《高考沖刺 三角函數(shù)的概念圖像與性質(提高)》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《高考沖刺 三角函數(shù)的概念圖像與性質(提高)（33頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、高考沖刺三角函數(shù)的概念圖象和性質編稿：孫永釗 審稿：張林娟【高考展望】近幾年高考降低了對三角變換的考查要求，而加強了對三角函數(shù)的圖象與性質的考查，因為函數(shù)的性質是研究函數(shù)的一個重要內(nèi)容，是學習高等數(shù)學和應用技術學科的基礎，又是解決生產(chǎn)實際問題的工具，因此三角函數(shù)的性質是本章復習的重點。在復習時要充分運用數(shù)形結合的思想，把圖象與性質結合起來，即利用圖象的直觀性得出函數(shù)的性質，或由單位圓上線段表示的三角函數(shù)值來獲得函數(shù)的性質，同時也要能利用函數(shù)的性質來描繪函數(shù)的圖象，這樣既有利于掌握函數(shù)的圖象與性質，又能熟練地運用數(shù)形結合的 思想方法三角函數(shù)是傳統(tǒng)知識內(nèi)容中變化最大的一部分，新教材處理這一部分內(nèi)容

2、時有明顯的降調傾向，突出正、余弦函數(shù)的主體地位，加強了對三角函數(shù)的圖象與性質的考查，因此三角函數(shù)的性質是本章復習的重點。第一輪復習的重點應放在課本知識的重現(xiàn)上，要注重抓基本知識點的落實、基本方法的再認識和基本技能的掌握，力求系統(tǒng)化、條理化和網(wǎng)絡化，使之形成比較完整的知識體系；第二、三輪復習以基本綜合檢測題為載體，綜合試題在形式上要貼近高考試題，但不能上難度。當然，這一部分知識最可能出現(xiàn)的是“結合實際，利用少許的三角變換（尤其是余弦的倍角公式和特殊情形下公式的應用）來考查三角函數(shù)性質”的命題，因此，建議三角函數(shù)的復習應控制在課本知識的范圍和難度上，這樣就能夠適應未來高考命 題趨勢。從近幾年高考試

3、題來看，對三角函數(shù)的考查：一是以選擇填空的形式考查三角函數(shù)的性質及公式的應用，一般占兩個小題；二是以解答題的形式綜合考查三角恒等變換、y =A sin(wx +j) 與向量等其他知識綜合及三角函數(shù)為背景的實際問題等.的性質、三角函數(shù)預測今年，考查形式不變，選擇、填空題以考查三角函數(shù)性質及公式應用為主，解答題將會以向量為載體，考查三角函數(shù)的圖象與性質或者與函數(shù)奇偶性、周期性、最值等相結合，以小型綜合題形式出現(xiàn). 【知識升華】方法技巧：1.八大基本關系依據(jù)它們的結構分為倒數(shù)關系、商數(shù)關系、平方關系，用三角函數(shù)的定義反復證明強化記憶，這是最有效的記憶方法。誘導公式用角度制和弧度制表示都成立，記憶方法

4、可概括為“奇變偶不變， 符號看象限”，變與不變是相對于對偶關系的函數(shù)而言的2.三角函數(shù)值的符號在求角的三角函數(shù)值和三角恒等變換中，顯得十分重要，根據(jù)三角函數(shù)的，可簡記為“一全正，二正弦，三兩切，四余弦”，其含義是：在第一象限各三角函數(shù)值皆為正；在第二象限正弦值 為正；在第三象限正余切值為正；在第四象限余弦值為正第 1 頁 共 21 頁 左 ( 0)或向右(橫 坐標伸長(0w1)3.在利用同角三角函數(shù)的基本關系式化簡、求值和證明恒等關系時，要注意用是否“同角”來區(qū)分和選用公式，注意切化弦、“1”的妙用、方程思想等數(shù)學思想方法的運用，在利用誘導公式進行三角式的化簡、 求值時，要注意正負號的選取4.

5、求三角函數(shù)值域的常用方法：求三角函數(shù)值域除了判別式、重要不等式、單調性等方法之外，結合三角函數(shù)的特點，還有如下方法： （1）將所給三角函數(shù)轉化為二次函數(shù)，通過配方法求值域；（2）利用sin x ,cos x的有界性求值域；（3）換元法，利用換元法求三角函數(shù)的值域，要注意前后的等價性，不能只注意換元，不注意等價性 5. 三角函數(shù)的圖象與性質（一）列表綜合三個三角函數(shù) 最值的情況；y =sin x ， y =cos x ， y =tan x的圖象與性質，并挖掘：了解周期函數(shù)和最小正周期的意義會求y =A sin(wx +j)的周期，或者經(jīng)過簡單的恒等變形可化為上述函數(shù)的三角函數(shù)的周期，了解加了絕對

6、值后的周期情況； 會從圖象歸納對稱軸和對稱中心；y =sin x的對稱軸是x =kp+p2( k Z )，對稱中心是( kp,0) ( k Z )；y =cos x的對稱軸是x =kp ( k Z )，對稱中心是( kp+p2,0) ( k Z )y =tan x的對稱中心是(kp2,0)( k Z )注意加了絕對值后的情況變化.寫單調區(qū)間注意w 0.（二）了解正弦、余弦、正切函數(shù)的圖象的畫法，會用“五點法”畫正弦、余弦函數(shù)和函數(shù) 的簡圖，并能由圖象寫出解析式“五點法”作圖的列表方式；y =A sin(wx +j)求解析式y(tǒng) =A sin(wx +j)時處相j的確定方法：代（最高、低）點法、公

7、式x =-1jw.（三）正弦型函數(shù)先平移后伸縮y =A sin(wx +j)的圖象變換方法如下：y =sin x 的圖象向jj1)或縮短(0A0)或下1)縮(0A1) 為原來的A倍(橫坐標不變)得 y =A sin x 的圖象橫坐標伸長(0w1) 1到原來的 ( 縱坐標不變) w得 y =A sin(wx ) 的圖象j0)或向右(j0)或向下(k0 時，r=5t,sin=y -3t=r 5t3 x 4t 4 y -3t 3 =- , cos a = = = ， tan a = = =-5 r 5t 5 x 4t 4；y -3t 3當 t0 時，r=-5t，sin= = = ， cosr -5t

8、 5x 4t 4a = = =- ， tan r -5t 5y -3t 3 a = = =-x 4t 4。綜上可知，sin=-3 4 3 3 4 3 ， cos a = ， tan a =- ；或 sin= , cos a =- , tan a =-5 5 4 5 5 4.【總結升華】已知角的終邊所在的直線方程，則可先設出終邊上一點的坐標，求出此點到原點的距離，然后用三角函數(shù)的定義來求相關問題，若直線的傾斜角為特殊角，也可直接寫出角的值。若角的終邊 落在某條直線上，一般要分類討論。舉一反三：【變式】已知角q的終邊上的一點p（- 3，m）且 sin q=24m, 求 cos q+tan q的值。

9、第 4 頁 共 21 頁 【解析】由三角函數(shù)的定義得sinq=m3+m2=2 m4,所以 m =0,或m = 5 . 當m =0時，cosq+tanq= -1 ；當m = 5時，cos q+tanq=-6 15- ；4 3當m =- 5時，cosq+tanq=-6 15+4 3.類型二、同角三角函數(shù)基本關系【例 3】已知 是三角形的內(nèi)角，且 sin+cos=15.（1）求 tan的值；（2）把cos21a-sin2a用 tan表示出來，并求其值?！舅悸伏c撥】（1）由 sin+cos= 1 及 sin2+cos2=1,可求 sin, cos的值；5（2）sin2+cos2=1，分子、分母同除以

10、cos2即可。sin【解析】（1）方法一：聯(lián)立方程 a+cosa =15sin2a+cos 2a =1整理得25sin 2 a-5sin a-12 =0是三角形內(nèi)角， 4sin a = 5 3cos a =- 5tan=-43方法二：sin+cos=15，(sin+cos)2=( 1 )25即1 +2sin acos a =1 24 ， 2sin acos a =-25 25(sin-cos)2=4925sinacosa =-12250且0 a0,cos0,sin- cos=75, 1 4sin a+cos a = sin a = 5 5由 得 7 3sin a-cos a = cos a =

11、- 5 5第 5 頁 共 21 頁弓 扇 D扇 tan=-43sin2a+cos2a（2）cos21 sin 2= a-sin 2 a cos 2a+cos 2a-sin 2a=a cos2cos 2 aa-sin2tan 2 a+1 =a 1 -tan 2 acos2atan=-43cos21 tan 2 a+1=a-sin 2 a 1 -tan 2 a=4( - ) 2 +1 34 1 -( - ) 2325=- .7【總結升華】（1）對于 sin+cos，sincos，sin-cos這三個式子，已知其中一個式子的值，其余二式的值可求。轉化的公式為(sincos)2=12 sincos;（

12、2）關于 sin，cos的齊次式， 往往化為關于 tanx 的式子?！纠?4】已知一扇形的圓心角是，所在圓半徑是 R。（1） 若=600，R=10cm,求扇形的弧長及該弧所在的弓形面積。（2） 若扇形的周長是一定值 C（C0），當是多少弧度時，該扇形有最大面積？【思路點撥】（1）利用弧長、面積公式求解；（2）把扇形面積用表示出來，或用弧長表示出來，然后求 出函數(shù)的最值?！窘馕觥浚?）設弧長為 l ，弓形面積為 S ，弓a =600=p3, R =10,10p(cm), l =31 10 1S =S -S = p10 - 102 3 2p 3)( cm2 ).=50(-3 22sin 600,（

13、2）方法一：扇形周長 C=2R+1 1 C2S = aR2 = a( )2 2 2 +al=2R+R,R=C2 +a=C 2 1 C 2 a = 2 4 +4a+a2 21 4 +4a+C 24 16a.當且僅當a =4a，即=2（=-2 舍去）時，扇形面積有最大值C 216。第 6 頁 共 21 頁max方法二：由已知 2R+ l =C, C -l R = (l cosx 的 x 的集合，可用圖象或三角函數(shù)線解決；（2）2sin x -1 0第（2）小題實際就是求使 1 -2cos x 0成立的 x 的值，可用圖象或三角函數(shù)線解決?！窘馕觥浚?）要使函數(shù)有意義，必須使 sinx-cosx0方

14、法一：利用圖象。在同一坐標系中畫出 0 ，2 上 y=sinx 和 y=cosx 的圖象，如圖所示：第 9 頁 共 21 頁 1 1 在0，2內(nèi)，滿足 sinx=cosx 的 x 為p 5p， ，再結合正弦、余弦函數(shù)的周期是 2，所以定義域 4 4為x |p4+2 k5ppx cosx,即 MNOM，則p4x 5p4(在0,2p內(nèi))。定義域為p 5p x | +2 k px 0,將 x- 視為一個整體，由正弦函數(shù) 4 4y=sinx 的圖象和性質可知 2k x-p p 5p +2k , 解得 2k + x +2k ,k Z. 定義域為 4 4 4p 5p x | +2 k px 0（2）要使函

15、數(shù)有意義，必須有 1 -2cos x 0 1 psin x 2 6 ，即 ，解得 1 pcos x 2 3+2 k+2 k5px p+2kp65px p+2kp3k Z，p3+2 kpx 5p6+2 kp(k Z )故所求函數(shù)的定義域為p 5p +2 kp,3 6+2 kp ( k Z ) 【思路點撥】與三角函數(shù)有關的函數(shù)的定義域與三角函數(shù)有關的函數(shù)的定義域仍然是使函數(shù)解析式有意義的自變量的取值范圍；求此類函數(shù)的定義域最終歸結為用三角函數(shù)線或三角函數(shù)的圖象解三角不等式。 舉一反三【變式 1】求函數(shù)的定義域：（1） y =2 +log x + tan x ； （2） y = 2ptan( x -

16、 ) sin x4lg(2 cos x -1).【答案】2+log x 0 0x 4 （1）要使得函數(shù)有意義，需滿足 2 kpx ktan x 0p+p2，解得 0 x 0 2cos x -1 1解得2kpx 2 kp+3, k Z定義域為：x | 2kpx 2 kp+3, k Z 【例 8】（1）求函數(shù)y =sin(p3-2 x ), x -p,p的單調遞減區(qū)間；（2）求y =3tan(p x- )6 4的周期及單調區(qū)間?！舅悸伏c撥】題目所給解析式中 x 的系數(shù)都為負，把 x 的系數(shù)變?yōu)檎龜?shù)，解相應不等式求單調區(qū)間?！窘馕觥浚?）由y =sin(p p -2 x ), 得 y =-sin(2

17、 x - )3 3，由-p2+2 k p2 x -p p +2 k p 3 2得-p 5p +k px 12 12+kp, k Z ,又 x-,-x-7 p 5p 11p, - x , - px p 12 12 12 12.函數(shù)y =sin(p3-2 x ),x-,的單調遞減區(qū)間為-，-7 p 5 11p， - ， p， p ，。 12 12 12 12（2）函數(shù)y =3tan(p x- )6 4的周期 T=p1-4=4p。由y =3tan(p x x p - ) 得 y =-3tan( - ),6 4 4 6由-p x p p 4 8+kp - +k p得 - p+4kpx 0,0)的函數(shù)的

18、單調區(qū)間，基本思路是把 x+看作一個整體，由-p2+2 kpwx+fp2+2 kp(k Z )求得函數(shù)的增區(qū)間，由p2+2 kpwx+f3p2+2 kp(k Z )求得函數(shù)的減區(qū)間。第 11 頁 共 21 頁（3 ）形如 y=Asin(-x+ )(A0, 0) 的函數(shù)，可先利用誘導公式把 x 的系數(shù)變?yōu)檎龜?shù)，得到y(tǒng)=-Asin( x- ) ， 由 -p2+2 kpwx-fp2+2 kp(k Z )得 到 函 數(shù) 的 減 區(qū) 間 ， 由p2+2 kpwx-f3p2+2 kp(k Z )得到函數(shù)的增區(qū)間?！纠?9】已知函數(shù)y =sin 2 x + 3 cos 2 x（1）用五點法作出它的圖象；（2

19、）指出這個函數(shù)的振幅、周期、頻率、初相和單調區(qū)間；（3）說明該函數(shù)的圖象可由 【解析】y =sin x的圖象經(jīng)過怎樣的變換而得到？（1）1y =2( sin 2 x + 23 p p p cos 2 x) =2(sin 2 x cos +cos 2 x sin ) =2sin(2 x + )2 3 3 3.列表描點繪圖如下:3p2 x +p30p2p22px-p6p12p37p1256py 020-20（2）如圖可知，此函數(shù)的振幅是2，周期為 p ，頻率為1 p ，初相為 .p 3單調增區(qū)間為單調減區(qū)間為kp-kp+5p p , kp+ 12 12p 7 , kp+ p12 12kZ ，kZ.

20、第 12 頁 共 21 頁 3 橫 坐標擴大為原來的2倍 3 1 縱 坐標擴大到原來的3倍 6 1 y = sin xa = -,06 （3）y =sin x圖象向左平移 個單位 縱坐標不變py =sin( x + )3橫坐標縮短為原來的0.5倍 縱坐標不變py =sin(2 x + )3縱坐標擴大到原來的2倍 橫坐標不變【總結升華】py =2sin(2 x + )3五點法作y =A sin(wx +j)( A 0 ,w 0)的簡圖時，五點取法是設t =wx +j，由 t 取 0、p2、p、3p2、2p來求相應的x值及對應的y值，再描點作圖；由y =sin x的圖象變換出y =A sin(wx

21、 +j)的圖象一般先平移后伸縮，但先伸縮后平移也經(jīng)常出現(xiàn)，無論哪種變形，請切記每一個變換總是對字母 “角變化”多少；x而言，即圖象變換要看“變量”起多大變化，而不是此處的難點是函數(shù)圖象的平移，可以選擇畫出圖象后觀察；也可以直接由函數(shù)式子利用特殊位置點 （如：首點、波峰、波谷等）的坐標判定，但其前提是兩個函數(shù)的名稱以及x 的系數(shù)是相同的.舉一反三：【變式 1】由y =sin( x +p3)的圖象得到y(tǒng) =cos x的圖象需要向平移個單位.【答案】左，p6；【解析】y =cos x =sin( x +p2)，由y =sin( x +p p p) 的圖象得到 y =cos x =sin( x + )

22、 的圖象需要向左平移 個單位. 3 2 6【變式 2】試述如何由y =1 psin(2 x + )3 3的圖象得到y(tǒng) =sin x的圖象.【解析】方法一：y =1 p 1 p sin(2 x + ) y = sin( x + )3 3 縱坐標不變 3 3圖象向右平移 個單位 縱坐標不變y = sin x y =sin x 3 橫坐標不變.方法二：1 p1圖象向右平移 個單位y = sin(2 x + )y = sin 2 x3 33縱坐標不變橫坐標擴大為原來的2倍 縱坐標擴大到原來的3倍 縱坐標不變 3 橫坐標不變y =sin x.【變式 3】將函數(shù)y =sinwx (w 0)的圖象按向量 p

23、 平移，平移后的圖象如圖所示，則平第 13 頁 共 21 頁max移后的圖象所對應函數(shù)的解析式是（ ）Ay =sin( x +p p p p ) B y =sin( x - ) C y =sin(2 x + ) D y =sin(2 x -6 6 3 3)【答案】C；把點(7p12, -1)代入選項即得?！纠?10】求下列函數(shù)的值域.（1）y =3 sin x +cos x x 0,p；（2）y =2 -cos x3 +sin x；（3）y =sin x +cos x +2sin x cos x【思路點撥】 三角式確定的函數(shù)求解值域 .一般可從兩個途徑入手 .一是將三角式化為一個三角函數(shù)的形式

24、，從而利用三角函數(shù)性質求解值域，二是將三角式化為相同形，通過換元轉化為代數(shù)函數(shù)求解值域. 【解析】(1)py = 3 sin x +cos x =2sin( x + )6，x 0, p， p p 7 x + , p6 6 6.由正弦函數(shù)圖象可知：當x +p p p p 7 = 即 x = 時， y =2 ；當 x + = p6 2 3 6 6即x =p時，y =-1min.所以函數(shù)值域為-1,2.(2) 由y =2 -cos x3 +sin x去分母得：3 y +y sin x =2 -cos x,移項整理y sin x +cos x =2 -3 y，由輔助角公式得：y 2 +1sin( x

25、+q) =2 -3 y （ cos q=yy2+1,sin q=1y 2+1）sin( x +q)=2 -3 yy 2 +1,-1 sin( x +q)1, |2 -3 yy 2 +1|1, 即| 2 -3 y |y 2 +1.平方整理得:8 y2-12 y +3 0, 解出：3 - 3 3 + 3y 4 4，第 14 頁 共 21 頁2 2 2 2 max所以函數(shù)值域為3 - 3 3 + 3 , 4 4.（3）由(sin x +cos x)2=1 +2sin x cos x 得 2sin x cos x =(sin x +cos x )2-1y =sin x +cos x +2sin x c

26、os x =(sin x +cos x) 2 +(sin x +cos x) -1令t =sin x +cos x =p2 sin( x + ) ，則 t - 2, 2 4y =t21 5+t -1 =(t + ) 2 -2 4,t - 2, 2當t =-12時，y =-min54， 當t = 2時，y = 2 +1 max.所以函數(shù)值域為-54, 2 +1.舉一反三的ax【變式 1】設關于的函數(shù)ay的值，并對此時的值求y =2cos x -2a cos x -(2 a +1) 的最大值。的最小值為f (a )，試確定滿足f ( a) =12【答案】令則cos x =t ， t -1,1，a

27、a 2y =2t -2 at -(2 a +1) =（2t - ) -( +2 a +1)2 2，開口向上，對稱軸t =a2，當a2-1，即 a 1，即a 2時，函數(shù)y在t -1,1上遞減，y =-4a +1 = min1 1，得 a =2 8與a 2矛盾；當a -1 12，即-2 a 2時，a 2y =-( +2 a +1) = min12，解得a =-1或a =-3（舍），a =-1，此時 y =-4a +1 =5.【變式 2】已知函數(shù)f ( x ) =a cos 2 x +2 3a sin x cos x +2 a +b的定義域為0,p2，值域為-1,5，求常數(shù) a 、 b 的值【答案】

28、f ( x) =a cos 2x + 3a sin 2 x +2 a +b =2 a sin(2 x +p6) +2 a +bx 0,p2 ， 2 x +p p 7p , 6 6 6（1）若a =0，不符合題意.第 15 頁 共 21 頁p p = 2 ( )( )( )p p p 7p（2）若 a 0 ，有 2 x + = 時， 4a +b =5 ； 2 x + =6 2 6 6時a +b =-1， a =2 ， b =-3.（3）若a 0,0,0 )的圖象與 x 軸的交點中，相鄰兩個22p交點之間的距離為 ，且圖象上一個最低點為 M( ,-2).32(1)求 f(x)的解析式；(2)當 x

29、p p, 時，求 f(x)的值域. 12 2p T p【思路點撥】由與 x 軸的交點中相鄰兩交點的距離為 可得 ，從而得 T=，即可得.由圖象最2 2低點得 A 及 的值，從而得函數(shù) f(x)的解析式，進而得 f(x)的值域.2p p【解析】(1)由最低點為 M( ,-2),得 A=2.由 x 軸上相鄰兩個交點之間的距離為 ,得3 2T p=2 2,即 T=,=2p 2p=T p2p 2p 4p=2.由點 M( ,-2)在圖象上得 2sin(2 +)=-2,即 sin( +)=-1,3 3 3故4p p 11p+j=2kp- k Z , j=2kp- k Z . 3 2 6p p p 又j(0

30、, ),j= , 故f x =2sin(2x + ).2 6 6（2）p p p p 7p x , ,2x + , .12 2 6 3 6p p p當 2x+ = ,即 x= 時，f(x)取得最大值 2;6 2 6p 7p p當 2x+ = ,即 x= 時,f(x)取得最小值-1,故 f(x)的值域為-1,2. 6 6 2【總結升華】確定y =A sin(wx +j)+b 的解析式的步驟：（1）求 A，b 確定函數(shù)的最大值 M 和最小值 m，則 A=M -m M +m ，b= 。2 2（2）求，確定函數(shù)的周期 T，則w =2pT；（3）求 j ，常用方法有：、代入法：把圖象上的一個已知點代入（

31、此時，A、b 已知）或代入圖象與直線 y=b 的交點求解。 （此時要注意交點在上升區(qū)間上還是在下降區(qū)間上）；第 16 頁 共 21 頁 向 左平移 個單位橫 坐標縮短到原來的 倍、五點法：確定j值時，往往以尋找“五點法”中的第一零點（-jw，0）作為突破口。具體如下：第一點（即圖象上升時與 x 軸的交點）為wx +f=0；第二點（即圖象的“峰點”）為wx +f=p2；第三點（即圖象下降時與 x 軸的交點）為wx +f=p；第四點（即圖象的“谷點”）為wx +f=32p；第五點為wx +f=2p舉一反三：【變式 1】把函數(shù)y =sin x ( x R )p的圖象上所有的點向左平行移動 個單位長度

32、，再把所得圖象上所有3點的橫坐標縮短到原來的12倍（縱坐標不變），得到的圖象所表示的函數(shù)是（ ）Ay =sin 2 x - p3 ，x RBy =sinx p+ ，x R 2 6 Cy =sin 2 x + p3 ，x RDy =sin 2 x + 2p3 ，x R【解析】y=sin xp3py =sin( x + )312 py =sin(2 x + )3，故選（C）?！咀兪?2】在同一平面直角坐標系中，函數(shù)y =cos(x 3p 1 + )( x 0，2p) 的圖象和直線 y =2 2 2的交點個數(shù)是( )（A）0（B）1（C）2（D）4【解析】原函數(shù)可化為：x 3p xy =cos( + )( x 0，2p) = sin , x 0, 2p. 2 2 2作出原函數(shù)圖像，截取x 0,2p1部分，其與直線 y = 的交點個數(shù)是 2 個2【例 12】已知函數(shù)f ( x) =sin 2 (p 3+x ) -4 2cos 2 x（1）求函數(shù) f ( x )的最