《2013高考數(shù)學 解題方法攻略 不等式2 理》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2013高考數(shù)學 解題方法攻略 不等式2 理（32頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、不等式發(fā)揮經(jīng)典價值提高復(fù)習效率何為數(shù)學經(jīng)典題目？數(shù)學經(jīng)典題目就是經(jīng)過歷史選擇出來的最有價值的經(jīng)久不衰的題目 。每個經(jīng)典題目，都經(jīng)得起人們的拷問和時間的考驗；每個經(jīng)典題目，總是蘊含著某種重要的數(shù)學思想和方法；每個經(jīng)典題目，總有其獨特的教育價值和教學功能；每個經(jīng)典題目，都能穿越時間的深度和厚度而又最終超越時間經(jīng)久彌新、與時俱進。數(shù)學教科書上的例習題有不少題目堪當經(jīng)典，本文以其中一道經(jīng)典題目為例，說明經(jīng)典題目在復(fù)習教學中的潛能挖掘與應(yīng)用，以期拋磚引玉。題目 已知，且，求證。本題目是普通高中課程標準實驗教科書數(shù)學選修不等式選講人教版第十頁習題第11題。這是一道經(jīng)典的條件不等式證明題，解題入口寬、方法多

2、樣，對本題進行一題多解訓(xùn)練，可達到舉一反三觸類旁通，解讀一題溝通一片以點帶面的復(fù)習效果。證法1（配方法）因為，所以，所以，所以，當且僅當且且，即時等號成立。點評 本解法先消元，將表示成只含的二次式，并將此式當作是以為主元的二次三項式進行配方，再將配方后余下的部分再次配方，然后用實數(shù)平方的非負性，從而使問題得到解決。證法2（構(gòu)造二次函數(shù)）因為，所以，于是，故當時，最小，此時，所以，所以，當且僅當時等號成立。點評 本解法通過構(gòu)造函數(shù)將不等式證明問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題。先消元，將表示成只含的二次式，然后選為主元，將此式當作是含有參數(shù)的以為自變量的二次函數(shù)，求出的最小值，的最小值就是的最小值，從而使

3、問題獲解。證法3（用重要不等式）因為，所以，當且僅當時等號成立。點評 將已知等式兩邊平方是運用重要不等式的關(guān)鍵。證法4（用等號成立的條件構(gòu)造平方和）由所證不等式等號成立的條件得，即，所以，當且僅當時等號成立。證法5（用等號成立的條件構(gòu)造配偶不等式）由所證不等式等號成立的條件可構(gòu)造如下不等式：，三式相加得，所以，當且僅當時等號成立。點評 證法4和證法5注意到等號成立的條件是問題獲得簡解的關(guān)鍵之所在。證法6（用柯西不等式）由三元柯西不等式得，即。證法7（用向量數(shù)量積不等式）構(gòu)造向量，由向量數(shù)量積不等式得，即，當且僅當時等號成立。證法8（利用直線與圓有公共點解題）把當作參數(shù)當作變量，則即可看作是直角

4、坐標系下的一條直線的方程，設(shè)則，此方程可看作是圓心是坐標原點半徑為的圓的方程。因為這兩個方程所組成的方程組有解，所以直線與圓有公共點，故圓心到直線的距離不大于半徑。故，即有解，所以，解得則，即。點評 本解法需要有方程思想、數(shù)形結(jié)合思想和化歸意識，化靜為動，動中求靜。根據(jù)“方程組有解，則直線與圓有公共點，從而直線到圓心的距離不大于半徑”列不等式，進而使問題得以解決。證法9（三角換元法）設(shè)則，設(shè)。由得，所以，由正弦函數(shù)的有界性得，兩邊平方解得，故。證法10（構(gòu)造概率模型）設(shè)隨機變量取值為時的概率均為，因為，所以，所以，即，當且僅當時等號成立。證法11（用琴生不等式）構(gòu)造函數(shù)，因為是上的凹函數(shù)，由琴

5、生不等式得，即，所以，當且僅當時等號成立。證法12（用點面距離公式）可看作是空間直角坐標系下的一個平面的方程，可看作是這個平面內(nèi)任意一點到原點O的距離的平方，由垂線段最短知，當OP與平面垂直時，OP最短從而最小，由點面距離公式得點O到平面的的距離為：，所以，即。凹凸函數(shù)、琴生不等式是高等數(shù)學的內(nèi)容，但與初等函數(shù)關(guān)系密切，是初等數(shù)學與高等數(shù)學的銜接處，點面距離公式是大學空間解析幾何的內(nèi)容，但可當作是平面解析幾何點線距離公式在空間的一個類比拓廣，這些知識可開闊學生的視野，類比推理有利于發(fā)現(xiàn)新知識和數(shù)學思想方法的遷移。以上從十二個不同的角度來思考解決一個經(jīng)典不等式的證明問題，消元法、配方法、構(gòu)造法，

6、函數(shù)和方程思想，化歸和轉(zhuǎn)化思想，數(shù)形結(jié)合思想都是高中數(shù)學重要的數(shù)學思想方法，在以上十二種解法中體現(xiàn)得淋漓盡致。一題多解有利于培養(yǎng)發(fā)散思維、求異思維和綜合運用多種知識解決問題的能力，有利于拓寬解題思路，有利于創(chuàng)造性思維的培養(yǎng)。發(fā)揮經(jīng)典以一當十，解析一題復(fù)習一片。對二元一次不等式確定平面區(qū)域的探究 湖北省陽新縣高級中學 鄒生書人教版高二數(shù)學第二冊（上）二元一次不等式確定平面區(qū)域?qū)儆谛略鰞?nèi)容，大綱要求是：了解二元一課次不等式的幾何意義，能用平面區(qū)域表示二元一次不等式（組）。筆者對這部內(nèi)容作了一些研究，本文將得出的重要結(jié)論及其在解題中的應(yīng)用與大家進行交流，希望能對這節(jié)內(nèi)容的教學和學習有所幫助。命題1：

7、已知二元一次函數(shù)點P1（x1,y1）在直線Ax+By+C=0上若B0，則有點P1（x1,y1）在直線Ax+By+C=0上方點P1（x1,y1）在直線Ax+By+C=0下方若A0，則有點P1（x1,y1）在直線Ax+By+C=0右方點P1（x1,y1）在直線Ax+By+C=0左方分析：易證，、證法類似，下面對進行證明。證明：當B0，直線把坐標平面分成上、下兩個半平面.設(shè)P1（x1,y1）是坐標平面內(nèi)不在l上的任意一點,作直線x=x1交l于點P0，設(shè)P0的坐標為(x1,y0). 點 即 由此可知點點根據(jù)這個命題不難得出直線l同側(cè)上的兩個點對應(yīng)的二元函數(shù)的值符號相同，異側(cè)上的兩個點對應(yīng)的二元函數(shù)值符

8、號相反，即有如下結(jié)論：命題2：已知二元一次函數(shù)點在直線點在直線應(yīng)用舉例：1、快速準確地確定二元一次不等式所表示的平面區(qū)域.例1：（人教版高二數(shù)學第二冊第64頁例1）畫出不等式表示的平面區(qū)域.解法1：異號，由命題1知不等式表示直線下方的平面區(qū)域，如圖所示解法2：異號，由命題1知不等式表示直線左方的平面區(qū)域，如圖所示小結(jié)：二元一次不等式確定平面區(qū)域的方法：點判別法：直線定邊界，一點定區(qū)域，合則在，不合則不在；B符號判別法：直線定邊界，符號定區(qū)域，同上異下；A符號判別法：直線定邊界，符號定區(qū)域，同右異左.由例1可知，教材采用點判別法，需要取點，計算函數(shù)值，判斷點與直線的位置關(guān)系再確定平面區(qū)域，而符號

9、判別法只需由A（或B）的符號與不等式的符號的異同直接確定平面區(qū)域，相比之下顯得快速準確、實用.2、巧妙簡捷地求方程含有參數(shù)的直線與已知線段相交時參數(shù)的取值范圍.例2：直線為端點的線段相交，則k的取值范圍是_.分析：這是一道一題多解的好題，但有的解法運算量大，有的解法容易出錯，若用命題2的結(jié)論可輕而易舉地得出正確結(jié)果，解法如下：解：設(shè)直線練習題：1、表示圖中陰影部分的平面區(qū)域內(nèi)的點（x,y）所滿足的約束件是_.2、直線在第一象限，則k的取值范圍是_.答案：1、 2、錯解剖析得真知（十四）不等式的應(yīng)用一、基礎(chǔ)知識導(dǎo)學1.利用均值不等式求最值：如果a1，a2R+，那么.2.求函數(shù)定義域、值域、方程的

10、有解性、判斷函數(shù)單調(diào)性及單調(diào)區(qū)間，確定參數(shù)的取值范圍等.這些問題一般轉(zhuǎn)化為解不等式或不等式組，或證明不等式.3.涉及不等式知識解決的實際應(yīng)用問題，這些問題大體分為兩類：一是建立不等式解不等式；二是建立函數(shù)式求最大值或最小值.二、疑難知識導(dǎo)析不等式既屬數(shù)學的基礎(chǔ)知識，又是解決數(shù)學問題的重要工具，在解決函數(shù)定義域、值域、單調(diào)性、恒成立問題、方程根的分布、參數(shù)范圍的確定、曲線位置關(guān)系的討論、解析幾何、立體幾何中的最值等問題中有廣泛的應(yīng)用，特別是近幾年來，高考試題帶動了一大批實際應(yīng)用題問世，其特點是：1問題的背景是人們關(guān)心的社會熱點問題，如“物價、稅收、銷售收入、市場信息”等，題目往往篇幅較長.2函數(shù)

11、模型除了常見的“正比例函數(shù)、反比例函數(shù)、一次函數(shù)、二次函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、反三角函數(shù)”等標準形式外，又出現(xiàn)了以“函數(shù)”為模型的新的形式.三經(jīng)典例題導(dǎo)講例1求y=的最小值.錯解： y=2y的最小值為2.錯因：等號取不到，利用均值定理求最值時“正、定、等”這三個條件缺一不可.正解：令t=,則t,于是y=由于當t時，y=是遞增的，故當t2即x=0時，y取最小值.例2m為何值時，方程x2+(2m+1)x+m23=0有兩個正根.錯解：由根與系數(shù)的關(guān)系得，因此當時，原方程有兩個正根.錯因：忽視了一元二次方程有實根的條件，即判別式大于等于0.正解：由題意：因此當時，原方程有兩個正根.

12、 例3若正數(shù)x，y滿足，求xy的最大值解：由于x，y為正數(shù)，則6x，5y也是正數(shù)，所以當且僅當6x=5y時，取“=”號因，則，即，所以的最大值為.例4已知：長方體的全面積為定值S，試問這個長方體的長、寬、高各是多少時，它的體積最大，求出這個最大值分析：經(jīng)過審題可以看出，長方體的全面積S是定值因此最大值一定要用S來表示首要問題是列出函數(shù)關(guān)系式設(shè)長方體體積為y，其長、寬、高分別為a，b，c，則y=abc由于a+b+c不是定值，所以肯定要對函數(shù)式進行變形可以利用平均值定理先求出y2的最大值，這樣y的最大值也就可以求出來了解：設(shè)長方體的體積為y，長、寬、高分別是為a，b，c，則y=abc，2ab+2b

13、c+2ac=S而y2=（abc）2=（ab）（bc）（ac）當且僅當ab=bc=ac，即a=b=c時，上式取“=”號，y2有最小值答：長方體的長、寬、高都等于時體積的最大值為.說明：對應(yīng)用問題的處理，要把實際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學問題，列好函數(shù)關(guān)系式是求解問題的關(guān)健.四、典型習題導(dǎo)練1.某工廠要建造一個長方體無蓋貯水池，其容積為4800m3,深為3m，如果池底每1m2的造價為150元，池壁每1m2的造價為120元，問怎樣設(shè)計水池能使總造價最低，最低總造價是多少元？2.證明：通過水管放水，當流速相同時，如果水管截面的周長相等，那么截面是圓的水管比截面是正方形的水管流量大.3.在四面體P-ABC中，APB

14、=BPC=CPA=90，各棱長的和為m，求這個四面體體積的最大值4. 設(shè)函數(shù)f(x)=ax2+bx+c的圖象與兩直線y=x，y=-x，均不相交，試證明對一切R都有.5青工小李需制作一批容積為V的圓錐形漏斗，欲使其用料最省，問漏斗高與漏斗底面半徑應(yīng)具有怎樣的比例？6輪船每小時使用燃料費用(單位：元)和輪船速度(單位：海里時)的立方成正比已知某輪船的最大船速是18海里時，當速度是10海里時時，它的燃料費用是每小時30元，其余費用(不論速度如何)都是每小時480元，如果甲、乙兩地相距1000海里，求輪船從甲地行駛到乙地，所需的總費用與船速的函數(shù)關(guān)系，并問船速為多少時，總費用最低？尋求二元一次不等式（

15、組）所表示的平面區(qū)域的方法簡單線性規(guī)劃問題是高考必考知識點，而其基礎(chǔ)在于研究二元一次不等式（組）所對應(yīng)的平面區(qū)域下面介紹一些方法來快速準確地確定二元一次不等式（組）所表示的平面區(qū)域方法一：直線定界，特殊點定域找出一個二元一次不等式（組）在平面直角坐標系內(nèi)所表示的平面區(qū)域的基本方法是：畫直線取特殊點代值定域求公共部分畫直線作出各不等式對應(yīng)方程表示的直線（原不等式帶等號的作實線，否則作虛線）；取特殊點平面直角坐標系內(nèi)的直線要么過原點，要么不過原點；當直線過原點時我們選取特殊點或（坐標軸上的點），當直線不過原點時我們選取原點做特殊點；代值定域?qū)⑦x取的特殊點代入所給不等式：如果不等式成立，則不等式所表

16、示的平面區(qū)域就是該特殊點所在的區(qū)域；如果不等式不成立，則不等式所表示的平面區(qū)域就是該特殊點所在區(qū)域的另一邊求公共部分不等式組所確定的平面區(qū)域，是各個二元一次不等式所表示平面區(qū)域的公共部分例1畫出不等式組所表示的平面區(qū)域解析：畫直線：不等式對應(yīng)的直線方程是；不等式對應(yīng)的直線方程是；在平面直角坐標系中作出直線與（如圖） 取特殊點：直線過原點，可取特殊點；直線不過原點，可取特殊點將代入，即，不等式不成立，直線另一側(cè)區(qū)域就是不等式所表示的平面區(qū)域；將代入，即，不等式成立，則原點所在區(qū)域就是不等式所表示的平面區(qū)域（圖一）求公共部分：如圖二所示公共部分就是不等式組所表示的平面區(qū)域方法二：法向量判定法由平面

17、解析幾何知識知道直線（不同時為0）的一個法向量為以坐標原點作為法向量的始點，可以利用向量內(nèi)積證明如下結(jié)論：（1）不等式（），不等式表示的平面區(qū)域就是法向量指向的區(qū)域；（大于同向）（2）不等式（），不等式表示的平面區(qū)域就是法向量反向的區(qū)域；（小于反向）例2畫出不等式組所表示的平面區(qū)域解析：不等式對應(yīng)的直線方程是，法向量；不等式對應(yīng)的直線方程是，法向量；在平面直角坐標系中作出直線與及其相應(yīng)的法向量（如圖） 由于不等式（），平面區(qū)域是法向量指向的區(qū)域（圖一）；不等式（），平面區(qū)域是法向量反向的區(qū)域（圖二）然后求的公共部分就是不等式組所表示的平面區(qū)域方法三：未知數(shù)系數(shù)化正法直線（不同時為0）含有兩個未

18、知數(shù)，于是我們可以將未知數(shù)的系數(shù)分為兩類：項系數(shù)與項系數(shù)來研究（1）項系數(shù)化正法：顧名思義就是利用不等式性質(zhì)，不等號兩邊同時（移項）將項系數(shù)化為正值，然后根據(jù)變形后關(guān)于的不等式中的不等號來確定區(qū)域位置（規(guī)定：軸正方向所指的區(qū)域為直線的上方；反之為下方）有結(jié)論：項系數(shù)正值化：上；下例3畫出不等式組所表示的平面區(qū)域解析：不等式對應(yīng)的直線方程是；不等式對應(yīng)的直線方程是；在平面直角坐標系中作出直線與（如圖）將不等式組中每個不等式項系數(shù)正值化，得或（移項）關(guān)于的不等式（）即（或者），直線上方的區(qū)域就是該不等式所表示的平面區(qū)域（圖一）；關(guān)于的不等式（）即，直線下方的區(qū)域就是該不等式所表示的平面區(qū)域（圖二）

19、然后求的公共部分就是不等式組所表示的平面區(qū)域（2）項系數(shù)化正法：同（1）一樣，不等號兩邊同時（或移項）將項系數(shù)化為正值，然后根據(jù)變形后關(guān)于的不等式中的不等號來確定區(qū)域位置（規(guī)定：軸正方向所指的區(qū)域為直線的右方；反之為左方）有結(jié)論：項系數(shù)正值化：右；左可結(jié)合例3來對項系數(shù)化正法進行理解上述方法中，方法一是尋找二元一次不等式所表示的平面區(qū)域的常規(guī)方法，思維回路較長，適合對理論的學習，但要快速準確地解決簡單的線性規(guī)劃問題就必須掌握方法二或方法三中之一目標函數(shù)幾何意義在變化 線性規(guī)劃是高中數(shù)學的重要內(nèi)容之一，它是本質(zhì)是“以形助數(shù)”即主要利用形的直觀性來解決問題由于目標函數(shù)在不斷地變動，呈現(xiàn)出多樣性和隱

20、蔽性，所以我們要認真研究目標函數(shù)的幾何意義，使目標函數(shù)具體化和明朗化下面舉例說明：一、目標距離化例1已知實數(shù)x，y滿足,則的最大值是 分析，目標函數(shù)的幾何意義是表示可行域內(nèi)的點到點（1，1）的距離的平方，畫出可行域可求得解：如圖，作出可行域，則可知行域內(nèi)點（4，1）到可點（1，1）的距離最大，從圖形中可只是3，故例2已知實數(shù)滿足，求的最大值分析：這個目標函數(shù)就顯得有點“隱蔽”了，注意到目標函數(shù)有個絕對值符號，聯(lián)想到點到直線的距離公式的結(jié)構(gòu)特點，那么就可順利解決了，也是說表示為可行域內(nèi)的點到直線距離的倍解：作出可行域，（如上圖）可知可行域內(nèi)的點（7，9）到直線的距離最大，所以二、目標角度化已知為

21、直角坐標系原點，的坐標均滿足不等式組，則的最小值等于 分析：作出相應(yīng)的可行域，可知越大，則越小，所以可知在（1，7）（4，3）此時與原點O的張角最大解：畫出可行域，不失一般性，不妨設(shè)P（1，7），Q（4，3）；則，則，所以三、目標斜率化例4已知變量滿足約束條件，則的取值范圍是_.分析，觀察的結(jié)構(gòu)特征，令人想到平面內(nèi)的兩點間的斜率公式，可得表示可行域內(nèi)的點與原點之間的斜率，結(jié)個可行域可得其取值范圍是，具體的過程留給聰明的讀者四、目標投影化例5已知點（O為原點）的最大值為 分析：這個目標函數(shù)更為隱蔽了，表示的是是方向上的投影解：作出可行域，則可知P（5，2），則=（5，2），則在上的投影是PQ，可

22、看作點P到直線是距離五、目標面積化例6已知實數(shù)滿足，求的最大值分析：表示可行域內(nèi)的點（正好在第一象限）到兩坐標軸距離的乘積的兩倍，即過該點作兩坐標軸的垂線，長線段與兩坐標軸所圍成的面積的2倍，可知當時取得最大值，最大值是同學們應(yīng)該知道目標函數(shù)是直線的截距的這種類型的基礎(chǔ)上，還要知道距離、投影、斜率、角度、面積等幾種常見的形式這樣我們的在解決線性規(guī)劃問題上才能心中有“形”下面提供部分習題請同學們完成（1）若函數(shù)是定義在上的函數(shù)，則函數(shù)的值域是（ ） A B C D（2）約束條件，目標函數(shù)的最小值是 （3）已知（是坐標原點）的最大值為 答案：（1）D （2） 0 （3）5錯解剖析得真知（十三）簡單

23、的線性規(guī)劃一、知識導(dǎo)學1. 目標函數(shù): 是一個含有兩個變 量 和 的 函數(shù)，稱為目標函數(shù)2.可行域:約束條件所表示的平面區(qū)域稱為可行域.3. 整點:坐標為整數(shù)的點叫做整點4.線性規(guī)劃問題:求線性目標函數(shù)在線性約束條件下的最大值或最小值的問題，通常稱為線性規(guī)劃問題只含有兩個變量的簡單線性規(guī)劃問題可用圖解法來解決5. 整數(shù)線性規(guī)劃:要求量取整數(shù)的線性規(guī)劃稱為整數(shù)線性規(guī)劃二、疑難知識導(dǎo)析線性規(guī)劃是一門研究如何使用最少的人力、物力和財力去最優(yōu)地完成科學研究、工業(yè)設(shè)計、經(jīng)濟管理中實際問題的專門學科.主要在以下兩類問題中得到應(yīng)用：一是在人力、物力、財務(wù)等資源一定的條件下，如何使用它們來完成最多的任務(wù)；二是

24、給一項任務(wù)，如何合理安排和規(guī)劃，能以最少的人力、物力、資金等資源來完成該項任務(wù).1.對于不含邊界的區(qū)域，要將邊界畫成虛線2.確定二元一次不等式所表示的平面區(qū)域有多種方法，常用的一種方法是“選點法”：任選一個不在直線上的點，檢驗它的坐標是否滿足所給的不等式，若適合，則該點所在的一側(cè)即為不等式所表示的平面區(qū)域；否則，直線的另一側(cè)為所求的平面區(qū)域若直 線 不 過 原點，通 常 選 擇 原 點 代入檢驗3. 平 移 直 線 k 時，直線必須經(jīng)過可行域4.對于有實際背景的線性規(guī)劃問題，可行域通常是位于第一象限內(nèi)的一個凸多邊形區(qū)域，此時變動直線的最佳位置一般通過這個凸多邊形的頂點5.簡單線性規(guī)劃問題就是求

25、線性目標函數(shù)在線性約束條件下的最優(yōu)解，無論此類題目是以什么實際問題提出，其求解的格式與步驟是不變的：（1）尋找線性約束條件，線性目標函數(shù)；（2）由二元一次不等式表示的平面區(qū)域做出可行域；（3）在可行域內(nèi)求目標函數(shù)的最優(yōu)解.三、經(jīng)典例題導(dǎo)講例1 畫出不等式組表示的平面區(qū)域.錯解：如圖（1）所示陰影部分即為不等式組表示的平面區(qū)域.錯因一是實虛線不清，二是部分不等式所表示的平面區(qū)域弄錯了.正解：如圖（2）所示陰影部分即為不等式組表示的平面區(qū)域.例2 已知1xy2,且2x+y4,求4x2y的范圍.錯解：由于1xy2,2x+y4,+ 得32x6 (1)+ 得：02y3 .2+(1)得. 34x2y12錯

26、因：可行域范圍擴大了. 正解：線性約束條件是：令z4x2y，畫出可行域如圖所示，由得A點坐標（1.5，0.5）此時z41.520.55.由得B點坐標（3，1）此時z432110. 54x2y10例3 已知,求x2+y2的最值.錯解：不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示ABC的內(nèi)部（包括邊界），令z= x2+y2由得A點坐標（4，1），此時zx2+y242+1217，由得B點坐標（1，6），此時zx2+y2（1）2+(6)237，由得C點坐標（3，2），此時zx2+y2（3）2+2213， 當時x2+y2取得最大值37，當時x2+y2取得最小值13.錯因：誤將求可行域內(nèi)的點到原點的距離的平方的最值誤認

27、為是求三點A、B、C到原點的距離的平方的最值.正解：不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示ABC的內(nèi)部（包括邊界），令z= x2+y2,則z即為點（x，y）到原點的距離的平方.由得A點坐標（4，1），此時zx2+y242+1217，由得B點坐標（1，6），此時zx2+y2（1）2+(6)237，由得C點坐標（3，2），此時zx2+y2（3）2+2213，而在原點處，此時zx2+y202+020， 當時x2+y2取得最大值37，當時x2+y2取得最小值0.例4某家具廠有方木料90m3，五合板600m2，準備加工成書桌和書櫥出售.已知生產(chǎn)每張書桌需要方木料0.1m3，五合板2m2，生產(chǎn)每個書櫥需要方木料0

28、.2m3，五合板1m2，出售一張書桌可獲利潤80元，出售一個書櫥可獲利潤120元.如果只安排生產(chǎn)書桌，可獲利潤多少？如果只安排生產(chǎn)書櫥，可獲利潤多少？怎樣安排生產(chǎn)可使得利潤最大？分析： 數(shù)據(jù)分析列表書桌書櫥資源限制木料（m3）010290五合板（m2）21600利潤（元/張）80120計劃生產(chǎn)（張）xy設(shè)生產(chǎn)書桌x張，書櫥y張，利潤z元，則約束條件為目標函數(shù)z=80x+120y作出上可行域：作出一組平行直線2x+3y=t, 此直線經(jīng)過點A（100，400）時，即合理安排生產(chǎn)，生產(chǎn)書桌100張，書櫥400張，有最大利潤為zmax=80100+400120=56000(元)若只生產(chǎn)書桌，得0x30

29、0，即最多生產(chǎn)300張書桌，利潤為z=80300=24000（元）若只生產(chǎn)書櫥，得0，先假設(shè)，由題設(shè)及其它性質(zhì)，推出矛盾，從而肯定.凡涉及到的證明不等式為否定命題、惟一性命題或含有“至多”、“至少”、“不存在”、“不可能”等詞語時，可以考慮用反證法.5.換元法：換元法是對一些結(jié)構(gòu)比較復(fù)雜，變量較多，變量之間的關(guān)系不甚明了的不等式可引入一個或多個變量進行代換，以便簡化原有的結(jié)構(gòu)或?qū)崿F(xiàn)某種轉(zhuǎn)化與變通，給證明帶來新的啟迪和方法.主要有兩種換元形式.(1)三角代換法：多用于條件不等式的證明，當所給條件較復(fù)雜，一個變量不易用另一個變量表示，這時可考慮三角代換，將兩個變量都有同一個參數(shù)表示.此法如果運用恰

30、當，可溝通三角與代數(shù)的聯(lián)系，將復(fù)雜的代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為三角問題； (2)增量換元法：在對稱式(任意交換兩個字母，代數(shù)式不變)和給定字母順序(如等)的不等式，考慮用增量法進行換元，其目的是通過換元達到減元，使問題化難為易，化繁為簡.如+=1，可以用=1-，=或=1/2+，=1/2-進行換元.二、疑難知識導(dǎo)析1.在用商值比較法證明不等式時，要注意分母的正、負號，以確定不等號的方向.2.分析法與綜合法是對立統(tǒng)一的兩個方面，前者執(zhí)果索因，利于思考，因為它方向明確，思路自然，易于掌握；后者是由因?qū)Ч?，宜于表述，因為它條理清晰，形式簡潔，適合人們的思維習慣.但是，用分析法探求證明不等式，只是一種重要的探求方式

31、，而不是一種好的書寫形式，因為它敘述較繁，如果把“只需證明”等字眼不寫，就成了錯誤.而用綜合法書寫的形式，它掩蓋了分析、探索的過程.因而證明不等式時，分析法、綜合法常常是不能分離的.如果使用綜合法證明不等式，難以入手時常用分析法探索證題的途徑，之后用綜合法形式寫出它的證明過程，以適應(yīng)人們習慣的思維規(guī)律.還有的不等式證明難度較大，需一邊分析，一邊綜合，實現(xiàn)兩頭往中間靠以達到證題的目的.這充分表明分析與綜合之間互為前提、互相滲透、互相轉(zhuǎn)化的辯證統(tǒng)一關(guān)系.分析的終點是綜合的起點，綜合的終點又成為進一步分析的起點.3.分析法證明過程中的每一步不一定“步步可逆”，也沒有必要要求“步步可逆”，因為這時僅需

32、尋找充分條件，而不是充要條件.如果非要“步步可逆”，則限制了分析法解決問題的范圍，使得分析法只能使用于證明等價命題了.用分析法證明問題時，一定要恰當?shù)赜煤谩耙C”、“只需證”、“即證”、“也即證”等詞語.4.反證法證明不等式時，必須要將命題結(jié)論的反面的各種情形一一加以導(dǎo)出矛盾.5.在三角換元中，由于已知條件的限制作用，可能對引入的角有一定的限制，應(yīng)引起高度重視，否則可能會出現(xiàn)錯誤的結(jié)果.這是換元法的重點，也是難點，且要注意整體思想的應(yīng)用.三、經(jīng)典例題導(dǎo)講例1 已知ab(ab),比較與的大小.錯解： ab(ab)，b(ab)，(1)當a、b同號時，即ab0或ba0,ba0, ,0,b0,.例2

33、當a、b為兩個不相等的正實數(shù)時，下列各式中最小的是（）A.B.C.D.錯解：所以選B.錯因是由于在、中很容易確定最小，所以易誤選B.而事實上三者中最小者，并不一定是四者中最小者，要得到正確的結(jié)論，就需要全面比較，不可遺漏與前三者的大小比較.正解：由均值不等式及a2+b22ab,可知選項A、B、C中，最小，而，由當ab時，a+b2,兩端同乘以，可得（a+b）2ab, ，因此選D.例3 已知：a0 , b0 , a+b=1,求(a+ )2+(b+ )2的最小值.錯解: (a+)2+(b+)2=a2+b2+42ab+44+4=8,(a+)2+(b+)2的最小值是8.錯因：上面的解答中，兩次用到了基本

34、不等式a2+b22ab，第一次等號成立的條件是a=b=,第二次等號成立的條件是ab=，顯然，這兩個條件是不能同時成立的.因此，8不是最小值.正解：原式= a2+b2+4=( a2+b2)+(+)+4=(a+b)22ab+(+)2+4 = (12ab)(1+)+4，由ab()2= 得：12ab1=, 且16，1+17，原式17+4= (當且僅當a=b=時，等號成立)，(a + )2 + (b + )2的最小值是.例4 已知0 x 1, 0 a 1，試比較的大小.解法一： 0 1 - x2 1, 解法二： 0 1 - x2 1, 解法三：0 x 1, 0 1 - x 1, 1 1 + x 2, 左 - 右 = 0 1 - x2 1, 且0 a 0，求證： 證：構(gòu)造函數(shù) 則， 設(shè)2ab 由顯然 2a 0, ab - 1 0, ab 0 上式 0f (x)在上單調(diào)遞增，左邊四、典型習題導(dǎo)練1.比較（a+3）(a5)與（a+2）（a-4）的大小.2.已知a,b,c,d都是正數(shù)，求證：3.已知x 0 , y 0，2x + y = 1，求證：4.若，求證：5.若x 1，y 1，求證： 6證明：若a 0，則