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1、第五章 定積分,第一節(jié) 定積分的概念與性質,第二節(jié) 微積分基本公式,第三節(jié) 定積分的換元法和分部積分法,第四節(jié) 反常積分,主講人：李源,第一節(jié) 定積分的概念與性質,三、定積分的性質,一、定積分問題舉例,二、定積分的定義,一、定積分問題舉例,曲邊梯形 設函數(shù)y=f(x)在區(qū)間a, b 上非負、連續(xù). 由直線x=a、x=b、 Y=0及曲線y=f (x)所圍成的圖形 稱為曲邊梯形, 其中曲線弧稱 為曲邊. 如何計算其面積？,在初等函數(shù)里面，我們只會計算規(guī)則圖形的面積， 如長方形，圓形等。如何計算不規(guī)則圖形的面積，是 我們需要解決的問題。,解決步驟 :,1) 分割.,在區(qū)間 a , b 中任意插入 n

2、 1 個分點,用直線,將曲邊梯形分成 n 個小曲邊梯形;,2) 近似.,在第i 個窄曲邊梯形上任取,作以,為底 ,為高的小矩形,并以此小,梯形面積近似代替相應,窄曲邊梯形面積,得,3) 求和.,4) 取極限.,令,則曲邊梯形面積,元素法,1 化整為零,2 以直代曲 (以常代變),3 積零為整,y=f (x),.,.,分法越細，越接近精確值,1. 曲邊梯形的面積,f (i),.,元素法,4 取極限,y=f (x),令分法無限變細,.,.,.,.,分法越細，越接近精確值,1 化整為零,2 以直代曲 (以常代變),3 積零為整,f (i),1. 曲邊梯形的面積,元素法,4 取極限,y=f (x),令

3、分法無限變細,.,.,.,.,分法越細，越接近精確值,1 化整為零,2 以直代曲 (以常代變),3 積零為整,f (i),S =,.,S,.,1. 曲邊梯形的面積,2.變速直線運動的路程,已知物體直線運動的速度v=v(t)是時間 t 的連續(xù)函數(shù), 且v(t)0, 計算物體在時間段T1, T2內所經過的路程S.,(1)分割:,T1=t0t1t2 * tn-1tn=T2, Dtititi+1;,(2)近似:,物體在時間段ti1, ti內所經過的路程近似為,Siv(i)Dti ( ti1 iti );,物體在時間段T1, T2內所經過的路程近似為,(3)求和:,(4)取極限:,記maxDt1, Dt

4、2, Dtn, 物體所經過的路程為,上述兩個問題的共性:,解決問題的方法步驟相同 :,“分割 , 近似 , 求和 , 取極限 ”,所求量極限結構式相同:,特殊乘積和式的極限,1. 曲邊梯形的面積,2.變速直線運動的路程,許多問題的解決都可以化為上述特定和式的問題， 將其一般化，就得到定積分的概念.,1. 定積分的定義,(i1, 2, n),作和,maxDx1, Dx2,Dxn; 在小區(qū)間xi1, xi上任取一點xi,記Dxi=xi-xi1 (i1, , n),個分點: ax0x1x2 xn1xnb;,設函數(shù)f(x)在區(qū)間a, b上有界.,極限存在, 且極限值與區(qū)間a, b的分法和xi的取法無關

5、, 則稱此極限為函數(shù)f(x)在區(qū)間a, b上的定積分, 記為,即,二、定積分的定義,在區(qū)間a, b內插入n-1,如果當0時, 上述和式的,此時稱 f ( x ) 在 a , b 上可積 .,定積分僅與被積函數(shù)及積分區(qū)間有關 ,而與積分,變量用什么字母表示無關 ,即,2.函數(shù)的可積性,定理1:如果函數(shù)f(x)在區(qū)間a, b上連續(xù), 則函數(shù)f(x) 在區(qū)間 a, b上可積. 定理2:如果函數(shù)f(x)在區(qū)間a, b上有界, 且只有有限 個間斷點, 則函數(shù)f(x)在區(qū)間a, b上可積.,1.定積分的定義,二、定積分的定義,3.定積分的幾何意義:,曲邊梯形面積,曲邊梯形面積的負值,各部分面積的代數(shù)和,解

6、 把區(qū)間0, 1分成n等份, 分點為和小區(qū)間長度為,例1. 利用定義計算定積分,取 ,作積分和,解 函數(shù) y1x在區(qū)間0, 1上的定積分是以y=1-x為 曲邊, 以區(qū)間0, 1為底的曲邊梯形的面積.,因為以y=1-x為曲邊, 以區(qū)間0, 1為底的曲邊梯形是 一個直角三角形, 其底邊長及高均為1, 所以,例2 用定積分的幾何意義求,兩點規(guī)定,三、定積分的性質,性質1,性質2,性質3,注：值得注意的是不論a b c的相 對位置如何上式總成立,性質4,推論1,如果在區(qū)間a b上 f (x)g(x) 則,如果在區(qū)間a b上 f (x)0 則,性質5,推論2,這是因為|f(x)|f(x)|f(x)|, 所以,即,|,.,性質6 設M及m分別是函數(shù)f(x)在區(qū)間a b上的最大值及最小值 則,性質7 (定積分中值定理) 如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a b上連 續(xù)則在積分區(qū)間a b上至少存在一個點x ,使下式成立,這是因為, 由性質6變形得,積分中值公式,由介值定理, 至少存在一點xa, b, 使,兩端乘以ba即得積分中值公式.,注:,可把,故它是有限個數(shù)的平均值概念的推廣.,積分中值定理對,因,解,例3 估計積分 的值,解,例4 估計積分 的值,內容小結,1. 定積分的定義, 乘積和式的極限,2. 定積分的性質,3. 積分中值定理,連續(xù)函數(shù)在區(qū)間上的平均值公式,