《2013高考數(shù)學(xué) 解題方法攻略 解析幾何1 理》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2013高考數(shù)學(xué) 解題方法攻略 解析幾何1 理（19頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、高中數(shù)學(xué)解析幾何問題研究題1. Let point M move along the ellipse ,and point F be its right focus, then for fixed point P(6,2) ,then maximum of 3|MF|-|MP| is ,where the coordinate of M is . (ellipse 橢圓；focus 焦點；coordinate 坐標)（第十四屆高二第二試第18題）譯文：點M是橢圓上一點，點F是橢圓的右焦點，點P（6，2），那么3|MF|-|MP|的最大值是 ，此時點M的坐標是 .-3 O 1 3 6 9 xM

2、M Q D y P Gl F 解 在橢圓中，則，所以橢圓的右焦點F的坐標為（1，0），離心率，右準線，顯然點P（6，2）在橢圓的外部.過點P、M分別作PG于G，MD于D，過點P作PQMD于Q，由橢圓的定義知，3|MF|-|MP|=|MD|-|MP|MD|-|MQ|=|QD|=|PG|=9-6=3，當(dāng)且僅當(dāng)點P位于線段MD上，即點P與Q點重合時取等號.由點P位于線段MD上，MD及點P（6，2），知點M的縱坐標為2，設(shè)M的橫坐標為，即M（，2），則有，解得，因此3|MF|-|MP|的最大值是3，此時點M的坐標是（，2）.評析 若設(shè)點M的坐標為(x,y)，則可將3|MF|-|MP|表示成x、y的二元

3、無理函數(shù)，然后再求其最大值，可想而知，這是一件相當(dāng)麻煩的事，運用橢圓的定義，將3|MF|-|MP|轉(zhuǎn)化為|MD|-|MP|，就把無理運算轉(zhuǎn)化為有理運算，從而大大簡化了解題過程.拓展 將此題引伸拓廣，可得定理 M是橢圓E：上的動點，F(xiàn)是橢圓E的一個焦點，為橢圓E的半焦距，P（m,n）為定點.若點P在橢圓E內(nèi)，則當(dāng)F是右焦點時，|MF|+|MP|的最小值是；當(dāng)F是左焦點時，|MF|+|MP|的最小值是.若點P在橢圓E外，則F是右焦點，且0m，|n|b時，|MF|-|MP|的最大值是.F是右焦點，且m，|n|b時，|MP|-|MF|的最小值是.F是左焦點，且m0，|n|b時，|MF|-|MP|的最大

4、值是.F是左焦點，且m，|n|b時，|MP|-|MF|的最小值是.O m F xM N y P M Ql 圖1 簡證 1、如圖1，作MN右準線l于N，PQl于Q，由橢圓定義，|MN|=|MF|.F m O xN M y Q M Pl 圖2 |MF|+|MP|=|MN|+|MP|PQ|=，當(dāng)且僅當(dāng)P、M、Q三點共線，且M在P、Q之間時取等號.如圖2，m同理可證|MF|+|MP|=|MN|+|MP|PQ|=，當(dāng)且僅當(dāng)P、M、Q三點共線，且M在P、Q之間時取等號.如圖3，|MF|-|MP|=|MN|-|MP|MN|-|MR|=|RN|=|PQ|=，當(dāng)且僅當(dāng)P位于線段MN上，即P與R重合時取等號.O

5、F m xM M N Qy P l 圖4 如圖4，|MP|-|MF|=|MP|-|MN|MQ|-|MN|=|NQ|=，當(dāng)且僅當(dāng)P位于直線MN上，即點P與Q重合時取等號.O F m xM M R Ny P Ql 圖3 如圖5，|MF|-|MP|=|MN|-|MP|MN|-|MR|m=|RN|=|PQ|=，當(dāng)且僅當(dāng)P位于線段MN上，即P與R重合時取等號.m F O xP y Q N M Ml 圖6 m F O xQ P y N R M Ml 圖5 如圖6，|MP|-|MF|=|MP|-|MN|MQ|-|MN|=|NQ|=，當(dāng)且僅當(dāng)P位于直線MN上，即點P與Q重合時取等號.題2 已知雙曲線關(guān)于直線x

6、-y=1對稱的曲線與直線x+2y=1相切，則k的值等于 （ ）A、 B、 C、 D（第十五屆高二培訓(xùn)題第19題）解 設(shè)點P（x0,y0）是雙曲線上任意一點，點P關(guān)于直線x-y=1的對稱點為P（x,y）,則 ，又，解、聯(lián)立方程組得.P點在雙曲線上， .代入，得 ，此即對稱曲線的方程，由x+2y=1，得x=1-2y,代入并整理，得.由題意，=4-12（k-1）=0，解得k=，故選B.評析 解決此題的關(guān)鍵是求出對稱曲線的方程.由于對稱曲線與直線相切，故由=0便可求得k的值.拓展 關(guān)于直線的對稱，我們應(yīng)熟知下面的結(jié)論 1、點（x0,y0）關(guān)于x軸的對稱點是（x0,-y0）.2、點（x0,y0）關(guān)于y軸

7、的對稱點是（-x0, y0）.3、點（x0,y0）關(guān)于y=x的對稱點是（y0,x0）.4、點（x0,y0）關(guān)于y=-x的對稱點是（-y0,-x0）.5、點（x0,y0）關(guān)于y=x+m的對稱點是（y0-m,x0+m）.6、點（x0,y0）關(guān)于y=-x+n的對稱點是（n-y0,n-x0）.7、點（x0,y0）關(guān)于直線Ax+By+C=0的對稱點是（x,y），x,y是方程組的解. 根據(jù)以上結(jié)論，不難得到一曲線關(guān)于某直線對稱的曲線的方程，比如曲線f(x,y)=0關(guān)于直線y=x+m對稱的曲線的方程是f(y-m,x+m)=0.xAMyOxBCDNF1F2l3. 是雙曲線的左、右焦點，兩點在右支上，且與在同一

8、條直線上，則的最小值是_.（第四屆高二第二試第15題）解 雙曲線,即，如圖，在雙曲線右支上，,故當(dāng)取得最小值時，也取最小值.設(shè)是雙曲線對應(yīng)于的準線，,垂足為，則由雙曲線定義可知，而，其中是梯形的中位線，當(dāng)時，取最小值，這時，取得最小值,從而取最小值.評析 解決此題的關(guān)鍵是靈活運用雙曲線的第一、第二定義，發(fā)現(xiàn)，即，亦即最小時，也最小，并能知道時最?。ㄟ@點請讀者自己證明）.本題雖然也有其他解法，但都不如此法簡單，雙曲線定義及平幾知識的運用在簡化本題解題過程中起了決定性的作用.拓展 將本題中的雙曲線一般化，便得定理 、是雙曲線的左、右焦點，兩點在右支上，且與在同一條直線上，則的最小值是.仿照本題的解

9、法易證該定理（證明留給讀者）.用此定理可知本題中的最小值為.題4. 方程表示的曲線是 ( )A、直線 B、橢圓 C、雙曲線 D、拋物線 （第十二屆高二培訓(xùn)題第23題）解法1 由的兩邊平方并整理得.令，則，整理得，即，故已知方程表示雙曲線，選C.解法2 已知方程就是，由雙曲線的第二定義，可知動點P到定點（2，2）的距離與到定直線的距離比為，因為，所以選C.評析 根據(jù)選擇支，可知解決本題的關(guān)鍵是將已知方程化為某二次曲線的標準方程或直線方程.顯然，平方可去掉根號與絕對值符號，但卻出現(xiàn)了乘積項.如何消去乘積項便成了問題的關(guān)鍵.解法1表明對稱換元是消去乘積項的有效方法.解法2從已知方程的結(jié)構(gòu)特征聯(lián)想到兩

10、點距離公式與點線距離公式，發(fā)現(xiàn)方程表示的曲線是到定點（2，2）的距離與到定直線的距離之比為的動點的軌跡，根據(jù)雙曲線定義選C.顯示了發(fā)現(xiàn)與聯(lián)想在解題中的作用.拓展 將此題一般化，我們有下面的定理 若（為常數(shù)，且不全為零），則（1）當(dāng)時，方程表示為一個焦點，直線為相應(yīng)準線的橢圓.（2）當(dāng)時，方程表示為一個焦點，直線為相應(yīng)準線的雙曲線.（3）當(dāng)且時，方程表示過點且與直線垂直的直線.（4）當(dāng)且時，方程表示為焦點，直線為準線的拋物線.讀者可仿照解法2，運用二次曲線的第二定義自己證明該定理.題 5. 已知，則動點A與點B（1，0）的距離的最小值是_.（第七屆高二第一試第23題）解法1 由已知得 將此式看作

11、以為自變量的二次函數(shù)，,這表明該二次函數(shù)的定義域是.該函數(shù)在上是增函數(shù)，當(dāng)時，.解法 2 令，則 當(dāng)，即時，.xO 1 2By解法 3 設(shè) （t）,兩式平方并相減，得即動點A的軌跡是雙曲線的右半支在x軸上方的部分（含點（2，0），由圖知|AB|min=1.評析 所求距離|AB|顯然是x的函數(shù)，然而它是一個復(fù)雜的分式函數(shù)與無理函數(shù)的復(fù)合函數(shù)，在定義域上的最小值并不好求，解法1根據(jù)|AB|0，通過平方，先求，再求|AB|min=，并將看作一個整體，將原問題化為求二次函數(shù)在上的最值問題；解法2通過三角換元，把求|AB|min的問題轉(zhuǎn)化為求關(guān)于的二次函數(shù)在的最小值問題，整體思想、轉(zhuǎn)化思想使得問題化繁為

12、簡，化生為熟；解法3則求出點A的軌跡，從圖形上直觀地看出答案，簡捷得讓人拍案叫絕，這應(yīng)當(dāng)歸功于數(shù)形結(jié)合思想的確當(dāng)運用.許多最值問題，一旦轉(zhuǎn)化為圖形，往往答案就在眼前.題6.拋物線上到直線的距離最小的點的坐標是 （第九屆高二培訓(xùn)題第27題）解法1 設(shè)拋物線上的點的坐標是，則它到直線的距離是，當(dāng)時最小，此時.故所求點的坐標是.解法2 如圖，將直線平移至與拋物線相切，則此時的切點即為所求點.設(shè)切線方程為，代入，得.由，即，得.解得.故所求點的坐標是.xyxO-2-2y=x2解法3 設(shè)所求點的坐標為P，則過點P的拋物線的切線應(yīng)與直線平行.而其切線方程為，故，. 故所求點的坐標為.評析 解法1由點線距離

13、公式將拋物線上的任意一點到直線的距離表示成的二次函數(shù)，再通過配方求最值，體現(xiàn)了函數(shù)思想在解析幾何中的運用.解法2運用數(shù)形結(jié)合思想發(fā)現(xiàn)與直線平行的拋物線的切線的切點就是所求點，設(shè)切線方程為后運用方程思想求出，進而求出切點坐標. 解法3則設(shè)切點為P，直接寫出過二次曲線上一點P的切線方程，由切線與已知直線平行.兩斜率相等，求出切點坐標.解法2、3不僅適用于求拋物線上到直線的距離最小的點的坐標，同樣也適用于求橢圓、雙曲線上到直線的距離最小的點的坐標，故為通法.解法3涉及到過拋物線上一點的拋物線的切線方程，下面用導(dǎo)數(shù)證明一般情形的結(jié)論：定理 過拋物線上一點P的切線方程是.證明 設(shè)過點P的拋物線的切線的方

14、程為.，代入得，.點在拋物線上，代入，得切線方程為.拓展 觀察切線方程的特征，就是同時將曲線方程中的分別換成，把分別換成便得切線方程.事實上，對于一般二次曲線，有下面的定理.定理 過二次曲線上一點的該曲線的切線方程是.運用該定理必須注意點在曲線上.例 求過點的曲線的切線的方程.解 經(jīng)驗證，點在曲線上，根據(jù)上面的定理，所求切線方程為，即. 題7 在拋物線上恒有兩點關(guān)于直線對稱,則的取值范圍是 . (第十五屆高二培訓(xùn)題第71題)解法1 設(shè)兩點B、C關(guān)于直線對稱，直線BC的方程為，將其代入拋物線方程，得.若設(shè)BC的中點為M，則.因為M在直線上，所以.，因為BC與拋物線相交于兩個不同點，所以.再將的式

15、子代入，經(jīng)化簡得，即，因為，所以.解法2 由解法1，得，.因為，所以，解得.解法3 設(shè)B、C是拋物線上關(guān)于直線對稱的兩點，且BC中點為M.因為，所以，即，所以.又,所以,因為M在拋物線的內(nèi)部，所以，即，解得.解法4 設(shè)B、C是拋物線上關(guān)于直線對稱的兩點， M是BC中點.設(shè)M，B，C,則，.-，得.因為點M在直線上，.代入得直線BC的方程為，故直線BC的方向向量為，同理得直線的方向向量.因為直線BC與直線垂直，所以，即，化簡得，得或（舍去）.顯然，解得.因為M在拋物線的內(nèi)部，所以，即，又，所以.評析 定（動）圓錐曲線上存在關(guān)于動（定）直線對稱的兩點，求直線（圓錐曲線）方程中參數(shù)的取值范圍.這是解

16、析幾何中一類常見的問題.解決這類問題的關(guān)鍵是構(gòu)造含參數(shù)的不等式，通過解不等式求出參數(shù)的范圍.解法1運用二次方程根的判別式，解法2運用均值不等式，解法3、4運用拋物線弦的中點在拋物線內(nèi)部，分別成功地構(gòu)造了關(guān)于的不等式，這其中，韋達定理、曲線與方程的關(guān)系、兩垂直直線的方向向量的數(shù)量積為零等為構(gòu)造關(guān)于的不等式起了積極作用.練習(xí) 若拋物線上總存在關(guān)于直線對稱的兩個點，則實數(shù)的取值范圍是 （ ）A、 B、 C、 D、答案：B題8 拋物線的一條弦的傾斜角是,弦長是,那么這種弦都經(jīng)過一定點,該定點是 （第十三屆高二培訓(xùn)題第73題）解法1 設(shè)弦過點，則弦所在的直線是，代入拋物線方程，消去得，即(弦長)2=，即

17、，由此得當(dāng)時，弦所在直線方程為，弦長為4由，得或又由弦長，得綜上，這些弦都經(jīng)過點（1，0）解法2 由題意，對任意都得同一結(jié)論，故運用特殊化思想解令，則弦長為，此時弦所在直線方程為，代入，得，由題設(shè)，即所以時，弦所在直線方程為再令，則弦長為，設(shè)此時弦所在直線方程為，得，代入并整理，得，弦長，解得，所以時，弦所在直線方程為解，得定點為（1，0）評析 題目本身反映了對于一條確定的拋物線，若確定，則以為其傾斜角的弦的長也確定，變化，則以為其傾斜角的弦的長也變化但不論怎樣變化，這樣的弦都過一個定點，這反映了客觀世界運動變化中的相對不變因素的存在由題設(shè)可知，故解法1設(shè)弦過點，并分直線的斜率存在與不存在兩類

18、情形，根據(jù)弦長是，直接求出從而說明不論為何值，弦總過定點（1，0）這是合情合理的常規(guī)思維然而，根據(jù)題意，這些弦過定點肯定是正確的，這就意味著滿足題設(shè)的任意兩弦的交點就是所求定點這就具備了運用特殊化思想解題的前提解法2分別令與，得到兩個相應(yīng)的弦所在直線的方程，解其聯(lián)立方程組得其交點為(1,0)，即為所求這種解法的邏輯依據(jù)是“若對一般正確，則對一般中的特殊也正確”至于解法2中為什么令與，而不令與，主要是為了計算的方便，這也是用此法解題時應(yīng)當(dāng)十分注意的應(yīng)當(dāng)指出，凡解某種一般情形下某確定結(jié)論是什么的問題都可用這種方法解拓展 原題中弦長中的4恰好為拋物線方程中的，而答案中的定點又恰好為拋物線的焦點這是偶

19、然的巧合，還是普遍規(guī)律呢？經(jīng)研究，這 并非巧合，而是一個定理.定理 若拋物線的弦PQ的傾斜角為，則的充分必要條件是PQ經(jīng)過拋物線的焦點證明 先證必要性:由已知，可設(shè)PQ的方程為，代入，得由已知及弦長公式得將的兩根之和與積代入，得，從而得（），解得，即知過焦點容易驗證當(dāng)時，結(jié)論也成立再證充分性：由已知可設(shè)的方程為，代入，得 ，將的兩根之和與積代入得容易驗證當(dāng)時，結(jié)論也成立應(yīng)用該定理，可解決下面的問題：1斜率為1的直線經(jīng)過拋物線的焦點，與拋物線相交于A、B兩點，求線段AB的長2是經(jīng)過拋物線焦點的弦，若，試求的面積（是坐標原點）（91年全國高中聯(lián)賽題） 3是經(jīng)過拋物線焦點的弦，是拋物線的頂點，若的面

20、積為4，求的傾斜角（98年上海高考題）答案：1. 8 2. 3.或題9 長為的線段AB的兩端在拋物線上滑動，則線段AB的中點M到軸的最短距離等于 .（第13屆高二第二試第20題）.,解 設(shè)AB的中點為M（），點A的坐標為（），由對稱性知B的坐標為，于是有以下關(guān)系成立：+，得 ，-，得 .將、代入，得，即，因為當(dāng)時, 有最小值,當(dāng)時, 是單調(diào)增加的.又關(guān)于是單調(diào)增加的,所以,當(dāng)時, 取得最小值.評析 點M到軸的最短距離顯然就是點M的縱坐標的最小值.巧妙利用對稱性，設(shè)出點M、A、B的坐標后，利用曲線與方程的關(guān)系及平幾知識，可以得到三個關(guān)系式，這又有何用處呢？我們要求的是的最小值，現(xiàn)在卻出現(xiàn)了四個

21、變量，能否消去從而得到，再求其最小值呢？果然，可以消去，得到 （這里用到了“設(shè)而不求”及函數(shù)的思想方法）.若變形為，再令，得到 ，則可由方程有非負實數(shù)解求出的最小值，但方程有非負實數(shù)解的充要條件很復(fù)雜.能否用別的什么方法呢？考慮到式中的，故將式變形為 ，由于與的積是定值，故當(dāng)=，即時,有最小值.然而，因為，所以，即取不到，故由函數(shù)為的單調(diào)增函數(shù)，可知當(dāng).注：形如的函數(shù)，若則當(dāng)時, 取得最小值；若,則單調(diào)遞增, ；若,則單調(diào)遞減，.(請讀者自己證明該結(jié)論)拓展 將此題推廣，可得定理1 長為的線段AB的兩端在拋物線上滑動，線段AB的中點M到軸的距離為，則當(dāng).證明 由題意，直線AB的斜率存在.設(shè)則，

22、所以直線AB的方程為，由，消去，得，因為點M在拋物線的內(nèi)部，即，所以，又，所以.于是對求導(dǎo)數(shù)，得.（1）若（拋物線的通徑長），令，得，易知，是的唯一極小值點，所以當(dāng) （即軸）時，； （2）若，令，得或，易知當(dāng)時，；當(dāng)時，. 令定理中的，由定理的結(jié)論（1）可知本賽題的答案為. 此定理盡管也可以用均值不等式加以證明，但配湊的技巧性很強.這里，運用高中數(shù)學(xué)的新增內(nèi)容導(dǎo)數(shù)進行證明，顯得較為簡潔.用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值問題，順理成章，不必考慮特殊技巧，易被大家接受，應(yīng)當(dāng)加以重視并大力提倡. 此定理還可進一步拓廣到橢圓、雙曲線的情形，便得如下：定理2 已知A、B兩點在橢圓上滑動，|AB| = ，線段AB的中

23、點M到軸的距離為，則（1）；（2）當(dāng).定理3 已知A、B兩點同在雙曲線的右（或左）分支上滑動，|AB| =，線段AB的中點M到軸的距離為，則（1）；（2）當(dāng) .為證定理2、3，可以先證引理 在圓錐曲線過焦點的弦中，垂直于對稱軸的弦最短.BAFO證明 設(shè)圓錐曲線的極坐標方程為，其中表 示圓錐曲線的離心率，表示焦點F到對應(yīng)準線的距離，設(shè)AB是圓錐曲線過焦點F的弦，且A，因為，所以+=.當(dāng)，即當(dāng)AB與對稱軸軸垂直時，故在圓錐曲線過焦點的弦中，垂直于對稱軸的弦最短.下面運用引理證明定理2 .證明 （1）不妨設(shè)橢圓的右焦點為F（），A、M、B三點到右準線的距離分別是由橢圓的第二定義知：|AF|=，|BF

24、|=，|AF|+|BF|AB|=，所以.又過焦點的弦最小值為線段AB可以過焦點F，當(dāng)AB過焦點F時，有最小值，因此.xAMyOxBtt1t2F（2）線段AB不可能過焦點F，但點M總可以在過F垂直于軸的橢圓的弦的右側(cè)，如右圖，在AFM中，設(shè)AMF=，由余弦定理知，在BFM中， ，所以，所以，又，所以 ，無論線段AB在什么位置，不等式都成立.又故 .解此不等式，得，當(dāng)線段AB垂直 于軸且在焦點F的右側(cè)時，不等式、都取等號，此時，.仿此亦可證明定理1、3，不再贅述.題10 動圓過定點且與定圓相切，那么動圓的中心的軌跡是 （ ）A、圓 B、圓，或橢圓 C、圓，或橢圓，或雙曲線 D、圓，或橢圓，或雙曲線

25、，或直線 （第三屆高二第二試第10題）解 動圓、定點、定圓,這三者的位置關(guān)系有5種可能，如圖：O在情形：在圓上，這時動圓與定圓相切于，所以點的軌跡是過的一條直線.在情形：與重合，這時動圓在定圓的內(nèi)部，與它內(nèi)切，所以點的軌跡是以為圓心，以定圓的半徑的一半為半徑的圓.在情形：在定圓的內(nèi)部但不重合于點，動圓過且與定圓內(nèi)切，這時動點與定點、的距離的和是（定值），其中的、分別表示定圓、動圓的半徑.可知點的軌跡是以、為焦點，為長軸長的橢圓.在情形：在定圓的外部，動圓過且與定圓外切，這時（定值）.可知的軌跡是以、為焦點，為實軸長的雙曲線的一支.在情形：在定圓的外部，動圓與定圓內(nèi)切，這時（定值）.可知點的軌跡也是以為焦點.為實軸長的雙曲線的一支（和情形4對應(yīng)的另一支）.綜上，可知選D.評析 分類討論是參加高考與競賽必須掌握的數(shù)學(xué)思想.分類要注意標準的統(tǒng)一，不可重復(fù)，也不能遺漏.此題的關(guān)鍵是要搞清全部情形有5種，然后再分別求動圓中心的軌跡.運用二次曲線的定義大大簡化了解題過程.應(yīng)當(dāng)指出，當(dāng)點在圓上時，動圓的中心的軌跡是直線，但應(yīng)除去點、. 另外，討論完第一種情形后就可排除而選，這樣就更快捷了.