決于是否有效、簡(jiǎn)便和更易達(dá)到解決問題的目的2運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想分析解決問題時(shí)要注意：(1)兩個(gè)或兩個(gè)以上的函數(shù)圖象在同一個(gè)坐標(biāo)系內(nèi)時(shí)，必須要考慮它們的相對(duì)位置關(guān)系，否則極易出錯(cuò)例如方程sinxlgx有多少個(gè)實(shí)數(shù)解？很多學(xué)生由圖得只有1個(gè)解，這是錯(cuò)誤的(2)要熟記常見函數(shù)或曲線的形狀和位置，畫圖要比較準(zhǔn)確第21講分類討論思想主干知識(shí)整合1分類討論是解決問題的一種邏輯方法，同時(shí)也是一種數(shù)學(xué)思想，這種思想對(duì)于簡(jiǎn)

26、化研究對(duì)象，發(fā)展人的思維有著重要的幫助，因此，有關(guān)分類討論的數(shù)學(xué)命題在高考試題中占有重要位置所謂分類討論，就是當(dāng)問題所給的對(duì)象不能進(jìn)行統(tǒng)一研究時(shí)，就需要對(duì)研究對(duì)象按某個(gè)標(biāo)準(zhǔn)分類，然后對(duì)每一類分別研究得出每一類的結(jié)論，最后綜合各類結(jié)果得到整個(gè)問題的解答實(shí)質(zhì)上，分類討論是“化整為零，各個(gè)擊破，再積零為整”的數(shù)學(xué)策略2運(yùn)用分類討論思想解題的基本步驟：(1)明確討論的對(duì)象：即對(duì)哪個(gè)參數(shù)進(jìn)行討論；(2)對(duì)所討論的對(duì)象進(jìn)行合理分類(分類時(shí)要做到不重復(fù)、不遺漏、標(biāo)準(zhǔn)要統(tǒng)一、分層不越級(jí))；(3)逐類討論：即對(duì)各類問題詳細(xì)討論，逐步解決；(4)歸納總結(jié)：將各類情況總結(jié)歸納3明確引起分類討論的原因，有利于掌握用分

27、類討論的思想方法解決問題，分類討論的主要原因有：(1)由數(shù)學(xué)概念引起的分類討論：如絕對(duì)值的定義、不等式的定義、二次函數(shù)的定義、直線與平面所成的角、直線的傾斜角、兩條直線所成的角等；(2)由數(shù)學(xué)運(yùn)算要求引起的分類討論：如除法運(yùn)算中除數(shù)不為零、偶次方根為非負(fù)、對(duì)數(shù)中真數(shù)與底數(shù)的要求、不等式中兩邊同乘以一個(gè)正數(shù)、負(fù)數(shù)對(duì)不等號(hào)方向的影響等；(3)由函數(shù)的性質(zhì)、定理、公式的限制引起的分類討論；(4)由圖形的不確定性引起的分類討論；(5)由參數(shù)的變化引起的分類討論，某些含參數(shù)的問題，由于參數(shù)的取值不同會(huì)導(dǎo)致所得結(jié)果不同，或者由于不同的參數(shù)值要運(yùn)用不同的求解或證明方法；(6)其他根據(jù)實(shí)際問題具體分析進(jìn)行分類

28、討論，如排列、組合問題，應(yīng)用問題等要點(diǎn)熱點(diǎn)探究探究點(diǎn)一根據(jù)數(shù)學(xué)概念分類討論例1 2009廣東卷 已知二次函數(shù)yg(x)的導(dǎo)函數(shù)的圖象與直線y2x平行，且yg(x)在x1處取得極小值m1(m0)設(shè)f(x).(1)若曲線yf(x)上的點(diǎn)P到點(diǎn)Q(0,2)的距離的最小值為，求m的值；(2)k(kR)如何取值時(shí)，方程f(x)kx0有解，并求出該方程的解【解答】(1)依題可設(shè)g(x)a(x1)2m1(a0)，則g(x)2a(x1)2ax2a，又g(x)的圖象與直線y2x平行，2a2，a1，g(x)(x1)2m1x22xm，f(x)x2.設(shè)P(x0，y0)，則|PQ|2x(y02)2x22x2m22m2|

29、m|2m，當(dāng)且僅當(dāng)2x時(shí)，|PQ|2取得最小值，即|PQ|取得最小值.當(dāng)m0時(shí)，解得m1；當(dāng)m0，當(dāng)m0，k1或者m0，k1(m0)，或k1(m0(n1,2，) (1)求q的取值范圍；(2)設(shè)bnan2an1，記bn的前n項(xiàng)和為Tn，試比較Sn與Tn的大小【解析】 由于涉及等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用，須分q1和q1討論欲比較Sn與Tn的大小，只需求出Sn與Tn后，再用作差法比較【解答】 (1)因?yàn)閍n是等比數(shù)列，Sn0，可得a1S10，q0.當(dāng)q1時(shí)，Snna10；當(dāng)q1時(shí)，Sn0，即0，(n1,2，)上式等價(jià)于不等式組：(n1,2，)或(n1,2，)解式得q1；解，由于n可為奇數(shù)、可為偶數(shù)

30、，得1q0，且1q0，當(dāng)1q2時(shí)TnSn0，即TnSn；當(dāng)q2且q0時(shí)，TnSn0，即Tn0，此時(shí)f(x)0，函數(shù)f(x)在(0,1)上單調(diào)遞減；當(dāng)x(1，)時(shí)，g(x)0，函數(shù)f(x)在(1，)上單調(diào)遞增當(dāng)a0時(shí)，由f(x)0，即ax2x1a0，解得x11，x21，(i)當(dāng)a時(shí)，x1x2，g(x)0恒成立，此時(shí)f(x)0，函數(shù)f(x)在(0，)上單調(diào)遞減；(ii)當(dāng)0a時(shí)，x10，此時(shí)f(x)0，函數(shù)f(x)在(0,1)上單調(diào)遞減；當(dāng)x時(shí)，g(x)0，函數(shù)f(x)在上單調(diào)遞增；x時(shí)，g(x)0，此時(shí)f(x)0，函數(shù)f(x)在上單調(diào)遞減；(iii)當(dāng)a0時(shí)，由于1x2，當(dāng)x(0,1)時(shí)，g(x

31、)0，此時(shí)f(x)0，函數(shù)f(x)在(0,1)上單調(diào)遞減；x(1，)時(shí)，g(x)0，函數(shù)f(x)在(1，)上單調(diào)遞增綜上所述：當(dāng)a0時(shí)，函數(shù)f(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，函數(shù)f(x)在(1，)上單調(diào)遞增；當(dāng)0a時(shí)，函數(shù)f(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，函數(shù)f(x)在上單調(diào)遞增，函數(shù)f(x)在上單調(diào)遞減；當(dāng)a時(shí)，函數(shù)f(x)在(0，)上單調(diào)遞減【點(diǎn)評(píng)】 本題分類討論的目的是為了判定導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，正是因?yàn)閍的不同取值對(duì)導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)的影響，才決定著必須進(jìn)行分類討論討論時(shí)要突出目的性、全面性、準(zhǔn)確性探究點(diǎn)四根據(jù)圖形位置或形狀變動(dòng)分類討論例4 2010遼寧卷 有四根長(zhǎng)都為2的直鐵條，若再選兩根長(zhǎng)都為a的

32、直鐵條，使這六根鐵條端點(diǎn)處相連能夠焊接成一個(gè)三棱錐形的鐵架，則a的取值范圍是()A(0，) B(1,2)C(，) D(0,2)A【解析】 根據(jù)條件，四根長(zhǎng)為2的直鐵條與兩根長(zhǎng)為a的直鐵條要組成三棱錐形的鐵架，有以下兩種情況：(1)底面是邊長(zhǎng)為2的正三角形，三條側(cè)棱長(zhǎng)為2，a，a，如圖(1)，此時(shí)a可以取最大值，可知AD，SD，則有2，即a284()2，即有a0即可滿足條件綜上分析可知a(0，)【點(diǎn)評(píng)】 涉及幾何問題時(shí)，由于幾何元素的形狀、位置變化的不確定性，需要根據(jù)圖形的特征進(jìn)行分類討論變?cè)囶} (1)已知橢圓1的兩個(gè)焦點(diǎn)分別是F1，F(xiàn)2，P是橢圓上的任意一點(diǎn)，則使得三角形PF1F2是直角三角形

33、的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為( )A2 B4 C6 D8 (1)D【解析】按照直角三角形PF1F2的直角頂點(diǎn)的不同情況分析研究若F1為直角頂點(diǎn)，則這樣的直角三角形一定存在，且有兩個(gè)，如圖.若F2為直角頂點(diǎn)，則這樣的直角三角形一定存在，且有兩個(gè)，如圖.若P為直角頂點(diǎn)，若這樣的P點(diǎn)存在，設(shè)其坐標(biāo)為(x，y)，依題意F1(4,0)，F(xiàn)2(4,0)，于是(4x，y)，(4x，y)，因?yàn)镻為直角，所以0，因此x2y2160，又因?yàn)?，所以解得所以P點(diǎn)坐標(biāo)為，故這樣的直角三角形也存在，并且有4個(gè)，如圖.綜上所述，使得三角形PF1F2是直角三角形的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為8，選D.【點(diǎn)評(píng)】 本題考查了橢圓中的焦點(diǎn)三角形問題，其關(guān)鍵是

34、按照直角頂點(diǎn)的不同情況進(jìn)行分類研究(2)2009上海卷 過圓C：(x1)2(y1)21的圓心，作直線分別交x、y正半軸于點(diǎn)A、B，AOB被圓分成四部分(如圖7211)，若這四部分圖形的面積滿足SSSS，則直線AB有( )圖7211A0條 B1條 C2條 D3條B【解析】 由已知，得SSSS，第，部分的面積是定值，所以SS為定值，即SS為定值，當(dāng)直線AB繞著圓心C移動(dòng)時(shí)，只可能有一個(gè)位置符合題意，即直線AB只有一條，故選B.(3)2009浙江卷 設(shè)向量a，b滿足|a|3，|b|4，ab0.以a，b，ab的模為邊長(zhǎng)構(gòu)成三角形，則它的邊與半徑為1的圓的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)最多為()A3 B4 C5 D6(3)

35、B【解析】 因?yàn)?，所以以a，b，ab的模為邊長(zhǎng)構(gòu)成直角三角形；對(duì)于半徑為1的圓有一個(gè)位置正好是三角形的內(nèi)切圓，此時(shí)只有三個(gè)交點(diǎn)，對(duì)于圓的位置稍微右移且再向下移，能實(shí)現(xiàn)4個(gè)交點(diǎn)的情況，如圖，但5個(gè)以上的交點(diǎn)不能實(shí)現(xiàn)教師備選習(xí)題(選題理由：避免分類討論的幾種方法1消去參數(shù)，避免分類討論；2.分離參數(shù)，避免分類討論)1已知0a1,0m1，比較|logm(1a)|與|logm(1a)|的大小【解析】 若按常規(guī)解法去絕對(duì)值，須分0m1兩種情況討論但注意到兩對(duì)數(shù)同底，可用作商比較法，通過換底公式可消去參數(shù)m，這樣可避免對(duì)參數(shù)m的分類討論【解答】 log(1a).因?yàn)?a1,1a1，即1.故|logm(1

36、a)|logm(1a)|.【點(diǎn)評(píng)】 若將題設(shè)條件改為1a1，則必須對(duì)a進(jìn)行分類討論：當(dāng)0a1時(shí)，同上；當(dāng)a0時(shí)，|logm(1a)|logm(1a)|；當(dāng)1a0時(shí)，同理得|logm(1a)|0對(duì)|x|1恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍【解析】 若設(shè)f(m)x22mx2m1(xm)2m22m1，由|x|1知，對(duì)m應(yīng)分m1三種情況討論若分離參數(shù)，則不用討論【解答】 原不等式等價(jià)于2m(1x)1x2.當(dāng)x1時(shí)，顯然成立；當(dāng)x1時(shí)，因?yàn)閨x|1，所以1x0，則有m恒成立，只需mmax.因?yàn)?22)1，當(dāng)1x，即x1時(shí)取“”，即max1，所以m1.【點(diǎn)評(píng)】 對(duì)二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題，是最容易引起“討論”

37、的本題求解過程中，求1x的最小值時(shí)，要注意驗(yàn)證取等號(hào)的條件規(guī)律技巧提煉分類討論思想的本質(zhì)上是“化整為零，積零為整”用分類討論的思維策略解數(shù)學(xué)問題的操作過程：明確討論的對(duì)象和動(dòng)機(jī)確定分類的標(biāo)準(zhǔn)逐類進(jìn)行討論歸納綜合結(jié)論檢驗(yàn)分類是否完備(即分類對(duì)象彼此交集為空集，并集為全集)做到“確定對(duì)象的全體，明確分類的標(biāo)準(zhǔn)，分類不重復(fù)、不遺漏”的分析討論第22講轉(zhuǎn)化與劃歸思想主干知識(shí)整合轉(zhuǎn)化與化歸的思想，就是在研究和解決數(shù)學(xué)問題時(shí)采用某種方式，借助某種函數(shù)性質(zhì)、圖象、公式或已知條件將問題通過變換加以轉(zhuǎn)化，進(jìn)而達(dá)到解決問題的思想等價(jià)轉(zhuǎn)化有一些模式可以遵循，總是將抽象轉(zhuǎn)化為具體，化復(fù)雜為簡(jiǎn)單(高維向低維的轉(zhuǎn)化，多元

38、向一元的轉(zhuǎn)化，高次向低次的轉(zhuǎn)化等)、化未知為已知在用化歸方法解題時(shí)要求我們的思維一定要有靈活性、多樣性、聯(lián)想性、開放性，通過變換迅速而合理地尋找和選擇解決問題的途徑和方法1化歸的常用模式2常見的化歸方法(1)換元法：例如利用“換元”將無理式化為有理式，高次問題化為低次問題；(2)數(shù)形結(jié)合法：把形(數(shù))轉(zhuǎn)化為數(shù)(形)，數(shù)形互補(bǔ)、互換獲得問題的解題思路；(3)向量法(復(fù)數(shù)法)：把問題轉(zhuǎn)化為向量(復(fù)數(shù))問題；(4)參數(shù)法：通過引入?yún)?shù)，轉(zhuǎn)化問題的形式，易于解決；(5)建模法：構(gòu)造數(shù)學(xué)模型，把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題或把一類數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化為另一類數(shù)學(xué)問題；(6)坐標(biāo)法：以坐標(biāo)為工具，實(shí)現(xiàn)“數(shù)”、“形”的對(duì)

39、應(yīng)、轉(zhuǎn)化；(7)類比法：類比是根據(jù)兩個(gè)對(duì)象或兩類事物間存在著相同或不同的屬性，聯(lián)想到另一類事物也可能具有某種屬性的思想方法，一般由特殊向一般類比，抽象向具體類比，低維向高維類比，平行類比；(8)特殊化法：將一般問題特殊化，從特殊問題的解決中，尋找一般問題的解題策略；(9)一般化方法：有時(shí)問題的本質(zhì)特征可能被具體問題所掩蓋，這時(shí)應(yīng)把特殊問題一般化，尋找解題思路；(10)加強(qiáng)命題法：即把命題結(jié)論加強(qiáng)為原命題的充分條件；(11)正與反的轉(zhuǎn)化；(12)函數(shù)與方程、不等式之間的轉(zhuǎn)化；(13)空間與平面之間的轉(zhuǎn)化；(14)整體與局部的轉(zhuǎn)化等等要點(diǎn)熱點(diǎn)探究探究點(diǎn)一一般問題與特殊問題的化歸例1 (1)2010

40、安徽卷 設(shè)an是任意等比數(shù)列，它的前n項(xiàng)和，前2n項(xiàng)和與前3n項(xiàng)和分別為X，Y，Z，則下列等式中恒成立的是()AXZ2Y BY(YX)Z(ZX)CY2XZ DY(YX)X(ZX)(1)D【解析】 取等比數(shù)列1,2,4，令n1，得X1，Y3，Z7代入驗(yàn)算，只有選項(xiàng)D滿足【點(diǎn)評(píng)】 對(duì)于含有較多字母的客觀題，可以取滿足條件的數(shù)字代替字母，代入驗(yàn)證，若能排除3個(gè)選項(xiàng)，剩下唯一正確的就一定正確，若不能完全排除，可以取其他數(shù)字驗(yàn)證繼續(xù)排除本題也可以用首項(xiàng)a1、公比q和項(xiàng)數(shù)n表示代入驗(yàn)證得結(jié)論(2)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知ABC的頂點(diǎn)A(4,0)和C(4,0)，頂點(diǎn)B在橢圓1上，則_.(2)【解析】

41、頂點(diǎn)B取橢圓短軸端點(diǎn)，即B(0,3)，則sinAsinCcos，sin，sinB2sincos2，.【點(diǎn)評(píng)】 這里頂點(diǎn)B是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，所以sinA、sinB、sinC不易確定但根據(jù)“一般成立特殊一定成立”可將這個(gè)一般性的問題轉(zhuǎn)化為B點(diǎn)在特殊位置(橢圓短軸端點(diǎn))來處理較易像這種“特殊與一般的相互轉(zhuǎn)化”在高考的選擇題和填空題中經(jīng)常用到當(dāng)然，注意到A、C是兩焦點(diǎn)，利用正弦定理，進(jìn)行數(shù)形轉(zhuǎn)化也能取得很好的效果探究點(diǎn)二正向思維與逆向思維的化歸例2若二次函數(shù)f(x)4x22(p2)x2p2p1在區(qū)間1,1內(nèi)至少存在一個(gè)值c使得f(c)0，求實(shí)數(shù)p的取值范圍【解答】 如果在1,1內(nèi)沒有值滿足f(c)0，則

42、p3或p，取補(bǔ)集為3p，即為滿足條件的p的取值范圍【點(diǎn)評(píng)】 在處理某一問題時(shí)，按習(xí)慣思維從正面思考比較困難，這時(shí)用逆向思維的方式從反面去考慮，往往使問題變得比較簡(jiǎn)單變?cè)囶} 甲、乙二人依次從標(biāo)有1,2,3，9的九張卡片中不放回地抽取一張卡片，則甲、乙二人至少抽到一張奇數(shù)數(shù)字卡片的概率是_【解析】設(shè)甲、乙二人至少抽到一張奇數(shù)數(shù)字卡片的概率為P，則甲、乙二人至少抽到一張奇數(shù)數(shù)字卡片的對(duì)立事件為甲、乙二人均抽到標(biāo)有偶數(shù)數(shù)字的卡片，設(shè)為，則P11.【點(diǎn)評(píng)】 正難則反，利用補(bǔ)集求得其解，這就是補(bǔ)集思想，充分體現(xiàn)對(duì)立統(tǒng)一、相互轉(zhuǎn)化的思想方法一般地，題目若出現(xiàn)多種成立的情形，則不成立的情形相對(duì)很少，從反面考慮

43、較簡(jiǎn)單，因此，間接法多用于含有“至多”、“至少”情形的問題中探究點(diǎn)三抽象問題與具體問題的化歸例3 ，(其中e為自然常數(shù))的大小關(guān)系是()A. B. C. D.0得x2，即函數(shù)f(x)在(2，)上單調(diào)遞增，因此有f(4)f(5)f(6)，即，故選A.【點(diǎn)評(píng)】本題結(jié)合函數(shù)思想，把問題化歸為函數(shù)f(x)的單調(diào)性問題，體現(xiàn)了化歸的一般化策略，一般化策略不僅有助于命題的推廣，而且是化歸的重要途徑如果放寬眼界，使問題中的某些因素或結(jié)構(gòu)形式一般化，借助于一般化的結(jié)論或一般化的方法，將有助于特殊問題的解決探究點(diǎn)四命題與等價(jià)命題的化歸例4 設(shè)f(x)2cos2xcosx1(0x)，若方程f(x)k(cosx2)

44、中的cosx有一正一負(fù)兩個(gè)值，求實(shí)數(shù)k的取值范圍【解答】 令cosxt，t(1,1)，則由f(x)k(cosx2)，得2t2(1k)t2k10，(1)方程f(x)k(cosx2)中的cosx有一正一負(fù)兩個(gè)值，等價(jià)于關(guān)于t的方程(1)在t(1,1)中有兩根異號(hào)設(shè)g(t)2t2(1k)t2k1，則原問題又等價(jià)于由此可得0k.【點(diǎn)評(píng)】 根據(jù)問題的特點(diǎn)轉(zhuǎn)化命題，將未知的問題向已知的知識(shí)轉(zhuǎn)化，并使未知和已知的知識(shí)發(fā)生聯(lián)系，使之能用熟悉的知識(shí)和方法解決新的問題，是解決數(shù)學(xué)問題的常用思路例如要求空間兩條異面直線所成的角，只需通過作平行線轉(zhuǎn)化成大家所熟悉的兩相交直線所成的角又如復(fù)雜的三角函數(shù)的最值問題有時(shí)也可

45、以通過換元轉(zhuǎn)化為熟悉的二次函數(shù)最值問題，再如還可以用三角法解決幾何量的最值問題等等變?cè)囶} 如圖7221所示，在等邊三角形ABC中，ABa，O為中心，過O的直線交AB于M，交AC于N，求的最大值和最小值圖7221【解答】 由于O為正三角形ABC的中心，所以AOa，MAONAO，設(shè)MOA，則.在AOM中，由正弦定理，得，得OM.在AON中，由正弦定理，得ON，所以.，sin21.故當(dāng)時(shí)，取得最大值；當(dāng)或時(shí)，此時(shí)取得最小值.【點(diǎn)評(píng)】 將難以下手的題目轉(zhuǎn)化為自己熟練掌握的基本問題，是應(yīng)用化歸思想的靈魂，要求必須做到轉(zhuǎn)化有目標(biāo)、轉(zhuǎn)化有橋梁、轉(zhuǎn)化有效果本題將OM，ON利用正弦定理轉(zhuǎn)化為的三角函數(shù)式，注意的隱含范圍教師備選習(xí)題(選題理由：1.實(shí)際問題化為數(shù)學(xué)問題；2.補(bǔ)集思想；3.等價(jià)轉(zhuǎn)化思想)12009湖北卷 如圖，衛(wèi)星