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1、選修45不等式選講,知識梳理,考點自測,1.絕對值三角不等式 (1)定理1:若a,b是實數(shù),則|a+b|,當且僅當時,等號成立; (2)性質:|a|-|b|ab|a|+|b|; (3)定理2:若a,b,c是實數(shù),則|a-c|,當且僅當 時,等號成立.,|a|+|b|,ab0,|a-b|+|b-c|,(a-b)(b-c)0,知識梳理,考點自測,2.絕對值不等式的解法 (1)含絕對值的不等式|x|a(a0)的解法: |x|axa或x0)和|ax+b|c(c0)型不等式的解法 |ax+b|c; |ax+b|c. (3)|x-a|+|x-b|c(c0)和|x-a|+|x-b|c(c0)型不等式的解法

2、利用絕對值不等式的幾何意義求解,體現(xiàn)了數(shù)形結合的思想; 利用“零點分段法”求解,體現(xiàn)了分類討論的思想; 通過構造函數(shù),利用函數(shù)的圖象求解,體現(xiàn)了函數(shù)與方程及數(shù)形結合的思想.,-cax+bc,ax+bc或ax+b-c,知識梳理,考點自測,2ab,知識梳理,考點自測,4.柯西不等式 (1)若a,b,c,d都是實數(shù),則(a2+b2)(c2+d2)(ac+bd)2,當且僅當ad=bc時,等號成立. (3)柯西不等式的向量形式:設,是兩個向量,則|,當且僅當是零向量或存在實數(shù)k,使=k時,等號成立. 5.不等式證明的方法 證明不等式常用的方法有比較法、綜合法、分析法、等.,知識梳理,考點自測,2,3,4

3、,1,5,1.判斷下列結論是否正確,正確的畫“”,錯誤的畫“”. (1)對|a-b|a|+|b|,當且僅當ab0時,等號成立.() (2)|a+b|+|a-b|2a|.() (3)|x-a|+|x-b|的幾何意義是表示數(shù)軸上的點x到點a,b的距離之和.() (4)用反證法證明命題“a,b,c全為0”時假設為“a,b,c全不為0”.() (5)若m=a+2b,n=a+b2+1,則nm.(),答案,知識梳理,考點自測,2,3,4,1,5,2.(2017江蘇南通模擬)若|a-c|c-b C.|a|b|-|c|D.|a|b|+|c|,答案,解析,知識梳理,考點自測,2,3,4,1,5,3.若不等式 對

4、于一切非零實數(shù)x均成立,則實數(shù)a的取值范圍是() A.2a3B.1a2 C.1a3D.1a4,答案,解析,知識梳理,考點自測,2,3,4,1,5,4.設a,b,m,nR,且a2+b2=5,ma+nb=5,則 的最小值為.,答案,解析,知識梳理,考點自測,2,3,4,1,5,5.(2017廣西南寧模擬)若存在實數(shù)x使|x-a|+|x-1|3成立,則實數(shù)a的取值范圍是.,答案,解析,考點1,考點2,考點3,考點4,考向1分離參數(shù)法求參數(shù)范圍 例1(2017全國,理23)已知函數(shù)f(x)=|x+1|-|x-2|. (1)求不等式f(x)1的解集; (2)若不等式f(x)x2-x+m的解集非空,求m的

5、取值范圍.,答案,考點1,考點2,考點3,考點4,解題心得1.解含有兩個以上絕對值符號的不等式,一般解法是零點分段法.即令各個絕對值式子等于0,求出各自零點,把零點在數(shù)軸上從小到大排列,然后按零點分數(shù)軸形成的各區(qū)間去絕對值,進而將絕對值不等式轉化為常規(guī)不等式. 2.在不等式恒成立的情況下,求參數(shù)的取值范圍,可以采取分離參數(shù),通過求對應函數(shù)最值的方法獲得.,考點1,考點2,考點3,考點4,對點訓練1(2017湖南岳陽一模)已知函數(shù)f(x)=|2x-a|+a. (1)若不等式f(x)6的解集為x|-2x3,求實數(shù)a的值; (2)在(1)的條件下,若存在實數(shù)n使f(n)m-f(-n)成立,求實數(shù)m的

6、取值范圍.,解: (1)函數(shù)f(x)=|2x-a|+a, 不等式f(x)6, 解得a-3x3. 再根據(jù)不等式的解集為x|-2x3, 可得a-3=-2,實數(shù)a=1.,考點1,考點2,考點3,考點4,(2)在(1)的條件下,f(x)=|2x-1|+1, f(n)=|2n-1|+1.存在實數(shù)n使f(n)m-f(-n)成立, 即f(n)+f(-n)m,即|2n-1|+|2n+1|+2m. |2n-1|+|2n+1|(2n-1)-(2n+1)|=2, |2n-1|+|2n+1|的最小值為2, m4, 故實數(shù)m的取值范圍是4,+).,考點1,考點2,考點3,考點4,考向2通過求函數(shù)最值求參數(shù)范圍 例2(2

7、017全國,理23)已知函數(shù)f(x)=-x2+ax+4,g(x)=|x+1|+|x-1|. (1)當a=1時,求不等式f(x)g(x)的解集; (2)若不等式f(x)g(x)的解集包含-1,1,求a的取值范圍.,答案,考點1,考點2,考點3,考點4,解題心得1.對于求參數(shù)范圍問題,可將已知條件進行等價轉化,得到含有參數(shù)的不等式恒成立,此時通過求函數(shù)的最值得到關于參數(shù)的不等式,解不等式得參數(shù)范圍. 2.解答此類問題應熟記以下轉化:f(x)a恒成立f(x)mina;f(x)a有解f(x)maxa;f(x)a無解f(x)maxa;f(x)a無解f(x)mina.,考點1,考點2,考點3,考點4,對點

8、訓練2已知函數(shù)f(x)=|2x-1|+|2x+a|,g(x)=x+3. (1)當a=-2時,求不等式f(x)g(x)的解集;,答案,考點1,考點2,考點3,考點4,例3(2017全國,理23)已知a0,b0,a3+b3=2.證明: (1)(a+b)(a5+b5)4; (2)a+b2.,答案,考點1,考點2,考點3,考點4,解題心得不等式證明的常用方法是:比較法、綜合法與分析法.其中運用綜合法證明不等式時,主要是運用基本不等式證明,與絕對值有關的不等式證明常用絕對值三角不等式.證明過程中一方面要注意不等式成立的條件,另一方面要善于對式子進行恰當?shù)霓D化、變形.,考點1,考點2,考點3,考點4,對點

9、訓練3設a,b,c,d均為正數(shù),且a+b=c+d,證明:,答案,考點1,考點2,考點3,考點4,考向1利用基本不等式求最值 (1)求a3+b3的最小值; (2)是否存在a,b,使得2a+3b=6?并說明理由.,答案,考點1,考點2,考點3,考點4,解題心得如果題設條件有(或者經過化簡題設條件得到)兩個正數(shù)和或兩個正數(shù)積為定值,則可利用基本不等式求兩個正數(shù)積的最大值或兩個正數(shù)和的最小值.,考點1,考點2,考點3,考點4,對點訓練4(2017遼寧大連一模)已知a0,b0,函數(shù)f(x)=|x+a|+|2x-b|的最小值為1. (1)求證:2a+b=2; (2)若a+2btab恒成立,求實數(shù)t的最大值

10、.,考點1,考點2,考點3,考點4,考點1,考點2,考點3,考點4,考向2利用柯西不等式求最值 例5(2017四川成都二診)已知函數(shù)f(x)=4-|x|-|x-3|.,答案,考點1,考點2,考點3,考點4,解題心得利用柯西不等式求最值時,一定要滿足柯西不等式的形式,有時需要變形才能利用柯西不等式.,考點1,考點2,考點3,考點4,對點訓練5(2017河南洛陽一模)已知關于x的不等式|x+3|+|x+m|2m的解集為R. (1)求m的最大值; (2)已知a0,b0,c0,且a+b+c=1,求2a2+3b2+4c2的最小值及此時a,b,c的值.,答案,考點1,考點2,考點3,考點4,(1)證明:f

11、(x)2; (2)若f(3)5,求a的取值范圍.,答案,考點1,考點2,考點3,考點4,解題心得絕對值三角不等式、基本不等式在解決多變量代數(shù)式的最值問題中有著重要的應用,無論運用絕對值三角不等式還是運用基本不等式時應注意等號成立的條件.,考點1,考點2,考點3,考點4,對點訓練6(2017湖南長沙一模)已知f(x)=|x-a|+|x-3|. (1)當a=1時,求f(x)的最小值; (2)若不等式f(x)3的解集非空,求a的取值范圍.,答案,考點1,考點2,考點3,考點4,1.含絕對值不等式的恒成立問題的求解方法 (1)分離參數(shù)法:運用“f(x)af(x)maxa,f(x)af(x)mina”可

12、解決恒成立中的參數(shù)范圍問題. (2)數(shù)形結合法:在研究不等式f(x)g(x)恒成立問題時,若能作出兩個函數(shù)的圖象,則通過圖象的位置關系可直觀解決問題. 2.含絕對值不等式的證明,可用“零點分段法”討論去掉絕對值符號,也可利用重要不等式|a+b|a|+|b|及其推廣形式|a1+a2+an|a1|+|a2|+|an|. 3.不等式求解和證明中應注意的事項 (1)作差比較法適用的主要是多項式、分式、對數(shù)式、三角式,作商比較法適用的主要是高次冪乘積結構. (2)利用柯西不等式求最值,實質上就是利用柯西不等式進行放縮,放縮不當則等號可能不成立,因此,要切記檢驗等號成立的條件.,考點1,考點2,考點3,考點4,1.在解決有關絕對值不等式的問題時,充分利用絕對值不等式的幾何意義解決問題能有效避免分類討論不全面的問題.若用零點分段法求解,要掌握分類討論的標準,做到不重不漏. 2.在利用算術-幾何平均不等式或柯西不等式求最值時,要注意檢驗等號成立的條件,特別是多次使用不等式時,必須使等號同時成立.,