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1、7.2基本不等式及其應用,知識梳理,考點自測,a=b,2.利用基本不等式求最值 已知x0,y0, (1)如果積xy是定值p,那么當且僅當時,x+y有最值是 (簡記:積定和最小). (2)如果和x+y是定值s,那么當且僅當時,xy有最值是 (簡記:和定積最大).,x=y,小,x=y,大,知識梳理,考點自測,知識梳理,考點自測,2,3,4,1,5,答案,知識梳理,考點自測,2,3,4,1,5,A.充分不必要條件B.必要不充分條件 C.充要條件D.既不充分也不必要條件,答案,解析,知識梳理,考點自測,2,3,4,1,5,A.(-,0)B.(-,-2 C.2,+)D.(-,+),答案,解析,知識梳理,

2、考點自測,2,3,4,1,5,答案,解析,知識梳理,考點自測,2,3,4,1,5,5.(2017江蘇,10)某公司一年購買某種貨物600噸,每次購買x噸,運費為6萬元/次,一年的總存儲費用為4x萬元.要使一年的總運費與總存儲費用之和最小,則x的值是.,答案,解析,考點1,考點2,考點3,考點1,考點2,考點3,考點1,考點2,考點3,思考利用基本不等式證明不等式的方法技巧有哪些? 解題心得利用基本不等式證明不等式時,首先要觀察題中要證明的不等式的形式,若不能直接使用基本不等式,則考慮利用拆項、配湊等方法對不等式進行變形,使之達到能使用基本不等式的條件;若題目中還有已知條件,則首先觀察已知條件和

3、所證不等式之間的聯(lián)系,當已知條件中含有1時,要注意1的代換.另外,解題中要時刻注意等號能否取到.,考點1,考點2,考點3,考點1,考點2,考點3,考點1,考點2,考點3,考向1求不含等式條件的函數(shù)最值 例2(1)(2017天津,理12)若a,bR,ab0,則 的最小值為. (2)若函數(shù)f(x)= (x2)在x=a處取最小值,則a=. 思考依據(jù)題目特征,如何求不含等式條件的函數(shù)最值?,答案: (1)4(2)3,考點1,考點2,考點3,考點1,考點2,考點3,考向2求含有等式條件的函數(shù)最值 (2)(2017江西南昌模擬)已知x0,y0,x+3y+xy=9,則x+3y的最小值為. 思考如何應用基本不

4、等式求含有已知等式的函數(shù)最值?,答案: (1)B(2)6,考點1,考點2,考點3,考點1,考點2,考點3,(方法二)x0,y0,x+3y+xy=9, 當且僅當x=3y時等號成立. 設x+3y=t0,則t2+12t-1080,即(t-6)(t+18)0, 又t0,t6. 當x=3,y=1時,(x+3y)min=6.,考點1,考點2,考點3,考向3已知不等式恒成立求參數(shù)的取值范圍 例4當xR時,32x-(k+1)3x+20恒成立,則k的取值范圍是(),答案,解析,考點1,考點2,考點3,思考已知不等式恒成立求參數(shù)取值范圍的一般方法是什么? 解題心得1.若條件中不含等式,在利用基本不等式求最值時,則

5、先根據(jù)式子的特征靈活變形,配湊出積或和為常數(shù)的等式,再利用基本不等式. 2.條件最值的求解通常有兩種方法:一是消元法,即根據(jù)條件建立兩個量之間的函數(shù)關系,然后代入代數(shù)式轉化為函數(shù)的最值求解;二是將條件靈活變形,利用常數(shù)代換的方法構造積或和為常數(shù)的式子,然后利用基本不等式求解最值. 3.(1)已知不等式恒成立求參數(shù)取值范圍的一般方法是分離參數(shù)法,且有af(x)恒成立af(x)max,af(x)恒成立af(x)min; (2)求最值時要注意其中變量的條件,有些不能用基本不等式的問題可考慮利用函數(shù)的單調性.,考點1,考點2,考點3,對點訓練2(1)(2017山東青島一模,理9)已知x1,y1,且lg

6、 x, ,lg y成等比數(shù)列,則xy有() A.最小值10B.最小值 C.最大值10D.最大值 A.4B.6C.8D.12 (4)若正數(shù)x,y滿足x+3y=5xy,則3x+4y的最小值是. (5)已知函數(shù)f(x)= (p為常數(shù),且p0),若f(x)在(1,+)內的最小值為4,則實數(shù)p的值為.,考點1,考點2,考點3,考點1,考點2,考點3,考點1,考點2,考點3,考點1,考點2,考點3,考點1,考點2,考點3,例5某廠家擬在2018年舉行某產品的促銷活動,經(jīng)調查測算,該產品的年銷售量(即該廠的年產量)x萬件與年促銷費用m萬元(m0)滿足 (k為常數(shù)),如果不搞促銷活動,則該產品的年銷售量只能是

7、1萬件.已知生產該產品的固定投入為8萬元,每生產一萬件該產品需要再投入16萬元,廠家將每件產品的銷售價格定為每件產品年平均成本的1.5倍(產品成本包括固定投入和再投入兩部分資金). (1)將2018年該產品的利潤y萬元表示為年促銷費用m萬元的函數(shù); (2)該廠家2018年的促銷費用投入多少萬元時,廠家的利潤最大?,考點1,考點2,考點3,考點1,考點2,考點3,思考應用基本不等式解決實際應用問題的基本思路是什么? 解題心得1.利用基本不等式解決實際問題時,應先仔細閱讀題目信息,理解題意,明確其中的數(shù)量關系,并引入變量,依題意列出相應的函數(shù)關系式,然后用基本不等式求解. 2.在用基本不等式求所列

8、函數(shù)的最值時,若等號取不到,則可利用函數(shù)單調性求解.,考點1,考點2,考點3,對點訓練5某單位在國家科研部門的支持下,進行技術攻關,采用了新工藝,把二氧化碳轉化為一種可利用的化工產品.已知該單位每月的處理量最少為400噸,最多為600噸,月處理成本y(單位:元)與月處理量x(單位:噸)之間的函數(shù)關系可近似地表示為y= x2-200 x +80 000,且每處理一噸二氧化碳得到可利用的化工產品價值為100元. (1)該單位每月處理量為多少噸時,才能使每噸的平均處理成本最低? (2)該單位每月能否獲利?如果獲利,求出最大利潤;如果不獲利,則需要國家至少補貼多少元才能使該單位不虧損?,考點1,考點2

9、,考點3,考點1,考點2,考點3,1.應用基本不等式求最值的常用方法有: (1)若直接滿足基本不等式的條件,則直接應用基本不等式. (2)有些題目雖然不具備直接用基本不等式求最值的條件,但可以通過添項、構造“1”的代換、分離常數(shù)、平方等手段使之能運用基本不等式.常用的方法還有:拆項法、變系數(shù)法、湊因子法、分離常數(shù)法、換元法、整體代換法等. 2.基本不等式具有將“和式”轉化為“積式”和將“積式”轉化為“和式”的放縮功能,常常用于比較數(shù)(式)的大小或證明不等式,解決問題的關鍵是分析不等式兩邊的結構特點,選擇好利用基本不等式的切入點.,考點1,考點2,考點3,1.利用基本不等式求最值的三個條件為“一正、二定、三相等”,忽視哪一個都可能致誤. 2.連續(xù)使用基本不等式求最值要求每次等號成立的條件一致.,