《2013高考數(shù)學(xué) 解題方法攻略 數(shù)學(xué)思想2 理》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2013高考數(shù)學(xué) 解題方法攻略 數(shù)學(xué)思想2 理（10頁珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、幾種數(shù)學(xué)思想在數(shù)學(xué)問題中的應(yīng)用摘要： 數(shù)學(xué)思想對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)意義重大,在教學(xué)中滲透方程思想,分類討論思想,數(shù)形結(jié)合思想,整體思想,化歸思想,變換思想,辯證思想等多種數(shù)學(xué)思想方法，可以培養(yǎng)學(xué)生的思維能力,從而提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效果。中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)過程,實(shí)質(zhì)上是運(yùn)用各種教學(xué)理論進(jìn)行數(shù)學(xué)知識(shí)教學(xué)的過程。在這個(gè)過程中,必然要涉及數(shù)學(xué)思想的問題。數(shù)學(xué)思想是人類思想文化寶庫中的瑰寶,是數(shù)學(xué)的精髓,它對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)具有決定性的指導(dǎo)意義。關(guān)鍵詞：方程思想 分類討論思想 數(shù)形結(jié)合思想 整體思想 化歸思想 變換思想 辯證思想前言 數(shù)學(xué)教學(xué)的目的既要求學(xué)生掌握好數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能,還要求 發(fā)展 學(xué)生的能力,培養(yǎng)他們良

2、好的個(gè)性品質(zhì)和學(xué)習(xí)習(xí)慣。在實(shí)現(xiàn)教學(xué)目的的過程中,數(shù)學(xué)思想方法對(duì)于打好“雙基”和加深對(duì)知識(shí)的理解、培養(yǎng)學(xué)生的思維能力有著獨(dú)到的優(yōu)勢(shì),它是學(xué)生形成良好認(rèn)知結(jié)構(gòu)的紐帶,是由知識(shí)轉(zhuǎn)化為能力的橋梁。因此,在數(shù)學(xué)教學(xué)中,教師除了基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能的教學(xué)外,還應(yīng)重視數(shù)學(xué)思想方法的滲透,注重對(duì)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)思想方法的培養(yǎng),這對(duì)學(xué)生今后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用將產(chǎn)生深遠(yuǎn)的影響。從初中階段就重視數(shù)學(xué)思想方法的滲透,將為學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ),會(huì)使學(xué)生終生受益。 1、中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)運(yùn)用的思想方法 (1)方程思想眾所周知,方程思想是初等代數(shù)思想方法的主體,應(yīng)用十分廣泛,可謂數(shù)學(xué)大廈基石之一,在眾多的數(shù)學(xué)思想中顯

3、得十分重要。所謂方程思想,主要是指建立方程(組)解決實(shí)際問題的思想方法。教材中大量出現(xiàn)這種思想方法,如列方程解應(yīng)用題,求函數(shù)解析式,利用根的判別式、根于系數(shù)關(guān)系求字母系數(shù)的值等。教學(xué)時(shí),可有意識(shí)的引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)等量關(guān)系從而建立方程。如講“利用待定系數(shù)法確定二次函數(shù)解析式”時(shí),可啟發(fā)學(xué)生去發(fā)現(xiàn)確定解析式的關(guān)鍵是求出各項(xiàng)系數(shù),可把他們看成三個(gè)“未知量”,告訴學(xué)生利用方程思想來解決,那學(xué)生就會(huì)自覺的去找三個(gè)等量關(guān)系建立方程組。例：某地為促進(jìn)淡水魚養(yǎng)殖業(yè)的發(fā)展，將價(jià)格控制在適當(dāng)范圍內(nèi)，決定對(duì)淡水魚養(yǎng)殖提供政府補(bǔ)貼，設(shè)淡水魚的市場(chǎng)價(jià)格為x元/千克，政府補(bǔ)貼為t元/千克，根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，當(dāng)時(shí)，淡水魚的市場(chǎng)日供

4、應(yīng)量P千克與市場(chǎng)日需求量Q千克近似地滿足關(guān)系：當(dāng)PQ時(shí)的市場(chǎng)價(jià)格稱為市場(chǎng)平衡價(jià)格。（1）將市場(chǎng)平衡價(jià)格表示為政府補(bǔ)貼的函數(shù)，并求出函數(shù)的定義域；（2）為使市場(chǎng)平衡價(jià)格不高于每千克10元，政府補(bǔ)貼至少為每千克多少元？解：（1）依題設(shè)有化簡(jiǎn)得當(dāng)判別式時(shí)，可得由，得不等式組解不等式組，得，不等式組無解。故所求的函數(shù)關(guān)系式為函數(shù)的定義域?yàn)?，（2）為使，應(yīng)有化簡(jiǎn)得解得或，由于，知從而政府補(bǔ)貼至少為每千克1元。在這里如果單講解題步驟,就會(huì)顯得呆板、僵硬,學(xué)生只知其然,不知其所以然。與此同時(shí),還要注意滲透其他與方程思想有密切關(guān)系的數(shù)學(xué)思想,諸如換元,消元,降次,函數(shù),化歸,整體,分類等思想,這樣可起到撥亮

5、一盞燈,照亮一大片的作用。 (2)分類討論思想分類討論即根據(jù)教學(xué)對(duì)象的共同性與差異性,把具有相同屬性的歸入一類,把具有不同屬性的歸入另一類。分類是數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的重要手段。在教學(xué)中,如果對(duì)學(xué)過的知識(shí)恰當(dāng)?shù)剡M(jìn)行分類,就可以使大量紛繁的知識(shí)具有條理性。例如,對(duì)三角形全等識(shí)別方法的探索,教材中的思考題:如果兩個(gè)三角形有三個(gè)部分(邊或角)分別對(duì)應(yīng)相等,那么有哪幾種可能的情況?例：在ABC中，B25，AD是BC上的高，并且，則BCA的度數(shù)為_。解析：因未指明三角形的形狀，故需分類討論。如圖1，當(dāng)ABC的高在形內(nèi)時(shí)，由，得ABDCAD，進(jìn)而可以證明ABC為直角三角形。由B25?？芍狟AD65。所以BCABAD6

6、5。 如圖2，當(dāng)高AD在形外時(shí)，此時(shí)ABC為鈍角三角形。由，得ABDCAD所以BCAD25BCACADADC2590115同時(shí),教材中對(duì)處理幾種識(shí)別方法時(shí)也采用分類討論,由簡(jiǎn)到繁,一步步得出,教學(xué)時(shí)要讓學(xué)生體驗(yàn)這種思想方法。 (3)數(shù)形結(jié)合思想數(shù)和式是問題的抽象和概括、圖形和圖像是問題的具體和直觀的反映。例： 已知二次函數(shù)y=f1（x）的圖象以原點(diǎn)為頂點(diǎn)且過點(diǎn)（1，1），反比例函數(shù)y=f2（x）的圖象與直線y=x兩個(gè)交點(diǎn)間的距離為8，f（x）=f1（x）+f2（x）（1）求函數(shù)f（x）的表達(dá)式；（2）證明：當(dāng)a3時(shí)，關(guān)于x的方程f（x）=f（a）有三個(gè)實(shí)數(shù)解。分析 用數(shù)形結(jié)合思想求f（x）f（

7、a）=0解的個(gè)數(shù)解 ：（1）由已知，設(shè)f1（x）=bx2，由f1（x）=1，得b=1f1（x）=x2設(shè)f2（x）=（k0），則其圖象與直線y=x的交點(diǎn)分別為A（k，k），B（k，k），由|AB|=8，得k=8，f2（x）=，故f（x）=x2+（2）由f（x）=f（a），得x2+=a2+，即=x2+a2+在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出f2（x）=和f3（x）=x2+a2+的大致圖象（如圖所示），其中f2（x）的圖象是以坐標(biāo)軸為漸近線，且位于第一、三象限的雙曲線，f3（x）的圖象是以（0，a2+）為頂點(diǎn)，開口向下的拋物線f2（x）與f3（x）的圖象在第三象限有一個(gè)交點(diǎn)，即f（x）=f（a）有一個(gè)負(fù)數(shù)解又f2（

8、2）=4，f3（2）=4+a2+，當(dāng)a3時(shí)，f3（2）f2（2）=a2+80，當(dāng)a3時(shí)，在f3（x）第一象限的圖象上存在一點(diǎn)（2，f3（2）在f2（x）圖象的上方f2（x）與f3（x）的圖象在第一象限有兩個(gè)交點(diǎn)，即f（x）=f（a）有兩個(gè)正數(shù)解故方程f（x）=f（a）有個(gè)實(shí)數(shù)解華羅庚先生說得好:“數(shù)缺形時(shí)少直觀,形少數(shù)時(shí)難入微,數(shù)形結(jié)合百般好?！边@句話闡明了數(shù)形結(jié)合思想的重要意義。初中代數(shù)教材列方程解應(yīng)用題所選例題多數(shù)采用了圖示法,所以,教學(xué)過程中要充分利用圖形的直觀性和具體性,引導(dǎo)學(xué)生從圖形上發(fā)現(xiàn)數(shù)量關(guān)系找出解決問題的突破口。學(xué)生掌握了這一思想要比掌握一個(gè)公式或一種具體方法更有價(jià)值,對(duì)解決問

9、題更具有指導(dǎo)意義。再如在講“圓與圓的位置關(guān)系”時(shí),可自制圓形紙板,進(jìn)行運(yùn)動(dòng)實(shí)驗(yàn),讓學(xué)生首先從形的角度認(rèn)識(shí)圓與圓的位置關(guān)系,然后可激發(fā)學(xué)生積極主動(dòng)探索兩圓的位置關(guān)系反映到數(shù)上有何特征。這種借助于形通過數(shù)的運(yùn)算推理研究問題的數(shù)形結(jié)合思想,在教學(xué)中要不失時(shí)機(jī)地滲透;這樣不僅可提高學(xué)生的遷移思維能力,還可培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形轉(zhuǎn)換能力和多角度思考問題的習(xí)慣。 (4) 整體思想整體思想在初中教材中體現(xiàn)突出,如在實(shí)數(shù)運(yùn)算中,常把數(shù)字與前面的“+,-”符號(hào)看成一個(gè)整體進(jìn)行處理;例如： 3，求的值解析：這道題給人的感覺是先移項(xiàng)得到2m =3,求m,這里的m是指數(shù)，我們沒有學(xué)，不少學(xué)生都望而生畏，感到難不堪言，其實(shí)仔細(xì)

10、觀察要求式與已知式，是不難發(fā)現(xiàn)解決問題的方法的由已知式，我們可以得到，而又可以看作是，它又可以轉(zhuǎn)化為，所以本題結(jié)果是12又如用字母表示數(shù)就充分體現(xiàn)了整體思想,即一個(gè)字母不僅代表一個(gè)數(shù),而且能代表一系列的數(shù)或由許多字母構(gòu)成的式子等;再如整式運(yùn)算中往往可以把某一個(gè)式子看作一個(gè)整體來處理,如:(a+b+c)2=(a+b)+c2視(a+b)為一個(gè)整體展開等等,這些對(duì)培養(yǎng)學(xué)生良好的思維品質(zhì),提高解題效率是一個(gè)極好的機(jī)會(huì)。 (5)化歸思想化歸思想是數(shù)學(xué)思想方法體系主梁之一。在實(shí)數(shù)的運(yùn)算、解方程(組)、多邊形的內(nèi)角和、幾何證明等等的教學(xué)中都有讓學(xué)生對(duì)化歸思想方法的認(rèn)識(shí),學(xué)生有意無意接受到了化歸思想。例如：已

11、知(x+y)2 =11,xy=1求x2+y2的值,顯然直接代入無法求解,若先把所求的式子化歸到有已知形式的式子(x+y)2-2xy,則易得:原式=9; 例：已知圓O的半徑為定值r，問這個(gè)圓的外切直角三角形是怎樣的直角三角形時(shí)周長(zhǎng)最短？最短的周長(zhǎng)是多少？（分析）幾何量的最值問題可以用三角法來解決，首先選取適當(dāng)?shù)淖兞拷菫樽宰兞浚ㄗ⒁庾宰兞康娜≈捣秶┢浯斡嘘P(guān)的幾何量用變量角的三角函數(shù)式表達(dá)，根據(jù)等量關(guān)系，借助三角函數(shù)式列出所求的幾何量的三角函數(shù)解析式，將幾何量的最值問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)式的最值問題。ADBOECF解：如圖，設(shè)O的外切RtABC切點(diǎn)分別為D、E、F，則BEBDrctg，ADAFrctg

12、設(shè)ABC的周長(zhǎng)為y，則：y=2rctg+2rctg+2r= , 當(dāng)，即AB時(shí)， 當(dāng)三角形是等腰直角三角形時(shí)，周長(zhǎng)最短，最短周長(zhǎng)為.又如“多邊形的內(nèi)角和”問題通過分解多邊形為三角形來解決,這都是化歸思想在實(shí)際問題中的具體體現(xiàn)。再如解方程(組)通過“消元”、“降次”最后求出方程(組)的解等也體現(xiàn)了化歸思想;化歸思想是解決數(shù)學(xué)問題的一種重要思想方法?；瘹w的手段是多種多樣的,其最終目的是將未知的問題轉(zhuǎn)化為已知問題來解。實(shí)現(xiàn)新問題向舊問題的轉(zhuǎn)化、復(fù)雜問題向簡(jiǎn)單問題轉(zhuǎn)化、未知問題向已知問題轉(zhuǎn)化、抽象問題向具體問題轉(zhuǎn)化等。如在加法的基礎(chǔ)上,利用相反數(shù)的概念,化歸出減法法則,使加、減法統(tǒng)一起來,得到了代數(shù)和的

13、概念;在乘法的基礎(chǔ)上,利用倒數(shù)的概念,化歸出除法法則,使互逆的兩種運(yùn)算得到統(tǒng)一。又如,對(duì)等腰梯形有關(guān)性質(zhì)的探索,除了教材中利用軸對(duì)稱方法外,還經(jīng)常通過作一腰的平行線、作底邊上的高、延長(zhǎng)兩腰相交于一點(diǎn)等方法,把等腰梯形轉(zhuǎn)化到平行四邊形和三解形的知識(shí)上來。 除此之外,很多知識(shí)之間都存在著相互滲透和轉(zhuǎn)化:多元轉(zhuǎn)化為一元、高次轉(zhuǎn)化為低次、分式轉(zhuǎn)化為整式、一般三解形轉(zhuǎn)化為特殊三角形、多邊形轉(zhuǎn)化為三角形、幾何問題代數(shù)解法、恒等的問題用不等式的知識(shí)解答。 (6)變換思想是由一種形式轉(zhuǎn)變?yōu)榱硪环N形式的思想。解方程中的同解變換,定律、公式中的命題等價(jià)變換,幾何圖形中的等積變換等等都包含了變換思想。具有優(yōu)秀思維品

14、質(zhì)的一個(gè)重要特征,就是善于變換,從正反、互逆等進(jìn)行變換考慮問題,但很多學(xué)生又恰恰常忽略從這方面考慮問題,因此變換思想是學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)的一個(gè)重要武器。例：四邊形ABCD中,AB=CD,BC=DA,E、F是AC上的兩點(diǎn),且AE=CF。求證:DE=BF。這道題若是由已知向后推理較難把握方向,但用變換方法尋找證法比較易:要證DE=BF,只要證ADECBF(證ABFCDE也可);要證ADECBF,因題目已知BC=DA,AE=CF,只要證DAE=BCF;要證DAE=BCF,可由ABCCDA得到,而由已知條件AB=CD,BC=DA,AE=CF不難得到ABCCDA。這樣問題就解決了。 (7)辯證思想辯證思想是科

15、學(xué)世界觀在數(shù)學(xué)中的體現(xiàn),是最重要的數(shù)學(xué)思想之一。 自然 界中的一切現(xiàn)象和過程都存在著對(duì)立統(tǒng)一 規(guī)律 ,數(shù)學(xué)中的有理數(shù)和無理數(shù)、整式和分式、已知和未知、特殊和一般、常量和變量、整體和局部等同樣蘊(yùn)涵著這一辯證思想。因此,教學(xué)時(shí),應(yīng)有意識(shí)地滲透。如初三分式方程一節(jié),例：解下列分式方程：分析：（1）先確定最簡(jiǎn)公分母為2(x1)，再按步驟求解 （2）先將2x化為(x2)，然后去分母求解 （3）先將分母分解因式，再確定公分母為6x(x1)解：（1）方程兩邊同乘以2(x1)，得2x=34(x1) 解之得 檢驗(yàn)：當(dāng)時(shí)，2(x1)0 是原方程的根 （2）方程兩邊同乘以(x2)，得 x3(x2)=1 2x5=1

16、解之得x=2 檢驗(yàn)：將x=2代入最簡(jiǎn)公分母x2=0， x=2為原方程的增根 原方程無解 （3）原方程可變?yōu)椋悍匠虄蛇呁艘?x(x1)，得12x6=5x解之得檢驗(yàn)：將代入最簡(jiǎn)公分母是原方程的解。這一節(jié)就體現(xiàn)了分式方程與整式方程的對(duì)立統(tǒng)一思想,教學(xué)時(shí),不能只簡(jiǎn)單介紹分式方程的概念和解法,而要滲透上述思想,我們可以從復(fù)習(xí)整式和分式的概念出發(fā),然后依據(jù)辯證思想自然引出分式方程,接著帶領(lǐng)學(xué)生領(lǐng)會(huì)兩個(gè)概念的對(duì)立性(非此即彼)和統(tǒng)一性(統(tǒng)稱有理方程),再利用未知與已知的轉(zhuǎn)化思想啟發(fā)學(xué)生說出分式方程的解題基本思想,從而發(fā)現(xiàn)兩種方程在解法上雖有不同,但卻存在內(nèi)在的必然聯(lián)系。這樣,學(xué)生在知曉整式方程與分式方程概

17、念和解法的辯證關(guān)系后,就能進(jìn)一步理解和掌握分式方程,收到一種居高臨下,深入淺出的教學(xué)效果。因此,抓辯證思想教學(xué),不僅可以培養(yǎng)學(xué)生的科學(xué)意識(shí),而且可提高學(xué)生的探索能力和觀察能力。 2、中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)學(xué)思想方法滲透的原則 在滲透數(shù)學(xué)思想、方法的過程中,教師要精心設(shè)計(jì)、有機(jī)結(jié)合,要有意識(shí)地潛移默化地啟發(fā)學(xué)生領(lǐng)悟蘊(yùn)含于數(shù)學(xué)之中的種種數(shù)學(xué)思想方法,切忌生搬硬套,和盤托出,脫離實(shí)際等錯(cuò)誤做法。比如,教學(xué)二次不等式解集時(shí)結(jié)合二次函數(shù)圖象來理解和記憶，總結(jié)歸納出解集在“兩根之間”、“兩根之外”,利用數(shù)形結(jié)合方法,從而比較順利地完成新舊知識(shí)的過渡。 數(shù)學(xué)概念、法則、公式、性質(zhì)等知識(shí)都明顯地寫在教材中,是有“形

18、”的,而數(shù)學(xué)思想方法卻隱含在數(shù)學(xué)知識(shí)體系里,是無“形”的,并且不成體系地散見于教材各章節(jié)中。教師講不講,講多少,隨意性較大,常常因教學(xué)時(shí)間緊而將它作為一個(gè)“軟任務(wù)”擠掉。對(duì)于學(xué)生的要求是能領(lǐng)會(huì)多少算多少。因此,作為教師首先要更新觀念,從思想上不斷提高對(duì)滲透數(shù)學(xué)思想方法重要性的認(rèn)識(shí),把掌握數(shù)學(xué)知識(shí)和滲透數(shù)學(xué)思想方法同時(shí)納入教學(xué)目的,把數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)的要求融入備課環(huán)節(jié)。其次要深入鉆研教材,努力挖掘教材中可以進(jìn)行數(shù)學(xué)思想方法滲透的各種因素,對(duì)于每一章每一節(jié),都要考慮如何結(jié)合具體內(nèi)容進(jìn)行數(shù)學(xué)思想方法滲透,滲透哪些數(shù)學(xué)思想方法,怎么滲透,滲透到什么程度,應(yīng)有一個(gè)總體設(shè)計(jì),提出不同階段的具體教學(xué)要求。

19、數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)必須通過具體的教學(xué)過程加以實(shí)現(xiàn)。因此,必須把握好教學(xué)過程中進(jìn)行數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)的契機(jī)概念形成的過程,結(jié)論推導(dǎo)的過程,方法思考的過程,思路探索的過程, 規(guī)律 揭示的過程等。同時(shí),進(jìn)行數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)要注意有機(jī)結(jié)合、自然 滲透,要有意識(shí)地潛移默化地啟發(fā)學(xué)生領(lǐng)悟蘊(yùn)含于數(shù)學(xué)知識(shí)之中的種種數(shù)學(xué)思想方法,切忌生搬硬套、和盤托出、脫離實(shí)際等適得其反的做法。 數(shù)學(xué)思想方法是在啟發(fā)學(xué)生思維過程中逐步積累和形成的。為此,在教學(xué)中,首先要特別強(qiáng)調(diào)解決問題以后的“反思”。因?yàn)樵谶@個(gè)過程中提煉出來的數(shù)學(xué)思想方法,對(duì)學(xué)生來說才是易于體會(huì)、易于接受的。其次要注意滲透的長(zhǎng)期性。應(yīng)該看到,對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)思想方法

20、的滲透不是一朝一夕就能見到學(xué)生數(shù)學(xué)能力提高的,而是有一個(gè)過程。數(shù)學(xué)思想方法必須經(jīng)過循序漸進(jìn)和反復(fù)訓(xùn)練,才能使學(xué)生真正地有所領(lǐng)悟。 教學(xué)中要適時(shí)恰當(dāng)?shù)貙?duì)數(shù)學(xué)方法給予提煉和概括,讓學(xué)生有明確的印象。由于數(shù)學(xué)思想、方法分散在各個(gè)不同部分,而同一問題又可以用不同的數(shù)學(xué)思想、方法來解決。因此,教師的概括、分析是十分重要的。教師還要有意識(shí)地培養(yǎng)學(xué)生自我提煉、揣摩概括數(shù)學(xué)思想方法的能力,這樣才能把數(shù)學(xué)思想、方法的教學(xué)落在實(shí)處。 總之,在數(shù)學(xué)教學(xué)中,只要切切實(shí)實(shí)把握好上述幾個(gè)典型的數(shù)學(xué)思想,同時(shí)注意滲透的過程,依據(jù)課本內(nèi)容和學(xué)生的認(rèn)知水平,從初一開始就有計(jì)劃的滲透,就一定能提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效率和數(shù)學(xué)能力。 參考文獻(xiàn) ： 1崔錄等. 現(xiàn)代教育思想精粹M.北京:光明日?qǐng)?bào)出版社,1994 2布魯納.教育過程M.上海:上海人民出版社,2001 3吳興長(zhǎng).數(shù)學(xué)教學(xué)中非智力因素的培養(yǎng)J.北京教育行政學(xué)院,2003 4李明振.數(shù)學(xué)方法與解題研究M.上海:上?？茖W(xué)教育出版社,2005 5韓立福.新課程有效課堂教學(xué)行動(dòng)策略M.北京:首都師范大學(xué)出版社,2001