《2013高考數(shù)學(xué) 解題方法攻略 圓錐曲線(xiàn) 理》由會(huì)員分享，可在線(xiàn)閱讀，更多相關(guān)《2013高考數(shù)學(xué) 解題方法攻略 圓錐曲線(xiàn) 理（56頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、圓錐曲線(xiàn)一、知識(shí)結(jié)構(gòu)1.方程的曲線(xiàn)在平面直角坐標(biāo)系中，如果某曲線(xiàn)C(看作適合某種條件的點(diǎn)的集合或軌跡 )上的點(diǎn)與一個(gè)二元方程f(x,y)=0的實(shí)數(shù)解建立了如下的關(guān)系：(1)曲線(xiàn)上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是這個(gè)方程的解；(2)以這個(gè)方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線(xiàn)上的點(diǎn).那么這個(gè)方程叫做曲線(xiàn)的方程；這條曲線(xiàn)叫 做方程的曲線(xiàn).點(diǎn)與曲線(xiàn)的關(guān)系 若曲線(xiàn)C的方程是f(x,y)=0，則點(diǎn)P0(x0,y0)在曲線(xiàn)C上f(x0,y 0)=0；點(diǎn)P0(x0,y0)不在曲線(xiàn)C上f(x0,y0)0兩條曲線(xiàn)的交點(diǎn) 若曲線(xiàn)C1，C2的方程分別為f1(x,y)=0,f2(x,y)=0,則 f1(x0,y0)=0點(diǎn)P0(x0,y0)是C1，

2、C2的交點(diǎn) f2(x0,y0) =0方程組有n個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，兩條曲線(xiàn)就有n個(gè)不同的交點(diǎn)；方程組沒(méi)有實(shí)數(shù)解，曲線(xiàn)就沒(méi)有 交點(diǎn).2.圓圓的定義點(diǎn)集：MOM=r，其中定點(diǎn)O為圓心，定長(zhǎng)r為半徑.圓的方程(1)標(biāo)準(zhǔn)方程圓心在c(a,b)，半徑為r的圓方程是(x-a)2+(y-b)2=r2圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)，半徑為r的圓方程是x2+y2=r2(2)一般方程當(dāng)D2+E2-4F0時(shí)，一元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0叫做圓的一般方程，圓心為(-,-，半徑是.配方，將方程x2+y2+Dx+Ey+F=0化為(x+)2+(y+)2=當(dāng)D2+E2-4F=0時(shí)，方程表示一個(gè)點(diǎn)(-,-);當(dāng)D2+E2-4F0時(shí)，

3、方程不表示任何圖形.點(diǎn)與圓的位置關(guān)系 已知圓心C(a,b),半徑為r,點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x0,y0)，則MCr點(diǎn)M在圓C內(nèi)，MC=r點(diǎn)M在圓C上，MCr點(diǎn)M在圓C內(nèi)，其中MC=.(3)直線(xiàn)和圓的位置關(guān)系直線(xiàn)和圓有相交、相切、相離三種位置關(guān)系直線(xiàn)與圓相交有兩個(gè)公共點(diǎn)直線(xiàn)與圓相切有一個(gè)公共點(diǎn)直線(xiàn)與圓相離沒(méi)有公共點(diǎn)直線(xiàn)和圓的位置關(guān)系的判定(i)判別式法(ii)利用圓心C(a,b)到直線(xiàn)Ax+By+C=0的距離d=與半徑r的大小關(guān)系來(lái)判定.3.橢圓、雙曲線(xiàn)和拋物線(xiàn)橢圓、雙曲線(xiàn)和拋物線(xiàn)的基本知識(shí)見(jiàn)下表.曲線(xiàn)性質(zhì)橢 圓雙曲線(xiàn)拋物線(xiàn)軌跡條件點(diǎn)集：(MMF1+MF2=2a,F 1F22a點(diǎn)集：MMF1-MF2.=

4、2a,F2F22a.點(diǎn)集M MF=點(diǎn)M到直線(xiàn)l的距離.圓 形標(biāo)準(zhǔn)方程+=1(ab0)-=1(a0,b0)y2=2px(p0)頂 點(diǎn)A1(-a,0),A2(a,0);B1(0,-b),B2(0,b)A1(0,-a),A2(0,a)O(0,0)軸對(duì)稱(chēng)軸x=0,y=0長(zhǎng)軸長(zhǎng)：2a短軸長(zhǎng)：2b對(duì)稱(chēng)軸x=0,y=0實(shí)軸長(zhǎng)：2a 虛軸長(zhǎng)：2b對(duì)稱(chēng)軸y=焦 點(diǎn)F1(-c,0),F2(c,0)焦點(diǎn)在長(zhǎng)軸上F1(-c,0),F2(c,0)焦點(diǎn)在實(shí)軸上F(，0)焦點(diǎn)對(duì)稱(chēng)軸上焦 距F1F2=2c，c=F1F2=2c,c=準(zhǔn) 線(xiàn)x=準(zhǔn)線(xiàn)垂直于長(zhǎng)軸，且在橢圓外.x=準(zhǔn)線(xiàn)垂直于實(shí)軸，且在兩頂點(diǎn)的內(nèi)側(cè).x=-準(zhǔn)線(xiàn)與焦點(diǎn)位于

5、頂點(diǎn)兩側(cè)，且到頂點(diǎn)的距離相等.離心率e=,0e1e=,e1e=1 4.圓錐曲線(xiàn)的統(tǒng)一定義平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)P(x,y)到一個(gè)定點(diǎn)F(c,0)的距離與到不通過(guò)這個(gè)定點(diǎn)的一條定直線(xiàn)l的距離之 比是一個(gè)常數(shù)e(e0),則動(dòng)點(diǎn)的軌跡叫做圓錐曲線(xiàn).其中定點(diǎn)F(c,0)稱(chēng)為焦點(diǎn)，定直線(xiàn)l稱(chēng)為準(zhǔn)線(xiàn)，正常數(shù)e稱(chēng)為離心率.當(dāng)0e1時(shí)，軌跡為橢圓當(dāng)e=1時(shí)，軌跡為拋物線(xiàn)當(dāng)e1時(shí)，軌跡為雙曲線(xiàn)5.坐標(biāo)變換坐標(biāo)變換 在解析幾何中，把坐標(biāo)系的變換(如改變坐標(biāo)系原點(diǎn)的位置或坐標(biāo)軸的方向)叫做 坐標(biāo)變換.實(shí)施坐標(biāo)變換時(shí)，點(diǎn)的位置，曲線(xiàn)的形狀、大小、位置都不改變，僅僅只改變點(diǎn) 的坐標(biāo)與曲線(xiàn)的方程.坐標(biāo)軸的平移 坐標(biāo)軸的方向和長(zhǎng)度單

6、位不改變，只改變?cè)c(diǎn)的位置，這種坐標(biāo)系的變換叫 做坐標(biāo)軸的平移，簡(jiǎn)稱(chēng)移軸.坐標(biāo)軸的平移公式 設(shè)平面內(nèi)任意一點(diǎn)M，它在原坐標(biāo)系xOy中的坐標(biāo)是9x,y)，在新坐標(biāo)系x Oy中的坐標(biāo)是(x,y).設(shè)新坐標(biāo)系的原點(diǎn)O在原坐標(biāo)系xOy中的坐標(biāo)是(h,k)，則 x=x+h x=x-h(1) 或(2) y=y+k y=y-k公式(1)或(2)叫做平移(或移軸)公式.中心或頂點(diǎn)在(h,k)的圓錐曲線(xiàn)方程中心或頂點(diǎn)在(h,k)的圓錐曲線(xiàn)方程見(jiàn)下表.方 程焦 點(diǎn)焦 線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸橢圓+=1(c+h,k)x=+hx=hy=k+ =1(h,c+k)y=+kx=hy=k雙曲線(xiàn)-=1(c+h,k)=+kx=hy=k-=1(h

7、,c+h)y=+kx=hy=k拋物線(xiàn)(y-k)2=2p(x-h)(+h,k)x=-+hy=k(y-k)2=-2p(x-h)(-+h,k)x=+hy=k(x-h)2=2p(y-k)(h, +k)y=-+kx=h(x-h)2=-2p(y-k)(h,- +k)y=+kx=h二、知識(shí)點(diǎn)、能力點(diǎn)提示(一)曲線(xiàn)和方程，由已知條件列出曲線(xiàn)的方程，曲線(xiàn)的交點(diǎn)說(shuō)明 在求曲線(xiàn)方程之前必須建立坐標(biāo)系，然后根據(jù)條件列出等式進(jìn)行化簡(jiǎn) .特別是在求出方程后要考慮化簡(jiǎn)的過(guò)程是否是同解變形，是否滿(mǎn)足已知條件，只有這樣求 出的曲線(xiàn)方程才能準(zhǔn)確無(wú)誤.另外，要求會(huì)判斷 曲線(xiàn)間有無(wú)交點(diǎn)，會(huì)求曲線(xiàn)的交點(diǎn)坐標(biāo).三、 考綱中對(duì)圓錐曲線(xiàn)的要

8、求：考試內(nèi)容：. 橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程.橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì).橢圓的參數(shù)方程；. 雙曲線(xiàn)及其標(biāo)準(zhǔn)方程.雙曲線(xiàn)的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)；. 拋物線(xiàn)及其標(biāo)準(zhǔn)方程.拋物線(xiàn)的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)；考試要求：. (1)掌握橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程和橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，理解橢圓的參數(shù)方程；. (2)掌握雙曲線(xiàn)的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程和雙曲線(xiàn)的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)；. (3)掌握拋物線(xiàn)的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程和拋物線(xiàn)的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)；. (4)了解圓錐曲線(xiàn)的初步應(yīng)用。四對(duì)考試大綱的理解高考圓錐曲線(xiàn)試題一般有3題(1個(gè)選擇題, 1個(gè)填空題, 1個(gè)解答題), 共計(jì)22分左右, 考查的知識(shí)點(diǎn)約為20個(gè)左右. 其命題一般緊扣課本, 突出重點(diǎn), 全面考查. 選擇題和填空

9、題考查以圓錐曲線(xiàn)的基本概念和性質(zhì)為主, 難度在中等以下，一般較容易得分，解答題常作為數(shù)學(xué)高考中的壓軸題，綜合考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合、等價(jià)轉(zhuǎn)換、分類(lèi)討論、邏輯推理等諸方面的能力，重點(diǎn)考查圓錐曲線(xiàn)中的重要知識(shí)點(diǎn), 通過(guò)知識(shí)的重組與鏈接, 使知識(shí)形成網(wǎng)絡(luò), 著重考查直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系, 往往結(jié)合平面向量進(jìn)行求解，在復(fù)習(xí)應(yīng)充分重視。求圓錐曲線(xiàn)的方程【復(fù)習(xí)要點(diǎn)】求指定的圓錐曲線(xiàn)的方程是高考命題的重點(diǎn)，主要考查識(shí)圖、畫(huà)圖、數(shù)形結(jié)合、等價(jià)轉(zhuǎn)化、分類(lèi)討論、邏輯推理、合理運(yùn)算及創(chuàng)新思維能力，解決好這類(lèi)問(wèn)題，除要求熟練掌握好圓錐曲線(xiàn)的定義、性質(zhì)外，命題人還常常將它與對(duì)稱(chēng)問(wèn)題、弦長(zhǎng)問(wèn)題、最值問(wèn)題等綜合在一起命制難度

10、較大的題，解決這類(lèi)問(wèn)題常用定義法和待定系數(shù)法.一般求已知曲線(xiàn)類(lèi)型的曲線(xiàn)方程問(wèn)題，可采用“先定形，后定式，再定量”的步驟.定形指的是二次曲線(xiàn)的焦點(diǎn)位置與對(duì)稱(chēng)軸的位置.定式根據(jù)“形”設(shè)方程的形式，注意曲線(xiàn)系方程的應(yīng)用，如當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)不確定在哪個(gè)坐標(biāo)軸上時(shí)，可設(shè)方程為mx2+ny2=1(m0,n0).定量由題設(shè)中的條件找到“式”中特定系數(shù)的等量關(guān)系，通過(guò)解方程得到量的大小.【例題】【例1】 雙曲線(xiàn)=1(bN)的兩個(gè)焦點(diǎn)F1、F2，P為雙曲線(xiàn)上一點(diǎn)，|OP|5,|PF1|,|F1F2|,|PF2|成等比數(shù)列，則b2=_.解：設(shè)F1(c,0）、F2(c,0)、P(x,y),則|PF1|2+|PF2|2=

11、2(|PO|2+|F1O|2)2(52+c2),即|PF1|2+|PF2|250+2c2,又|PF1|2+|PF2|2=(|PF1|PF2|)2+2|PF1|PF2|,依雙曲線(xiàn)定義，有|PF1|PF2|=4,依已知條件有|PF1|PF2|=|F1F2|2=4c216+8c250+2c2,c2,又c2=4+b2,b2,b2=1.答案：1【例2】 已知圓C1的方程為，橢圓C2的方程為，C2的離心率為，如果C1與C2相交于A、B兩點(diǎn)，且線(xiàn)段AB恰為圓C1的直徑，求直線(xiàn)AB的方程和橢圓C2的方程。解：由設(shè)橢圓方程為設(shè) 又 兩式相減，得 又即將由得解得 故所有橢圓方程【例3】 過(guò)點(diǎn)(1，0)的直線(xiàn)l與中

12、心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上且離心率為的橢圓C相交于A、B兩點(diǎn)，直線(xiàn)y=x過(guò)線(xiàn)段AB的中點(diǎn)，同時(shí)橢圓C上存在一點(diǎn)與右焦點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)l對(duì)稱(chēng)，試求直線(xiàn)l與橢圓C的方程.解法一：由e=,得,從而a2=2b2,c=b.設(shè)橢圓方程為x2+2y2=2b2,A(x1,y1),B(x2,y2)在橢圓上.則x12+2y12=2b2,x22+2y22=2b2,兩式相減得，(x12x22)+2(y12y22)=0,設(shè)AB中點(diǎn)為(x0,y0),則kAB=,又(x0,y0)在直線(xiàn)y=x上，y0=x0,于是=1,kAB=1,設(shè)l的方程為y=x+1.右焦點(diǎn)(b,0)關(guān)于l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)設(shè)為(x,y),由點(diǎn)(1,1b)在橢圓上，得1+2(

13、1b)2=2b2,b2=.所求橢圓C的方程為 =1,l的方程為y=x+1.解法二：由e=,從而a2=2b2,c=b.設(shè)橢圓C的方程為x2+2y2=2b2,l的方程為y=k(x1),將l的方程代入C的方程，得(1+2k2)x24k2x+2k22b2=0,則x1+x2=,y1+y2=k(x11)+k(x21)=k(x1+x2)2k=.直線(xiàn)l：y=x過(guò)AB的中點(diǎn)(),則,解得k=0，或k=1.若k=0,則l的方程為y=0,焦點(diǎn)F(c,0)關(guān)于直線(xiàn)l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)就是F點(diǎn)本身，不能在橢圓C上，所以k=0舍去，從而k=1，直線(xiàn)l的方程為y=(x1),即y=x+1,以下同解法一.解法3：設(shè)橢圓方程為直線(xiàn)不平行于

14、y軸，否則AB中點(diǎn)在x軸上與直線(xiàn)中點(diǎn)矛盾。故可設(shè)直線(xiàn)，則， 所以所求的橢圓方程為：【例4】 如圖，已知P1OP2的面積為，P為線(xiàn)段P1P2的一個(gè)三等分點(diǎn)，求以直線(xiàn)OP1、OP2為漸近線(xiàn)且過(guò)點(diǎn)P的離心率為的雙曲線(xiàn)方程.解：以O(shè)為原點(diǎn)，P1OP2的角平分線(xiàn)為x軸建立如圖所示的直角坐標(biāo)系.設(shè)雙曲線(xiàn)方程為=1(a0,b0)由e2=，得.兩漸近線(xiàn)OP1、OP2方程分別為y=x和y=x設(shè)點(diǎn)P1(x1, x1),P2(x2,x2)(x10,x20),則由點(diǎn)P分所成的比=2,得P點(diǎn)坐標(biāo)為(),又點(diǎn)P在雙曲線(xiàn)=1上，所以=1,即(x1+2x2)2(x12x2)2=9a2,整理得8x1x2=9a2 即x1x2=

15、由、得a2=4,b2=9故雙曲線(xiàn)方程為=1.【例5】 過(guò)橢圓C：上一動(dòng)點(diǎn)P引圓O：x2 +y2 =b2的兩條切線(xiàn)PA、PB，A、B為切點(diǎn)，直線(xiàn)AB與x軸，y軸分別交于M、N兩點(diǎn)。(1) 已知P點(diǎn)坐標(biāo)為(x0，y0 )并且x0y00，試求直線(xiàn)AB方程；(2) 若橢圓的短軸長(zhǎng)為8，并且，求橢圓C的方程；(3) 橢圓C上是否存在點(diǎn)P，由P向圓O所引兩條切線(xiàn)互相垂直？若存在，請(qǐng)求出存在的條件；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。解：(1)設(shè)A(x1，y1)，B(x2， y2)切線(xiàn)PA：，PB：P點(diǎn)在切線(xiàn)PA、PB上，直線(xiàn)AB的方程為(2)在直線(xiàn)AB方程中，令y=0，則M(，0)；令x=0，則N(0，) 2b=8 b

16、=4 代入得a2 =25, b2 =16橢圓C方程： （注：不剔除xy0，可不扣分）(3) 假設(shè)存在點(diǎn)P(x0，y0)滿(mǎn)足PAPB，連接OA、OB由|PA|=|PB|知，四邊形PAOB為正方形，|OP|=|OA| 又P點(diǎn)在橢圓C上 由知xab0 a2 b20(1)當(dāng)a22b20，即ab時(shí)，橢圓C上存在點(diǎn)，由P點(diǎn)向圓所引兩切線(xiàn)互相垂直；(2)當(dāng)a22b20，即ba0設(shè)x1,x2為方程*的兩根，則 故AB中點(diǎn)M的坐標(biāo)為(，)線(xiàn)段AB的垂直平分線(xiàn)方程為：將D(0，1)坐標(biāo)代入，化簡(jiǎn)得：4m=3k21故m、k滿(mǎn)足，消去k2得：m24m0解得：m4又4m=3k211 m故m.【直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)練習(xí)】一、選

17、擇題1斜率為1的直線(xiàn)l與橢圓+y2=1相交于A、B兩點(diǎn)，則|AB|的最大值為( )A.2B. C.D. 2拋物線(xiàn)y=ax2與直線(xiàn)y=kx+b(k0)交于A、B兩點(diǎn)，且此兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x1,x2,直線(xiàn)與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是x3,則恒有( )A.x3=x1+x2B.x1x2=x1x3+x2x3C.x1+x2+x3=0D.x1x2+x2x3+x3x1=0二、填空題3已知兩點(diǎn)M(1，)、N(4，)，給出下列曲線(xiàn)方程：4x+2y1=0,x2+y2=3,+y2=1,y2=1,在曲線(xiàn)上存在點(diǎn)P滿(mǎn)足|MP|=|NP|的所有曲線(xiàn)方程是_.4正方形ABCD的邊AB在直線(xiàn)y=x+4上，C、D兩點(diǎn)在拋物線(xiàn)y2=x上

18、，則正方形ABCD的面積為_(kāi).5在拋物線(xiàn)y2=16x內(nèi)，通過(guò)點(diǎn)(2，1)且在此點(diǎn)被平分的弦所在直線(xiàn)的方程是_.三、解答題6已知拋物線(xiàn)y2=2px(p0),過(guò)動(dòng)點(diǎn)M(a,0)且斜率為1的直線(xiàn)l與該拋物線(xiàn)交于不同的兩點(diǎn)A、B，且|AB|2p.(1)求a的取值范圍.(2)若線(xiàn)段AB的垂直平分線(xiàn)交x軸于點(diǎn)N，求NAB面積的最大值.7已知中心在原點(diǎn)，頂點(diǎn)A1、A2在x軸上，離心率e=的雙曲線(xiàn)過(guò)點(diǎn)P(6，6).(1)求雙曲線(xiàn)方程.(2)動(dòng)直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)A1PA2的重心G，與雙曲線(xiàn)交于不同的兩點(diǎn)M、N，問(wèn)：是否存在直線(xiàn)l,使G平分線(xiàn)段MN，證明你的結(jié)論.8已知雙曲線(xiàn)C的兩條漸近線(xiàn)都過(guò)原點(diǎn)，且都以點(diǎn)A(，0)為圓

19、心，1為半徑的圓相切，雙曲線(xiàn)的一個(gè)頂點(diǎn)A1與A點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)y=x對(duì)稱(chēng).(1)求雙曲線(xiàn)C的方程.(2)設(shè)直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)A，斜率為k,當(dāng)0k1時(shí)，雙曲線(xiàn)C的上支上有且僅有一點(diǎn)B到直線(xiàn)l的距離為，試求k的值及此時(shí)B點(diǎn)的坐標(biāo).直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)參考答案一、1.解析：弦長(zhǎng)|AB|=.答案：C2.解析：解方程組,得ax2kxb=0,可知x1+x2=,x1x2=,x3=,代入驗(yàn)證即可.答案：B二、3.解析：點(diǎn)P在線(xiàn)段MN的垂直平分線(xiàn)上，判斷MN的垂直平分線(xiàn)于所給曲線(xiàn)是否存在交點(diǎn).答案：4.解析：設(shè)C、D所在直線(xiàn)方程為y=x+b,代入y2=x,利用弦長(zhǎng)公式可求出|CD|的長(zhǎng)，利用|CD|的長(zhǎng)等于兩平行直線(xiàn)y=x+4與y

20、=x+b間的距離，求出b的值，再代入求出|CD|的長(zhǎng).答案：18或505.解析：設(shè)所求直線(xiàn)與y2=16x相交于點(diǎn)A、B，且A(x1,y1),B(x2,y2),代入拋物線(xiàn)方程得y12=16x1,y22=16x2,兩式相減得，(y1+y2）(y1y2)=16(x1x2).即kAB=8.故所求直線(xiàn)方程為y=8x15.答案：8xy15=0三、6.解：(1)設(shè)直線(xiàn)l的方程為：y=xa,代入拋物線(xiàn)方程得(xa)2=2px,即x22(a+p)x+a2=0|AB|=2p.4ap+2p2p2,即4app2又p0,a.(2)設(shè)A(x1,y1)、B(x2,y2)，AB的中點(diǎn) C(x,y),由(1)知，y1=x1a,

21、y2=x2a,x1+x2=2a+2p,則有x=p.線(xiàn)段AB的垂直平分線(xiàn)的方程為yp=(xap),從而N點(diǎn)坐標(biāo)為(a+2p,0）點(diǎn)N到AB的距離為從而SNAB=當(dāng)a有最大值時(shí)，S有最大值為p2.7.解：(1)如圖，設(shè)雙曲線(xiàn)方程為=1.由已知得,解得a2=9,b2=12.所以所求雙曲線(xiàn)方程為=1.(2)P、A1、A2的坐標(biāo)依次為(6,6)、(3，0)、(3，0），其重心G的坐標(biāo)為(2，2）假設(shè)存在直線(xiàn)l，使G(2，2)平分線(xiàn)段MN，設(shè)M(x1,y1)，N(x2,y2).則有，kl=l的方程為y= (x2)+2,由,消去y,整理得x24x+28=0.=164280,所求直線(xiàn)l不存在.8.解：(1)設(shè)

22、雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)為y=kx,由d=1,解得k=1.即漸近線(xiàn)為y=x,又點(diǎn)A關(guān)于y=x對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)為(0，).a=b,所求雙曲線(xiàn)C的方程為x2y2=2.(2)設(shè)直線(xiàn)l：y=k(x)(0k1,依題意B點(diǎn)在平行的直線(xiàn)l上，且l與l間的距離為.設(shè)直線(xiàn)l：y=kx+m,應(yīng)有,化簡(jiǎn)得m2+2km=2.把l代入雙曲線(xiàn)方程得(k21)x2+2mkx+m22=0,由=4m2k24(k21)(m22)=0.可得m2+2k2=2、兩式相減得k=m,代入得m2=,解設(shè)m=,k=,此時(shí)x=,y=.故B(2,).直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)【復(fù)習(xí)要點(diǎn)】直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)聯(lián)系在一起的綜合題在高考中多以高檔題、壓軸題出現(xiàn)，主要涉及位置關(guān)系的判定

23、，弦長(zhǎng)問(wèn)題、最值問(wèn)題、對(duì)稱(chēng)問(wèn)題、軌跡問(wèn)題等.突出考查了數(shù)形結(jié)合、分類(lèi)討論、函數(shù)與方程、等價(jià)轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法，要求考生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力、計(jì)算能力較高，起到了拉開(kāi)考生“檔次”，有利于選拔的功能.1.直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)有無(wú)公共點(diǎn)或有幾個(gè)公共點(diǎn)的問(wèn)題，實(shí)際上是研究它們的方程組成的方程是否有實(shí)數(shù)解成實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)問(wèn)題，此時(shí)要注意用好分類(lèi)討論和數(shù)形結(jié)合的思想方法.2.當(dāng)直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)相交時(shí)：涉及弦長(zhǎng)問(wèn)題，常用“韋達(dá)定理法”設(shè)而不求計(jì)算弦長(zhǎng)(即應(yīng)用弦長(zhǎng)公式)；涉及弦長(zhǎng)的中點(diǎn)問(wèn)題，常用“差分法”設(shè)而不求，將弦所在直線(xiàn)的斜率、弦的中點(diǎn)坐標(biāo)聯(lián)系起來(lái)，相互轉(zhuǎn)化.同時(shí)還應(yīng)充分挖掘題目的隱含條件，尋找量與量間的關(guān)系

24、靈活轉(zhuǎn)化，往往就能事半功倍.【例題】【例9】 已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，直線(xiàn)y=x+1與橢圓交于P和Q，且OPOQ，|PQ|=，求橢圓方程.解：設(shè)橢圓方程為mx2+ny2=1(m0,n0)，P(x1,y1),Q(x2,y2)由 得(m+n)x2+2nx+n1=0,=4n24(m+n)(n1)0,即m+nmn0,由OPOQ,所以x1x2+y1y2=0,即2x1x2+(x1+x2)+1=0,+1=0,m+n=2又22,將m+n=2,代入得mn=由、式得m=,n=或m=,n=故橢圓方程為+y2=1或x2+y2=1.【例10】 如圖所示，拋物線(xiàn)y2=4x的頂點(diǎn)為O，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(5，

25、0)，傾斜角為的直線(xiàn)l與線(xiàn)段OA相交(不經(jīng)過(guò)點(diǎn)O或點(diǎn)A)且交拋物線(xiàn)于M、N兩點(diǎn)，求AMN面積最大時(shí)直線(xiàn)l的方程，并求AMN的最大面積.解：由題意，可設(shè)l的方程為y=x+m,5m0.由方程組,消去y,得x2+(2m4)x+m2=0直線(xiàn)l與拋物線(xiàn)有兩個(gè)不同交點(diǎn)M、N，方程的判別式=(2m4)24m2=16(1m)0,解得m1,又5m0,m的范圍為(5，0)設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2)則x1+x2=42m，x1x2=m2,|MN|=4.點(diǎn)A到直線(xiàn)l的距離為d=.S=2(5+m),從而S2=4(1m)(5+m)2=2(22m)(5+m)(5+m)2()3=128.S8,當(dāng)且僅當(dāng)22m=5+m,

26、即m=1時(shí)取等號(hào).故直線(xiàn)l的方程為y=x1，AMN的最大面積為8.【例11】 已知雙曲線(xiàn)C：2x2y2=2與點(diǎn)P(1，2)。(1)求過(guò)P(1，2)點(diǎn)的直線(xiàn)l的斜率取值范圍，使l與C分別有一個(gè)交點(diǎn)，兩個(gè)交點(diǎn)，沒(méi)有交點(diǎn)。(2)若Q(1，1)，試判斷以Q為中點(diǎn)的弦是否存在.解：(1)當(dāng)直線(xiàn)l的斜率不存在時(shí)，l的方程為x=1,與曲線(xiàn)C有一個(gè)交點(diǎn).當(dāng)l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線(xiàn)l的方程為y2=k(x1),代入C的方程，并整理得(2k2)x2+2(k22k)xk2+4k6=0(*)()當(dāng)2k2=0,即k=時(shí)，方程(*)有一個(gè)根，l與C有一個(gè)交點(diǎn)()當(dāng)2k20,即k時(shí)=2(k22k)24(2k2)(k2+4k6)

27、=16(32k)當(dāng)=0,即32k=0,k=時(shí)，方程(*)有一個(gè)實(shí)根，l與C有一個(gè)交點(diǎn).當(dāng)0,即k,又k,故當(dāng)k或k或k時(shí)，方程(*)有兩不等實(shí)根，l與C有兩個(gè)交點(diǎn).當(dāng)0，即k時(shí)，方程(*)無(wú)解，l與C無(wú)交點(diǎn).綜上知：當(dāng)k=,或k=，或k不存在時(shí)，l與C只有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)k,或k,或k時(shí)，l與C有兩個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)k時(shí)，l與C沒(méi)有交點(diǎn).(2)假設(shè)以Q為中點(diǎn)的弦存在，設(shè)為AB，且A(x1,y1),B(x2,y2)，則2x12y12=2,2x22y22=2兩式相減得：2(x1x2)(x1+x2)=(y1y2)(y1+y2)又x1+x2=2,y1+y2=22(x1x2)=y1y1即kAB=2但漸近線(xiàn)斜率為,結(jié)

28、合圖形知直線(xiàn)AB與C無(wú)交點(diǎn)，所以假設(shè)不正確，即以Q為中點(diǎn)的弦不存在.【例12】 如圖，已知某橢圓的焦點(diǎn)是F1(4，0)、F2(4，0)，過(guò)點(diǎn)F2并垂直于x軸的直線(xiàn)與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)為B，且|F1B|+|F2B|=10，橢圓上不同的兩點(diǎn)A(x1,y1),C(x2,y2)滿(mǎn)足條件：|F2A|、|F2B|、|F2C|成等差數(shù)列.(1)求該弦橢圓的方程；(2)求弦AC中點(diǎn)的橫坐標(biāo)；(3)設(shè)弦AC的垂直平分線(xiàn)的方程為y=kx+m，求m的取值范圍.解：(1)由橢圓定義及條件知，2a=|F1B|+|F2B|=10,得a=5,又c=4,所以b=3.故橢圓方程為=1.(2)由點(diǎn)B(4,yB)在橢圓上，得|F2B|

29、=|yB|=.因?yàn)闄E圓右準(zhǔn)線(xiàn)方程為x=,離心率為，根據(jù)橢圓定義，有|F2A|=(x1),|F2C|=(x2)，由|F2A|、|F2B|、|F2C|成等差數(shù)列，得(x1)+(x2)=2,由此得出：x1+x2=8.設(shè)弦AC的中點(diǎn)為P(x0,y0),則x0=4.(3)解法一：由A(x1,y1),C(x2,y2)在橢圓上.得得9(x12x22)+25(y12y22)=0,即9=0(x1x2)將 (k0)代入上式，得94+25y0()=0(k0)即k=y0(當(dāng)k=0時(shí)也成立).由點(diǎn)P(4，y0)在弦AC的垂直平分線(xiàn)上，得y0=4k+m,所以m=y04k=y0y0=y0.由點(diǎn)P(4，y0)在線(xiàn)段BB(B與

30、B關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng))的內(nèi)部，得y0,所以m.解法二：因?yàn)橄褹C的中點(diǎn)為P(4,y0)，所以直線(xiàn)AC的方程為yy0=(x4)(k0)將代入橢圓方程=1,得(9k2+25)x250(ky0+4)x+25(ky0+4)2259k2=0所以x1+x2=8,解得k=y0.(當(dāng)k=0時(shí)也成立)(以下同解法一).【例13】 已知雙曲線(xiàn)G的中心在原點(diǎn)，它的漸近線(xiàn)與圓相切過(guò)點(diǎn)作斜率為的直線(xiàn)，使得和交于兩點(diǎn)，和軸交于點(diǎn)，并且點(diǎn)在線(xiàn)段上，又滿(mǎn)足（1）求雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)的方程；（2）求雙曲線(xiàn)的方程；（3）橢圓的中心在原點(diǎn)，它的短軸是的實(shí)軸如果中垂直于的平行弦的中點(diǎn)的軌跡恰好是的漸近線(xiàn)截在內(nèi)的部分，求橢圓的方程解：（1）設(shè)雙

31、曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)的方程為：，則由漸近線(xiàn)與圓相切可得：所以，雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)的方程為：（2）由（1）可設(shè)雙曲線(xiàn)的方程為：把直線(xiàn)的方程代入雙曲線(xiàn)方程，整理得則 （） ，共線(xiàn)且在線(xiàn)段上， ，即：，整理得：將（）代入上式可解得：所以，雙曲線(xiàn)的方程為（3）由題可設(shè)橢圓的方程為：下面我們來(lái)求出中垂直于的平行弦中點(diǎn)的軌跡設(shè)弦的兩個(gè)端點(diǎn)分別為，的中點(diǎn)為，則兩式作差得：由于，所以，所以，垂直于的平行弦中點(diǎn)的軌跡為直線(xiàn)截在橢圓S內(nèi)的部分又由題，這個(gè)軌跡恰好是的漸近線(xiàn)截在內(nèi)的部分，所以，所以，橢圓S的方程為：點(diǎn)評(píng)：解決直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的問(wèn)題時(shí)，把直線(xiàn)投影到坐標(biāo)軸上（也即化線(xiàn)段的關(guān)系為橫坐標(biāo)（或縱坐標(biāo)）之間的關(guān)系）是常用的簡(jiǎn)

32、化問(wèn)題的手段；有關(guān)弦中點(diǎn)的問(wèn)題，常常用到“設(shè)而不求”的方法；判別式和韋達(dá)定理是解決直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)問(wèn)題的常用工具）【例14】 設(shè)拋物線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)，且以直線(xiàn)為準(zhǔn)線(xiàn)（1）求拋物線(xiàn)頂點(diǎn)的軌跡的方程；（2）若直線(xiàn)與軌跡交于不同的兩點(diǎn)，且線(xiàn)段恰被直線(xiàn)平分，設(shè)弦MN的垂直平分線(xiàn)的方程為，試求的取值范圍解：（1）設(shè)拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)為，則其焦點(diǎn)為由拋物線(xiàn)的定義可知：所以，所以，拋物線(xiàn)頂點(diǎn)的軌跡的方程為： （2）因?yàn)槭窍襇N的垂直平分線(xiàn)與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)，由MN所唯一確定所以，要求的取值范圍，還應(yīng)該從直線(xiàn)與軌跡相交入手顯然，直線(xiàn)與坐標(biāo)軸不可能平行，所以，設(shè)直線(xiàn)的方程為，代入橢圓方程得：由于與軌跡交于不同的兩點(diǎn)，所以，即：

33、（）又線(xiàn)段恰被直線(xiàn)平分，所以，所以，代入（）可解得：下面，只需找到與的關(guān)系，即可求出的取值范圍由于為弦MN的垂直平分線(xiàn)，故可考慮弦MN的中點(diǎn)在中，令，可解得：將點(diǎn)代入，可得：所以，從以上解題過(guò)程來(lái)看，求的取值范圍，主要有兩個(gè)關(guān)鍵步驟：一是尋求與其它參數(shù)之間的關(guān)系，二是構(gòu)造一個(gè)有關(guān)參量的不等式從這兩點(diǎn)出發(fā)，我們可以得到下面的另一種解法：解法二設(shè)弦MN的中點(diǎn)為，則由點(diǎn)為橢圓上的點(diǎn)，可知：兩式相減得：BB又由于，代入上式得：又點(diǎn)在弦MN的垂直平分線(xiàn)上，所以，所以，由點(diǎn)在線(xiàn)段BB上（B、B為直線(xiàn)與橢圓的交點(diǎn)，如圖），所以，也即：所以，點(diǎn)評(píng)：解決直線(xiàn)和圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系問(wèn)題時(shí)，對(duì)于消元后的一元二次方程，

34、必須討論二次項(xiàng)系數(shù)和判別式，有時(shí)借助圖形的幾何性質(zhì)更為方便涉及弦中點(diǎn)問(wèn)題，利用韋達(dá)定理或運(yùn)用平方差法時(shí)（設(shè)而不求），必須以直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)相交為前提，否則不宜用此法從構(gòu)造不等式的角度來(lái)說(shuō)，“將直線(xiàn)的方程與橢圓方程聯(lián)立所得判別式大于0”與“弦MN的中點(diǎn)在橢圓內(nèi)”是等價(jià)的【例15】 設(shè)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為F，經(jīng)過(guò)點(diǎn)F的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)交于A、B兩點(diǎn)又M是其準(zhǔn)線(xiàn)上一點(diǎn)試證：直線(xiàn)MA、MF、MB的斜率成等差數(shù)列證明依題意直線(xiàn)MA、MB、MF的斜率顯然存在，并分別設(shè)為，點(diǎn)A、B、M的坐標(biāo)分別為A（，），B（，），M（，m）由“AB過(guò)點(diǎn)F（，0）”得： 將上式代入拋物線(xiàn)中得：可知又依“及”可知因此而 故即直線(xiàn)MA、MF、MB的斜率成等差數(shù)列【例16】 已知=(x,0)，=(1，y)(1)求點(diǎn)P(x，y)的軌跡C的方程；(2)若直線(xiàn)：y=kx+m(km0)與曲線(xiàn)C交于A、B兩端，D(0，1),且有|AD|=|BD|，試求m的取值范圍。解：（1） =0 得P點(diǎn)的軌跡方程為（2）考慮方程組 消去y，得(13k2)x26k