《2013高考數(shù)學 解題方法攻略 抽象函數(shù) 理》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《2013高考數(shù)學 解題方法攻略 抽象函數(shù) 理（6頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、化抽象為具體-抽象函數(shù)問題轉化方法 抽象函數(shù)是指沒有給出函數(shù)的具體解析式，但給出了函數(shù)滿足的一部分性質或運算法則的函數(shù)問題。對考查學生的創(chuàng)新精神、實踐能力和運用數(shù)學的能力，有著十分重要的作用。2005高考北京卷、遼寧卷、廣東卷等各有一個抽象函數(shù)解答題，同樣2006高考重慶卷、遼寧卷、安徽卷等也出現(xiàn)抽象函數(shù)?；橄鬄榫唧w,聯(lián)想類比思維都有助于問題的思考和解決。一、數(shù)形結合使抽象函數(shù)具體一般地講，抽象函數(shù)的圖象為示意圖居多，有的示意圖可能只能根據(jù)題意作出n個孤立的點，但通過示意圖卻使抽象變形象化，有利于觀察、對比、減少推理、減小計算量等好處。例1、設奇函數(shù)的定義域為，若當x時，是增函數(shù)且f(2)=

2、o求不等式x的解。分析：f(x)的圖像如圖所示x0時2xx0時-2x例2、已知函數(shù)f（x）對一切實數(shù)x都有f（2+x）= f（2-x），如果方程f（x）=0恰好有 4個不同的實根，求這些實根之和。分析：由f（2+x）=f（2-x）知直線x=2是函數(shù)圖象的對稱軸，又f（x）=0有四根，現(xiàn)從大到小依次設為x、x、x、x，則x與x，x與x均關于x=2對稱，x+x= x+x=22=4， x+x+x+x=8。評注：一般地，若函數(shù)f（x）滿足f（a+x）=f（a-x），則直線x=a是函數(shù)圖象的對稱軸，利用對稱性，數(shù)形結合，可使抽象函數(shù)問題迎刃而解。二、利用單調性定義使問題具體加上函數(shù)符號f即為“穿”，去掉

3、函數(shù)符號f即為“脫”。對于有些抽象函數(shù)，可根據(jù)函數(shù)的單調性，實現(xiàn)對函數(shù)符號的“穿脫”，以達到簡化的目的。例3已知f(x)是定義在（0，）上的增函數(shù)，且f()=f(x)-f(y)，若f(6)=1，解不等式。f(x+5)- f()2分析：由f(6)=1，f()=f(x)-f(y)得：f()=f(36)-f(6)，所以f(36)=2。而 f(x+5)- f()2“穿”f號得f(x+5)- f()f(36)。即f(f(36)又根據(jù)f(x)是定義在（0，）上的增函數(shù)，“脫”得x。在結合函數(shù)的定義域可得：0x4三、類比模型使解題思路具體模型，就是根據(jù)題目給定的關系大膽猜想抽象函數(shù)的生成原始模型，作出目標猜

4、想，利用模型函數(shù)的有關性質去探索解題方法尤其對選擇題或填空題中抽象函數(shù)也可賦于具體的背景函數(shù)以幫助作答。對于解答題則可以起到啟迪思路并起驗證作用。例4、已知函數(shù)f（x）(x0)滿足f(xy)=f(x)+f(y), f()=1（1）求證：f(1)=f(-1)=0；（2）求證：f(x)為偶函數(shù)；（3）若f(x)在(0,+)上是增函數(shù)，解不等式f(x)+f(x+5)2。分析：因為定義域為(-,0)(o,+)，所以由f(x)=logax(0a1）理解題意顯然不當，但是只要稍加變通，可以發(fā)現(xiàn)用f(x)=loga|x理解題意較為恰當，第（3）小題解不等式就可與解對數(shù)不等式類比處理。（1）令x=y=1得f(

5、1)=0，令x=y= -1得f(-1)=0；（2）令y= -1得f(-x)=f(x)；（3）f(6)= f()+f() =2f(x)為偶函數(shù)，f（x）+f（x+5)=f（|x|）+f（|x+5 |）=f（|x(x+5)|）f（6）。o0；對于任意,恒有+2.試證明：（I）對任意x(0,1)都有；（II）對任意都有.解：（）令，由知+2，由知+2，+=2.上式取等號時=1，故. （）由已知及（）得，+，同理，.例7已知定義在R上的函數(shù)滿足：（1） 值域為，且當時，（2）對于定義域內(nèi)任意的實數(shù)，均滿足：試回答下列問題：（）試求的值；（）判斷并證明函數(shù)的單調性；（）若函數(shù)存在反函數(shù)，求證：講解：（）

6、在中，令，則有即：也即：由于函數(shù)的值域為，所以，所以（）函數(shù)的單調性必然涉及到，于是，由已知，我們可以聯(lián)想到：是否有？（）這個問題實際上是：是否成立？為此，我們首先考慮函數(shù)的奇偶性，也即的關系由于，所以，在中，令，得所以，函數(shù)為奇函數(shù)故（）式成立所以，任取，且，則，故且所以，所以，函數(shù)在R上單調遞減（）由于函數(shù)在R上單調遞減，所以，函數(shù)必存在反函數(shù)，由原函數(shù)與反函數(shù)的關系可知：也為奇函數(shù)；在上單調遞減；且當時，為了證明本題，需要考慮的關系式在（）式的兩端，同時用作用，得：，令，則，則上式可改寫為：不難驗證：對于任意的，上式都成立（根據(jù)一一對應）這樣，我們就得到了的關系式這個式子給我們以提示：即可以將寫成的形式，則可通過裂項相消的方法化簡求證式的左端事實上，由于，所以，所以，點評：一般來說，涉及函數(shù)奇偶性的問題，首先應該確定的值