《2013高考數(shù)學 解題方法攻略 函數(shù)與方程 理》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《2013高考數(shù)學 解題方法攻略 函數(shù)與方程 理（9頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、專題四：函數(shù)與方程思想【考情分析】縱觀近幾年的高考試題，函數(shù)的主干知識、知識的綜合應用以及函數(shù)與方程思想等數(shù)學思想方法的考查，一直是高考的重點內(nèi)容之一。在高考試卷上，與函數(shù)相關的試題所占比例始終在20%左右，且試題中既有靈活多變的客觀性試題，又有一定能力要求的主觀性試題。函數(shù)與方程思想是最重要的一種數(shù)學思想，高考中所占比重比較大，綜合知識多、題型多、應用技巧多。在高中新課標數(shù)學中，還安排了函數(shù)與方程這一節(jié)內(nèi)容，可見其重要所在。在近幾年的高考中，函數(shù)思想主要用于求變量的取值范圍、解不等式等，方程觀點的應用可分為逐步提高的四個層次：（1）解方程；（2）含參數(shù)方程討論；（3）轉化為對方程的研究，如直

2、線與圓、圓錐曲線的位置關系，函數(shù)的性質(zhì)，集合關系；（4）構造方程求解。預測2012年高考對本講考查趨勢：函數(shù)的零點問題、二次函數(shù)、二次方程、二次不等式間的關系；特別注意客觀形題目，大題一般難度略大?！局R交匯】函數(shù)與方程（不等式）的思想貫穿于高中學習的各個內(nèi)容，求值的問題就要涉及到方程，求取值范圍的問題就離不開不等式，但方程、不等式更離不開函數(shù)，函數(shù)與方程（不等式）思想的運用使我們解決問題的重要手段。函數(shù)與方程是兩個不同的概念，但它們之間有著密切的聯(lián)系，方程f(x)0的解就是函數(shù)yf(x)的圖像與x軸的交點的橫坐標，函數(shù)yf(x)也可以看作二元方程f(x)y0通過方程進行研究。就中學數(shù)學而言，

3、函數(shù)思想在解題中的應用主要表現(xiàn)在兩個方面：一是借助有關初等函數(shù)的性質(zhì)，解有關求值、解(證)不等式、解方程以及討論參數(shù)的取值范圍等問題：二是在問題的研究中，通過建立函數(shù)關系式或構造中間函數(shù)，把所研究的問題轉化為討論函數(shù)的有關性質(zhì)，達到化難為易，化繁為簡的目的。許多有關方程的問題可以用函數(shù)的方法解決，反之，許多函數(shù)問題也可以用方程的方法來解決。函數(shù)與方程的思想是中學數(shù)學的基本思想，也是歷年高考的重點。1函數(shù)的思想，是用運動和變化的觀點，分析和研究數(shù)學中的數(shù)量關系，建立函數(shù)關系或構造函數(shù)，運用函數(shù)的圖像和性質(zhì)去分析問題、轉化問題，從而使問題獲得解決。函數(shù)思想是對函數(shù)概念的本質(zhì)認識，用于指導解題就是善

4、于利用函數(shù)知識或函數(shù)觀點觀察、分析和解決問題；2方程的思想，就是分析數(shù)學問題中變量間的等量關系，建立方程或方程組，或者構造方程，通過解方程或方程組，或者運用方程的性質(zhì)去分析、轉化問題，使問題獲得解決。方程的數(shù)學是對方程概念的本質(zhì)認識，用于指導解題就是善于利用方程或方程組的觀點觀察處理問題。方程思想是動中求靜，研究運動中的等量關系；3函數(shù)的思想與方程的思想的關系在中學數(shù)學中，很多函數(shù)的問題需要用方程的知識和方法來支持，很多方程的問題需要用函數(shù)的知識和方法去解決對于函數(shù)yf(x)，當y0時，就轉化為方程f(x)0，也可以把函數(shù)yf(x)看作二元方程yf(x)0，函數(shù)與方程可相互轉化。4函數(shù)方程思想

5、的幾種重要形式（1）函數(shù)和方程是密切相關的，對于函數(shù)yf(x)，當y0時，就轉化為方程f(x)0，也可以把函數(shù)式y(tǒng)f(x)看做二元方程yf(x)0。函數(shù)問題（例如求反函數(shù)，求函數(shù)的值域等）可以轉化為方程問題來求解，方程問題也可以轉化為函數(shù)問題來求解，如解方程f(x)0，就是求函數(shù)yf(x)的零點；（2）函數(shù)與不等式也可以相互轉化，對于函數(shù)yf(x)，當y0時，就轉化為不等式f(x)0，借助于函數(shù)圖像與性質(zhì)解決有關問題，而研究函數(shù)的性質(zhì)，也離不開解不等式；（3）數(shù)列的通項或前n項和是自變量為正整數(shù)的函數(shù)，用函數(shù)的觀點處理數(shù)列問題十分重要；（4）函數(shù)f(x)（nN*）與二項式定理是密切相關的，利用

6、這個函數(shù)用賦值法和比較系數(shù)法可以解決很多二項式定理的問題；（5）解析幾何中的許多問題，例如直線和二次曲線的位置關系問題，需要通過解二元方程組才能解決，涉及到二次方程與二次函數(shù)的有關理論；（6）立體幾何中有關線段、角、面積、體積的計算，經(jīng)常需要運用布列方程或建立函數(shù)表達式的方法加以解決?！舅枷敕椒ā款}型1：函數(shù)思想在方程中應用例1已知（a、b、cR），則有（ ）(A) (B) (C) (D) 解析：法一：依題設有 a5bc0，是實系數(shù)一元二次方程的一個實根；0 故選(B)；法二：去分母，移項，兩邊平方得：10ac25ac20ac， 故選(B)題型2：函數(shù)思想在不等式中的應用例2若a、b是正數(shù)，且

7、滿足abab3，求ab的取值范圍。方法一(看成函數(shù)的值域)abab3，a1，b，而b0，0，即a1或a0，a1，故a10.aba(a1)59.當且僅當a1，即a3時取等號又a3時，(a1)5是關于a的單調(diào)增函數(shù)ab的取值范圍是9，)方法二(看成不等式的解集)a，b為正數(shù)，ab2，又abab3，ab23.即()2230，解得3或1(舍去)，ab9.ab的取值范圍是9，)方法三若設abt，則abt3，a，b可看成方程x2(t3)xt0的兩個正根從而有，即，解得t9，即ab9.ab的取值范圍是9，)點評：當問題中出現(xiàn)兩數(shù)積與這兩數(shù)和時，是構建一元二次方程的明顯信息，構造方程后再利用方程知識可使問題巧

8、妙解決。當問題中出現(xiàn)多個變量時，往往要利用等量關系去減少變量的個數(shù)，如最后能把其中一個變量表示成關于另一個變量的表達式，那么就可用研究函數(shù)的方法將問題解決。題型3：函數(shù)思想在實際問題中的應用例3（2011陜西理14) 植樹節(jié)某班20名同學在一段直線公路一側植樹，每人植一棵，相鄰兩棵樹相距10米開始時需將樹苗集中放置在某一樹坑旁邊，使每位同學從各自樹坑出發(fā)前來領取樹苗往返所走的路程總和最小，這個最小值為 （米）【分析】把實際問題轉化為數(shù)學模型,然后列式轉化為函數(shù)的最值問題；【解】（方法一）設樹苗放在第個樹坑旁邊（如圖）， 1 2 19 20那么各個樹坑到第i個樹坑距離的和是：。所以當或時，的值最

9、小，最小值是1000，所以往返路程的最小值是2000米。（方法二）根據(jù)圖形的對稱性，樹苗放在兩端的樹坑旁邊，所得路程總和相同，取得一個最值；所以從兩端的樹坑向中間移動時，所得路程總和的變化相同，最后移到第10個和第11個樹坑旁時，所得的路程總和達到另一個最值，所以計算兩個路程和即可。樹苗放在第一個樹坑旁，則有路程總和是；樹苗放在第10個（或第11個）樹坑旁邊時，路程總和是：，所以路程總和最小為2000米.點評：構造的二次函數(shù)形式在解題過程中起到了關鍵作用，函數(shù)是解決具體問題的有效工具。該題通過分析實際模型建立了函數(shù)解析式，研究函數(shù)的性質(zhì)，解釋問題。題型4：函數(shù)思想在數(shù)列中的應用例4設等差數(shù)列a

10、n的前n項和為Sn，已知，0，0，0，d3（2），d0，是關于n 的二次函數(shù)，對稱軸方程為：x。d3，6，當n6時，最大。點評：數(shù)列的通項或前n項和是自變量為正整數(shù)的函數(shù)，用函數(shù)的觀點處理數(shù)列問題十分重要。題型5：函數(shù)思想在立體幾何中的應用例5（1）如圖，AB是圓O的直徑，PA垂直于圓O所在平面，C是圓周上任一點，設BAC，PAAB=2r，求異面直線PB和AC的距離。分析：異面直線PB和AC的距離可看成求直線PB上任意一點到AC的距離的最小值，從而設定變量，建立目標函數(shù)而求函數(shù)最小值。 P MA H B D C解析：在PB上任取一點M，作MDAC于D，MHAB于H，設MHx，則MH平面ABC，

11、ACHD，MDx(2rx)sin(sin1)x4rsinx4rsin(sin1)x即當x時，MD取最小值為兩異面直線的距離。點評：本題巧在將立體幾何中“異面直線的距離”變成“求異面直線上兩點之間距離的最小值”，并設立合適的變量將問題變成代數(shù)中的“函數(shù)問題”。一般地，對于求最大值、最小值的實際問題，先將文字說明轉化成數(shù)學語言后，再建立數(shù)學模型和函數(shù)關系式，然后利用函數(shù)性質(zhì)、重要不等式和有關知識進行解答。（2）已知由長方體的一個頂點出發(fā)的三條棱長之和為1，表面積為，求長方體的體積的最值。解析：設三條棱長分別為x，y，z，則長方體的體積Vxyz。由題設有：； 所以， 故體積V（x）， 下面求x的取值

12、范圍。 因為， 所以y、z是方程的兩個實根。 由， 因為 所以當時，； 當時，。點評：解決本題的關鍵在于確定目標函數(shù)時，根據(jù)相關條件的特征，構造了二次方程，并由此得出定義域使問題得解。題型6：利用方程思想處理解析幾何問題例6（1）直線與圓相切，則a的值為（ ）AB C1D解析：由直線方程得，并代入圓方程，整理得。又直線與圓相切，應有，解得。故選D。點評：即把直線方程代入圓或圓錐曲線的方程，消去y，得關于x的一元二次方程，其判別式為，則有：（1）曲線C與直線相離；（2）曲線C與直線相切；（3）曲線C與直線相交。（2）ABC的三邊a，b，c滿足b8c，試確定ABC的形狀。 解析：因為bc8， 所以

13、b，c是方程的兩實根， 即，所以a6。從而得bc4，因此ABC是等腰三角形。點評：構建一元二次方程的模型解決數(shù)學問題，是一種行之有效的手段，其獨特功能在于充分運用構建的一元二次方程及根的判別式和求根公式變更命題，從而使問題獲得圓滿解決。題型7：函數(shù)思想在三角中的應用例7（1）求的取值范圍。解析：設，則，構造二次函數(shù)， 由圖1可知：圖1即。（2）已知函數(shù)，當有實數(shù)解時，求a的取值范圍。解析：由得，分離a得：；問題轉化為求a的值域。因為，所以。故當時，有實數(shù)解。點評：該題通過三角換元構造了二次函數(shù)，最終求得最值。題型8：方程思想在求函數(shù)最值中的應用例8（1）如果函數(shù)的最大值是4，最小值是1，求實數(shù)

14、a、b的值。 解析：由y的最大值是4，知存在實數(shù)x使4，即方程有實根，故有； 又由y的最大值是4，知對任意實數(shù)x恒有，即恒成立，故，從而有。 同樣由y的最小值是1，可得。由，可解得。（2）已知函數(shù)y的最大值為7，最小值為1，求此函數(shù)式。解析：函數(shù)式變形為： (ym)x4x(yn)0，xR，由已知得ym0， (4)4(ym)(yn)0。即：y(mn)y(mn12)0 ，不等式的解集為(1,7)，則。解得：或 y（也可： 由解集(1,7)而設(y1)(y7)0,然后與不等式比較系數(shù)而得。）點評：本例解法中，對題設中給出的最值，一方面認為是方程的實數(shù)解，另一方面又認為是不等式的恒成立條件。由于對題設

15、條件的理解深刻，所以構思新穎，證法嚴謹。題型9：方程思想在數(shù)列知識中的應用例9若(zx) 4(xy)(yz)0,求證：x、y、z成等差數(shù)列。分析：題設正好是判別式b4ac0的形式，因此構造一個一元二次方程求解。證明：當xy時，可得xz，x、y、z成等差數(shù)列；當xy時，設方程(xy)t(zx)t(yz)0，由0得tt，并易知t1是方程的根。tt1，即2yxz，x、y、z成等差數(shù)列。點評：題設條件具備或經(jīng)變形整理后具備xxa、xxb的形式，則利用根與系數(shù)的關系構造方程；具備b4ac0或b4ac0的形式，可利用根的判別式構造一元二次方程。題型10：方程思想在三角知識中的應用例10ABC中，求證：co

16、sAcosBcosC證明：設kcosAcosBcosCcos(AB)cos(AB)cosCcosCcos(AB)cosC；整理得：cosCcos(AB)cosC2k0，即看作關于cosC的一元二次方程。cos(AB)8k0，即 8kcos(AB)1； k即cosAcosBcosC。點評：既是方程思想，也屬判別式法。還可用放縮法：cosAcosBcosC cosCcos(AB)cosCcosCcos(AB)cos(AB) 。題型11：函數(shù)零點與方程的解例11（1）（2011天津理2）函數(shù)的零點所在的一個區(qū)間是（） ABCD【答案】B【解析】解法1因為，所以函數(shù)的零點所在的一個區(qū)間是故選解法2可化

17、為畫出函數(shù)和的圖象，可觀察出選項，不正確，且，由此可排除，故選點評：函數(shù)的零點、方程的根以及函數(shù)圖像與x軸的交點之間存在相互轉化關系。本題主要考察學生對方程的根與函數(shù)零點關系的理解，以及利用函數(shù)圖象確定函數(shù)零點的個數(shù)的方法。（2）已知函數(shù)，則方程在（，）內(nèi)有沒有實數(shù)解？說明理由？解析：由基本初等函數(shù)的性質(zhì)可知函數(shù)在其定義域內(nèi)的圖象連續(xù)，且有，于是有。函數(shù)在區(qū)間（，）內(nèi)至少有一個零點，即方程在區(qū)間（，）（，1）內(nèi)至少有一個實數(shù)解點評：本題主要考察學生對函數(shù)零點存在判定定理的理解與應用。【思維總結】1函數(shù)描述了自然界中量的依存關系，反映了一個事物隨著另一個事物變化而變化的關系和規(guī)律。函數(shù)思想的實質(zhì)

18、是剔除問題的非數(shù)學特征，用聯(lián)系和變化的觀點提出數(shù)學對象，抽象其數(shù)學特征，建立函數(shù)關系；2在解決某些數(shù)字問題時，先設定一些未知數(shù)，然后把它們當作已知數(shù)，根據(jù)題設本身各量間的制約，列出等式，所設未知數(shù)溝通了變量之間的關系，這就是方程的思想； 3函數(shù)與方程是兩個不同的概念，但它們之間有著密切的聯(lián)系，一個函數(shù)若有解析表達式，那么這個表達式就可看成是一個方程一個二元方程，兩個變量存在著對應關系，如果這個對應關系是函數(shù)，那么這個方程可以看成是一個函數(shù)，一個一元方程，它的兩端可以分別看成函數(shù)，方程的解即為兩個函數(shù)圖象交點的橫坐標，因此，許多有關方程的問題可以用函數(shù)的方法解決；反之，許多有關函數(shù)的問題則可以用方程的方法解決總之，在復習中要注意領悟蘊含在知識和解題過程中函數(shù)和方程的思想，用它來指導解題。在解題中，同時要注意從不同的角度去觀察探索，尋求多種方法，從而得到最佳解題方案。