《離散時間信號和離散時間系統(tǒng).ppt》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《離散時間信號和離散時間系統(tǒng).ppt（42頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、西北大學信息科學與技術學院 2007年,2.1 離散時間信號序列 2.2 離散時間系統(tǒng) 2.3 系統(tǒng)的穩(wěn)定性和因果性 2.4 離散時間信號和系統(tǒng)的頻域表示 2.5 序列傅里葉變換的對稱性質(zhì) 2.6 連續(xù)時間信號的采樣 2.7 Z變換 2.8 系統(tǒng)函數(shù) 2.9 系統(tǒng)的信號流圖,第2章 離散時間信號和離散時間系統(tǒng),西北大學信息科學與技術學院 2007年,2.1 離散時間信號序列,2.1.1 序列的定義 2.1.2 常用的基本序列 2.1.3 序列的基本運算,,西北大學信息科學與技術學院 2007年,2.1.1 序列的定義,信號在數(shù)學上定義為一個函數(shù)，這個函 數(shù)表示一種信息，通

2、常是關于一個物理系統(tǒng)的狀態(tài)或特性的。信號的函數(shù)表示是關于一個或幾個獨立變量的，關于一個獨立變量的信號稱為一維信號，關于多個獨立變量的信號稱為多維信號。在本書中，主要討論的信號是一維信號x(t), 一般情況下x(t)為隨時間變化的信號，簡稱時間信號或時域信號。,西北大學信息科學與技術學院 2007年,若t是定義在時間上的連續(xù)變量，稱x(t)為連續(xù)時間信號，也就是模擬信號；若t僅在時間的離散點上取值，稱x(t)為離散時間信號或時域離散信號。離散時間信號可以通過對連續(xù)時間信號的采樣得到,這種情況下把信號記為x(nT) ，T表示的是采樣點之間的時間間隔，n是一個整數(shù)。 離散時間信號可以表示成下列形式

3、： x(nT) n=0,1,2,3,...,,西北大學信息科學與技術學院 2007年,在大多數(shù)DSP系統(tǒng)中，x(nT)的存放是按n下標來放置的，不同的x(nT)只要靠n就可區(qū)別。因此，將x(nT)表示為x(n)，這是一種數(shù)學的抽象。所以一個離散時間信號定義為： x(n) n=0,1,2,3,... x(n)定義在n等于整數(shù)點上，在n不等于整數(shù)點上，x(n)沒有定義，但并不表示信號值為零。從數(shù)學的角度看，上面的定義式表示一個序列，因此也把離散時間信號稱作離散時間序列，簡稱序列 。,,西北大學信息科學與技術學院 2007年,序列除了數(shù)學表達式外，還常常采用圖形方式來表示，如圖2.1所示。雖然橫

4、坐標畫成一條連續(xù)的直線，但x(n)僅僅對于整數(shù)的n值才有意義。 圖2.1 離散時間信號的圖形表示,,西北大學信息科學與技術學院 2007年,離散時間信號在幅度上定義成連續(xù) 的，如果將幅度進行量化，一般為等間隔量化。在時間和幅度上都取離散值的信號稱為“數(shù)字信號”。因此，離散時間信號并不等于數(shù)字信號，但由于數(shù)字信號是幅度量化得到的，在數(shù)學表示和推導中不如序列形式方便和容易，所以一般都采用離散時間信號來討論數(shù)字信號處理的理論和算法。,,,西北大學信息科學與技術學院 2007年,2.1.2 常用的基本序列,1.單位取樣序列,(n)的定義簡單而精確，是一個真實的物理信號，而(t)采用的是極限定義，是一

5、種純粹的數(shù)學抽象，不表示一種實際的信號。,西北大學信息科學與技術學院 2007年,2.單位階躍序列 u(n)可以表示成很多移位的(n)序列之和： u(n)也可以用來表示移位的(n)：,,,,西北大學信息科學與技術學院 2007年,,3.實指數(shù)序列 其中，a為實常數(shù)，它的絕對值一般小于1。,,,,,西北大學信息科學與技術學院 2007年,4.矩形序列,該序列稱為矩形序列，也稱作“矩形窗”，其中，N稱為窗的寬度。 可以用來得到一個有限長(寬)序列，通過下式運算把一個無限長或很長序列變成長度為N點的序列 ， 的圖形如下圖所示：,,,,,,,,西北大學信息科學與技術

6、學院 2007年,5.正弦和余弦序列 正弦序列定義為 余弦序列定義為,,,其中，A為信號的最大幅度，稱為序列的數(shù)字頻率，如圖是一個正弦序列的圖形表示。,,西北大學信息科學與技術學院 2007年,若 其中， 是整數(shù), N 為大于零的整數(shù)。稱 是一個周期為N 點的周期序列，這個周期對應的數(shù)字頻率為=2/N，下面以余弦序列為例來證明數(shù)字頻率和周期的關系。 假設余弦序列可以寫成 只有當 時，其中 均是正整數(shù)，上式才成立，即該余弦序列是一個周期序列，周期等于 ，否則，該余弦序列不是一個周期序列。,,,,,,,,,,西北大學信息科學與技術學院 2007年,分析 這一條件，可以寫成

7、 當上式為整數(shù)或有理數(shù)時，余弦序列才是周期序列 ，若為無理數(shù)，序列就不是周期序列。因此，判斷一個正弦或余弦序列是否是周期序列的方法是：用2除以它的數(shù)字頻率，若得出的是整數(shù)或有理數(shù)，則序列為周期序列；若得出的是無理數(shù)，序列就不是周期序列。但無論序列是否為周期序列，仍把稱作序列的數(shù)字頻率。,,,,西北大學信息科學與技術學院 2007年,下面來說明模擬頻率和數(shù)字頻率之間的關系。 設模擬余弦信號為 對該 以T為采樣間隔進行采樣離散,得 將離散后的信號表示成離散余弦序列，即,,,,,,,,西北大學信息科學與技術學院 2007年,可知 或 其中， 稱為采樣頻率。該式即為數(shù)字頻

8、率 和模擬頻率，f 之間關系式，它們是依靠采樣間隔T 或采樣頻率進行關聯(lián)的。 可以得到 整理后可得 上式的意義是 倍采樣周期等于 倍信號周期，當 均為整數(shù)時，序列的周期是 。,,,,整理后可得,,,,,,,西北大學信息科學與技術學院 2007年,數(shù)字頻率的特點： （1）是一個連續(xù)取值的量； （2）的量綱為一種角度的量綱單位：弧度（rad）。它表示序列在采樣間隔T內(nèi)正弦或余弦信號變化的角度，表示了信號相對變化的快慢程度； （3） 序列對于是以2為周期的，或者說，的獨立取值范圍為0,2)或-,)。,,,西北大學信息科學與技術學院 2007年,6.復指數(shù)序列 該序列也稱作復正弦序列，由余

9、弦序列作實 部，正弦序列作虛部構(gòu)成 。稱為復指數(shù)序列的 數(shù)字頻率，復指數(shù)序列在實際中不存在，它是為 了數(shù)學上的表示和分析方便而引入的，它的特性 和正弦或余弦序列的特性基本一致。,,,西北大學信息科學與技術學院 2007年,2.1.3 序列的基本運算,1. 序列加減 若 x(n)y(n)=z(n), 則 z(n)=x(n)y(n) 2.序列數(shù)乘 若 ax(n)=z(n), 則 z(n)=ax(n) 其中， a是常數(shù)。 3.序列移位 若 x(n-n0) =z(n), 則 z(n) = x(n-n0) 其中，n0為整數(shù) 4. 序列相乘 若 x(n)y(n) = z(n), 則 z(n)= x(n)

10、y(n),西北大學信息科學與技術學院 2007年,5.序列反轉(zhuǎn) 若 x(-n) = z(n), 則 z(n) = x(-n) 6.序列卷積 若x(n)*y(n) = z(n) 則 其中，符號“*”表示一種特定的運算形式，稱作“卷積”。 7. 序列加窗 若 RN(n)x(n) = z(n) 則 z(n) = x(n)RN(n) n = 0,1,2， ，N-1,,,西北大學信息科學與技術學院 2007年,（n）序列是一種最基本的序列，任何一個序列x(n)可以表示成單位取樣序列（n）的移位加權和，如下式所示： 如圖，可以表示成,,,,,,,西北大學信息科學與技術學院 2007年,2.2 離散時

11、間系統(tǒng),2.2.1 系統(tǒng)定義 數(shù)字信號處理的任何處理都是依靠系統(tǒng)來完成的,所以系統(tǒng)是數(shù)字信號處理的核心，系統(tǒng)一般包括系統(tǒng)硬件和系統(tǒng)所完成的處理算法。 系統(tǒng)在數(shù)學上定義為將輸入序列x(n)映射成輸出序列y(n)的唯一性變換或運算。這種映射是廣義的，實際上表示的是一種具體的處理，或是變換，或是濾波。,西北大學信息科學與技術學院 2007年,系統(tǒng)可以表示為 其中，符號T 表示系統(tǒng)的映射或處理，可以把T 簡稱為系統(tǒng)。 系統(tǒng)的圖形表示如下圖所示，輸入x(n)稱為系統(tǒng)的激勵，輸出y(n)稱為系統(tǒng)的響應。由于它們均為離散時間信號，將系統(tǒng)T 稱為離散時間系統(tǒng)或時域離散系統(tǒng)。,,,西北大學信息

12、科學與技術學院 2007年,2.2.2 線形離散時間系統(tǒng) 滿足疊加原理的系統(tǒng)，或滿足齊次性和可加 性的系統(tǒng)稱為線性系統(tǒng)。 設y1(n)=Tx1(n)， y2(n)=Tx2(n) 對任意常數(shù)a,b，若 Tax1(n)+bx2(n)=aTx1(n)+bTx2(n) =a y1(n)+b y2(n) 則稱T 為線性離散時間系統(tǒng)。,,西北大學信息科學與技術學院 2007年,推廣到一般情況，設 yk(n) = Txk(n) ， k=1，2，...N 線性系統(tǒng)滿足 1kN 線性系統(tǒng)的特點是多個輸入的線性組合的系統(tǒng)輸出等于各輸入單獨作用的輸出的線性組合。,,,西北大學信息科學與

13、技術學院 2007年,例2.1 證明由線性方程表示的系統(tǒng) 是非線性系統(tǒng)。 證明 設 所以，該系統(tǒng)是非線性系統(tǒng)。,西北大學信息科學與技術學院 2007年,2.2.3 非時變離散時間系統(tǒng) 若滿足下列條件，系統(tǒng)稱為非時變（非移變）系統(tǒng)，或時不變（移不變）系統(tǒng)。 設 y(n) = Tx(n) 對任意整數(shù)k,有 y(n-k)=Tx(n-k) 即系統(tǒng)的映射T 不隨時間變化，只要輸入x(n)是相同的，無論何時進行激勵，輸出y（n）總是相同的，這正是系統(tǒng)非時變性的特征。,,西北大學信息科學與技術學院 2007年,下圖形象說明了系統(tǒng)非時變性的概念。,,,西北大學信息科學與技術學院 2007年,

14、例2.2 設系統(tǒng)的映射 y = Tx(n) = nx(n) ，判斷系統(tǒng)的線性和時不變性。 解 設 y1(n) = nx1(n), y2(n) =nx2(n) a1x1(n)+a2x2(n) = x(n) 則 Tx(n) = nx(n) = na1x1(n)+na2x2 = a1y1(n)+ a2y2(n) 所以，系統(tǒng)為線性系統(tǒng)。 設 y(n) = nx(n), x1(n) = x(n-k) y1(n) = nx1(n) = nx(n-k) 而 y(n-k) = (n-k)x(n-k)y1(n) 所以，系統(tǒng)為時變系統(tǒng)。,西北大學信息科學與技術學院 2007年,2.2.4 線性

15、時不變離散系統(tǒng) 定義 同時具備線性和時不變性的系統(tǒng)稱作線 性非時變系統(tǒng)或線性時不變系統(tǒng)。 它的重要意義在于，系統(tǒng)的處理過程可以統(tǒng)一采用這種系統(tǒng)的特征描述之一單位采樣響應，以一種相同的運算方式卷積運算，進行統(tǒng)一的表示。 任何一個信號可以表示成單位采樣序列的線性組合，即,,西北大學信息科學與技術學院 2007年,系統(tǒng)對 的響應為 設系統(tǒng)對單位采樣序列 的響應為 ， 即 稱為系統(tǒng)的“單位采樣響應”，它是描述系統(tǒng)的一個非常重要的信號。,,,,,,,西北大學信息科學與技術學院 2007年,根據(jù)時不變性，有 則系統(tǒng)輸出y(n)可表示為 上式表明：當線性非時變系統(tǒng)的單位采樣響

16、應h(n)確定時，系統(tǒng)對任何一個輸入x(n)的響應y(n)就確定了， y(n)可以表示成x(n)和h(n)之間的一種簡單的運算形式。將上式的運算方式稱作“離散卷積”，簡稱“卷積”，采用符號“*”表示，即,,,,,西北大學信息科學與技術學院 2007年,,2.2.5 離散卷積的計算 卷積的計算一般采用兩種方法：解析法和圖解法，或是兩種方法的結(jié)合。 例2.3 設線性時不變系統(tǒng)的單位脈沖響應和輸入序列如下圖所示，畫出輸出的波形。,西北大學信息科學與技術學院 2007年,,西北大學信息科學與技術學院 2007年,圖2.2 例2.2圖解法,西北大學信息科學與技術學院 2007年,,（2）采用解析法。

17、 因為 所以 將x(n)的表達式代入上式，得到 兩種方法結(jié)果一致。,,,,,,,西北大學信息科學與技術學院 2007年,,2.2.6 離散卷積的運算規(guī)律 (1) 交換率 h(n)*x(n) = x(n)*h(n) 它的意義可以解釋為，如果互換系統(tǒng)的單位采樣響應h(n)和輸入x(n)，系統(tǒng)的輸出保持不變。 (2) 結(jié)合率 x(n)*h1(n)*h2(n)=x(n)*h2(n)*h1(n) =x(n)*h2(n)*h1(n) 它的意義可以解釋為一種級聯(lián)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)，級聯(lián)順序可以交換，或系統(tǒng)級聯(lián)可以等效為一個系統(tǒng)，輸出保持不變。,西北大學信息科學與技

18、術學院 2007年,,(3) 分配率 x(n)*h1(n)+x(n)*h2(n) = x(n)*h1(n)+ h2(n) 它的意義可以解釋為一個并聯(lián)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)，或并聯(lián)系統(tǒng)可以等效為一個系統(tǒng)，輸出保持不變。 (4) 與(n)卷積不變性 x(n)*(n) = x(n) 它的意義可以解釋為輸入通過一個零相位的全通系統(tǒng)。 (5) 與(n-k)卷積的移位性 x(n)*(n-k) = x(n-k) 它的意義可以解釋為輸入通過一個線性相位的全通系統(tǒng)。,,西北大學信息科學與技術學院 2007年,2.3 系統(tǒng)的穩(wěn)定性和因果性,2.3.1 穩(wěn)定性 穩(wěn)定系統(tǒng)是有界輸入產(chǎn)生有界輸出的系

19、統(tǒng)。 若 則 線性時不變離散系統(tǒng)是穩(wěn)定系統(tǒng)的充要條件：,,西北大學信息科學與技術學院 2007年,,2.3.2 因果性 若系統(tǒng) n時刻的輸出，只取決于n時刻以及n時刻以前的輸入序列，而與n時刻以后的輸入無關，則稱該系統(tǒng)為因果系統(tǒng)。 線性時不變離散系統(tǒng)是因果系統(tǒng)的充要條件：,,西北大學信息科學與技術學院 2007年,,例2.4 某線性時不變離散系統(tǒng)，其單位采樣響 應為 試討論其是否是因果的、穩(wěn)定的。 解 討論因果性: 該系統(tǒng)是非因果系統(tǒng) 討論穩(wěn)定性: 當 時系統(tǒng)穩(wěn)定,當 時系統(tǒng)不穩(wěn)定。,西北大學信息科學與技術學院 2007年,結(jié)論:因果穩(wěn)定的線性時不變系統(tǒng)的單位取樣響應是因果的,且是絕對可和的,即,,,,