《2013高考數(shù)學(xué) 解題方法攻略 導(dǎo)數(shù)求根 理》由會員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《2013高考數(shù)學(xué) 解題方法攻略 導(dǎo)數(shù)求根 理(9頁珍藏版)》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、第一講 函數(shù)與導(dǎo)數(shù)曲線的交點(diǎn)和函數(shù)的零點(diǎn)第三課時用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)圖象的交點(diǎn)或方程的根的個數(shù)曲線的交點(diǎn)和函數(shù)的零點(diǎn)的個數(shù)常常與函數(shù)的單調(diào)性與極值有關(guān),解題時,還需要用圖象幫助思考,而求函數(shù)的單調(diào)性與極值以及畫函數(shù)的圖象的有力工具就是導(dǎo)數(shù).【例1】(2008江西卷, 文)已知函數(shù)()求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;()若函數(shù)的圖象與直線恰有兩個交點(diǎn),求的取值范圍【分析及解】()令,得在的已知條件下,及隨的變化情況列表如下: 減極小值增極大值增極小值減所以的遞增區(qū)間為與,的遞減區(qū)間為與()要研究函數(shù)的圖象與直線的交點(diǎn)的情況,就要考慮函數(shù)的極大值和極小值相對于的位置.由()得到, 由圖可知,要使的圖象與直線恰有兩個交
2、點(diǎn),只需(1) 兩個極小值一個大于且另一個小于,即;(2) 極大值小于,即,即或【例2】(2008四川 卷,理)已知是函數(shù)的一個極值點(diǎn)()求;()求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;()若直線與函數(shù)的圖像有3個交點(diǎn),求的取值范圍【分析及解】()因?yàn)?,所以因此?dāng)時, ,由此可知,當(dāng)時, 單調(diào)遞減,當(dāng)時, 單調(diào)遞增,所以, 當(dāng)時, 是函數(shù)的一個極值點(diǎn)于是, .()由()知,當(dāng)時,當(dāng)時,所以的單調(diào)增區(qū)間是,的單調(diào)減區(qū)間是()與的圖象有個交點(diǎn);等價于有個實(shí)數(shù)根;即有個實(shí)數(shù)根;此時,函數(shù)的圖象與軸有個不同交點(diǎn),令,則,令,解得或,隨的變化情況列表如下:00極大值極小值為極大值,為極小值.由表可得的示意圖:為使圖象與軸有3
3、個不同交點(diǎn),必須的極大值大于零,極小值小于零.即可化為 解得【例3】(2008陜西卷文)設(shè)函數(shù)其中實(shí)數(shù)()若,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;()當(dāng)函數(shù)與的圖象只有一個公共點(diǎn)且存在最小值時,記的最小值為,求的值域;()若與在區(qū)間內(nèi)均為增函數(shù),求的取值范圍【分析及解】() ,又, 當(dāng)時,;當(dāng)時,在和內(nèi)是增函數(shù),在內(nèi)是減函數(shù)()由題意知 ,即恰有一根(含重根)因?yàn)?一定有一根,所以,沒有實(shí)數(shù)根或有兩個相等的實(shí)數(shù)根,因此有,即.又, 當(dāng)時,才存在最小值, ,所以, 于是的值域?yàn)椋ǎ┊?dāng)時,在和內(nèi)是增函數(shù),在內(nèi)是增函數(shù)由題意得,解得;當(dāng)時,在和內(nèi)是增函數(shù),在內(nèi)是增函數(shù)由題意得,解得;綜上可知,實(shí)數(shù)的取值范圍為【例4】
4、(2006四川卷,文)已知函數(shù),其中是的導(dǎo)函數(shù).()對滿足的一切的值,都有,求實(shí)數(shù)的取值范圍;()設(shè),當(dāng)實(shí)數(shù)在什么范圍內(nèi)變化時,函數(shù)的圖象與直線只有一個公共點(diǎn)【分析及解】()由題意. 令,,對,恒有,即. 即 解得.故時,對滿足的一切的值,都有()當(dāng)時,的圖象與直線只有一個公共點(diǎn)當(dāng)時,令則 .列表: 增極大減極小增所以,.又因?yàn)榈闹涤蚴?,且在上單調(diào)遞增.所以,當(dāng)時函數(shù)的圖象與軸只有一個公共點(diǎn).當(dāng)時,恒有, 此時, 的圖象與軸不能再有公共點(diǎn),必須得極大值小于零,即, ,解得.綜上,的取值范圍是【例5】(2006福建卷,文)已知是二次函數(shù),不等式的解集是且在區(qū)間上的最大值是12。(I)求的解析式;
5、(II)是否存在自然數(shù)使得方程在區(qū)間內(nèi)有且只有兩個不等的實(shí)數(shù)根?若存在,求出的取值范圍;若不存在,說明理由.【分析及解】(I)因?yàn)槭嵌魏瘮?shù),且的解集是所以可設(shè)由,因?yàn)樵趨^(qū)間上,函數(shù)是減函數(shù),在區(qū)間上, 函數(shù)是增函數(shù).所以,在區(qū)間上的最大值是由已知,得所以, 的解析式為(II)方程等價于方程設(shè)則當(dāng)時,是減函數(shù);當(dāng)時,是增函數(shù)。因?yàn)樗苑匠淘趨^(qū)間內(nèi)分別有唯一的實(shí)數(shù)根,而在區(qū)間內(nèi)沒有實(shí)數(shù)根,所以存在唯一的自然數(shù)使得方程在區(qū)間內(nèi)有且只有兩個不同的實(shí)數(shù)根?!纠?】(2006福建卷,理)已知函數(shù)(I)求在區(qū)間上的最大值(II)是否存在實(shí)數(shù)使得的圖象與的圖象有且只有三個不同的交點(diǎn)?若存在,求出的取值范圍;
6、若不存在,說明理由?!痉治黾敖狻浚↖)當(dāng)即時,在上單調(diào)遞增,當(dāng)即時,當(dāng)時,在上單調(diào)遞減,綜上,(II)函數(shù)的圖象與的圖象有且只有三個不同的交點(diǎn),即函數(shù)的圖象與軸的正半軸有且只有三個不同的交點(diǎn).因?yàn)?所以,當(dāng)時,是增函數(shù);當(dāng)時,是減函數(shù);當(dāng)時,是增函數(shù);當(dāng)或時,于是,當(dāng)充分接近0時,當(dāng)充分大時,因此,要使的圖象與軸正半軸有三個不同的交點(diǎn),必須且只須即所以存在實(shí)數(shù),使得函數(shù)與的圖象有且只有三個不同的交點(diǎn),的取值范圍為【練習(xí)題】1.(2005全國,文)設(shè)為實(shí)數(shù),函數(shù)()求的極值;()當(dāng)在什么范圍內(nèi)取值時,曲線與軸僅有一個交點(diǎn)2.研究三次方程有且只有一個實(shí)數(shù)根的條件.3、(2007年全國卷,理) 已知
7、函數(shù)()求曲線在點(diǎn)處的切線方程;()設(shè),如果過點(diǎn)可作曲線的三條切線,證明:【分析及解】()求函數(shù)的導(dǎo)數(shù);曲線在點(diǎn)處的切線方程為:,即()如果有一條切線過點(diǎn),則存在,使 于是,若過點(diǎn)可作曲線的三條切線,則方程有三個相異的實(shí)數(shù)根記,則 當(dāng)變化時,變化情況如下表:000增極大值減極小值增由的單調(diào)性,當(dāng)極大值或極小值時,方程最多有一個實(shí)數(shù)根;當(dāng)時,解方程得,即方程只有兩個相異的實(shí)數(shù)根;當(dāng)時,解方程得,即方程只有兩個相異的實(shí)數(shù)根綜上,如果過可作曲線三條切線,即有三個相異的實(shí)數(shù)根,則即【練習(xí)題參考答案】1.(I),若,則.當(dāng)變化時,變化情況如下表:1+00+極大值極小值的極大值是,極小值是(II)函數(shù)由此可知,取足夠大的正數(shù)時,有0,取足夠小的負(fù)數(shù)時有0,所以曲線=與軸至少有一個交點(diǎn)結(jié)合的單調(diào)性可知:解得.或解得.當(dāng)時,曲線與軸僅有一個交點(diǎn)。2. 三次方程有且只有一個實(shí)數(shù)根,有下列兩種情況:(1) 函數(shù)在上是單調(diào)的,這相當(dāng)于恒大于零,或恒小于零,即,即.(2) 函數(shù)在上不是單調(diào)的,設(shè)有兩個根為(此時),這時,它們對應(yīng)的函數(shù)值是極大或極小值,需滿足或即.因此,三次方程有且只有一個實(shí)數(shù)根的條件是: 或.