《2013高考數(shù)學 解題方法攻略 抽象函數(shù) 理》由會員分享,可在線閱讀,更多相關《2013高考數(shù)學 解題方法攻略 抽象函數(shù) 理(6頁珍藏版)》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、化抽象為具體-抽象函數(shù)問題轉化方法 抽象函數(shù)是指沒有給出函數(shù)的具體解析式,但給出了函數(shù)滿足的一部分性質或運算法則的函數(shù)問題。對考查學生的創(chuàng)新精神、實踐能力和運用數(shù)學的能力,有著十分重要的作用。2005高考北京卷、遼寧卷、廣東卷等各有一個抽象函數(shù)解答題,同樣2006高考重慶卷、遼寧卷、安徽卷等也出現(xiàn)抽象函數(shù)?;橄鬄榫唧w,聯(lián)想類比思維都有助于問題的思考和解決。一、數(shù)形結合使抽象函數(shù)具體一般地講,抽象函數(shù)的圖象為示意圖居多,有的示意圖可能只能根據(jù)題意作出n個孤立的點,但通過示意圖卻使抽象變形象化,有利于觀察、對比、減少推理、減小計算量等好處。例1、設奇函數(shù)的定義域為,若當x時,是增函數(shù)且f(2)=
2、o求不等式x的解。分析:f(x)的圖像如圖所示x0時2xx0時-2x例2、已知函數(shù)f(x)對一切實數(shù)x都有f(2+x)= f(2-x),如果方程f(x)=0恰好有 4個不同的實根,求這些實根之和。分析:由f(2+x)=f(2-x)知直線x=2是函數(shù)圖象的對稱軸,又f(x)=0有四根,現(xiàn)從大到小依次設為x、x、x、x,則x與x,x與x均關于x=2對稱,x+x= x+x=22=4, x+x+x+x=8。評注:一般地,若函數(shù)f(x)滿足f(a+x)=f(a-x),則直線x=a是函數(shù)圖象的對稱軸,利用對稱性,數(shù)形結合,可使抽象函數(shù)問題迎刃而解。二、利用單調性定義使問題具體加上函數(shù)符號f即為“穿”,去掉
3、函數(shù)符號f即為“脫”。對于有些抽象函數(shù),可根據(jù)函數(shù)的單調性,實現(xiàn)對函數(shù)符號的“穿脫”,以達到簡化的目的。例3已知f(x)是定義在(0,)上的增函數(shù),且f()=f(x)-f(y),若f(6)=1,解不等式。f(x+5)- f()2分析:由f(6)=1,f()=f(x)-f(y)得:f()=f(36)-f(6),所以f(36)=2。而 f(x+5)- f()2“穿”f號得f(x+5)- f()f(36)。即f(f(36)又根據(jù)f(x)是定義在(0,)上的增函數(shù),“脫”得x。在結合函數(shù)的定義域可得:0x4三、類比模型使解題思路具體模型,就是根據(jù)題目給定的關系大膽猜想抽象函數(shù)的生成原始模型,作出目標猜
4、想,利用模型函數(shù)的有關性質去探索解題方法尤其對選擇題或填空題中抽象函數(shù)也可賦于具體的背景函數(shù)以幫助作答。對于解答題則可以起到啟迪思路并起驗證作用。例4、已知函數(shù)f(x)(x0)滿足f(xy)=f(x)+f(y), f()=1(1)求證:f(1)=f(-1)=0;(2)求證:f(x)為偶函數(shù);(3)若f(x)在(0,+)上是增函數(shù),解不等式f(x)+f(x+5)2。分析:因為定義域為(-,0)(o,+),所以由f(x)=logax(0a1)理解題意顯然不當,但是只要稍加變通,可以發(fā)現(xiàn)用f(x)=loga|x理解題意較為恰當,第(3)小題解不等式就可與解對數(shù)不等式類比處理。(1)令x=y=1得f(
5、1)=0,令x=y= -1得f(-1)=0;(2)令y= -1得f(-x)=f(x);(3)f(6)= f()+f() =2f(x)為偶函數(shù),f(x)+f(x+5)=f(|x|)+f(|x+5 |)=f(|x(x+5)|)f(6)。o0;對于任意,恒有+2.試證明:(I)對任意x(0,1)都有;(II)對任意都有.解:()令,由知+2,由知+2,+=2.上式取等號時=1,故. ()由已知及()得,+,同理,.例7已知定義在R上的函數(shù)滿足:(1) 值域為,且當時,(2)對于定義域內(nèi)任意的實數(shù),均滿足:試回答下列問題:()試求的值;()判斷并證明函數(shù)的單調性;()若函數(shù)存在反函數(shù),求證:講解:()
6、在中,令,則有即:也即:由于函數(shù)的值域為,所以,所以()函數(shù)的單調性必然涉及到,于是,由已知,我們可以聯(lián)想到:是否有?()這個問題實際上是:是否成立?為此,我們首先考慮函數(shù)的奇偶性,也即的關系由于,所以,在中,令,得所以,函數(shù)為奇函數(shù)故()式成立所以,任取,且,則,故且所以,所以,函數(shù)在R上單調遞減()由于函數(shù)在R上單調遞減,所以,函數(shù)必存在反函數(shù),由原函數(shù)與反函數(shù)的關系可知:也為奇函數(shù);在上單調遞減;且當時,為了證明本題,需要考慮的關系式在()式的兩端,同時用作用,得:,令,則,則上式可改寫為:不難驗證:對于任意的,上式都成立(根據(jù)一一對應)這樣,我們就得到了的關系式這個式子給我們以提示:即可以將寫成的形式,則可通過裂項相消的方法化簡求證式的左端事實上,由于,所以,所以,點評:一般來說,涉及函數(shù)奇偶性的問題,首先應該確定的值