《川大繼續(xù)教育《工程數(shù)學(xué)》復(fù)習(xí)資料2020.pdf》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《川大繼續(xù)教育《工程數(shù)學(xué)》復(fù)習(xí)資料2020.pdf（16頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、工程數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料 1、填空。 （ 1）已知 1 ( ) co s sine ik， 2 ( ) sin co se ij，則內(nèi)積 )()( 21 ee ____0 （求解過程： 0s ins ins inc o s ） ________ ，外積 )()( 21 ee __ j kji c o s 0c o ss i n s i n0c o s ________。 （ 2） ( ) 2 cos 3F 的傅立葉逆變換 ()ft __ ( 3) ( 3)tt （查閱傅立葉變 換的性質(zhì)） ______________________。 （ 3）已知

2、( ) ( )f t F F ，設(shè) 1 ( ) 2 ( ) * ( )g t f t f t ， 20( ) 3 ( ) * ( )g t f t f t t則 11( ) ( ) _ _ _ _ _ _ _ _ _ ,G g t F 22( ) ( ) _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _G g t F 。 解： 02212( ) 2 ( ) , ( ) 3 ( )itG i F G e F （查閱傅立葉變換的性質(zhì)） (4)如果 )(tf 的傅立葉變換為 )(wF ，則 )3( tf 的傅立葉變換為 )3(31 wF , )6( tf 的 傅立葉變換為 )(

3、6 wFeiw 。 (5)如果 )(tf 的傅立葉變換為 )(wF ,則 )(5 tfeit 的傅立葉變換為 )5( wF ， )(tF 的傅立葉 變換為 )(2 wf 。 (6) )(t 為單位脈沖函數(shù)，則 dttt )21s in ()2( ， dttt )sin()( -1 。 2、求 kjiA )1(s in4c o s3)( tttt 在 0t 處的極限 . 解： ki3 （求解過程： kitimltimltimltiml tttt 3)1(s i n4c o s3)( 0000 kjiA ） 3、已知 kjiA 232)( ttt ，求

4、 dtt)(A2 0 。 解： kji 842 （求解過程 2 0 22 0 2 0 2 0 22 0 32)32()(A kjikji dtttd tdtdtttdtt = kji 842 ） 4、設(shè) kjir ttt sincos 求 dtdr 和 2 2dtdr 。 解： kji ttdtdr c o ss in ， ji ttdt rd s inco s 2 2 5、設(shè)數(shù)量場 zxyzzxM 223)( 22 ，求 )(M 在點(diǎn) )3,2,1(0M 處沿著矢量 ,, xyzxyz 的方向?qū)?shù)。 解： 762 求解過程： zxxM 26)( 將

5、)3,2,1(0M 代入 1226)( )3,2,1( zxxM zyM 2)( 將 )3,2,1(0M 代入 62)( )3,2,1( zyM xyzzM 222)( 將 )3,2,1(0M 代入 4222)( )3,2,1( xyzzM )3,2,1(0M 處沿著矢量 ,, xyzxyz 為 6,3,2, l 方向余弦 76236 6c o s 222 73236 3c o s 222 72236 2c o s 222 則方向?qū)?shù) 7627247367612c o sc o sc o s)( 000 MMM zyxlM 6、設(shè) kjiA ）（

6、）（）（ zxzxyxyxzxyzzy 223232322 ，求 A 的散度 Adiv 。 解： 0 求解過程： 02222223232322 xxz zxzxyy xyxzx xyzzyd iv ）（）（）（A 7、已知矢量場 kjiA 222 xyzxyz ，求 A 的旋度 Arot 。 解： kji )2()2()2( zxzyzyxyx kji kji A )2()2()2( 222 zxzyzyxyx xyzxyz zyxr o t 8、證明 2 2 2( 2 ) ( 2 ) ( 2 )A x y z y x z z x y i j

7、 k為有勢場，并求其勢函數(shù)。 證明略，勢函數(shù) 2 2 21 ( ) 23 x y z xyz C kjiA )2()2()2( 222 xyzxzyyzx 求解過程： 先求 A 的旋度 0)22()22()22( 222 222 kji kji A zzyyxx xyzxzyyzx zyxr o t 旋度為 0，則是 A是有勢力場。 令 yzxzyxP 2),,( 2 ， xzyzyxQ 2),,( 2 ， xyzzyxR 2),,( 2 取 ),,( 0000 zyxM 為坐標(biāo)原點(diǎn) )0,0,0(O ，帶入下公式 zzyyxx dzzyx

8、RdyzyxQdxzyxPzyxu 000 ),,(),,(),,(),,( 000 則 xyzzyx dzxyzdyydxxu zyx 2)(31 )2()0()0( 333 0 2 0 2 0 2 所以勢函數(shù) uv ，所有勢函數(shù)的全體為 2 2 21 ( ) 23 x y z xyz C 9、證明。設(shè) u 和 v 是數(shù)性函數(shù)， 是哈密頓算子，求證 uvvuuv )( 。 證明： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

9、( ) ( ) uv uv x y z uv uv uv x y z v u v u v u u v u v u v x x y y z z v v v u u u uv x y z x y z u v v u i j k i j k i j k i j k i j k 10、求矩形脈沖 其他 0 40 3)( ttf 的 Fourier變換。 解： )2sin(6 2 wew iw 或 )1(3 4 wieiw 4 0 4 0 4 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) () 3 3

10、3 1 3 3 cos( 2 ) sin( 2 ) cos( 2 ) sin( 2 ) 3 ( 2 sin( 2 )) 6 sin 2 it it it i i i i i i i F f t f t e dt e dt e i e i e e e i e i i i ei i e F 11、求函數(shù) )cos()( wttf 的 Laplace變換。 解： 22 ws s )0(Re s 解題過程：當(dāng) Re S0 時，有 0 0 ( ) ( ) 00 22 cos 1 ()

11、2 1 2 1 1 1 2 st st i t i t s i t s i t e tdt e e e dt ee s i s i s i s i s s 12、已知 ki)(1 e ， ji)(2 e ，求 : )()( 21 ee 。 解： kji 求解過程： kji kji 011 101 13、求 kjiA ttett tttt 1)(5s i n43s i ns i n3)( 在 0t 處的極限 . 解： kjiA 2 0 54)(lim ett 求解過程： 111 3 3s i n s i

12、 n 3s i n s i n 33s i ns i n3 000 t t t t iml t t t t imlttiml ttt 4s in4s in4 00 t timlt timl tt 14、已知 kjiA ttt 23)( 2 ，求 dtt)(A3 0 。 解： kji 3927 kjikjiA 392723)( 3 0 3 0 3 0 23 0 dttd tdttdtt 15、設(shè) kjir ttt 4s in3c o s2 求 dtdr 和 2 2dtdr 解： kji 4c o s3s in2 ttdtdr ， ji ttdt

13、rd s in3c o s2 2 2 16、設(shè)數(shù)量場 22 zxyzxy(M ) ，求 )(M 在點(diǎn) )2,1,1(0M 處沿著矢量 2, 2,1 的方 向?qū)?shù)。 解： 方向?qū)?shù)為 34)31,32,32()2,4,5( 先求三個偏導(dǎo)數(shù) 21 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1lim )1(lim)1(lim)(lim eee t e e e t e e t eet t t et e tt t tt t t t t tt t xzyxM 2)( 2 將 )2,1,1(0M 代入 52)( 2 )2,1,1( xzyxM zxyyM

14、 2)( 將 )2,1,1(0M 代入 42)( )2,1,1( zxyyM 2)( xyzM 將 )2,1,1(0M 代入 2)( 2 )2,1,1( xyzM 再求矢量 1,2,2 的方向余弦 321)2(2 2c o s 222 3 21)2(2 2c o s 222 311)2(2 1c o s 222 則方向?qū)?shù) 343123 24325c o sc o sc o s)( 000 MMM zyxlM 17、設(shè) kjiA 224 zxyx ，求 A 的散度 Adiv ,并求 Adiv 在 )3,1,1(M 處的值。 解： 8224

15、 zx 求解過程： zxzzyxyxxd iv 22424 2 A 將 )3,1,1(M 代入 Adiv ，得 8624 Adiv 18、已知矢量場 kjiA xyzxyz 762 ，求 A 的旋度 Arot 。 解： kji zyx 45 19 、 證 明 。 設(shè) u 是 數(shù) 性 函 數(shù) ， A 是 矢 性 函 數(shù) ， 是 哈 密 頓 算 子 ， 求 證 AAA uuu )( 。 解： ()( ) ( ) () ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) yxz y

16、x y z yxz x y z uAuA uA u x y z AAAu u u A u A u A u x x y y z z AAA u u u u u u A A A x y z x y z uu A AA 20、求函數(shù) ttf 3sin)( 的傅立葉變換。 答案： ( 3 ) 3 ( 1 ) 3 ( 1 ) ( 3 ) 4 i 求解過程： )3s ins in3(41s in s in4s in33s in 3 3 ttt ttt 由 )()( s i n 000 itF 和傅立葉變換的性質(zhì) )3(3)3(3)1(3)1(341)3

17、s i ns i n3(41 s i n 3 ittt FF 21、證明（卷積定理）。若給定兩個函數(shù) 1()ft， 2()ft，記 1 1 2 2( ) ( ), ( ) ( ),F f t F f tFF， kji kji A zyx xyzxyz zyxr o t 45 762 則有 1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( )f t f t F FF 。 證明：由卷積與傅里葉變換定義，有 1 2 1 2 () 12 12 12 12 12 ( ) * ( ) ( )

18、 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) it i t i t ii i i f t f t f f t d e dt f f t e dt e d f e f e d d f e d f e d F F F FF 令 22、已知矢量 3 10A i j ， 54B i j ，求（ 1）點(diǎn)乘 BA ，（ 2）叉乘 BA 。 答案：點(diǎn)乘 25BA ，（ 2）叉乘 kBA 62 求解過程： 3 5+10（ -4） =-25 k kji 62 045 0103 23、已知 k

19、jiA 22 1 111)( ttttt ，求 dtt)( 。 答案 Cttt kji a r c t a nln1 2 求解過程 Ctttdt ttttdtt kjikji a r c t a nln11 111)(A 222 ， C 為常 數(shù)。 24、設(shè) kjir tte t co sln2 求 dtdr 和 2 2dtdr 。 解： kjir ttedtd t s in12 2 kjir ttedtd t c o s14 2222 25、求函數(shù) 223u x y y在點(diǎn) (2,3)M 處沿曲線 2 1yx朝 x 增大一方的方向?qū)?shù)。 解：方向?qū)?shù)為

20、 60 17 求解過程： xyxu 6)( 將 )3,2(,M 代入 36)( )3,2( xM yxyu 23)( 2 將 )3,2(M 代入 6)( )3,2( yM 由 12 xy ，得 jiji )1( 2 xxyxr , jiji xyxr 2 將 )3,2(M 代入 r ji 4 r ， r 方向余弦 17141 1c o s 22 17441 4c o s 22 則方向?qū)?shù) 1760174617136c o sc o s)( 00 MM yuxulu 26、設(shè) kjiA ）（）（）（ zxzxyxyxzxyzzy 22323

21、2322 ，求 A 的散度 Adiv 和旋度 Arot 。 解： 0Adiv 0rot A 27、證明。設(shè) u 是數(shù)性函數(shù)， 是哈密頓算子，請根據(jù) 的定義，求證 0)( u 。 解： 證明 (略 ) 證明過程： 0)( zyx uuu zyxu kji 28、根據(jù) Fourier 變換的定義，求函數(shù) 2 1|| 0 2 1|| 2 )( || t te tf t 的 Fourier變換。 答案： )2s i n2( c o s11 4)( 21 2 wwweww F 。

22、 1 0 2 1 0 2 1 0 ( 1 ) ( 1 ) 2 1 0 2 1 ( 1 ) 0 ( 1 ) 2 1 0 2 1 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) () 22 2( ) 2 1 ( 1 1 2 2 - ( - ) 1 4 1 it t i t t i t i t i t it it i i i i F F f t f t e dt e e dt e e dt e dt e dt e e ii e e i e e i e ） 1 2 2 1 (cos sin ) 22 e 29、根據(jù) Laplace 變

23、換的定義，求函數(shù) 2)( ttf 的 Laplace 變換。 答案： 32s 。 22 0 stt t e d tL 令 st z ， z 為復(fù)變量，則 2 2 2 2100 1 s t zt t e d t z e d z sL 根據(jù)柯西積分定理 22 2 1 3 00 3 3 11 1 ( 3 ) 2 ztz e dz t e dt ss s s 30、已知 )(5)(1 tutf ， )(2)( 22 tuetf t ， )(tu 是單位階躍函數(shù)，求 )(1tf 和 )(2tf 的卷 積 )(*)( 21 tftf 答案： )1(

24、5 2te 31、設(shè) kjir tte t co s4ln2 求 dtdr 和 2 2dtdr 。 答案 : kjir ttedtd t s in12 2 kjir ttedtd t c o s14 222 2 32、已知 kjiA 2313 和 kjiB 564 ，判斷 A與 B的位置關(guān)系是正交、平行還是 其它，并請證明結(jié)論。 答案：正交 33、 如果 )(tf 的傅立葉變換為 )(wF ，則 )3(tf 的傅立葉變換為 , )6( tf 的傅立葉 變換為 。 1 2 1 2

25、2( ) 0 22 0 22 0 22 2 ( ) * ( ) ( ) ) 52 10 1 10 2 5 ( 1 ) 5( 1 ) t t t t tt tt t f t f t f f t d ed e e d ee ee e （ 答案 ： )3(31 wF , )(6 wFeiw 。 34、若函數(shù) ),( yxf 在點(diǎn) )2,1(M 沿 i1L 的方向?qū)?shù)為 2，沿 ji2L 的方向?qū)?shù)為 21 ， 求 ),( yxf 在 )2,1(M 處的梯度。 答案： 2i-j 35、設(shè) kjiA 423 22 yzyzxxz ，求 A 在點(diǎn) )1,2,1(M0 處的

26、散度 Adiv 和旋度 Arot 。 答案 : 323 8 y zz2xz Adiv )8,3,2( 4x y z3x yy2x2z 2y z yz2x- z 224 423 kji kji A x zyx r ot 36、求矩形脈沖 其他 0 40 3)( ttf 的 Fourier變換。 答案： )2sin(6 2 wew iw 或 )1(3 4 wieiw 37、證明 kjiA 22323 32 yzxzxxyz 為保守場，并計算曲線積分。 答案 : 0)2xz-(2xz4xyz)-(4xyz)2-(2 2222 kjiA zxzxrot ，因此是保 守場。 38、根據(jù) Laplace 變換的定義，求函數(shù) 2)( ttf 的 Laplace 變換。 答案： 3/2S 求解過程：參見教程第 8 章例題 8.1.5