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1、《等邊三角形的判定》教學設計 一、概述 1．教材選自北師大版數(shù)學八年級下冊第一章第一節(jié)第4課時內(nèi)容； 2．本節(jié)課所需課時為一課時，45分鐘； 3. 等邊三角形不僅是對前面所學知識的綜合應用，也是今后證明角相等、線段相等及兩直線垂直的重要依據(jù).因此本節(jié)內(nèi)容在教材中，處于非常重要的地位和承前啟后的作用. 二、教學目標分析 知識與技能 理解等邊三角形的判別條件及其證明，理解含有30o角的直角三角形性質(zhì)及其證明，并能利用這兩個定理解決一些簡單的問題。 過程與方法 ①經(jīng)歷運用幾何符號和圖形描述命題的條件和結(jié)論的過程，建立初步的符號感，發(fā)展抽象思維； ②經(jīng)歷實際操作，探索含有30o角

2、的直角三角形性質(zhì)及其推理證明過程，發(fā)展合情推理能力和初步的演繹推理的能力. 情感態(tài)度價值觀 ①積極參與數(shù)學學習活動，對數(shù)學有好奇心和求知欲； ②在數(shù)學活動中獲得成功的體驗，鍛煉克服困難的意志，建立自信心. 三、教學重、難點 教學重點 ①等邊三角形判定定理的發(fā)現(xiàn)與證明； ②含30°角的直角三角形的性質(zhì)定理的發(fā)現(xiàn)與證明. 教學難點 含30°角的直角三角形性質(zhì)定理的探索與證明. 四、學生特征分析 1．學生在之前已經(jīng)學習了等腰三角形、等邊三角形的相關概念和性質(zhì)，并具備了證明兩個三角形全等的能力，能夠運用它們證明等邊三角形的判定.剛進入初二下學期的學生觀察、操作、猜想能力較

3、強，動手拼出等邊三角形后，學生對它們有一定的感性理解．但演繹推理、歸納、運用數(shù)學意識的思想比較薄弱, 所以教師需引導學生思維的廣闊性、敏捷性、結(jié)密性、靈活性. 2．八年級學生的抽象思維趨于成熟，形象直觀思維能力較強，具有一定的獨立思考、實踐操作、合作交流、歸納概括等能力，能進行簡單的推理論證，能積極參與討論；但自主探究和合作學習能力也需要在課堂教學中進一步加強和引導. 3．學生的求知欲比較強，表現(xiàn)欲強，對探究幾何圖形的好奇心也比較強，在本節(jié)課的教學中，可讓學生從已有的知識出發(fā)，參與新知識的產(chǎn)生過程，在實踐操作、自主探索、思考討論、合作交流等數(shù)學活動中，理解和掌握數(shù)學知識和技能，形成數(shù)學思想

4、和方法. 五、教學方法分析 1.教法：演示、探究、啟發(fā) 即從等邊三角形的定義入手，引發(fā)學生通過多種途徑對等邊三角形的判定進行探究與證明，從角的角度出發(fā)，也考慮從邊的角度出發(fā)，通過一個個問題的解決，激發(fā)學生探索問題的欲望，在分析問題和解決問題的過程中獲得更多的體驗和經(jīng)驗. 2.學法：探究、討論、合作 即通過合作、探討、拼圖等實際操作，探索和發(fā)現(xiàn)等邊三角形的判定以及含30°角的直角三角形的性質(zhì)定理，在小組學習中通過相互交流的方式學會探索問題和解決問題的基本方法與策略. 六、教學資源與工具設計 1．本節(jié)課采用多媒體課件； 2．北師大版義務教育課程標準試驗教材《數(shù)學》八年級下冊； 3

5、．教具和學具：投影儀、白板、白板筆、紙板、三角板、等邊三角形等. 七、教學過程設計(45分鐘) （一）復習鞏固（2分鐘） 借助名片進行自我介紹，由此引出等邊三角形的名片（不完整），邀請學生為等邊三角形代言，從而帶領大家復習等邊三角形的性質(zhì)，并引出本節(jié)課的課題：等邊三角形的判定. 【設計意圖】 從自我介紹出發(fā)，激發(fā)學生參與課堂教學的熱情，使學生進入情境，引入新課． （二）探究活動（一）（重點，14分鐘） 帶領學生回顧等邊三角形的定義，確定該定義可以作為等邊三角形的判定，并了解當它作為判定時，幾何語言該如何書寫.緊接著進一步提問：除了它的定義能作為判定以外，是否還有其他的判

6、定方法呢？ 幻燈片展示： 1.一個三角形滿足什么條件時是等邊三角形？ 2.一個等腰三角形滿足什么條件時是等邊三角形？ 學生以小組為單位，在充分討論的基礎上得出猜想：三個角都相等的三角形是等邊三角形；有一個角等于60°的等腰三角形是等邊三角形. 教師：我們的猜想到底對不對呢？如果是對的，怎么去說明？ 學生：通過證明. 幻燈片展示： 求證：三個角都相等的三角形是等邊三角形. 已知：△ABC 中，∠A =∠B =∠C． 求證：△ABC 是等邊三角形． 學生很容易想到利用“等角對等邊”可以很快證明△ABC 中AB =BC =CA，從而得到△ABC 是等邊三角形，在此

7、，要讓學生明確是利用等邊三角形的定義使該命題得證的. 得到定理：三個角都相等的三角形是等邊三角形.以及它的幾何語言：在△ABC中，∵∠A =∠B =∠C， ∴△ABC是等邊三角形. 幻燈片展示： 求證：有一個角等于60°的等腰三角形是等邊三角形. 該命題里60°的角并沒有明確是哪一個角，所以證明此命題時，已知和求證由學生思考和回答，便很自然地引出了這個問題：60°的角到底是哪一個角呢？答案是既可以是頂角，也可以是底角，所以已知和求證有以下兩種情況： 已知：如圖，在△ABC中 ，AB =AC ，∠A =60°. 求證：△ABC 是等邊三角形．

8、 已知：如圖，在△ABC中 ，AB =AC ，∠B=60°. 求證：△ABC 是等邊三角形． 這兩種情況需要分別證明。證明過程由學生回答，可以用定義，也可以用剛才得到的定理。 得到定理：有一個角等于60°的等腰三角形是等邊三角形.以及它的幾何語言：∵AB =AC，∠A =60 °(或∠B=60°或∠C =60°)，∴△ABC 是等邊三角形. 教師對以上各方法進行歸納： 等邊三角形的判定方法有以下三種： 定義：三條邊都相等的三角形是等邊三角形. 定理：三個角都相等的三角形是等邊三角形. 定理：有一個角等于60°的等腰三角形是等邊三角形.

9、 【設計意圖】 通過對兩個命題的邏輯證明，讓學生明白數(shù)學上任何猜想都是需要經(jīng)過證明才能說明其正確性，并讓學生學會用數(shù)學符號語言有條理地表達思維過程，發(fā)展推理能力，培養(yǎng)學生自主探究的學習方法. （三）快問快答（4分鐘） 1.已知△ABC 的三個外角都相等，且 AB=3cm，則△ABC的周長為（ ）. A.6cm B.8cm C.9cm D.10cm 2.已知△ABC的三邊長 a、b、c 滿足∣a -b∣+( b -c) 2 = 0，則該三角形是_______三角形. 3.如圖，已知OA=a，P是射

10、線ON上一動點， ∠AON = 60°， 當OP =_____時， △AOP為等邊三角形. 答案：1。C ；2。等邊；3。A 【設計意圖】 鞏固新知，觀察學生對本節(jié)課重點知識的掌握情況.練習題目多樣，從不同的角度幫助學生加深對判定方法的理解.以嚴謹求實的態(tài)度思考數(shù)學,培養(yǎng)學生的數(shù)學推理能力、實踐能力與創(chuàng)新精神，從而提高數(shù)學素養(yǎng). （四）探究活動（二）（重難點，8分鐘） 幻燈片展示： 做一做：用兩個含30°角的全等的三角尺，你能拼成一個怎樣的三角形？能拼出一個等邊三角形嗎？由此你能發(fā)現(xiàn)什么結(jié)論？說說你的理由. 學生再次以小組為單位，進行拼圖、討論，得出結(jié)論：在直角

11、三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半． 同前面的猜想一樣，這個結(jié)論同樣需要進行證明。 幻燈片展示： 求證：在直角三角形中, 如果一個銳角等于30°,那么 它所對的直角邊等于斜邊的一半. 已知：如圖 ， △ABC是直角三角形，∠C ＝90°， ∠A＝ 30°. 求證： BC＝AB. 該命題的證明相比前面兩個命題的證明更難，但是從剛才的拼圖活動中是可以得到啟發(fā)的：需要通過作輔助線構(gòu)造出一個等邊三角形，而構(gòu)造等邊三角形的方法有多種，課堂上僅以其中一種為例進行精講： 證明：如圖，延長 BC 至點 D，使 CD＝ BC，連接 AD. ∵∠A

12、CB ＝ 90°，∠BAC＝30°. ∴∠ACD＝90°，∠B＝ 60°. 又∵ AC ＝AC， ∴△ABC≌△ADC ( SAS ). ∴AB＝AD(全等三角形的對應邊相等）. ∴△ABD是等邊三角形（有一 個角等于60°的等腰三角形 是等邊三角形）. ∴BC＝BD＝AB. 得到定理：在直角三角形中, 如果一個銳角等于30°,那么它所對的直角邊等于斜邊的一半. 以及它的幾何語言： 在△ABC 中， ∵∠C =90 °，∠A =30 °，∴ BC = AB . 【設計意圖】 讓學生通過動手實踐引發(fā)學生思考，從而得出結(jié)論，激發(fā)了學生學習積極性和主動性。 （五）典例

13、精析 幻燈片展示： 求證：如果等腰三角形的底角為15°，那么腰上的高是腰長的一半. 已知：如圖，在 △ ABC 中，AB = AC， ∠B = 15°，CD是腰AB上的高. 求證：CD = AB. 分析問題： 教師：從題目的已知條件出發(fā)，我們能很快得到什么？ 學生：∠ACB = 15°，∠DAC = 30°。 教師：題目要求證的是CD與AB這兩條線段之間的關系，很顯然，這兩條線段并非同一個三角形里的兩條邊，我們能否把這兩條線段當中的一條用與之相等的替換掉呢？ 學生：可以把AB用AC替換掉。 教師：這樣一來，咱們只需要證明CD =AC了，能證到嗎？ 學生：能，∠D

14、 = 90°，∠DAC = 30°，可以用剛才得到的定理去證明。 證明過程可讓一名學生板書，其他學生練習本上書寫。 【設計意圖】 發(fā)展學生合情推理能力和演繹推理能力，活學活用，培養(yǎng)學生正確應用所學的知識的應用能力，增強應用意識，參與意識，就本例題而言，必須使學生學會含30°角的直角 三角形的性質(zhì)的應用，突出本節(jié)課的重點. （六）開心刮刮樂 學生可從四張獎票中，任選一張刮開，其中三張可獲得答題機會，答對即中獎，一張沒有答題機會。題目分別如下： 1．如圖，△ABC中，∠C =90°，AC =3，∠B =30°，點 P 是BC邊上的動點，則 AP 的長不可能是( ).

15、 A．3.5 B. 4.2 C．5.8 D. 7 2．如圖，在△ABC中，∠ACB =90°，∠B =60°，CD是 △ABC 的高，且BD =1，則AD =_______. 3．如圖，已知在△ABC 中，AB =AC，∠C =30°,AB⊥AD，則下列關系式正確的為(　 　). A．BD = CD B．BD = 2CD C．BD = 3CD D．BD = 4CD 答案分別為：1. D； 2. 3； 3. B. 【設計意圖】 本環(huán)節(jié)的設置是為了讓學生熟練掌握含30°角的直角三角形的性質(zhì)，并能靈活運

16、用。用刮獎票的形式呈現(xiàn)，增強了課堂的趣味性，讓學生能以更高的熱情投入到課堂中來。 （七）角色互換 幻燈片展示： 如圖，點P、M、N分別在等邊三角形 ABC 的 各邊上，且MP ⊥ AB ，NM ⊥ BC ，PN ⊥ AC. （1）求證：△PMN是等邊三角形. （2）若AB＝9，求CM的長度． 【設計意圖】 該題將本節(jié)課兩大塊知識全部融合，是本節(jié)課定理的綜合運用，難度較大。為了突破難點，設計的兩個問題層層推進，讓學生有、逐步實現(xiàn)由實驗幾何到論證幾何的過渡，調(diào)動學生思考，使學生容易理解，學會應用自己已有的知識來解決問題，環(huán)環(huán)相扣，將感性的知識轉(zhuǎn)化為理性，突破難點，強化重點，學生

17、學習積極性高漲，氛圍也十分濃厚. （八）課堂小結(jié) 1.這節(jié)課我們研究了哪些問題？ 2.我們在研究這些問題時，經(jīng)歷了怎樣的過程？ 3.通過這個研究過程，你有什么感受和體會？ 【設計意圖】 讓學生對課堂學習進行小結(jié)，注意總結(jié)具體的知識、結(jié)論，以及解決問題的方法和蘊含其中的思想，如分類討論思想、逆向思維等。 （九）課后作業(yè) 1.必做：完成教材P12-13習題、《作業(yè)本》上相應的練習； 2.選做：探索定理“在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半．”的逆命題是否成立，如果成立，請給予證明. 【設計意圖】 必做題的設計是為了讓所有學生將本節(jié)課所學知識加以鞏固，而選做題是提供給學有余力的學生，發(fā)展逆向思維以及邏輯推理能力。分層作業(yè)，讓不同層次的學生各有所得。