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1、量綱分析與無量綱化,物理量的量綱,長度 l 的量綱記 L=l,質(zhì)量 m的量綱記 M=m,時間 t 的量綱記 T=t,動力學(xué)中基本量綱 L, M, T,,速度 v 的量綱 v=LT-1,導(dǎo)出量綱,,加速度 a 的量綱 a=LT-2,力 f 的量綱 f=LMT-2,引力常數(shù) k 的量綱 k,對無量綱量，=1(=L0M0T0),量綱齊次原則,=fl2m-2=L3M-1T-2,量綱齊次原則,等式兩端的量綱一致,量綱分析利用量綱齊次原則尋求物理量之間的關(guān)系,例：單擺運動,求擺動周期 t 的表達式,設(shè)物理量 t, m, l, g 之間有關(guān)系式,1, 2, 3 為待定系數(shù)，為無量綱量,,,(1)的量綱表達式

2、,對比,,,對 x,y,z的兩組測量值x1,y1,z1 和x2,y2,z2， p1 = f( x1,y1,z1), p2 = f( x2, y2,z2 ),,,為什么假設(shè)這種形式,設(shè)p= f(x,y,z),,x,y,z的量綱單位縮小a,b,c倍,單擺運動中 t, m, l, g 的一般表達式,,,,設(shè) f(q1, q2, , qm) = 0,ys = (ys1, ys2, ,ysm)T , s = 1,2,, m-r,F( 1, 2,, m-r ) = 0 與 f (q1, q2, , qm) =0 等價, F未定,Pi定理 (Buckingham),是與量綱單位無關(guān)的物理定律，X1,X2,

3、 , Xn 是基本量綱, nm, q1, q2, , qm 的量綱可表為,量綱矩陣記作,g = LT-2, l = L, = L-3M, v = LT-1,, s = L2, f = LMT-2,量綱分析示例：波浪對航船的阻力,航船阻力 f,航船速度v, 船體尺寸l, 浸沒面積 s, 海水密度, 重力加速度g。,m=6, n=3,,Ay=0 有m-r=3個基本解,rank A = 3,rank A = r,Ay=0 有m-r個基本解,ys = (ys1, ys2, ,ysm)T s = 1,2,, m-r,F(1, 2 ,3 ) = 0與 (g,l,,v,s,f) = 0 等價,為得到阻力 f

4、 的顯式表達式,F=0,, 未定,F( 1, 2,, m-r ) = 0 與 f (q1, q2, , qm) =0 等價,,量綱分析法的評注,物理量的選取,基本量綱的選取,基本解的構(gòu)造,結(jié)果的局限性, () = 0中包括哪些物理量是至關(guān)重要的,基本量綱個數(shù)n; 選哪些基本量綱,有目的地構(gòu)造 Ay=0 的基本解,方法的普適性,函數(shù)F和無量綱量未定,不需要特定的專業(yè)知識,量綱分析在物理模擬中的應(yīng)用,例: 航船阻力的物理模擬,通過航船模型確定原型船所受阻力,模型船的參數(shù)(均已知),可得原型船所受阻力,已知模型船所受阻力,原型船的參數(shù) (f1未知，其他已知),注意：二者的相同,,,,,按一定尺寸比例

5、造模型船，量測 f，可算出 f1 物理模擬,無量綱化,例：火箭發(fā)射,星球表面豎直發(fā)射。初速v, 星球半徑r, 表面重力加速度g,研究火箭高度 x 隨時間 t 的變化規(guī)律,t=0 時 x=0, 火箭質(zhì)量m1, 星球質(zhì)量m2,牛頓第二定律，萬有引力定律,,3個獨立參數(shù),用無量綱化方法減少獨立參數(shù)個數(shù),用參數(shù)r,v,g的組合,分別構(gòu)造與x,t具有相同量綱的xc, tc （特征尺度）,無量綱變量,如,令,xc, tc的不同構(gòu)造,1）令,,為無量綱量,3）令,,2）令,,1）2）3）的共同點,重要差別,考察無量綱量,,,在1）2）3）中能否忽略以為因子的項？,1),無解,2),3),,原問題,,是原問題的近似解,為什么3)能忽略項，得到原問題近似解，而1) 2)不能?,3）令,火箭到達最高點時間為v/g, 高度為v2/2g,,大體上具有單位尺度,,林家翹：自然科學(xué)中確定性問題的應(yīng)用數(shù)學(xué),