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1、　隨機(jī)變量及其分布 一、選擇題： 1．已知離散型隨機(jī)變量X的分布列如下： X 1 3 5 P 0.5 m 0.2 則其數(shù)學(xué)期望E(X)等于(　　) A．1　　　B．0.6　　　C．2＋3m　　D．2.4 解析：由分布列的性質(zhì)得m＝1－0.5－0.2＝0.3，所以E(X)＝1×0.5＋3×0.3＋5×0.2＝2.4. 答案：D 2．拋擲紅、藍(lán)兩顆骰子，若已知藍(lán)骰子的點(diǎn)數(shù)為3或6時(shí)，則兩顆骰子點(diǎn)數(shù)之和大于8的概率為(　　) A. B. C. D. 解析：記事件A為“ 藍(lán)骰子的點(diǎn)數(shù)為3或6”，A發(fā)生時(shí)紅骰子的點(diǎn)數(shù)可以為1到6中任意

2、一個(gè)，n(A)＝12，記B：“兩顆骰子點(diǎn)數(shù)之和大于8”，則AB包含(3,6)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)5種情況，所以P(B|A)＝＝. 答案：D 3．拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，如果連續(xù)拋擲1 000次，則第999次出現(xiàn)正面朝上的概率是(　　) A. B. C. D. 解析：每一次拋擲硬幣，正面朝上的概率都是. 答案：D 4．兩個(gè)實(shí)習(xí)生每人加工一個(gè)零件．加工為一等品的概率分別為和，兩個(gè)零件是否加工為一等品相互獨(dú)立，則這兩個(gè)零件中恰有一個(gè)一等品的概率為(　　) A. B. C. D. 解析：所求概率為×

3、＋×＝. 答案：B 5．三個(gè)元件T1，T2，T3正常工作的概率分別為，，，且是互相獨(dú)立的．將它們中某兩個(gè)元件并聯(lián)后再和第三元件串聯(lián)接入電路，在如圖的電路中，電路不發(fā)生故障的概率是(　　) A. B. C. D. 解析：電路不發(fā)生故障的概率P＝×＝×＝. 答案：A 6．已知隨機(jī)變量ξ＋η＝8，若ξ～B(10,0.6)，則Eη，Dη分別是(　　) A．6和2.4 B．2和2.4 C．2和5.6 D．6和5.6 解析：由題意Eξ＝6，Dξ＝2.4，又η＝8－ξ，則Eη＝E(8－ξ)＝8－Eξ＝8－6＝2，Dη＝D(8－ξ)＝

4、Dξ＝2.4. 答案：B 7．設(shè)火箭發(fā)射失敗的概率為0.01，若發(fā)射10次，其中失敗的次數(shù)為X，則下列結(jié)論正確的是(　　) A．E(X)＝0.01 B．P(X＝k)＝0.01k×0.9910－k C．D(X)＝0.1 D．P(X＝k)＝C×0.01k×0.9910－k 解析：該試驗(yàn)為獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，故E(X)＝0.1，D(X)＝10×0.01×0.99＝0.099，P(X＝k)＝C×0.01k×0.9910－k，故選D. 答案：D 8．有3個(gè)興趣小組，甲、乙兩位同學(xué)各自參加其中一個(gè)小組，每位同學(xué)參加各個(gè)小組的可能性相同，則這兩位同學(xué)

5、參加同一個(gè)興趣小組的概率為(　　) A. B. C. D. 解析：先從3個(gè)興趣小組中選1個(gè)，有C＝3種方法；甲、乙兩位同學(xué)都參加這個(gè)興趣小組的概率為×＝，故這兩位同學(xué)參加同一個(gè)興趣小組的概率為C2＝. 答案：A 9．甲、乙兩個(gè)工人在同樣的條件下生產(chǎn)，日產(chǎn)量相等，每天出廢品的情況如下表所列，則有結(jié)論(　　) 工人 甲 乙 廢品數(shù) 0 1 2 3 0 1 2 3 概率 0.4 0.3 0.2 0.1 0.3 0.5 0.2 0 A.甲的產(chǎn)品質(zhì)量比乙的產(chǎn)品質(zhì)量好一些 B．乙的產(chǎn)品質(zhì)量比甲的質(zhì)量好一些 C．兩人的

6、產(chǎn)品質(zhì)量一樣好 D．無法判斷誰的質(zhì)量好一些 解析：∵E(X甲)＝0×0.4＋1×0.3＋2×0.2＋3×0.1＝1，E(X乙)＝0×0.3＋1×0.5＋2×0.2＋3×0＝0.9. ∵E(X甲)＞E(X乙)，∴乙的產(chǎn)品質(zhì)量比甲的產(chǎn)品質(zhì)量好一些． 答案：B 10．節(jié)日期間，某種鮮花的進(jìn)價(jià)是每束2.5元，售價(jià)是每束5元，節(jié)后對(duì)沒有賣出的鮮花以每束1.6元處理．根據(jù)前5年節(jié)日期間對(duì)這種鮮花銷售情況需求量X(束)的統(tǒng)計(jì)(如下表)，若進(jìn)這種鮮花500束在今年節(jié)日期間銷售，則期望利潤是(　　) X 200 300 400 500 P 0.20 0.35 0.30 0.15

7、 A．706元 B．690元 C．754元 D．720元 解析：節(jié)日期間這種鮮花需求量X的均值為E(X)＝200×0.20＋300×0.35＋400×0.30＋500×0.15＝340(束)． 設(shè)利潤為Y，則Y＝5X＋1.6(500－X)－500×2.5＝3.4X－450，所以E(Y)＝3.4E(X)－450＝3.4×340－450＝706(元)． 答案：A 二、填空題： 11．袋中有4只紅球3只黑球，從袋中任取4只球，取到1只紅球得1分，取到1只黑球得3分，設(shè)得分為隨機(jī)變量X，則P(X≤6)＝__________. 解析：P(X≤6)＝P(X＝4)＋P(X＝6)

8、＝＝. 答案： 12．某個(gè)部件由三個(gè)元件按如圖方式連接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，則部件正常工作，設(shè)三個(gè)元件的使用壽命(單位：小時(shí))均服從正態(tài)分布N(1 000,502)，且各個(gè)元件能否正常工作相互獨(dú)立，那么該部件的使用壽命超過1 000小時(shí)的概率為__________． 解析：設(shè)元件1,2,3的使用壽命超過1 000小時(shí)的事件分別記為A，B，C，顯然P(A)＝P(B)＝P(C)＝，∴該部件的使用壽命超過1 000小時(shí)的事件為(A＋B＋AB)C.∴該部件的使用壽命超過1 000小時(shí)的概率為P＝×＝.答案： 13．由于電腦故障，使得隨機(jī)變量X的分布列中部分?jǐn)?shù)據(jù)丟

9、失(以代替)，其表如下： X 1 2 3 4 5 6 P 0.20 0.10 0.5 0.10 0.1 0.20 請(qǐng)你找出丟失的數(shù)據(jù)后，求得均值為__________． 解析：由0.20＋0.10＋0.5＋0.10＋0.1＋0.20＝1知，兩個(gè)方框內(nèi)數(shù)字分別為2、5，故E(X)＝3.5. 答案：3.5 14．馬老師從課本上抄錄一個(gè)隨機(jī)變量ξ的概率分布列如下表： x 1 2 3 P(ξ＝x) ？ ！ ？ 請(qǐng)小王同學(xué)計(jì)算ξ的數(shù)學(xué)期望，盡管“！”處無法看清，且兩個(gè)“？”處字跡模糊，但能斷定這兩個(gè)“？”處的數(shù)值相同．據(jù)此，小王給出了正確答案

10、E(ξ)＝__________. 解析：由分布的性質(zhì)可知2？＋?。?， E(ξ)＝？＋2?。?？＝4？＋2?。?(2？＋！)＝2. 答案：2 三、解答題： 15．在1,2,3，…，9這9個(gè)自然數(shù)中，任取3個(gè)數(shù)， (1)求這3個(gè)數(shù)恰有1個(gè)偶數(shù)的概率； (2)記X為3個(gè)數(shù)中兩數(shù)相鄰的組數(shù)，例如取出的數(shù)為1,2,3，則有兩組相鄰的數(shù)1,2和2,3，此時(shí)X的值為2，求隨機(jī)變量X的分布列及其數(shù)學(xué)期望E(X)． 解：(1)設(shè)Y表示“任取的3個(gè)數(shù)中偶數(shù)的個(gè)數(shù)”，則Y服從N＝9，M＝4，n＝3的超幾何分布，∴P(Y＝1)＝＝.(6分) (2)X的取值為0,1,2，P(X＝0)＝＝，P(X＝1)

11、＝＝，P(X＝2)＝＝. ∴X的分布列為 X 0 1 2 P 數(shù)學(xué)期望E(X)＝0×＋1×＋2×＝. 16．1號(hào)箱中有2個(gè)白球和4個(gè)紅球，2號(hào)箱中有5個(gè)白球和3個(gè)紅球，現(xiàn)隨機(jī)地從1號(hào)箱中取出一球放入2號(hào)箱，然后從2號(hào)箱隨機(jī)取出一球，問： (1)從1號(hào)箱中取出的是紅球的條件下，從2號(hào)箱取出紅球的概率是多少？ (2)從2號(hào)箱取出紅球的概率是多少？ 解：記事件A：最后從2號(hào)箱中取出的是紅球；事件B：從1號(hào)箱中取出的是紅球． P(B)＝＝，P()＝1－P(B)＝.(4分)(1)P(A|B)＝＝.(6分) (2)∵P(A|)＝＝，∴P(A)＝P(A∩B)＋P(A∩)

12、＝P(A|B)P(B)＋P(A|)P() ＝×＋×＝. 17．某食品企業(yè)一個(gè)月內(nèi)被消費(fèi)者投訴的次數(shù)用ξ表示，據(jù)統(tǒng)計(jì)，隨機(jī)變量ξ的分布列如下： ξ 0 1 2 3 p 0.1 0.3 2a a (1)求a的值和ξ的數(shù)學(xué)期望； (2)假設(shè)一月份與二月份被消費(fèi)者投訴的次數(shù)互不影響，求該企業(yè)在這兩個(gè)月內(nèi)共被消費(fèi)者投訴2次的概率． 解：(1)由概率分布的性質(zhì)知，0.1＋0.3＋2a＋a＝1，∴a＝0.2，則ξ的分布列為 ξ 0 1 2 3 P 0.1 0.3 0.4 0.2 E(ξ)＝0×0.1＋1×0.3＋2×0.4＋3×0.2＝1.7. (2)設(shè)

13、事件A表示“兩個(gè)月內(nèi)共被投訴2次”， 事件A1表示“兩個(gè)月內(nèi)有一個(gè)月被投訴2次，另一個(gè)月被投訴0次”，事件A2表示“兩個(gè)月內(nèi)每個(gè)月均被投訴1次”，則由事件的獨(dú)立性可得 P(A1)＝CP(ξ＝2)P(ξ＝0)＝2×0.4×0.1＝0.08， P(A2)＝(P(ξ＝1))2＝0.32＝0.09， P(A)＝P(A1)＋P(A2)＝0.08＋0.09＝0.17， 故該企業(yè)在這兩個(gè)月共被投訴2次的概率為0.17. 18．(14分)某射手每次射擊擊中目標(biāo)的概率是，且各次射擊的結(jié)果互不影響． (1)假設(shè)這名射手射擊5次，求恰有2次擊中目標(biāo)的概率； (2)假設(shè)這名射手射擊5次，求有3次連續(xù)擊

14、中目標(biāo)，另外2次未擊中目標(biāo)的概率； (3)假設(shè)這名射手射擊3次，每次射擊，擊中目標(biāo)得1分，未擊中目標(biāo)得0分，在3次射擊中，若有2次連續(xù)擊中，而另外1次未擊中，則額外加1分；若3次全擊中，則額外加3分，記ξ為射手射擊3次后的總的分?jǐn)?shù)，求ξ的分布列． 解：(1)設(shè)X為射手在5次射擊中擊中目標(biāo)的次數(shù)，則X～B.在5次射擊中，恰有2次擊中目標(biāo)的概率P(X＝2)＝C×2×3＝.(4分) (2)設(shè)“第i次射擊擊中目標(biāo)”為事件Ai(i＝1,2,3,4,5)；“射手在5次射擊中，有3次連續(xù)擊中目標(biāo)，另外2次未擊中目標(biāo)”為事件A，則 P(A)＝P(A1A2A345)＋P(1A2A3A45)＋P(12A3A4A5)＝3×2＋×3×＋2×3＝.(8分) (3)由題意可知，ξ的所有可能取值為0,1,2,3,6. P(ξ＝0)＝P(123)＝3＝； P(ξ＝1)＝P(A123)＋P(1A23)＋P(12A3)＝×2＋××＋2×＝； P(ξ＝2)＝P(A12A3)＝××＝； P(ξ＝3)＝P(A1A23)＋P(1A2A3)＝2×＋×2＝； P(ξ＝6)＝P(A1A2A3)＝3＝.(12分) 所以ξ的分布列是 ξ 0 1 2 3 6 P 6