《數(shù)字信號(hào)處理教學(xué)課件第四章 快速傅立葉變換》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《數(shù)字信號(hào)處理教學(xué)課件第四章 快速傅立葉變換（101頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、Fast Fourier Transform 第一節(jié)第一節(jié) 直接計(jì)算直接計(jì)算DFTDFT的問(wèn)題及改進(jìn)途徑的問(wèn)題及改進(jìn)途徑1、問(wèn)題的提出、問(wèn)題的提出 設(shè)有限長(zhǎng)序列設(shè)有限長(zhǎng)序列x(n)，非零值長(zhǎng)度為，非零值長(zhǎng)度為N，若，若對(duì)對(duì)x(n)進(jìn)行一次進(jìn)行一次DFT運(yùn)算，共需運(yùn)算，共需多大的運(yùn)算多大的運(yùn)算工作量工作量？計(jì)算成本計(jì)算成本?計(jì)算速度計(jì)算速度?2.DFT的運(yùn)算量的運(yùn)算量 回憶回憶DFT和和IDFT的變換式：的變換式：10)(1)()(10 NnWkXNkXIDFTnxNknk10)()()(10 NkWnxnxDFTkXNnnkN1）x(n)為為復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)，也為也為復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)。2）DFT與與IDFT的

2、計(jì)算量相當(dāng)。的計(jì)算量相當(dāng)。nkNjnkNeW 2 注意：注意：計(jì)算機(jī)運(yùn)算時(shí)（編程實(shí)現(xiàn)）：計(jì)算機(jī)運(yùn)算時(shí)（編程實(shí)現(xiàn)）：0k0)1(0100)1()1()0()0(NNNNWNxWxWxX1k 0111(1)1(1)(0)(1)(1)NNNNXxWxWx NW 2k 0 212(1)2(2)(0)(1)(1)NNNNXxWxWx NW 1Nk0111(1)1(1)(0)(1)(1)NNNNNNNX NxWxWx NW 10)()()(10 NkWnxnxDFTkXNnnkN以以DFT為例：為例：復(fù)數(shù)乘法復(fù)數(shù)乘法復(fù)數(shù)加法復(fù)數(shù)加法一個(gè)一個(gè)X(k)NN 1N個(gè)個(gè)X(k)(N點(diǎn)點(diǎn)DFT)N 2N(N 1)實(shí)

3、數(shù)乘法實(shí)數(shù)乘法實(shí)數(shù)加法實(shí)數(shù)加法一次復(fù)乘一次復(fù)乘42一次復(fù)加一次復(fù)加2一個(gè)一個(gè)X(k)4N2N+2(N 1)=2(2N 1)N個(gè)個(gè)X(k)(N點(diǎn)點(diǎn)DFT)4N 22N(2N 1)10()NnkNnx n W運(yùn)算量運(yùn)算量(a+jb)(c+jd)=(ac-bd)+j(bc+ad)例：計(jì)算一個(gè)例：計(jì)算一個(gè) N點(diǎn)點(diǎn)DFT，共需，共需N2次復(fù)乘次復(fù)乘。以做一次。以做一次 復(fù)乘復(fù)乘1s計(jì)，若計(jì)，若N=4096，所需時(shí)間為，所需時(shí)間為ss1716777216)4096(2 例：石油勘探，有例：石油勘探，有24個(gè)通道的記錄，每通道波形記個(gè)通道的記錄，每通道波形記 錄長(zhǎng)度為錄長(zhǎng)度為5秒，若每秒抽樣秒，若每秒抽樣5

4、00點(diǎn)點(diǎn)/秒，秒，1）每道總抽樣點(diǎn)數(shù)：）每道總抽樣點(diǎn)數(shù)：500*5=2500點(diǎn)點(diǎn) 2）24道總抽樣點(diǎn)數(shù)：道總抽樣點(diǎn)數(shù)：24*2500=6萬(wàn)點(diǎn)萬(wàn)點(diǎn) 3）DFT復(fù)乘運(yùn)算時(shí)間：復(fù)乘運(yùn)算時(shí)間：N2=(60000)2=36*108次次ss360010*36)60000(82 由于計(jì)算量大，且要求由于計(jì)算量大，且要求相當(dāng)大的內(nèi)存相當(dāng)大的內(nèi)存，難以實(shí)現(xiàn)實(shí)難以實(shí)現(xiàn)實(shí)時(shí)處理時(shí)處理，限制了，限制了DFT的應(yīng)用。長(zhǎng)期以來(lái)，人們一直在尋的應(yīng)用。長(zhǎng)期以來(lái)，人們一直在尋求一種能求一種能提高提高DFT運(yùn)算速度運(yùn)算速度的方法。的方法。FFT便是便是 Cooley&Tukey 在在1965 年提出的的快速年提出的的快速算法，它

5、可以使運(yùn)算速度提高幾百倍，從而使數(shù)字信號(hào)算法，它可以使運(yùn)算速度提高幾百倍，從而使數(shù)字信號(hào)處理學(xué)科成為一個(gè)新興的應(yīng)用學(xué)科。處理學(xué)科成為一個(gè)新興的應(yīng)用學(xué)科。第二節(jié)第二節(jié) 改善改善DFTDFT運(yùn)算效率的基本途徑運(yùn)算效率的基本途徑knNW 1、利用、利用DFT運(yùn)算的系數(shù)運(yùn)算的系數(shù) 的固有對(duì)稱(chēng)性和周期的固有對(duì)稱(chēng)性和周期 性，改善性，改善DFT的運(yùn)算效率。的運(yùn)算效率。1）對(duì)稱(chēng)性）對(duì)稱(chēng)性 2）周期性）周期性 3）可約性）可約性()()nkN n kn N kNNNWWW周期性 nkmnkNmNWW可約性/nknk mNN mWW2jmnkmNe221NjjNee 0/2(/2)11Nk NkNNNNWWWW

6、 特殊點(diǎn)：nkNW 的特性2jnknkNNWe*()()()nknkN n kn N kNNNNWWWW對(duì)稱(chēng)性NknkNNWWnNnkNNWW2、將長(zhǎng)序列、將長(zhǎng)序列DFT利用對(duì)稱(chēng)性和周期性分解為短利用對(duì)稱(chēng)性和周期性分解為短 序列序列DFT的思路的思路 因?yàn)橐驗(yàn)镈FT的運(yùn)算量與的運(yùn)算量與N2成正比的，如果一個(gè)成正比的，如果一個(gè)大大點(diǎn)數(shù)點(diǎn)數(shù)N的的DFT能分解為能分解為若干小點(diǎn)數(shù)若干小點(diǎn)數(shù)DFT的組合的組合，則，則顯然可以達(dá)到顯然可以達(dá)到減少運(yùn)算工作量減少運(yùn)算工作量的效果。的效果。N點(diǎn)點(diǎn)DFTN/2點(diǎn)點(diǎn)DFTN/2點(diǎn)點(diǎn)DFTN/4點(diǎn)點(diǎn)DFTN/4點(diǎn)點(diǎn)DFTN/4點(diǎn)點(diǎn)DFTN/4點(diǎn)點(diǎn)DFT.復(fù)乘：復(fù)乘

7、：2N2222 NN22N22224444 NNNN42N FFT算法的基本思想：算法的基本思想：利用利用DFT系數(shù)的特性，合并系數(shù)的特性，合并DFT運(yùn)算中的某些項(xiàng)運(yùn)算中的某些項(xiàng) 把長(zhǎng)序列把長(zhǎng)序列DFT短序列短序列DFT，從而減少運(yùn)算量。，從而減少運(yùn)算量。FFT算法分類(lèi)算法分類(lèi):時(shí)間抽選法時(shí)間抽選法 DIT:Decimation-In-Time頻率抽選法頻率抽選法 DIF:Decimation-In-Frequency第三節(jié)第三節(jié) 按時(shí)間抽選的基按時(shí)間抽選的基2-FFT算法算法1、算法原理、算法原理 設(shè)輸入序列長(zhǎng)度為設(shè)輸入序列長(zhǎng)度為N=2M(M為正整數(shù)，將該序列為正整數(shù)，將該序列按時(shí)間順序的奇

8、偶分解按時(shí)間順序的奇偶分解為越來(lái)越短的子序列，稱(chēng)為為越來(lái)越短的子序列，稱(chēng)為基基2按時(shí)間抽取的按時(shí)間抽取的FFT算法。也稱(chēng)為算法。也稱(chēng)為Coolkey-Tukey算法。算法。其中其中基基2表示：表示：N=2M，M為整數(shù)為整數(shù).若不滿足這個(gè)若不滿足這個(gè)條件，可以人為地加上若干零值（條件，可以人為地加上若干零值（加零補(bǔ)長(zhǎng)加零補(bǔ)長(zhǎng)）使其）使其達(dá)到達(dá)到 N=2M。先將先將x(n)按按n的奇偶分為兩組，作變量置換的奇偶分為兩組，作變量置換:當(dāng)當(dāng)n=偶數(shù)時(shí)，令偶數(shù)時(shí)，令n=2r;當(dāng)當(dāng)n=奇數(shù)時(shí)，令奇數(shù)時(shí)，令n=2r+1;分組，變量置換分組，變量置換2、算法步驟、算法步驟10)()()(10 NkWnxnxD

9、FTkXNnnkN得到：得到：1,.,0)()12()()2(221 Nrrxrxrxrx 帶入帶入DFT中中 10)()()(NnnkNWnxnxDFTkX 12/0)12(12/02)12()2(NrkrNNrrkNWrxWrx 1010)()(NnnkNNnnkNnnWnxWnx為為奇奇數(shù)數(shù)為為偶偶數(shù)數(shù) 12/02212/021)()(NrrkNkNNrrkNWrxWWrx所以所以 12/02212/021)()()(NrrkNkNNrrkNWrxWWrxkX由于由于nNnNjnNjnNWeeW2/2/2222 12/02/212/02/1)()(NrrkNkNNrrkNWrxWWrx)

10、()(21kXWkXkN 1,1,02 Nk1,1,0 Nk?1,1,02 Nk X1(k)、X2(k)只有只有N/2個(gè)點(diǎn)，以個(gè)點(diǎn)，以N/2為周期；而為周期；而X(k)卻有卻有N個(gè)點(diǎn)，以個(gè)點(diǎn)，以N為周期。要用為周期。要用X1(k)、X2(k)表達(dá)全部的表達(dá)全部的X(k)值，還必須利用值，還必須利用WN系數(shù)的系數(shù)的周期特性周期特性。rkNkNrNWW2/)2/(2/12/02/112/0)2/(2/11)()()2/(NrrkNNrkNrNWrxWrxkNX )()2/()()2/(2211kXkNXkXkNX后半部分后半部分前半部分前半部分又考慮到又考慮到 的對(duì)稱(chēng)性：的對(duì)稱(chēng)性：kNWkNkNN

11、NkNNWWWW 2/)2/()2/()2/()2/(2)2/(1kNXWkNXkNXkNN 有：有：1,1,0)()()(221 NkNkkXWkXkX1,1,0)()(221 NkNkkXWkX后半部分后半部分前半部分前半部分)()()2/(21kXWkXkNXkN )()()(21kXWkXkXkN 1,1,02 Nk)(1kX)(2kXkNW)()(21kXWkXkN)()(21kXWkXkN 蝶形運(yùn)算流圖符號(hào)蝶形運(yùn)算流圖符號(hào)說(shuō)明：說(shuō)明：(1)左邊兩路為輸入左邊兩路為輸入(2)右邊兩路為輸出右邊兩路為輸出(3)中間以一個(gè)小圓表示加、中間以一個(gè)小圓表示加、減運(yùn)算（右上路為相加減運(yùn)算（右上

12、路為相加 輸出、右下路為相減輸輸出、右下路為相減輸 出出)1個(gè)蝶形運(yùn)算需要個(gè)蝶形運(yùn)算需要1次復(fù)乘，次復(fù)乘，2次復(fù)加次復(fù)加復(fù)數(shù)乘法復(fù)數(shù)乘法復(fù)數(shù)加法復(fù)數(shù)加法一個(gè)一個(gè)N 點(diǎn)點(diǎn)DFTN 2N(N1)一個(gè)一個(gè)N/2點(diǎn)點(diǎn)DFT(N/2)2N/2(N/2 1)兩個(gè)兩個(gè)N/2點(diǎn)點(diǎn)DFTN 2/2N(N/2 1)一個(gè)蝶形一個(gè)蝶形12N/2個(gè)蝶形個(gè)蝶形N/2N總計(jì)總計(jì)N2/2+N/2 N2/2N(N/2-1)+N N2/2運(yùn)算量減少了近一半運(yùn)算量減少了近一半 分解后的運(yùn)算量：分解后的運(yùn)算量：)()()2/()()()(2121kXWkXNkXkXWkXkXkNkN 12/,0 Nk先將先將N=8點(diǎn)的點(diǎn)的DFT分解

13、成分解成2個(gè)個(gè)4點(diǎn)點(diǎn)DFT：可知：可知：時(shí)域上：時(shí)域上：x(0),x(2),x(4),x(6)為偶子序列為偶子序列 x(1),x(3),x(5),x(7)為奇子序列為奇子序列 頻域上：頻域上：X(0)X(3)，由，由X(k)給出給出 X(4)X(7)，由，由X(k+N/2)給出給出例子：求例子：求 N=23=8點(diǎn)點(diǎn)FFT變換變換 按按N=8N/2=4，做，做4點(diǎn)的點(diǎn)的DFT：N=8點(diǎn)的直接點(diǎn)的直接DFT的計(jì)算量為：的計(jì)算量為：復(fù)乘：復(fù)乘：N2次次=64次次 復(fù)加：復(fù)加：N(N-1)次次=87=56次次)()()2/()()()(2121kXWkXNkXkXWkXkXkNkN 12/,0 Nk

14、此外，還有此外，還有4個(gè)蝶形結(jié)，每個(gè)蝶形結(jié)需要個(gè)蝶形結(jié)，每個(gè)蝶形結(jié)需要1次復(fù)乘，次復(fù)乘，2次復(fù)加。次復(fù)加。一共是：復(fù)乘一共是：復(fù)乘4次，復(fù)加次，復(fù)加8次。次。得到得到X1(k)和和X2(k)需要：需要：復(fù)乘：復(fù)乘：(N/2)2+(N/2)2次次=32次次 復(fù)加：復(fù)加：N/2(N/2-1)+N/2(N/2-1)=12+12=24次次用分解的方法得到用分解的方法得到X(k)需要：需要：復(fù)乘：復(fù)乘：32+4=36次次 復(fù)加：復(fù)加：24+8=32次次N點(diǎn)點(diǎn)DFT的一次時(shí)域抽取分解圖的一次時(shí)域抽取分解圖(N=8)4點(diǎn)點(diǎn)DFT4點(diǎn)點(diǎn)DFTx(0)x(2)x(4)x(6)x(1)x(3)x(5)x(7)X1

15、(0)X1(1)X1(2)X1(3)X2(0)X2(1)X2(2)X2(3)X(0)X(1)X(2)X(3)X(4)X(5)X(6)X(7)38W28W18W08W 奇奇序序列列、偶偶序序列列、)6()2()4()0(:)(1xxxxrx 奇奇序序列列、偶偶序序列列、同同理理：)7()3()5()1(:)(2xxxxrx因?yàn)橐驗(yàn)?點(diǎn)點(diǎn)DFT還是比較麻煩，所以再繼續(xù)分解。還是比較麻煩，所以再繼續(xù)分解。若將若將N/2(4點(diǎn)點(diǎn))子序列按奇子序列按奇/偶分解成兩個(gè)偶分解成兩個(gè)N/4點(diǎn)點(diǎn)(2點(diǎn)點(diǎn))子子序列。即對(duì)將序列。即對(duì)將x1(r)和和x2(r)分解成奇、偶兩個(gè)分解成奇、偶兩個(gè)N/4點(diǎn)點(diǎn)(2點(diǎn)點(diǎn))點(diǎn)的

16、子序列。點(diǎn)的子序列。1,0)1.0()()12()()2(44131 lllxlxlxlxN此此處處，奇奇序序列列偶偶序序列列設(shè)設(shè)：1,0)1.0()()12()()2(46252 lllxlxlxlxN此此處處，奇奇序序列列偶偶序序列列設(shè)設(shè)：那么，那么，X1(k)又可表示為又可表示為 14/0)12(2/114/022/11)12()2()(NlklNNllkNWlxWlxkX 14/04/42/14/04/3)()(NllkNkNNllkNWlxWWlx)()(42/3kXWkXKN 1,.1,0)()()()()()(442/34142/31 NkNNkNkkXWkXkXkXWkXkX

17、14/0)12(2/214/022/22)21()2()(NlklNNllkNWlxWlxkX 14/04/62/14/04/5)()(NllkNkNNllkNWlxWWlx1,.1,0)()()()()()(462/54262/52 NkNNkNkkXWkXkXkXWkXkXX2(k)也可以進(jìn)行相同的分解：也可以進(jìn)行相同的分解：注意：通常我們會(huì)把注意：通常我們會(huì)把 寫(xiě)成寫(xiě)成 。kNW2/kNW2)()(62/5kXWkXKN N點(diǎn)點(diǎn)DFT的第二次時(shí)域抽取分解圖的第二次時(shí)域抽取分解圖(N=8)2點(diǎn)點(diǎn)DFT2點(diǎn)點(diǎn)DFT2點(diǎn)點(diǎn)DFT2點(diǎn)點(diǎn)DFTx(0)x(4)x(2)x(6)x(1)x(5)x(3

18、)x(7)X3(0)X3(1)X4(0)X4(1)X5(0)X5(1)X6(0)X6(1)08W28W08W28WX1(0)X1(1)X1(2)X1(3)X2(0)X2(1)X2(2)X2(3)38W28W18W08WX(0)X(1)X(2)X(3)X(4)X(5)X(6)X(7)4點(diǎn)點(diǎn)DFT4點(diǎn)點(diǎn)DFTx(0)x(2)x(4)x(6)x(1)x(3)x(5)x(7)X1(0)X1(1)X1(2)X1(3)X2(0)X2(1)X2(2)X2(3)X(0)X(1)X(2)X(3)X(4)X(5)X(6)X(7)38W28W18W08W)1()0()()()(32314/04/333xWxWlxl

19、xDFTkXkNlklN )1()0()1()0()1()1()0()0(30233123330233xWxxWxXxWxX 8808WX3(0)X3(1)x(0)=x3(0)x(4)=x3(1)N點(diǎn)點(diǎn)DITFFT運(yùn)算流圖運(yùn)算流圖(N=8)x(0)x(4)x(2)x(6)x(1)x(5)x(3)x(7)X(0)X(1)X(2)X(3)X(4)X(5)X(6)X(7)0NW0NW0NW0NW0NW2NW0NW2NW0NW2NW1NW3NW3、DITFFT算法與直接計(jì)算算法與直接計(jì)算DFT運(yùn)算量的比較運(yùn)算量的比較22log2NNN 1)、N=2M的的DFT運(yùn)算可分成運(yùn)算可分成M級(jí)，每一級(jí)有級(jí)，每一

20、級(jí)有N/2個(gè)蝶形個(gè)蝶形 ，每個(gè)蝶形有一次復(fù)乘兩次復(fù)加。，每個(gè)蝶形有一次復(fù)乘兩次復(fù)加。NN2log2NN2log2)、所以、所以M級(jí)共有級(jí)共有 次復(fù)乘和次復(fù)乘和 次復(fù)加。次復(fù)加。3)、若直接計(jì)算、若直接計(jì)算DFT，需，需N2次復(fù)乘和次復(fù)乘和N(N-1)次復(fù)加。次復(fù)加。顯然，當(dāng)顯然，當(dāng)N較大時(shí)，有：較大時(shí)，有：例如，例如，N=210=1024時(shí)時(shí)221048576204.8(/2)log5120NNNFFT算法與直接計(jì)算算法與直接計(jì)算DFT所需乘法次數(shù)的比較曲線所需乘法次數(shù)的比較曲線4、DITFFT的運(yùn)算規(guī)律及編程思想的運(yùn)算規(guī)律及編程思想 FFT的每級(jí)（列）計(jì)算都是由的每級(jí)（列）計(jì)算都是由N個(gè)復(fù)數(shù)

21、數(shù)據(jù)（輸入）兩個(gè)復(fù)數(shù)數(shù)據(jù)（輸入）兩兩構(gòu)成一個(gè)蝶型（共兩構(gòu)成一個(gè)蝶型（共N/2個(gè)蝶形）運(yùn)算而得到另外個(gè)蝶形）運(yùn)算而得到另外N個(gè)復(fù)數(shù)個(gè)復(fù)數(shù)數(shù)據(jù)（輸出）。數(shù)據(jù)（輸出）。當(dāng)數(shù)據(jù)輸入到存儲(chǔ)器以后，每一組運(yùn)算的結(jié)果，當(dāng)數(shù)據(jù)輸入到存儲(chǔ)器以后，每一組運(yùn)算的結(jié)果，仍然存仍然存放在這同一組存儲(chǔ)器中放在這同一組存儲(chǔ)器中直到最后輸出。直到最后輸出。例：將例：將x(0)放在單元放在單元A(0)中，將中，將x(4)放在單元放在單元A(1)中，中，W80 放在一個(gè)暫存器中。放在一個(gè)暫存器中。將將x(0)+W80 x(4)送回送回A(0)單元單元將將x(0)-W80 x(4)送回送回A(1)單元單元08WX3(0)X3(1)

22、x(0)x(4)1）原位運(yùn)算原位運(yùn)算 (亦稱(chēng)同址計(jì)算亦稱(chēng)同址計(jì)算)x(0)x(4)x(2)x(6)x(1)x(5)x(3)x(7)X(0)X(1)X(2)X(3)X(4)X(5)X(6)X(7)0NW0NW0NW0NW0NW2NW0NW2NW0NW2NW1NW3NW回顧：回顧：N點(diǎn)點(diǎn)DITFFT運(yùn)算流圖運(yùn)算流圖(N=8)如上所述，如上所述，N點(diǎn)點(diǎn)DITFFT運(yùn)算流圖中，每級(jí)都有運(yùn)算流圖中，每級(jí)都有N/2個(gè)蝶形。每個(gè)蝶形都要乘以因子個(gè)蝶形。每個(gè)蝶形都要乘以因子WNP，稱(chēng)其為，稱(chēng)其為旋旋轉(zhuǎn)因子轉(zhuǎn)因子，p稱(chēng)為旋轉(zhuǎn)因子的指數(shù)。稱(chēng)為旋轉(zhuǎn)因子的指數(shù)。2)旋轉(zhuǎn)因子的變化規(guī)律旋轉(zhuǎn)因子的變化規(guī)律 觀察觀察FFT

23、運(yùn)算流圖發(fā)現(xiàn)，第運(yùn)算流圖發(fā)現(xiàn)，第L級(jí)共有級(jí)共有2L-1個(gè)不同的個(gè)不同的旋轉(zhuǎn)因子。旋轉(zhuǎn)因子。N=23=8時(shí)的各級(jí)旋轉(zhuǎn)因子表示如下：時(shí)的各級(jí)旋轉(zhuǎn)因子表示如下：L=1時(shí)，時(shí)，WNp=WN/4J，N/4=21=2L，J=0L=2時(shí)，時(shí)，WNp=WN/2J，N/2=22=2L，J=0，1L=3時(shí)，時(shí)，WNp=WNJ，N =23=2L，J=0，1，2，3對(duì)對(duì)N=2M的一般情況，第的一般情況，第L級(jí)的旋轉(zhuǎn)因子為：級(jí)的旋轉(zhuǎn)因子為：12,.,1,012 LJPNJWWLMLMLMLN 222212,.,1,0122 LJNJNPNJWWWLMMLLMJp 2 設(shè)序列設(shè)序列x(n)經(jīng)時(shí)域抽選經(jīng)時(shí)域抽選(倒序倒序)

24、后，存入數(shù)組后，存入數(shù)組X中。中。如果蝶形運(yùn)算的兩個(gè)輸入數(shù)據(jù)相距如果蝶形運(yùn)算的兩個(gè)輸入數(shù)據(jù)相距B個(gè)點(diǎn)，應(yīng)用原位個(gè)點(diǎn)，應(yīng)用原位計(jì)算，則蝶形運(yùn)算可表示成如下形式：計(jì)算，則蝶形運(yùn)算可表示成如下形式：pNLLLpNLLLWBJXJXBJXWBJXJXJX)()()()()()(1111 MJpLLM,.,2,1L12,.,1,0J21 ，式式中中：下標(biāo)下標(biāo)L表示第表示第L級(jí)運(yùn)算，級(jí)運(yùn)算，XL(J)則表示第則表示第L級(jí)運(yùn)算級(jí)運(yùn)算后數(shù)組元素后數(shù)組元素X(J)的值。的值。3)編程思想及流程圖編程思想及流程圖開(kāi)始開(kāi)始送入送入x(n)和和N=2M調(diào)整輸入調(diào)整輸入x(n)的順序的順序for(L=1;L=M;L+)

25、B=2L-1for(J=0;J=B-1;J+)p=J2M-Lfor(k=J;k=N-1;k=k+2L)pNpNWBkXkXBkXWBkXkXkX)()()()()()(輸出結(jié)果輸出結(jié)果結(jié)束結(jié)束4）碼位倒序）碼位倒序 由由N=8蝶形圖看出：原位計(jì)算時(shí)，蝶形圖看出：原位計(jì)算時(shí)，F(xiàn)FT輸出的輸出的X(k)的次序正好是順序排列的，即的次序正好是順序排列的，即X(0)X(7),但輸?shù)斎肴離(n)都不能按自然順序存入到存儲(chǔ)單元中，而是都不能按自然順序存入到存儲(chǔ)單元中，而是按按x(0),x(4),x(2),x(6),x(1),x(5),x(3),x(7)的順序存入的順序存入存儲(chǔ)單元，即為亂序輸入，順序輸出

26、。存儲(chǔ)單元，即為亂序輸入，順序輸出。這種順序看起來(lái)相當(dāng)雜亂，然而它是這種順序看起來(lái)相當(dāng)雜亂，然而它是有規(guī)律有規(guī)律的。的。即即碼位倒讀規(guī)則碼位倒讀規(guī)則。自然順序自然順序n二進(jìn)制碼表示二進(jìn)制碼表示碼位倒讀碼位倒讀碼位倒置順序碼位倒置順序n以以N=8為例：為例：0123456700000101001110010111011100010001011000110101111104261537看出：看出：碼位倒讀后碼位倒讀后的順序剛好是數(shù)據(jù)送入計(jì)算機(jī)內(nèi)的順序。的順序剛好是數(shù)據(jù)送入計(jì)算機(jī)內(nèi)的順序。x(0)x(1)x(2)x(3)x(4)x(5)x(6)x(7)A(0)A(1)A(2)A(3)A(4)A(5)

27、A(6)A(7)A(0)A(1)A(2)A(3)A(4)A(5)A(6)A(7)x(0)x(4)x(2)x(6)x(1)x(5)x(3)x(7)倒序規(guī)律倒序規(guī)律正序序列已在數(shù)組正序序列已在數(shù)組A 中，輸中，輸 入入 NLH=N/2 ,J=LH ,N1=N-2J=J-kk=k/2 k=LHJkJ=J+k T=A(I)A(I)=A(J)A(J)=Tfor(i=1;i1：螺線內(nèi)縮：螺線內(nèi)縮 W01：螺線外伸螺線外伸當(dāng)當(dāng)W0=1，則表示半徑為，則表示半徑為A0的一段圓弧的一段圓弧若又有若又有A0=1，則表示單位圓上的一段圓弧，則表示單位圓上的一段圓弧若又有若又有 ，M=N，即為序列的，即為序列的DFT

28、。000,2/N求抽樣點(diǎn)處的求抽樣點(diǎn)處的z變換：變換：1100()()()NNnnnkkknnX zx n zx n A W0,1,.,1kM222 1/2()nknkkn由222()12220()()nk nkNnknX zx n A WWW得 222()12220()knk nNnnWx n A WWNM次復(fù)乘次復(fù)乘 (N-1)M次復(fù)加次復(fù)加22()()nng nx n A W令 22()nh nW0,1,.,1nN221220()()()()*()kkNknX zWg n h knWg kh k則 0,1,.,1kM222()12220()knk nNnknX zWx n A WW2 2

29、、CZTCZT的實(shí)現(xiàn)步驟及運(yùn)算量的估算的實(shí)現(xiàn)步驟及運(yùn)算量的估算 22()()nng nx n A W其中 22()nh nW0,1,.,1nN222()12220()knk nNnknX zWx n A WW0,1,.,1kM():0 1g nN():(1)(1)h nNM1NM 點(diǎn)()*():22h ng nNM()0 1kX zkM12mLNML 且22()01()01nnA Wx nnNg nNnL210()()()LjrnLnG rFFT g ng n e01rL1LNM2mL 1)選擇選擇 ，且，且2)形成形成L點(diǎn)序列點(diǎn)序列g(shù)(n)：(3N)求其求其L點(diǎn)點(diǎn)FFT：(L/2*log2L

30、)2/2nnnCA W系數(shù) 22(1)(1)/2/21/211()nnnnnnnnCAWA WW WAC D1/2111/211nnnnDW WAW WWAWD1/21001DWAC3）形成）形成L點(diǎn)序列點(diǎn)序列h(n):222()201()011nL nWnMh nMnLNWLNnL 210()()()LjrnLnH rFFT h nh n e01rL求其求其L點(diǎn)點(diǎn)FFT:(L/2*log2L)(2N)4）求乘積）求乘積()()()Q rH rG r2101()()()()LjrnLnq kIFFT Q rH r G r eL()()()Mq kq k Rk取 22()()kkX zWq k01kM(M)(L)5）求）求L點(diǎn)點(diǎn)IFFT的的 q(k)(L/2*log2L)6）求得抽樣點(diǎn)的）求得抽樣點(diǎn)的z變換變換:23log52FmLLNLM3、CZT算法的優(yōu)點(diǎn)算法的優(yōu)點(diǎn)1)N，M可為任意數(shù)，可不等可為任意數(shù)，可不等21jNAMNWe5)當(dāng)當(dāng) ，時(shí)，時(shí)，CZT=DFT，解決了解決了N為素?cái)?shù)的快速算法問(wèn)題為素?cái)?shù)的快速算法問(wèn)題4)z0任意，從任意頻率開(kāi)始，便于窄帶高分辨率分析任意，從任意頻率開(kāi)始，便于窄帶高分辨率分析3)周線可以是螺線，而不一定是圓弧周線可以是螺線，而不一定是圓弧02)任意，易調(diào)整頻率分辨率任意，易調(diào)整頻率分辨率