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1、4.2 隨機變量的方差,1. 方差的概念與計算,3. 方差的性質(zhì),2. 常見分布的方差,下頁,、方差概念的引入,隨機變量的數(shù)學期望是一個重要的數(shù)學特征，反應了隨機 變量取值的平均大小，但只知道隨機變量的數(shù)學期望是不夠的.,下頁,4.2 隨機變量的方差,引例1. 從甲、乙兩車床加工的零件中各取件，測得尺寸 如下： 甲： 8， 9， 10， 11， 12； 乙：9.6，9.8，10，10.2，10.4 已知標準尺寸為10(cm), 公差d=0.5cm, 問那一臺車床好？,以X甲 ，X乙分別表示甲乙兩車床加工零件的長度，易得 E(X甲) =E(X乙)10. 雖然甲乙車床加工零件的

2、均值相等，但其零件的質(zhì)量有 顯著差異，甲加工的零件只有件合格，乙加工的全部合格.,下頁,引例2有甲、乙兩人射擊，他們的射擊技術(shù)用下表給出. X表示甲擊中環(huán)數(shù)，Y表示乙擊中環(huán)數(shù)，誰的射擊水平高？,因此，從平均環(huán)數(shù)上看，甲乙兩人的射擊水平是一樣的， 但兩人射擊水平的穩(wěn)定性是有差別的. 怎么體現(xiàn)這個差別呢?,E(X)=9.2(環(huán)) ;,E(Y)=9.2(環(huán)) .,思路：考察一下“誤差”平方的加權(quán)平均值情況.,這表明乙的射擊水平比較穩(wěn)定.,甲:,乙:,下頁,引例2有甲、乙兩人射擊，他們的射擊技術(shù)用下表給出. X表示甲擊中環(huán)數(shù)，Y表示乙擊中環(huán)數(shù)，誰的射擊水平高？,思路：考察一下“誤差”平方的加權(quán)平均值情

3、況.,這表明乙的射擊水平比較穩(wěn)定.,甲:,乙:,E(X)=9.2(環(huán)) ;,E(Y)=9.2(環(huán)),一、方差的概念,,定義 設X為隨機變量，如果EX-E(X)2存在，則稱 EX-E(X)2 為X的方差，記作 D(X) . 即,D(X) = EX-E(X)2 .,其中 PX=xk=pk k=1,2,3,., 離散型隨機變量,二、方差的計算,下頁,一、方差的概念,定義 設X為隨機變量，如果EX-E(X)2存在，則稱 EX-E(X)2 為X的方差，記作 D(X) . 即,D(X) = EX-E(X)2 ., 連續(xù)型隨機變量,,證明：,D(X)= EX E(X)2,=

4、EX2 - 2XE(X)+ E(X)2,= E(X2)- 2E(X)E(X)+ E(X)2,解：因 E(X) = p， 而 E(X 2) = 12p + 02q = p, 于是,D(X) = E(X 2)- E(X)2 = p - p2 = p q.,下頁,三、方差的計算公式,= E(X2)- E(X)2 .,例1設隨機變量 X (0-1) 分布，其概率分布為 PX=1= p，PX=0=q，0p1，p+q=1，求D(X) .,例2設隨機變量X具有概率密度,求 D(X) .,所以,,,,解：,下頁,四、常見分布的方差, 0-1分布 概率分布為,E(X) = p.,下頁,D(X)= E(X2)-E

5、(X)2,= p-p2 = p(1-p) = pq., 二項分布 設隨機變量XB(n,p),其概率分布為,E(X) = np.,D(X) = E(X2) - E(X)2,E(X2) = E(X2 -X+X),= EX(X-1)+X,= EX(X-1)+E(X),EX(X-1),D(X) = E(X2) - E(X)2 = n(n -1)p2 +np - n2p2 = npq.,從而得,下頁, 泊松分布 設隨機變量XP(l)，其概率分布為,, k = 0,1,2,3,,l0,,E(X) = l .,D(X) = E(X2) - E(X)2,E(X2) = E(X2 -X+X),= EX(X-1)

6、+X,= EX(X-1)+E(X),EX(X-1),D(X) = E(X2) - E(X)2 = l2 +l -l2 =l .,從而得,下頁, 均勻分布 設X Ua,b 概率密度為,從而得,下頁, 指數(shù)分布 設X E(l) 概率密度為,從而得,下頁, 正態(tài)分布 設XN(,2 )概率密度為,推廣 若X1,X2,,Xn相互獨立，則D(X1+X2++Xn),設 C 均為常數(shù)，則有,下頁,五、方差的性質(zhì),性質(zhì)2 D(CX)= C 2 D(X),性質(zhì)3 D(X+C)= D(X),性質(zhì)4 設X,Y是兩個相互獨立的隨機變量，則有 D(X+Y)= D(X)+D(Y),性質(zhì)1 D(C)= C

7、,證明：(2) D(CX) = E CX - E(CX)2 = C2 EX - E(X)2 = C2 D(X).,(3) D(X+C)= E(X+C)- E(X+C)2= EX E(X)2= D(X).,EX-E(X) Y-E(Y) = EXY - E(X)Y - E(Y)X + E(X)E(Y),= E(XY)-E(X)E(Y)-E(X)E(Y)+E(X)E(Y),= E(XY)- E(X)E(Y)，,由于 X,Y相互獨立，故有 E(XY)= E(X)E(Y) ，從則有,EX-E(X)Y-E(Y)= 0 ,,(4) D(X+Y) = E(X+Y)-E(X+Y)2= EX-E(X)+Y-E(Y

8、)2 = EX-E(X)2+ EY-E(Y)2+ 2EX-E(X)Y-E(Y) = D(X)+D(Y) + 2EX-E(X)Y-E(Y)，而,于是 D(X+Y)= D(X)+D(Y),練習：若X，Y相互獨立，證明 D(X-Y)= D(X)+D(Y) .,下頁,D(X)=D(X1+X2++Xn),令,顯然 Xi 均服從(0-1)分布, 即 E(Xi)= p, D(Xi) = pq (i =1,2,,n),,且 X1, X2, , Xn相互獨立. 于是有,E(X)= E(X1+X2++Xn),= E(X1)+E(X2)++E(Xn)= np.,=D(X1)+D(X2)++D(Xn)= npq.,解

9、：,X= X1+X2++Xn ，,（這是新視角用意所在?。?例3在 n 重貝努里試驗中，用 X 表示 n 次試驗中事件A 發(fā) 生的次數(shù)，記P(A)= p，求E(X)，D(X) ,下頁,本題旨在給出一個思考與解決問題的新視角！,例4.,解：,下頁,因為,從而,下頁,例4.,解：,小 結(jié),D(X)=EX-E(X)2,1.方差的定義與計算,2.常見分布的期望與方差,下頁,練習題,1.設X表示獨立射擊目標10次所擊中目標的次數(shù)，每次擊中 的概率為0.4則 E(X 2)=( ),2.隨機變量X與Y獨立，且XN(1,2)，YN(0,1),則 Z=2X-Y+3的期望與方差分別為（ ）,二、單選題,一、填空題,設X和Y是兩個隨機變量，則下式正確的是（ ）,三、計算題*,,設有n個同樣的盒子和n個同樣的小球分別編號為1,2,3,，n 將n個球隨機地放入n個盒子中去，每個盒子放一個球，求與盒子 編號相同的小球數(shù)的數(shù)學期望,下頁,,作業(yè)： 112頁 8, 9, 10, 11,12,結(jié)束,